1 线段周长面积最大值

线段周长面积最大值 内容导航 方法点拨 例题演练 题组 1 ：线段的最大值 例1．如图，抛物线y＝ +mx+与x 轴交于，B 两点，与y 轴交于点，抛物线的对称轴交x 轴于 点D，已知（﹣1，0），（0，2）． （1）求抛物线的表达式； （2）线段B 上有一动点P，过点P 作y 轴的平行线，交抛物线于点Q，求线段PQ 的最大值． 【解答】解：（1）抛物线y＝﹣ +mx+与x 轴交于，B 两点，与y 轴交于点，（﹣1，0）， （0，2）． ∴ ， 解得： ， 故抛物线解析式为：y＝﹣ x2+ x+2； （2）令y＝0，则﹣ x2+ x+2＝0，解得x1＝﹣1，x2＝4， ∴B（4，0）， 设直线B 的解析式为y＝kx+b， ∴ ，解得 ， ∴直线B 的解析式为y＝﹣ x+2， 设P（m，﹣ m+2）；则Q（m，﹣ m2+ m+2）， 则PQ＝（﹣ m2+ m+2）﹣（﹣ m+2）＝﹣ m2+2m＝﹣ （m﹣2） 2+2， 此时PQ 的最大值为2． 练11 如图所示，二次函数y＝x2﹣ x+的图象经过点（0，1），B（﹣3， ），点在y 轴上，过 点B 作B⊥x 轴，垂足为点． （1）求直线B 的解析式和二次函数的解析式； （2）点是二次函数图象上一点（点在B 上方），过作P⊥x 轴，垂足为点P，交B 于点M，求M 的最大值； 【解答】解：（1）设直线B 的解析式为：y＝kx+b， ∴ ， ∴ ， ∴直线B 的解析式为：y＝﹣ x+1； 把（0，1），B（﹣3， ）代入y＝x2﹣ x+得， ， ∴二次函数的解析式为：y＝﹣ x2﹣ x+1； （2）设点的坐标为（m，﹣ m2﹣ m+1）（﹣3＜m＜0），则点M 的坐标为（m，﹣ m+1）， ∴M＝﹣ m2﹣ m+1﹣（﹣ m+1）＝﹣ m2﹣ m+1＝﹣ （m+ ）2+ ， ∴当m＝﹣ 时，M 取最大值，最大值为 ； 练12 如图，二次函数y＝x2+bx+2 的图象与x 轴相交于点（﹣1，0）、B（4，0），与y 轴相交于 点． （1）求该函数的表达式； （2）点P 为该函数在第一象限内的图象上一点，过点P 作PQ⊥B，垂足为点Q，连接P． ①求线段PQ 的最大值； 【解答】解：（1）抛物线解析式为y＝（x+1）（x﹣4）， 即y＝x2﹣3x﹣4， 则﹣4＝2，解得＝﹣ ， 所以抛物线解析式为y＝﹣ x2+ x+2； （2）①作P⊥x 轴于，交B 于M，如图， B＝ ＝2 ， 当x＝0 时，y＝﹣ x2+ x+2＝2，则（0，2）， 设直线B 的解析式为y＝mx+， 把（0，2），B（4，0）得 ，解得 ， ∴直线B 的解析式为y＝﹣ x+2， 设P（t，﹣ t2+ t+2），则M（t，﹣ t+2）， ∴PM＝﹣ t2+ t+2﹣（﹣ t+2）＝﹣ t2+2t， ∵∠BM＝∠PQ， ∴△PQM∽△B， ∴ ＝ ，即PQ＝ ， ∴PQ＝﹣ t2+ t＝﹣ （t﹣2）2+ ， ∴当t＝2 时，线段PQ 的最大值为 ； 题组 2 ：周长的最大值 例2．已知：如图，直线y＝﹣x+2 与x 轴交于B 点，与y 轴交于点，点坐标为（﹣1，0）． （1）求过、B、三点的抛物线的解析式． （2）在直线B 上方的抛物线上有一点D，过D 作DE⊥B 于E，作DF∥y 轴交B 于F，求△DEF 周 长的最大值． 