17 面积的存在性问题解题策略

面积的存在性问题解题策略 专题攻略 面积的存在性问题常见的题型和解题策略有两类： 第一类，先根据几何法确定存在性，再列方程求解，后检验方程的根． 第二类，先假设关系存在，再列方程，后根据方程的解验证假设是否正确． 例题解析 例❶ 如图1-1，矩形BD 的顶点在y 轴右侧沿抛物线y＝x2 －6x＋10 滑动，在滑动过程中D//x 轴，D＝1，B 在D 的下方． 当点D 在y 轴上时，B 落在x 轴上．当矩形BD 在滑动过程中 被x 轴分成两部分的面积比为1:4 时，求点的坐标． 图1-1 【解析】先求出B＝5，再进行两次转化，然后解方程． 把上下两部分的面积比为1∶4 转化为S 上∶S 全＝1∶5 或S 上∶S 全＝4∶5． 把面积比转化为点的纵坐标为1 或4． 如图1-2， (3, 1)．如图1-3，( , 4)或(3－ , 4)． 图1-2 图1-3 例❷ 如图2-1，二次函数y＝(x＋m)2＋k 的图象与x 轴交于、B 两点，顶点M 的坐标为 (1,－4)，M 与y 轴相交于点，在抛物线上是否还存在点P，使得S△PMB=S△BM，如存在，求出 点P 的坐标． 图2-1 【解析】△BM 是确定的，△PBM 与三角形BM 有公共边BM，根据“同底等高的三角 形面积相等”和“平行线间的距离处处相等”，过点画BM 的平行线与抛物线的交点就是 点P．一目了然，点P 有2 个． 由y＝(x－1)2－4＝(x＋1)(x－3)，得(－1,0)，B(3,0)．由、M，得(0,－2)． 如图2-2，设P(x, x2－2x－3)，由P//BM，得∠PE＝∠BMF．所以 ． 解方程 ，得 ．所以 或 ． 图2-2 例❸ 如图3-1，直线y＝x＋1 与抛物线y＝－x2＋2x＋3 交于、B 两点，点P 是直线B 上 方抛物线上的一点，四边形PQB 是平行四边形，当四边形PQB 的面积最大时，求点P 的 坐标． 图3-1 【解析】△PB 的面积最大时，平行四边形PQB 的面积也最大． 我们介绍三种割补的方法求△PB 的面积：如图3-2，把△PB 分割为两个共底PE 的三角 形，高的和等于、B 两点间的水平距离；如图3-3，用四边形PB 的面积减去△B 的面积；如 图3-4，用直角梯形BM 的面积减去两个直角三角形的面积． 我们借用图3-2 介绍一个典型结论．已知(－1,0)、B(2, 3)，设P(x,－x2＋2x＋3)． S△PB＝S△PE＋S△PBE＝ ＝ ＝ ＝ ． 当 时，△PB 的面积最大． 的几何意义是点E 为B 的中点，这是一个典型结 论．同时我们可以看到，由于xB－x 是定值，因此当PE 最大时，△PB 的面积最大． 图3-2 图3-3 图3-4 例❹ 如图4-1，在平行四边形BD 中，B＝3，B＝5，⊥B，△D 沿方向匀速平移得到 △PM，速度为每秒1 个单位长度；同时点Q 从点出发，沿B 方向匀速移动，速度为每秒1 个单位长度；当△PM 停止运动时，点Q 也停止运动，如图4-2，设移动时间为t 秒（0＜t＜ 4）．是否存在某一时刻t，使S△QM∶S 四边形BQP＝1∶4？若存在，求出t 的值；若不存在，请说 明理由． 图4-1 图4-2 【解析】两步转化，问题就解决了．△QM 与△QP 是同底等高的三角形，△QP 是△B 的 一部分． 因此S△QM∶S 四边形BQP＝1∶4 就转化为S△QP∶S△B＝1∶5，更进一步转化为S△QP＝ ．如图4- 3，解方程 ，得t＝2． 图4-3 例❺ 如图5-1，在平面直角坐标系中，点的坐标为(0, 1)，直线y＝2x－4 与抛物线 相交于点B，与y 轴交于点D．将△BD 沿直线BD 折叠后，点落在点处（如图5- 2），问在抛物线上是否存在点P，使得S△PD＝3S△PB？如果存在，请求出所有满足条件的点 P 的坐标；如果不存在，请说明理由． 图1 图2 【解析】由(0, 1)，B(4, 4)，D(0,－4)，可得B＝D＝5，这里隐含了四边形DB 是菱形． 因此△PD 与△PB 是等底三角形，而且两底D//B． 