100 面积比例问题

面积比例问题 一、方法突破 除了三角形、四边形面积计算之外，面积比例也是中考题中常见的条件或结论，对面积比 例的分析，往往比求面积要复杂得多，这也算是面积问题中最难的一类． 大部分题目的处理方法可以总结为两种：（1）计算；（2）转化． 策略一：运用比例计算类 策略二：转化面积比 如图，B、D、三点共线，考虑△BD 和△D 面积之比． D C B A 转化为底： 共高，面积之比化为底边之比：则 ． H A B C D 更一般地，对于共边的两三角形△BD 和△D，连接B，与D 交于点E，则 ． M N E D C B A 策略三：进阶版转化 在有些问题中，高或底边并不容易表示，所以还需在此基础上进一步转化为其他线段比值 比如常见有：“”字型线段比、“8”字型线段比． “”字型线段比： ． M D C B A “8”字型线段比： ． M D C B A 转化为垂线： 共底，面积之比化为高之比： ． M N A B C D 面积能算那就算，算不出来就转换； 底边不行就作高，还有垂线和平行． 二、典例精析 例一：已知，如图，抛物线 的顶点为 ，经过抛物线上的两点 和 的直线交抛物线的对称轴于点 ． （1）求抛物线的解析式和直线 的解析式． （2）在抛物线上 、 两点之间的部分（不包含 、 两点），是否存在点 ，使得 ？若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由． A B O x y M C 【分析】 （1）设顶点式，代入点坐标，可得解析式为： ． 当x=3 时，y=5，故点B 坐标为（3,5），∴直线B 的解析式为：y=2x-1． （2）铅垂法表示△D 的面积： 设点D 坐标为 ，过点D 作DP⊥x 轴交B 于P 点， 则P 点坐标为 ，线段DP=-m²+9， ， 面积公式表示△MD 的面积： 过点D 作DQ⊥M 交M 于点Q，则DQ=1-m， ， 解得：m=5 或-1．考虑D 点在、M 之间的抛物线上，故m=-1． D 点坐标为（-1,5）． 例二：如图抛物线经 过点 ，点 ，且 ． （1）求抛物线的解析式及其对称轴； （2）点 为抛物线上一点，连接 ，直线 把四边形 的面积分为 两部分，求 点 的坐标． A B C O P x y 【分析】 （1）解析式为 ，对称轴为直线x=1． （2）连接P，可将四边形BP 分为△P 和△BP． 即 或 ． 考虑△P 和△BP 共底边P，记P 与x 轴交于点M，则 M A B C O P x y ①M：BM=5：3，点M 坐标为 ， 根据、M 坐标求解直线M 解析式： ， 联立方程： ，解得： （舍）， ． 故P 点坐标为（4，-5）． ②M：BM=3：5，点M 坐标为 ， 根据、M 坐标求解直线M 解析式为： ， 联立方程： ，解得： （舍）， ． 故P 点坐标为（8，-45）． Q P D A B O x y M C 例三：如图，抛物线 与 轴交于点 和点 （点 在原点的左侧，点 在原点的右侧），与 轴交于点 ， ． （1）求该抛物线的函数解析式． （2）如图，连接 ，点 是直线 上方抛物线上的点，连接 ， ． 交 于 点 ，当 时，求点 的坐标． F y x O D C B A 【分析】 （1）解析式： （2）显然△F 和△DF 共高，可将面积之比化为底边之比． ， 思路1：转化底边之比为“”字型线段比 在y 轴上取点E（0，5），（为何是这个点？因此此时：E=3：2） 过点E 作B 的平行线交x 轴于G 点， G D2 E A B C D1 O x y F EG 与抛物线交点即为所求D 点， 根据平行线分线段成比例，F：FD=：E=3：2． 直线EG 解析式为：y=-x+5， 与抛物线联立方程，得： ， 解得： ， ． 故D 点坐标为（1，4）或（2，3）． 思路2：转化底边之比为“8”字型线段比 G A B C D O x y F 过点D 作DG∥y 轴交B 边于点G，则 ，又=3，故点G 满足DG=2 即可．这个问 题设D 点坐标即可求解． 也可以构造水平“8”字，过点D 作DG∥x 轴交B 于点G，则 ，又B=3，∴DG=2 即可．但此处问题在于水平线段不如竖直线段易求，方法可行但不建议． G F y x O D C B A 其实本题分析点的位置也能解： 思路3：设点D 坐标为 ， 根据F：DF=3：2，可得F 点坐标为 ， 点F 在直线B 上，将点坐标代入直线B 解析式：y=-x+3， ， 解得 ， ， 故D 点坐标为（1，4）或（2，3）． 