【解答】解：（1）直线y＝﹣x+2 与x 轴交于B（2，0），与y 轴交于点（0，2）， 设过、B、的抛物线的解析式为y＝x2+bx+， 把（﹣1，0）、B（2，0）、（0，2）的坐标代入， ∴＝﹣1，b＝1，＝2， ∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+x+2， （2）设D（x，﹣x2+x+2），F（x，﹣x+2）， ∴DF＝（﹣x2+x+2）﹣（﹣x+2）＝﹣x2+2x， 所以x＝1 时，DF 最大＝1， ∵B＝， ∴△B 为等腰直角三角形， ∵DE⊥B，DF∥y 轴， ∴△DEF 为等腰直角三角形， ∴△DEF 周长的最大值为1+ 练21 如图所示，抛物线y＝x2+bx﹣3 交x 轴交于（﹣1，0），B（3，0）两点，与y 轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图，直线B 下方的抛物线上有一点D，过点D 作DE⊥B 于点E，作DF 平行x 轴交直线 B 点F，求△DEF 周长的最大值； 【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2+bx﹣3 交x 轴交于（﹣1，0），B（3，0）两点， ∴ 解得： ∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3 （2）∵抛物线y＝x2﹣2x﹣3 与y 轴交于点 ∴点坐标为（0，﹣3） ∴直线B 解析式为：y＝x﹣3 ∵点B（3，0），点（0，﹣3） ∴B＝＝3， ∴∠B＝∠B＝45° ∵DF∥B， ∴∠EFD＝45°＝∠B， ∵DE⊥B， ∴∠EFD＝∠EDF＝45°， ∴DE＝EF， ∴DF＝ EF， ∴EF＝DE＝ DF， ∴△DEF 周长＝DE+EF+DF＝（1+ ）DF， 设点D（，2﹣2﹣3），则F（2﹣2，2﹣2﹣3） ∴DF＝﹣2+2＝﹣2+3＝﹣（﹣ ）2+ ∴当＝ 时，DF 有最大值为 ， 即△DEF 周长有最大值为（1+ ）× ＝ ， 练22 如图，抛物线y＝﹣x2+bx+的图象与x 轴交于（﹣5，0），B（1，0）两点，与y 轴交于点， 抛物线的对称轴与x 轴交于点D． （1）求抛物线的函数表达式； （2）如图1，点E（x，y）为抛物线上一点，且﹣5＜x＜﹣2，过点E 作EF∥x 轴，交抛物线的 对称轴于点F，作E⊥x 轴于点，得到矩形EDF，求矩形EDF 周长的最大值； 【解答】解：（1）把（﹣5，0），B（1，0）两点坐标代入y＝﹣x2+bx+， 得到 ， 解得 ， ∴抛物线的函数表达式为y＝﹣x2﹣4x+5． （2）如图1 中， ∵抛物线的对称轴x＝﹣2，E（x，﹣x2﹣4x+5）， ∴E＝﹣x2﹣4x+5，EF＝﹣2﹣x， ∴矩形EFD 的周长＝2（E+EF）＝2（﹣x2﹣5x+3）＝﹣2（x+ ）2+ ， ∵﹣2＜0， ∴x＝﹣ 时，矩形EDF 的周长最大，最大值为 ． 练23 如图，抛物线y＝x2﹣4x﹣5 与x 轴交于，B 两点（点B 在点的右侧），与y 轴交于点，抛物 线的对称轴与x 轴交于点D． （1）求，B，三点的坐标及抛物线的对称轴． （2）如图1，点E（m，）为抛物线上一点，且2＜m＜5，过点E 作EF∥x 轴，交抛物线的对称 轴于点F，作E⊥x 轴于点，求四边形EDF 周长的最大值． 