面积法 【规律总结】 所谓面积法，就是利用面积相等或者成比例，来证明其他的线段相等或为成比例线段 的方法。 相关定理 (1)等底等高的两个三角形面积相等； (2)等底（或等高）的两三角形面积之比等于其高（或底）之比； (3)在两个三角形中，若两边对应相等，其夹角互补，则这两个三角形面积相等； (4)若在同一线段的同侧有底边相等面积相等的两个三角形，则连结两个三角形的顶点 的直线与底边平行。 B 2❑ √5cm 24 5 cm D 48 5 m 【答】 【解析】 【分析】 本题考查了菱形的性质以及勾股定理的应用．注意菱形的面积等于对角线积的一半或底乘 以高．首先利用勾股定理求得菱形的边长，然后由菱形的两个面积计算渠道求得边B 上的 高DE 的长即可． 【解答】 解：∵四边形BD 是菱形，AC=8cm，BD=6cm， ∴S 菱形ABCD=1 2 AC ⋅BD=1 AC=6，BD=8，AE⊥BC，垂足为E，则E 的长为____ __． 【答】24 5 【解析】 【分析】 本题考查菱形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用面积法求线段的长，属于 中考常考题型． 利用菱形的面积公式：1 2 ⋅AC ⋅BD=BC ⋅AE，即可解决问题； 【解答】 解：∵四边形BD 是菱形， ∴AC ⊥BD，OA=OC=3，OB=OD=4， ∴由勾股定理得：AB=BC=5，

面积比例问题 一、方法突破 除了三角形、四边形面积计算之外，面积比例也是中考题中常见的条件或结论，对面积比 例的分析，往往比求面积要复杂得多，这也算是面积问题中最难的一类． 大部分题目的处理方法可以总结为两种：（1）计算；（2）转化． 策略一：运用比例计算类 策略二：转化面积比 如图，B、D、三点共线，考虑△BD 和△D 面积之比． D C B A 转化为底： 共高，面积之比化为底边之比：则 比如常见有：“”字型线段比、“8”字型线段比． “”字型线段比： ． M D C B A “8”字型线段比： ． M D C B A 转化为垂线： 共底，面积之比化为高之比： ． M N A B C D 面积能算那就算，算不出来就转换； 底边不行就作高，还有垂线和平行． 二、典例精析 例一：已知，如图，抛物线 的顶点为 ，经过抛物线上的两点 和 的直线交抛物线的对称轴于点 （1）设顶点式，代入点坐标，可得解析式为： ． 当x=3 时，y=5，故点B 坐标为（3,5），∴直线B 的解析式为：y=2x-1． （2）铅垂法表示△D 的面积： 设点D 坐标为 ，过点D 作DP⊥x 轴交B 于P 点， 则P 点坐标为 ，线段DP=-m²+9， ， 面积公式表示△MD 的面积： 过点D 作DQ⊥M 交M 于点Q，则DQ=1-m， ， 解得：m=5 或-1．考虑D 点在、M 之间的抛物线上，故m=-1．

面积定值、等值问题 一、方法突破 定值问题 【问题描述】 如图，抛物线 与x 轴交于、B 两点（点在点B 左侧），与y 轴交于点，连接 B，抛物线在线段B 上方部分取一点P，连接PB、P，若△PB 面积为3，求点P 坐标． P O A B C x y 思路1：铅垂法列方程解． 根据B、两点坐标得直线B 解析式：y=-x+3， 设点P 坐标为 ， 过点P 作PQ⊥x 轴交B 轴交B 于点Q， 则点Q 坐标为（m，-m+3）， ， ， 分类讨论去绝对值解方程即可得m 的值． 思路2：构造等积变形 P Q A B C 同底等高三角形面积相等． 取B 作水平宽可知水平宽为3，根据△PB 面积为3， 可知铅垂高为2， 在y 轴上取点Q 使得Q=2，过点Q 作B 的平行线， 交点即为满足条件的P 点． Q2 Q1 P4 P3 P2 y x C 等值问题 【问题描述】 如图，抛物线 与x 轴交于、B 两点（点在点B 左侧），与y 轴交于点，连接 B，抛物线上存在一点P 使得△PB 的面积等于△B 的面积，求点P 坐标． P O A B C x y 思路1：铅垂法 计算出△B 面积，将“等积问题”转化为“定积问题”，用铅垂法可解． 思路2：构造等积变形 过点作B 的平行线，与抛物线交点即为所求P 点， 另外作点关于点的对称点M，过点M

