25 面积定值、等值问题

面积定值、等值问题 一、方法突破 定值问题 【问题描述】 如图，抛物线 与x 轴交于、B 两点（点在点B 左侧），与y 轴交于点，连接 B，抛物线在线段B 上方部分取一点P，连接PB、P，若△PB 面积为3，求点P 坐标． P O A B C x y 思路1：铅垂法列方程解． 根据B、两点坐标得直线B 解析式：y=-x+3， 设点P 坐标为 ， 过点P 作PQ⊥x 轴交B 于点Q， 则点Q 坐标为（m，-m+3）， ， ， 分类讨论去绝对值解方程即可得m 的值． 思路2：构造等积变形 P Q A B C 同底等高三角形面积相等． 取B 作水平宽可知水平宽为3，根据△PB 面积为3， 可知铅垂高为2， 在y 轴上取点Q 使得Q=2，过点Q 作B 的平行线， 交点即为满足条件的P 点． Q2 Q1 P4 P3 P2 y x C B A O P1 当点Q 坐标为（0,5）时，PQ 解析式为：y=-x+5， 联立方程： ，解之即可． 当点Q 坐标为（0,1）时，PQ 解析式为：y=-x+1， 联立方程： ，解之即可． 等值问题 【问题描述】 如图，抛物线 与x 轴交于、B 两点（点在点B 左侧），与y 轴交于点，连接 B，抛物线上存在一点P 使得△PB 的面积等于△B 的面积，求点P 坐标． P O A B C x y 思路1：铅垂法 计算出△B 面积，将“等积问题”转化为“定积问题”，用铅垂法可解． 思路2：构造等积变形 过点作B 的平行线，与抛物线交点即为所求P 点， 另外作点关于点的对称点M，过点M 作B 平行线与抛物线的交点亦为所求P 点． 先求直线解析式，再联立方程即可求得P 点坐标． y x C B A O P 二、典例精析 例一：在平面直角坐标系中，直线 与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，抛物线 经过点 、 ． （1）求 、 满足的关系式及 的值． （2）如图，当 时，在抛物线上是否存在点 ，使 的面积为1？若存在，请求 出符合条件的所有点 的坐标；若不存在，请说明理由． x y B O A 【分析】 （1）点坐标为（-2,0），点B 坐标为（0,2）， 代入解析式可得：=2，4-2b+2=0 （2）考虑、B 水平距离为2，△PB 的面积为1，故对应的铅垂高为1． 当=-1 时，可得b=-1，抛物线解析式为y=-x²-x+2． 取点（0,3）作B 的平行线，其解析式为：y=x+3， 联立方程-x²-x+2=x+3，解得x=-1，故点 坐标为（-1,2） 取点D（0,1）作B 的平行线，其解析式为：y=x+1， 联立方程-x²-x+2=x+1，解得 ， ． 点 坐标为 、点 坐标为 ． P3 x y P1 P2 Q1 Q2 O A B 例二：抛物线L： 经过点（0,1），与它的对称轴直线x=1 交于点B． （1）直接写出抛物线L 的解析式； （2）如图1，过定点的直线 与抛物线L 交于点M、．若△BM 的面积等 于1，求 的值． A B O x y M N 【分析】 （1）解析式： ； （2）考虑到直线过定点Q（1,4），且M、均为动点，故考虑用割补法． ， 分别过M、作对称轴的垂线，垂足分别记为G、， ， 考虑 ： 联立方程： ，化简得 ， ， ∴ ， 解得： ， （舍）． 故k 的值为-3． Q G H N M y x O B A 例三：如图，抛物线 的图象过点 、 、 ． （1）求抛物线的解析式； （2）在抛物线的对称轴上是否存在一点 ，使得 的周长最小，若存在，请求出点 的坐标及 的周长；若不存在，请说明理由； （3）在（2）的条件下，在 轴上方的抛物线上是否存在点 （不与 点重合），使得 ？若存在，请求出点 的坐标；若不存在，请说明理由． A B C O x y 【分析】 （1）抛物线解析式为：y=-x²+2x+3； （2）将军饮马问题，作点关于对称轴的对称点’（2,3），连接’，与对称轴交点即为所 求P 点，可得P 点坐标为（1,2），△P 的周长亦可求． P C' y x O C B A （3）过点作P 平行线与抛物线交点即为M 点，联立方程得解； 记P 与y 轴交点为Q 点，作点关于Q 点的对称点点D， 过点D 作P 的平行线，与抛物线在x 轴上方部分的交点即为所求M 点， 联立方程得解． Q D M2 M1 A B C O x y P 三、中考真题对决 1．（2021•南通）定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函 数图象的“等值点”．例如，点 是函数 的图象的“等值点”． （1）分别判断函数 ， 的图象上是否存在“等值点”？