【解答】解：（1）当x＝0 时，y＝﹣5， ∴（0，﹣5）， 当y＝0 时，x2﹣4x﹣5＝0， x1＝5，x2＝﹣1， ∴（﹣1，0），B（5，0）， 由对称性得：抛物线的对称轴是：x＝ ＝2； （2）如图1，∵E（m，），且2＜m＜5， ∴E 在第四象限， ∴EF＝m﹣2，E＝＝﹣m2+4m+5， 设四边形EDF 周长为， 则＝2（EF+E）＝2（m﹣2﹣m2+4m+5）＝﹣2m2+10m+6＝﹣2（m﹣ ）2+ ， ∵﹣2＜0， ∴当m＝ 时，四边形EDF 周长的最大值是 ； 练24 如图1，抛物线y＝x2﹣（+1）x+与x 轴交于，B 两点（点位于点B 的左侧），与y 轴负半轴 交于点，若B＝4． （1）求抛物线的解析式； （2）如图2，E 是第三象限内抛物线上的动点，过点E 作EF∥交抛物线于点F，过E 作EG⊥x 轴 交于点M，过F 作F⊥x 轴交于点，当四边形EMF 的周长最大值时，求点E 的横坐标； 【解答】解：（1）x2﹣（+1）x+＝0， 则x1+x2＝+1，x1x2＝， 则B＝ ＝（﹣1）2＝16， 解得：＝5 或﹣3， 抛物线与y 轴负半轴交于点，故＝5 舍去，则＝﹣3， 则抛物线的表达式为：y＝x2+2x﹣3…①； （2）由y＝x2+2x﹣3 得：点、B、的坐标分别为：（﹣3，0）、（1，0）、（0，﹣3）， 设点E（m，m2+2m﹣3），＝，故直线的倾斜角为45°，EF∥， 直线的表达式为：y＝﹣x﹣3， 则设直线EF 的表达式为：y＝﹣x+b，将点E 的坐标代入上式并解得： 直线EF 的表达式为：y＝﹣x+（m2+3m﹣3）…②， 联立①②并解得：x＝m 或﹣3﹣m， 故点F（﹣3﹣m，m2+4m），点M、的坐标分别为：（m，﹣m﹣3）、（﹣3﹣m，m+3）， 则EF＝ （xF﹣xE）＝ （﹣2m﹣3）＝M， 四边形EMF 的周长S＝ME+M+EF+F＝﹣2m2﹣（6+4 ）m﹣6 ， ∵﹣2＜0，故S 有最大值，此时m＝﹣ ， 故点E 的横坐标为：﹣ ； 练25 综合与探究 如图，抛物线y＝﹣x2﹣2x+3 与x 轴交于，B 两点（在B 的左侧），与y 轴交于点，点D（m， 0）为线段上一个动点（与点，不重合），过点D 作x 轴的垂线与线段交于点P，与抛物线交于 点Q，连接BP，与y 轴交于点E． （1）求，B，三点的坐标； （2）当点D 是的中点时，求线段PQ 的长； （3）在点D 运动的过程中，探究下列问题：是否存在一点D，使得PQ+ P 取得最大值？若 存在，求此时m 的值；若不存在，请说明理由； 【解答】解：（1）令y＝0，得﹣x2﹣2x+3＝0，解方程得x1＝1，x2＝﹣3， ∴（﹣3，0），B（1，0） 令x＝0，得y＝3 ∴（0，3） （2）当点D 是的中点时，点D（﹣ ，0），Q（ ， ）， ∵直线的解析式为y＝x+3 ∴P（﹣ ， ） ∴PQ＝ （3）①如图，作PF⊥ 设D（m，0），则P（m，m+3），Q （m，﹣m2﹣2m+3） PQ+ P＝（﹣m2﹣2m+3）﹣（m+3）+（﹣m）═﹣（m+2）2+4 ∴当m＝﹣2 时，PQ+ P 有最大值4 题组 3 ：面积的最大值 例3．