这个计算的方法要求能理解比例与点坐标之间的关系，即由D 点坐标如何得到F 点坐标． 三、中考真题对决 1．（2021•百色）已知 为坐标原点，直线 与 轴、 轴分别交于 、 两 点，点 关于直线的对称点是点 ，连接 交 轴于点 ． （1）求证： ； （2）求经过 、 、 三点的抛物线的函数表达式； （3）当 时，抛物线上是否存在点 ，使 ？若存在，求点 的坐标；若 不存在，说明理由． 解：（1）证明： 与 轴、 轴分别交于 、 两点， ， ， 由对称得 ， ， 四边形 是矩形， ， ， ， ； （2）解：设 ，由对称可得 ， ， ， ， 在 中， ， ， ， ， ， 设经过 、 、 三点的抛物线的函数表达式为： ， 把 ， ， ， 代入得： ， 解得： ． 经过 ， ， 三点的抛物线的函数表达式为： ； （3）解：存在， 过点 作 轴于 ， ， ， ， ， 设 中 边上的高为 ， ， ， ， ， ， ， 点 的纵坐标为0 或4， ① 时， ， 解得： ， ； ② 时， ， 解得： ， （舍去）， 存在，点 的坐标为 ， 或 ， 或 ， ． 2．（2021•牡丹江）抛物线 经过点 和点 ． （1）求此抛物线所对应的函数解析式，并直接写出顶点 的坐标； （2）若过顶点 的直线将 的面积分为 两部分，并与 轴交于点 ，则点 的坐 标为 ． 注：抛物线 的顶点坐标 解：（1）把点 和点 代入 得： ， 解得： ， ， ， 顶点 ． （2）取线段 的三等分点 、 ，连接 、 交 轴于点 、 ，则： ， ， 点 ，点 ， ， ， 轴于点 ， ， 设直线 的解析式为： ， 把点 ， 代入，得： ， 解得： ， 直线 的表达式为： ， 当 时， ， ， ． 故答为： ， ， ． 3．（2021•徐州）如图，点 、 在 的图象上．已知 、 的横坐标分别为 、 4，直线 与 轴交于点 ，连接 、 ． （1）求直线 的函数表达式； （2）求 的面积； （3）若函数 的图象上存在点 ，使 的面积等于 的面积的一半，则这 样的点 共有 个． 解：（1） 点 、 在 的图象上， 、 的横坐标分别为 、4， ， ， 设直线 的解析式为 ， ，解得 ， 直线 为 ； （2）在 中，令 ，则 ， 的坐标为 ， ， ． （3）过 的中点，作 的平行线交抛物线两个交点 、 ，此时△ 的面积和△ 的面积等于 的面积的一半， 作直线 关于直线 的对称直线，交抛物线两个交点 、 ，此时△ 的面积和△ 的面积等于 的面积的一半， 所以这样的点 共有4 个， 故答为4． 4．（2021•黑龙江）已知抛物线 经过点 和点 ，与 轴交于点 ， 为第二象限内抛物线上一点． （1）求抛物线的解析式，并写出顶点坐标； （2）如图，连接 ， ， ， ． 交 于点 ，当 时，求 出点 的坐标． 解：（1）将点 和点 代入函数解析式， 可得 ， 解得： ， ， 又 ， 抛物线的顶点坐标为 ； （2）如图，过点 作 轴， 由 ，当 时， ， 点坐标为 ， 设直线 的解析式为 ，将 ， 代入， 可得： ， 解得： ， 直线 的解析式为 ， ， ， ， 又 轴， ， ， ， 解得： ， 在 中，当 时， ， 点坐标为 ． 5．（2021•贵港）如图，已知抛物线 与 轴相交于 ， 两点，与 轴相交于点 ，对称轴是直线 ，连接 ． （1）求该抛物线的表达式； （2）若过点 的直线与抛物线相交于另一点 ，当 时，求直线的表达 式； （3）在（2）的条件下，当点 在 轴下方时，连接 ，此时在 轴左侧的抛物线上存 在点 ，使 ．请直接写出所有符合条件的点 的坐标． 解：（1） 抛物线的对称轴为 ， ， ， 点 的坐标为 ， ， 抛物线的解析式为 ， 点 在抛物线上， ， ， ， 抛物线的解析式为 ； （2）Ⅰ、当点 在 轴上方时，如图1， 记 与 的交点为点 ， ， ， 直线 垂直平分 ， 点 在直线 上， 点 ， ， 直线 的解析式为 ， 当 时， ， 点 ， 点 点 关于 对称， ， 直线 的解析式为 ， 即直线的解析式为 ； Ⅱ、当点 在 轴下方时，如图2， ， ， 由Ⅰ知，直线 的解析式为 ， 直线 的解析式为 ， 即直线的解析式为 ； 综上，直线的解析式为 或 ； （3）由（2）知，直线 的解析式为 ①， 抛物线的解析式为 ②， 或 ， ， ， ， ， 点 在 轴左侧的抛物线上， 设 ， ， 过 作 轴的平行线交直线 于 ， ， ， ， 或 （舍或 或 ， 或 或 ．