69 反比例函数中的有关面积问题

反比例函数中的有关面积问题 一、反比例函数 的几何意义 1 反比例函数 的几何意义：如图，在反比例函数图象上任选一点，向两坐标轴作垂线，垂线与坐标轴所 围成矩形的面积为 。如图二，所围成三角形的面积为 O y x B A A B x y O 二、利用k 的几何意义进行面积转化 1 如图，直线 与反比例函数 （ ）交于 、 两点，与 、 轴的交点分别为 、 ， 那么 ，此方法是绝大部分学生选用的方法。但是，从效率来讲，就比较低 2 如图，过点 、 作 轴的垂线，垂足分别为 、 ，则根据 的几何意义可得， ，而 ，所以 ，此方法的好处，在于方便，快捷，不易出错。 y x A B O C D y x D C F E O B A 【针对训练】 1、如图，△BD 都是等腰直角三角形，过点B 作B⊥B 交反比例函数y＝ （x＞0）于点，过点作⊥BD 于点， 若S△BD﹣S△B＝3，则k 的值为 ． 解：设点坐标为（，b）， ∵△B 和△BD 都是等腰直角三角形， ∴B＝，D＝BD ∵S△BD﹣S△B＝3， D2﹣ 2＝3，D2﹣2＝6， ∴（D+）（D﹣）＝6， • ∴b＝6， ∴k＝6． 故答为6． 2、如图，△和△BD 都是等腰直角三角，∠＝∠DB＝90°，反比例函数y＝ 的图象经过点B，则△与△BD 的 面积之差S△﹣S△BD＝ ． 解：设△和△BD 的直角边长分别为、b， 则点B 的坐标为（+b，﹣b）． ∵点B 在反比例函数y＝ 的第一象限图象上， ∴（+b）×（﹣b）＝2﹣b2＝8． ∴S△﹣S△BD＝ 2﹣ b2＝ （2﹣b2）＝ ×8＝4． 故答为：4． 3、如图，一次函数y＝x 3 ﹣的图象与反比例函数y═ （k≠0）的图象 交于点与点B（，﹣4）． （1）求反比例函数的表达式； （2）若动点P 是第一象限内双曲线上的点（不与点重合），连接P，且过点P 作y 轴的平行线交直线B 于 点，连接，若△P 的面积为3，求出点P 的坐标． 【答】（1）y＝ ；（2）点P 的坐标为（5， ）或（1，4）或（2，2）． 【解析】解：（1）将B（，﹣4）代入一次函数y＝x 3 ﹣中得：＝﹣1 ∴B（﹣1，﹣4） 将B（﹣1，﹣4）代入反比例函数y═ （k≠0）中得：k＝4 ∴反比例函数的表达式为y＝ ； （2）如图： 设点P 的坐标为（m， ）（m＞0），则（m，m 3 ﹣） ∴P＝| ﹣（m 3 ﹣）|，点到直线P 的距离为m ∴△P 的面积＝ m×| ﹣（m 3 ﹣）|＝3 解得：m＝5 或﹣2 或1 或2 ∵点P 不与点重合，且（4，1） ∴m≠4 又∵m＞0 ∴m＝5 或1 或2 ∴点P 的坐标为（5， ）或（1，4）或（2，2）． 4、如图所示，函数y1＝kx+b 的图象与函数 （x＜0）的图象交于（﹣2，3）、B（﹣3，）两点． （1）求函数y1、y2的表达式； （2）过作M y ⊥轴，过B 作B x ⊥轴，试问在线段B 上是否存在点P，使S PM △ ＝3S PB △？若存在，请求出P 点坐标；若不存在，请说明理由． 