如果S△PD＝3S△PB，那么点P 到直线D 的距离等于它到直线B 距离的3 倍． 如果过点P 与D 平行的直线与y 轴交于点Q，那么点Q 到直线D 的距离等于它到直线 B 距离的3 倍． 所以QD＝3Q．点Q 的位置有两个，在D 的延长线上或D 上． 如图5-3，过点Q 画D 的平行线，得P ，或 ． 如图5-4，过点Q 画D 的平行线，得P ，或 ． 图5-3 图5-4 例❻ 如图6-1，抛物线 经过点E(6, )，与x 轴正半轴交于点，若点P 为 抛物线上位于第一象限内的一个动点，以P、、、E 为顶点的四边形的面积记作S，则S 取 何值时，相应的点P 有且只有3 个？ 图6-1 【解析】如图6-2，当点P 在直线E 上方的抛物线上，过点P 作E 的平行线，当这条 直线与抛物线相切时，△PE 的面积最大．这时我们可以在直线E 的上方画一条与E 平行的 直线，这条直线与抛物线有2 个交点P′和P′′，满足S△PE＝S△P′E＝S△P′′E． 设过点P 与直线E 平行的直线为 ，联立 ，消去y，整理， 得x2－16x＋8m＝0．由Δ＝0，解得m＝8． 因此方程x2－16x＋64＝0 的根为x1＝x2＝8．所以P(8, 2)． 如图6-3，作P⊥x 轴于，可以求得S＝S 四边形PE＝9＋5＋2＝16． 图6-2 图6-3 例❼ 如图7-1，点P 是第二象限内抛物线 上的一个动点，点D、E 的坐标 分别为(0, 6)、(－4, 0)．若将“使△PDE 的面积为整数” 的点P 记作“好点”，请写出所有 “好点”的个数． 图7-1 【解析】第一步，求△PDE 的面积S 关于点P 的横坐标x 的函数关系式；第二步，分析 S 关于x 的函数关系式． 如图7-2，S△PDE＝S△PD＋S△PE－S△DE＝ ． 因此S 是x 的二次函数，对称轴为直线x＝－6，S 的最大值为13． 如图7-3，当－8≤x≤0 时，4≤S≤13．所以面积的值为整数的个数为10． 当S＝12 时，对应的x 有两个解－8, －4，都在－8≤x≤0 范围内． 所以“使△PDE 的面积为整数” 的 “好点”P 共有11 个． 图7-2 图7-3 例❽ 如图8-1，在平面直角坐标系中，已知点的坐标为(, 3)（其中＞4），射线与反比 例函数 的图象交于点P，点B、分别在函数 的图象上，且B//x 轴，//y 轴．试说明 的 值是否随的变化而变化？ 图8-1 【解析】如图8-2，我们在“大环境”中认识这个问题，关系清清楚楚． 由于S1＝S2，所以S△B＝S△．所以B、到的距离 相等．于是△BP 与△P 就是同底等高的三角形，它们的面积比为1． 图8-2 例❾ 如图9-1，已知扇形B 的半径为2，圆心角∠B＝90°，点是弧B 上的一个动点， D⊥于D，E⊥B 于E，求四边形DE 的面积的最大值． 图9-1 【解析】如图9-2，图9-3，设矩形DE 的对角线交于点F，那么F＝1 为定值． 作⊥DE 于，那么≤F．因为DE＝2 为定值，因此当与F 相等时（如图9-4），△DE 的 面积最大，最大值为1．所以矩形DE 的面积的最大值为2． 图9-2 图9-3 图9-4 例❿ 如图10-1，在△B 中，∠＝90°，＝6，B＝8，设直线l 与斜边B 交于点E，与直角 边交于点F，设E＝x，是否存在直线l 同时平分△B 的周长和面积？若存在直线l，求出x 的 值；若不存在直线l，请说明理由． 图10-1 【解析】先假设存在，再列方程，如果方程有解那么真的存在． △B 的周长为24，面积为24． ①如图10-2，点F 在上，假设直线EF 同时平分△B 的周长和面积，那么E＝x，F＝12 －x， ． 解方程 ，得 ． 当 ， ，此时点F 不在上．所以取 （如图10- 3）． ②如图10-4，点F 在B 上，假设直线EF 同时平分△B 的周长和面积，那么E＝x，BE ＝10－x，BF＝12－(10－x)＝2＋x， ． 方程 整理，得 ．此方程无实数根． 图10-2 图10-3 图10-4