如果存在，求出 “等值点”的坐标；如果不存在，说明理由； （2）设函数 ， 的图象的“等值点”分别为点 ， ，过点 作 轴，垂足为 ．当 的面积为3 时，求 的值； 解：（1）在 中，令 ，得 不成立， 函数 的图象上不存在“等值点”； 在 中，令 ， 解得： ， ， 函数 的图象上有两个“等值点” 或 ； （2）在函数 中，令 ， 解得： ， ， ， 在函数 中，令 ， 解得： ， ， ， 轴， ， ， ， 的面积为3， ， 当 时， ， 解得 ， 当 时， ， △ ， 方程 没有实数根， 当 时， ， 解得： ， 综上所述， 的值为 或 ； 2．（2021•武汉）抛物线 交 轴于 ， 两点 在 的左边）． （1） 的顶点 在 轴的正半轴上，顶点 在 轴右侧的抛物线上； ①如图（1），若点 的坐标是 ，点 的横坐标是 ，直接写出点 ， 的坐标． ②如图（2），若点 在抛物线上，且 的面积是12，求点 的坐标． 解：（1）对于 ，令 ，解得 ，令 ，则 ， 故点 、 的坐标分别为 、 ，顶点坐标为 ， ①当 时， ， 由点 、 的坐标知，点 向右平移1 个单位向上平移3 个单位得到点 ， 四边形 为平行四边形， 故点 向右平移1 个单位向上平移3 个单位得到点 ， 则 ， ， 故点 的坐标为 ， ； ②设点 ，点 的坐标为 ， 同理可得，点 的坐标为 ， 将点 的坐标代入抛物线表达式得： ， 解得 ， 故点 的坐标为 ； 连接 ，过点 作 轴的平行线交 轴于点 ，交过点 与 轴的平行线与点 ， 则 解得 （舍去）或2， 故点 的坐标为 ； 3．（2021•海南）已知抛物线 与 轴交于 、 两点，与 轴交于 点， 且点 的坐标为 、点 的坐标为 ． （1）求该抛物线的函数表达式； （3）如图2，有两动点 、 在 的边上运动，速度均为每秒1 个单位长度，它们分 别从点 和点 同时出发，点 沿折线 按 方向向终点 运动，点 沿线 段 按 方向向终点 运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动 设运动时间为秒，请解答下列问题： ①当为何值时， 的面积等于 ； 解：（1） 抛物线 经过 ， 两点， ， 解得 ， 该抛物线的函数表达式为 ； （3）① 在 中， ， 当动点 运动到终点 时，另一个动点 也停止运动， ， ， 在 中， ， ， 当运动时间为秒时， ， 如图， 过点 作 轴，垂足为 ， 则 ， ， ， ， 点 的坐标为 ， ， 下面分两种情形讨论： Ⅰ、当点 在线段 上运动时， ， 此时 ，点 的坐标为 ， ， 当 时， ， 解得 （舍去）， ， ； Ⅱ、如图，当点 在线段 上运动时， ， ， ， ， 当 时， ， 解得 ， ， 又 ， ， 综上所述，当 或 时， ； 4．（2021•鞍山）如图，抛物线 交 轴于点 ， ， 是抛物线 的顶点， 是抛物线上的动点，点 的横坐标为 ， 交直线 于点 ， 交 于点 ，交 轴于点 ． （1）求抛物线的表达式； （2）设 的面积为 ， 的面积为 ，当 时，求点 的坐标； 解：（1） 抛物线 交 轴于点 ， ， 将 、 坐标分别代入抛物线解析式得： ， 解得： ， 抛物线的表达式为： ； （2）如图， 是抛物线的顶点，抛物线的表达式为： ， ， 交直线 于点 ， 是抛物线上的动点，点 的横坐标为 ， ，设 ， ， 又 的面积为 ， 的面积为 ， ， ， ， ，即点 分别是 、 的中点， 又 ， ， ， ， 由中点坐标公式得： ， 解得： （与“ ”不符，应舍去）， ， ， ， ， ， ； 5．（2021•山西）综合与探究 如图，抛物线 2 1 2 6 2 y x x    与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于 点C ，连接AC ，BC ． （1）求A 、B ，C 三点的坐标并直接写出直线AC ，BC 的函数表达式． （2）点P 是直线AC 下方抛物线上的一个动点，过点P 作BC 的平行线l ，交线段AC 于 点D ． ①试探究：在直线l 上是否存在点E ，使得以点D ，C ，B ，E 为顶点的四边形为菱形， 若存在，求出点E 的坐标，若不存在，请说明理由； ②设抛物线的对称轴与直线l 交于点M ，与直线AC 交于点N ．当 DMN AOC S S    时，请直 接写出DM 的长． 