【详解】 解：（1）∵、B 两点在函数 （x＜0）的图象上， 3 ∴（﹣2）＝﹣3＝m， ∴＝1，m＝﹣3， ∴（﹣1，3），B（﹣3，1）， ∵函数y1＝kx+b 的图象过、B 点， ∴ ， 解得k＝1，b＝4 y ∴ 1＝x+4，y2＝ ； （2）由（1）知（﹣1，3），B（﹣3，1）， M ∴ ＝B＝1， P ∵点在线段B 上， ∴设P 点坐标为（x，x+4），其中﹣1≤x≤ 3 ﹣， 则P 到M 的距离为＝3﹣（x+4）＝﹣x 1 ﹣，P 到B 的距离为B＝3+x， S ∴ PB △＝ B•B＝ ×1×（3+x）＝ （x+3）， S PM △ ＝ M•＝ ×1×（﹣x 1 ﹣）＝﹣ （x+1）， S ∵ PM △ ＝3S PB △， ∴﹣ （x+1）＝ （x+3），解得x＝﹣ ，且﹣1≤x≤ 3 ﹣，符合条件， P ∴（﹣ ， ）， 综上可知存在满足条件的点P，其坐标为（﹣ ， ）． 【点睛】 本题主要考查一次函数和反比例函数的交点问题，在（1）中掌握交点坐标满足两函数解析式是解题的关 键，在（2）中用P 点坐标分别表示出△PB 和△PM 的面积是解题的关键． 5、如图，直线y1＝k1x+b 与双曲线y2＝ 在第一象限内交于、B 两点，已知（1，m），B（2，1）． （1）k1＝ ，k2＝ ，b＝ ． （2）直接写出不等式y2＞y1的解集； （3）设点P 是线段B 上的一个动点，过点P 作PD⊥x 轴于点D，E 是y 轴上一点，求△PED 的面积S 的 最大值． 解：（1）∵（1，m），B（2，1）在双曲线y2＝ 上， ∴k2＝m＝2×1＝2， ∴（1，2）， 则 ，解得： ， ∴k1＝﹣1，k2＝2，b＝3； 故答为：﹣1，2，3； （2）由图象得：不等式y2＞y1的解集是：0＜x＜1 或x＞2； （3）设点P（x，﹣x+3），且1≤x≤2， ∵PD＝﹣x+3，D＝x， 则 ， ∵ ， ∴当 时，S 有最大值，最大值为 ． 6、如图，在平面直角坐标系xy 中，函数y＝﹣x+5 的图象与函数y＝ （k＜0）的图象相交于点，并与x 轴交于点，S△＝15．点D 是线段上一点，D：＝2：3． （1）求k 的值； （2）根据图象，直接写出当x＜0 时不等式 ＞﹣x+5 的解集； （3）求△D 的面积． 解：（1）y＝﹣x+5， 当y＝0 时，x＝5， 即＝5，点的坐标是（5，0）， 过作M⊥x 轴于M， ∵S△＝15， ∴ ＝15， 解得：M＝6， 即点的纵坐标是6， 把y＝6 代入y＝﹣x+5 得：x＝﹣1， 即点的坐标是（﹣1，6）， 把点的坐标代入y＝ 得：k＝﹣6； （2）当x＜0 时不等式 ＞﹣x+5 的解集是﹣1＜x＜0； （3）∵D：＝2：3，S△＝15， ∴△D 的面积＝ S△＝ ＝5． 7、如图，反比例函数y＝ 经过点D，且点D 的坐标为（﹣ ，2）． （1）求反比例函数的解析式； （2）如图，直线B 交x 轴于点B，交y 轴于点，交反比例函数图象于另一点，若3＝4B，求△B 的面积． 解：（1）∵反比例函数y＝ 经过点D（﹣ ，2）． ∴k＝﹣ ＝﹣1， ∴反比例函数的解析式为y＝﹣ ； （2）设直线B 的解析式为y＝x+b， ∴（0，b），B（﹣ ，0）， ∴＝b，B＝ ， 3 ∵＝4B， 3 ∴b＝ ， ∴＝ ， ∴y＝ x+b， ∵直线B 经过D（﹣ ，2）， 2 ∴＝ ×（﹣ ）+b， ∴b＝ ， ∴y＝ x+ ，B（﹣2，0）， 解 得 或 ， ∴（﹣ ， ）， ∴S△B＝ 2× ＝ ． 8、如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y＝ 的图象过等边三角形B 的顶点B，＝2，点在反 比例函数图象上，连接、． （1）求反比例函数解析式； （2）若四边形B 的面积为3 ，求点的坐标． 