如图，抛物线y＝x2﹣3x﹣4（＜0）与x 轴交于，B 两点，直线y＝ x+ 经过点，与抛物线 的另一个交点为点，点的横坐标为3，线段PQ 在线段B 上移动，PQ＝1，分别过点P、Q 作x 轴 的垂线，交抛物线于E、F，交直线于D，G． （1）求抛物线的解析式； （2）当四边形DEFG 为平行四边形时，求出此时点P、Q 的坐标； （3）在线段PQ 的移动过程中，以D、E、F、G 为顶点的四边形面积是否有最大值，若有求出 最大值，若没有请说明理由． 【解答】解：（1）∵点的横坐标为3， ∴y＝ ×3+ ＝2， ∴点的坐标为（3，2）， 把点（3，2）代入抛物线，可得2＝9﹣9﹣4， 解得：＝ ， ∴抛物线的解析式为y＝ ； （2）设点P（m，0），Q（m+1，0）， 由题意，点D（m， m+ ）m，E（m， ），G（m+1， m+1），F（m+1， ）， ∵四边形DEFG 为平行四边形， ∴ED＝FG， ∴（ ）﹣（ m+ ）＝（ ）﹣（ m+1 ），即 ＝ ， ∴m＝05， ∴P（05，0）、Q（15，0）； （3）设以D、E、F、G 为顶点的四边形面积为S， 由（2）可得，S＝（ ）×1÷2＝ （﹣m2+m+ ）＝ ， ∴当m＝ 时，S 最大值为 ， ∴以D、E、F、G 为顶点的四边形面积有最大值，最大值为 ． 练31 如图，抛物线y＝x2+bx+2 交x 轴于点（﹣3，0）和点B（1，0），交y 轴于点． （1）求这个抛物线的函数表达式． （2）点D 的坐标为（﹣1，0），点P 为第二象限内抛物线上的一个动点，求四边形DP 面积的 最大值． 【解答】解：（1）抛物线的表达式为：y＝（x+3）（x﹣1）＝（x2+2x﹣3）＝x2+2x﹣3， 即﹣3＝2，解得：＝﹣ ， 故抛物线的表达式为：y＝﹣ x2﹣ x+2， （2）连接P，设点P（x，﹣ x2﹣ x+2）， 则S＝S 四边形DP＝S△P+S△P﹣S△D＝ ××yP+ ××|xP|﹣ ××D ＝ （﹣ x2﹣ x+2） ×2×（﹣x）﹣ ＝﹣x2﹣3x+2， ∵﹣1＜0，故S 有最大值，当x＝﹣ 时，S 的最大值为 ； 练32 如图，对称轴为直线x＝2 的抛物线经过点（﹣1，0），（0，5）两点，与x 轴另一交点为 B，已知M（0，1），E（，0），F（+1，0），点P 是第一象限内的抛物线上的动点． （1）求此抛物线的解析式； （2）当＝1 时，求四边形MEFP 面积的最大值，并求此时点P 的坐标． 【解答】解：（1）∵对称轴为直线x＝2， ∴设抛物线解析式为y＝（x﹣2）2+k． 将（﹣1，0），（0，5）代入得： ， 解得 ， ∴y＝﹣（x﹣2）2+9＝﹣x2+4x+5． （2）当＝1 时，E（1，0），F（2，0），E＝1，F＝2． 设P（x，﹣x2+4x+5）， 如答图2，过点P 作P⊥y 轴于点，则P＝x，＝﹣x2+4x+5， ∴M＝﹣M＝﹣x2+4x+4． S 四边形MEFP＝S 梯形FP﹣S△PM﹣S△ME ＝ （P+F）•﹣ P•M﹣ M•E ＝ （x+2）（﹣x2+4x+5）﹣ x•（﹣x2+4x+4）﹣ ×1×1 ＝﹣x2+ x+ ＝﹣（x﹣ ）2+ ， ∴当x＝ 时，四边形MEFP 的面积有最大值为 ， 把x＝ 时，y＝﹣（ ﹣2）2+9＝ ． 此时点P 坐标为（ ， ）．