解：（1）当 0 y 时， 2 1 2 6 0 2 x x   ， 解得 1 6 x  ， 2 2 x ， ( 6,0) A   ， (2,0) B ， 当 0 x 时， 6 y  ， (0, 6) C   ， ( 6,0) A   ， (0, 6) C  ， 直线AC 的函数表达式为 6 y x   ， (2,0) B  ， (0, 6) C  ， 直线BC 的函数表达式为 3 6 y x   ； （2）①存在：设点D 的坐标为( , 6) m m   ，其中6 0 m    ， (2,0) B  ， (0, 6) C  ， 2 2 2 ( 2) ( 6) BD m m      ， 2 2 2 2 6 40 BC    ， 2 2 2 2 ( 6 6) 2 DC m m m      ， / / DE BC  ， 当DE BC  时，以点D ，C ，B ，E 为顶点的四边形为平行四边形， 分两种情况： 如图，当BD BC  时，四边形BDEC 为菱形， 2 2 BD BC   ， 2 2 ( 2) ( 6) 40 m m      ， 解得： 1 4 m  ， 2 0 m （舍去）， 点D 的坐标为( 4, 2)   ， 点E 的坐标为( 6, 8)   ； 如图，当CD CB  时，四边形CBED 为菱形， 2 2 CD CB   ， 2 2 40 m   ， 解得： 1 2 5 m  ， 2 2 5 m  （舍去）， 点D 的坐标为( 2 5  ，2 5 6)  ， 点E 的坐标为(2 2 5  ，2 5) ； 综上，存在点E ，使得以点D ，C ，B ，E 为顶点的四边形为菱形，点E 的坐标为 ( 6, 8)   或(2 2 5  ，2 5) ； ②设点D 的坐标为( , 6) m m   ，其中6 0 m    ， ( 6,0) A   ， (2,0) B ， 抛物线的对称轴为直线 2 x  ， 直线BC 的函数表达式为 3 6 y x   ，直线/ / l BC ， 设直线l 的解析式为 3 y x b   ， 点D 的坐标( , 6) m m   ， 4 6 b m    ， ( 2, 4 12) M m     ， 抛物线的对称轴与直线AC 交于点N ． ( 2, 4) N    ， 4 12 4 4 8 MN m m       ， DMN AOC S S     ， 1 1 ( 4 8)( 2 ) 6 6 2 2 m m     ， 整理得： 2 4 5 0 m m   ， 解得： 1 5 m  ， 2 1 m （舍去）， 点D 的坐标为( 5, 1)   ， 点M 的坐标为( 2,8)  ， 2 2 ( 2 5) (8 1) 3 10 DM        ， 答：DM 的长为3 10 ． 6．（2021•连云港）如图，抛物线 2 2 ( 3) (6 9) y mx m x m      与x 轴交于点A 、B ，与 y 轴交于点C ，已知 (3,0) B ． （1）求m 的值和直线BC 对应的函数表达式； （2）P 为抛物线上一点，若 PBC ABC S S    ，请直接写出点P 的坐标； 解：（1）将 (3,0) B 代入 2 2 ( 3) (6 9) y mx m x m      ，化简得， 2 0 m m  ， 则 0 m （舍) 或 1 m  ， 1 m   ， 2 4 3 y x x     ． (0, 3) C   ， 设直线BC 的函数表达式为y kx b   ， 将 (3,0) B ， (0, 3) C  代入表达式，可得， 0 3 3 k b b       ，解得， 1 3 k b     ， 直线BC 的函数表达式为 3 y x  ． （2）如图，过点A 作 1 / / AP BC ，设直线 1 AP 交y 轴于点G ，将直线BC 向下平移GC 个单 位，得到直线 2 3 P P ． 由（1）得直线BC 的表达式为 3 y x  ， (1,0) A ， 直线AG 的表达式为 1 y x  ， 联立 2 1 4 3 y x y x x        ，解得 1 0 x y      ，或 2 1 x y      ， 1(2,1) P  或(1,0) ， 由直线AG 的表达式可得 (0, 1) G  ， 2 GC  ， 2 CH ， 直线 2 3 P P 的表达式为： 5 y x  ， 联立 2 5 4 3 y x y x x        ， 解得， 3 17 2 7 17 2 x y             ，或， 3 17 2 7 17 2 x y             ， 2 3 17 ( 2 P   ，7 17 ) 2   ， 3 3 17 ( 2 P  ，7 17 ) 2   ，； 综上可得，符合题意的点P 的坐标为：(2,1) ，(1,0) ，3 17 ( 2  ， 7 17 ) 2   ，3 17 ( 2  ， 7 17 ) 2  