解：（1）作BD⊥于D，如图， ∵△B 为等边三角形， ∴D＝D＝ ＝1， ∴BD＝ D＝ ， ∴B（﹣1，﹣ ）， 把B（﹣1，﹣ ）代入y＝ 得k＝﹣1×（﹣ ）＝ ， ∴反比例函数解析式为y＝ ； （2）设（t， ）， ∵四边形B 的面积为3 ， ∴ ×2× + ×2× ＝3 ，解得t＝ ， ∴点坐标为（ ，2 ）． 9、如图，△B 在平面直角坐标xy 中，反比例函数y1＝ 的图象经过点，反比例函数y2＝ 的图象经过点 B，作直线x＝1 分别交y1，y2于，D 两点，已知（2，3），B（3，1）． （1）求反比例函数y1，y2的解析式； （2）求△D 的面积． 解：（1）∵反比例函数y1＝ 的图象经过点（2，3），反比例函数y2＝ 的图象经过点B（3，1）， ∴k1＝2×3＝6，k2＝3×1＝3， ∴y1＝ ，y2＝ ． （2）由（1）可知两条曲线与直线x＝1 的交点为（1，6），D（1，3）， ∴D＝6 3 ﹣＝3， ∴S△D＝ 1＝ ． 10、正方形BD 的顶点（1，1），点（3，3），反比例函数y＝ （x＞0）． （1）如图1，双曲线经过点D 时求反比例函数y＝ （x＞0）的关系式； （2）如图2，正方形BD 向下平移得到正方形′B′′D′，边'B'在x 轴上，反比例函数y＝ （x＞0）的图象 分别交正方形′B′′D′的边'D′、边B′′于点F、E， ①求△'EF 的面积； ②如图3，x 轴上一点P，是否存在△PEF 是等腰三角形，若存在直接写出点P 坐标，若不存在明理由． 解：（1）∵点（1，1），点（3，3）， ∴点D（1，3）， 将点D 的坐标代入反比例函数表达式得：k＝3， 故反比例函数表达式为：y＝ ； （2）平移后点′、B′、′、D′的坐标分别为：（1，0）、（3，0），（3，2）、（1，2）， 则平移后点E 纵坐标为3，则点E（3，1）， 同理点F（ ，2）， ' △EF 的面积＝S 正方形′B′′D′﹣S ′ △B′E﹣S ′ △D′F﹣S△EF′＝2×2 ×2× ﹣ 2×1﹣ × ×1＝ ； （3）点E、F 的坐标分别为：（3，1）、（ ，2）， 设点P（m，0）， 则EF2＝（3﹣ ）2+（2 1 ﹣）2＝ ，EP2＝（m 3 ﹣）2+1，PF2＝（m﹣ ）2+4， 当EF＝EP 时，即 ＝（m 3 ﹣）2+1，解得：m＝ 或 ； 当EF＝PF 时，同理可得：m＝ （舍去负值）； 当EP＝PF 时，同理可得：m＝ ， 故点P 的坐标为（ ，0）或（ ，0）或（ ，0）或（ ，0）． 11、如图，单位长度为1 的格坐标系中，一次函数y＝kx+b 与坐标轴交于、B 两点，反比例函数y＝ （x ＞0）经过一次函数上一点 （2，）． （1）求反比例函数解析式，并用平滑曲线描绘出反比例函数图象； （2）依据图象直接写出当x＞0 时不等式kx+b＞ 的解集； （3）若反比例函数y＝ 与一次函数y＝kx+b 交于、D 两点，使用直尺与2B 铅笔构造以、D 为顶点的 矩形，且使得矩形的面积为10． 解：（1）∵一次函数y＝kx+b 过点（0，4），点B（8，0）， ∴ ， ∴ ， ∴一次函数解析式为：y＝﹣ x+4； ∵点在一次函数图象上， ∴＝﹣ ×2+4＝3， ∵反比例函数y＝ （x＞0）经过点 （2，3）， ∴m＝6， ∴反比例函数解析式为：y＝ ， 图象如图所示： （2）∵反比例函数y＝ 与一次函数y＝﹣ x+4 交于、D 两点， ∴ ＝﹣ x+4， ∴x1＝2，x2＝6， ∴点D（6，1）， 由图象可得：当2＜x＜6 时，y＝kx+b 的图象在y＝ 图象的上方， ∴不等式kx+b＞ 的解集为2＜x＜6； （3）如图，若以D 为边，则矩形BD，矩形'B'D 为所求， 若以D 为对角线，则矩形DEDF 为所求． 