面积等量问题的存在性 方法点拨 面积转化 例题演练 1．抛物线y＝﹣ x+3 与x 轴交于、B 两点，与y 轴交于点，连接B． （1）如图1，求直线B 的表达式； （2）如图1，点P 是抛物线上位于第一象限内的一点，连接P，PB，当△PB 面积最大 时，一动点Q 从点P 从出发，沿适当路径运动到y 轴上的某个点G 再沿适当路径运动到 x 轴上的某个点处，最后到达线段B 轴上的某个点处，最后到达线段B 的中点F 处停止．求当△PB 面积最大时，点P 的坐 标及点Q 在整个运动过程中经过的最短路径的长； （3）如图2，在（2）的条件下，当△PB 面积最大时，把抛物线y＝﹣ x+3 向 右平移使它的图象经过点P，得到新抛物线y'，在新抛物线y'上是否存在点E，使△EB 的面积等于△PB 的面积．若存在，请求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由． 【解答】解：∵抛物线y＝﹣ x+3 ∴M（m，﹣ m+3）， ∴PM＝﹣ m2+ m+3﹣（﹣ m+3）＝﹣ m2+ m＝﹣ （m﹣ ）2+ ， ∴S△PB＝ [﹣ （m﹣ ）2+ ]×3 ＝﹣ （m﹣ ）2+ ， ∴m＝ 时，S△PB的面积最大，最大值为 ， 即：点P（ ， ）， ∵B（3 ，0），（0，3）， ∴F（ ， ）， ∴点M 和点F 重合， 作点P（ ， ）关于y 轴的对称点P'（﹣ ， ）， 再作点F（ ， ）关于x

线段周长面积最大值 内容导航 方法点拨 例题演练 题组 1 ：线段的最大值 例1．如图，抛物线y＝ +mx+与x 轴交于，B 两点，与y 轴交于点，抛物线的对称轴交x 轴于 点D，已知（﹣1，0），（0，2）． （1）求抛物线的表达式； （2）线段B 上有一动点P，过点P 作y 轴的平行线，交抛物线于点Q，求线段PQ 的最大值． 设D（m，0），则P（m，m+3），Q （m，﹣m2﹣2m+3） PQ+ P＝（﹣m2﹣2m+3）﹣（m+3）+（﹣m）═﹣（m+2）2+4 ∴当m＝﹣2 时，PQ+ P 有最大值4 题组 3 ：面积的最大值 例3．如图，抛物线y＝x2﹣3x﹣4（＜0）与x 轴交于，B 两点，直线y＝ x+ 经过点，与抛物线 的另一个交点为点，点的横坐标为3，线段PQ 在线段B 上移动，PQ＝1，分别过点P、Q 的垂线，交抛物线于E、F，交直线于D，G． （1）求抛物线的解析式； （2）当四边形DEFG 为平行四边形时，求出此时点P、Q 的坐标； （3）在线段PQ 的移动过程中，以D、E、F、G 为顶点的四边形面积是否有最大值，若有求出 最大值，若没有请说明理由． 【解答】解：（1）∵点的横坐标为3， ∴y＝ ×3+ ＝2， ∴点的坐标为（3，2）， 把点（3，2）代入抛物线，可得2＝9﹣9﹣4，

15 因动点产生的面积问题 下面的题目收录在2024 版《挑战中考数学压轴题》精讲解读篇（蓝皮书）中 例 2023 年达州市中考第24 题 如图1，抛物线y＝x2＋bx＋过点(－1, 0)、B(3, 0)、(0, 3)． （1）求抛物线的解析式； （2）设点P 是直线B 上方抛物线上一点，求出△PB 的最大面积及此时点P 的坐标； （3）若点M 是抛物线对称轴上一动点，点为坐标平 （2）已知点B、在抛物线上，点B 的横坐标为t，点的横坐标为t＋1，过点B 作x 轴 的垂线交直线于点D，过点作x 轴的垂线交直线于点E． （）当0＜t＜2 时，求△BD 与△E 的面积之和； （）在抛物线对称轴右侧，是否存在点B，使得以B、、D、E 为顶点的四边形的面积 为 ？若存在，请求出点B 的横坐标t 的值；如不存在，请说明理由． 例 2023 年十堰市中考第25 题 已知抛物线y＝x2＋bx＋8 过点B(4 轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，连结B、B，点D 在线段B 上（与点、B 不重合），点F 是的中点，连 结FD，过点D 作DE⊥FD 交B 于点E，连结EF，当△DEF 面积是△DF 面积的3 倍时，求 点D 的坐标； （3）如图2，点P 是抛物线上对称轴右侧的点，(m, 0)是x 轴正半轴上的动点，若线段 B 上存在点G（与点、B 不重合），使得∠GBP＝∠GP＝∠B，求m

22 由面积产生的函数关系问题 下面的题目收录在2024 版《挑战中考数学压轴题》精讲解读篇（蓝皮书）中 例 2023 年山西省中考第23 题 如图1，二次函数y＝－x2＋4x 的图像与x 轴正半轴交于点，经过点的直线与该图像交 于点B(1, 3)，与y 轴交于点． （1）求直线B 的函数表达式及点的坐标； （2）点P 是第一象限内二次函数图像上的一个动点，过点P 作直线PE⊥x 轴于点E， 与直线B 交于点D，设点P 的横坐标为m． ①当 时，求m 的值； ②如图2，当点P 在直线B 上方时，连结P，过点B 作BQ⊥x 轴于点Q，BQ 与P 交于 点F，连结DF．设四边形FQED 的面积为S，求S 关于m 的函数表达式，并求出S 的最大 值． 图1 图2 例 2023 年吉林省中考第25 题 如图1，在正方形BD 向终 点D 匀速运动．连结P 并延长交边D 于点M，连结Q 并延长交折线D-B 于点．连结PQ、 QM、M、P，得到四边形PQM．设点P 的运动时间为x（s）（0＜x＜4），四边形PQM 的 面积为y（m2）． （1）BP 的长为______m，M 的长为 _______m；（用含x 的代数式表示） （2）求y 关于x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； （3）当四边形PQM 是轴对称图形时，直接写出x