12、如图，一次函数y＝﹣x+3 的图象与反比例函数y＝ （k≠0）在第一象限的图象交于（1，）和B 两点， 与x 轴交于点． （1）求反比例函数的解析式； （2）若点P 在x 轴上，且△P 的面积为5，求点P 的坐标； （3）若点P 在y 轴上，是否存在点P，使△BP 是以B 为一直角边的直角三角形？若存在，求出所有符 合条件的P 点坐标；若不存在，请说明理由． 解：（1）把点（1，）代入y＝﹣x+3，得＝2， ∴（1，2）， 把（1，2）代入反比例函数 ， ∴k＝1×2＝2； ∴反比例函数的表达式为 ； （2）∵一次函数y＝﹣x+3 的图象与x 轴交于点， ∴（3，0）， 设P（x，0）， ∴P＝|3﹣x|， ∴S△P＝ |3﹣x|×2＝5， ∴x＝﹣2 或x＝8， ∴P 的坐标为（﹣2，0）或（8，0）； （3）存在， 理由如下：联立 ， 解得： 或 ， ∴B 点坐标为（2，1）， ∵点P 在y 轴上， ∴设P（0，m）， ∴B＝ ＝ ，P＝ ，PB＝ ， 若BP 为斜边， ∴BP2＝B2+P2 ， 即 ＝2+ ， 解得：m＝1， ∴P（0，1）； 若P 为斜边， ∴P2＝PB2+B2 ， 即 ＝ +2， 解得：m＝﹣1， ∴P（0，﹣1）； 综上所述：P（0，1）或 P（0，﹣1）． 13、如图，过原点的直线y1＝mx（m≠0）与反比例函数y2＝ （k＜0）的图象交于、B 两点，点在第二象 限，且点的横坐标为﹣1，点D 在x 轴负半轴上，连接D 交反比例函数图象于另一点E，为∠BD 的平分 线，过点B 作的垂线，垂足为，连接E，若D＝2DE，△E 的面积为 ． （1）根据图象回答：当x 取何值时，y1＜y2； （2）求△D 的面积； （3）若点P 的坐标为（m，k），在y 轴的轴上是否存在一点M，使得△MP 是直角三角形，若存在，请 直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由． 解：（1）∵直线y1＝mx（m≠0）与反比例函数y2＝ （k＜0）的图象交于、B 两点，且点的横坐标为﹣1， ∴点，点B 关于原点对称， ∴点B 的横坐标为1， ∴当x 取﹣1＜x＜0 或x＞1 时，y1＜y2； （2）连接，E， 由图象知，点，点B 关于原点对称， ∴＝B， ∵⊥B， ∴∠B＝90°， ∴＝ B＝， ∴∠＝∠， ∵为∠BD 的平分线， ∴∠＝∠D， ∴∠＝∠D， ∴D∥， ∴S△E＝S△E＝ ， ∵D＝2DE， ∴E＝DE， ∴S△D＝2S△E＝3； （3）作EF⊥x 轴于F，作⊥x 轴于， 则EF∥， ∵D＝2DE， ∴DE＝E， ∵EF∥， ∴ ＝ ＝1， ∴DF＝F， ∴EF 是△D 的中位线， ∴EF＝ ， ∵S△EF＝S△＝﹣ ， ∴F•EF＝•， ∴＝ F， ∴＝F， ∴DF＝F＝＝ D， ∴S△＝ S△D＝ 3＝1， ∴﹣ ＝1， ∴k＝﹣2， ∴y＝﹣ ， ∵点在y＝﹣ 的图象上， ∴把x＝﹣1 代入得，y＝2， ∴（﹣1，2）， ∵点在直线y＝mx 上， ∴m＝﹣2， ∴P（﹣2，﹣2）， 在y 轴上找到一点M，使得△MP 是直角三角形， 当∠MP＝90°时，PM⊥y 轴， 则M＝2， ∴点M 的坐标为（0．﹣2）； 当∠PM＝90°时，过P 作PG⊥y 轴于G，则△PM 是等腰直角三角形， ∴M＝2PG＝4，∴点M 的坐标为（0．﹣4）； 综上所述，点M 的坐标为（0．﹣2）或（0，﹣4）．