面积的存在性问题解题策略 专题攻略 面积的存在性问题常见的题型和解题策略有两类： 第一类，先根据几何法确定存在性，再列方程求解，后检验方程的根． 第二类，先假设关系存在，再列方程，后根据方程的解验证假设是否正确． 例题解析 例❶ 如图1-1，矩形BD 的顶点在y 轴右侧沿抛物线y＝x2 －6x＋10 滑动，在滑动过程中D//x 轴，D＝1，B 在D 的下方． 当点D 在y 轴上时，B 轴上．当矩形BD 在滑动过程中 被x 轴分成两部分的面积比为1:4 时，求点的坐标． 图1-1 【解析】先求出B＝5，再进行两次转化，然后解方程． 把上下两部分的面积比为1∶4 转化为S 上∶S 全＝1∶5 或S 上∶S 全＝4∶5． 把面积比转化为点的纵坐标为1 或4． 如图1-2， (3, 1)．如图1-3，( 轴相交于点，在抛物线上是否还存在点P，使得S△PMB=S△BM，如存在，求出 点P 的坐标． 图2-1 【解析】△BM 是确定的，△PBM 与三角形BM 有公共边BM，根据“同底等高的三角 形面积相等”和“平行线间的距离处处相等”，过点画BM 的平行线与抛物线的交点就是 点P．一目了然，点P 有2 个． 由y＝(x－1)2－4＝(x＋1)(x－3)，得(－1,0)，B(3,0)．由、M，得(0

线段分三角形面积问题 当三角形具有公共顶点，并且底边共线时，三角形面积比等于底边边长比 如图 当S△BD∶S△D＝m∶时，则＝ 【例1】．如图，△B 三边的中线D，BE，F 的公共点为G，且G：GD＝2：1，若S△B＝ 12，则图中阴影部分的面积是 4 ． 解：∵△B 的三条中线D、BE，F 交于点G，G：GD＝2：1， ∴E＝E， ∴S△ GE＝S△GE＝ S△F，S△BGF＝S△BGD＝ 模型介绍 例题精讲 ∴S 阴影＝S△GE+S△BGF＝4． 故答为：4． 变式训练 【变式1-1】．如图，在△B 中，点D、E、F 分别是B、D、E 的中点，且S△B＝8m2，则 S△BEF的面积是（ ） ．4m2 B．3m2 ．2m2 D．1m2 解：∵D 是B 的中点， ∴S△BD＝S△D＝ S△B， ∵E 是D 的中点， ∴S△BE＝S△BDE＝ S△BD，S△E＝S△DE＝ 的顶点坐标B（17，6），（5， 6），直线y＝ x+b 恰好将平行四边形B 的面积分成相等的两部分，那么b＝ ﹣ ． 解：连接、B，交于D． ∵平行四边形B， ∴B∥，DB＝D，D＝D， ∴∠MD＝∠D，∠MD＝∠D， ∴△MD≌△D， 同理△BMD≌△D， ∴过D 的任意直线都能把平行四边形的面积分成面积相等的两部分． 过D 作DF⊥x 轴于F，过B 作BE⊥x 轴于E． ∵

反比例函数中的有关面积问题 一、反比例函数 的几何意义 1 反比例函数 的几何意义：如图，在反比例函数图象上任选一点，向两坐标轴作垂线，垂线与坐标轴所 围成矩形的面积为 。如图二，所围成三角形的面积为 O y x B A A B x y O 二、利用k 的几何意义进行面积转化 1 如图，直线 与反比例函数 （ ）交于 、 两点，与 、 轴的交点分别为 、 ， 那么 ， 2＝3，D2﹣2＝6， ∴（D+）（D﹣）＝6， • ∴b＝6， ∴k＝6． 故答为6． 2、如图，△和△BD 都是等腰直角三角，∠＝∠DB＝90°，反比例函数y＝ 的图象经过点B，则△与△BD 的 面积之差S△﹣S△BD＝ ． 解：设△和△BD 的直角边长分别为、b， 则点B 的坐标为（+b，﹣b）． ∵点B 在反比例函数y＝ 的第一象限图象上， ∴（+b）×（﹣b）＝2﹣b2＝8． （k≠0）的图象 交于点与点B（，﹣4）． （1）求反比例函数的表达式； （2）若动点P 是第一象限内双曲线上的点（不与点重合），连接P，且过点P 作y 轴的平行线交直线B 于 点，连接，若△P 的面积为3，求出点P 的坐标． 【答】（1）y＝ ；（2）点P 的坐标为（5， ）或（1，4）或（2，2）． 【解析】解：（1）将B（，﹣4）代入一次函数y＝x 3 ﹣中得：＝﹣1 ∴B（﹣1，﹣4）