模型43 几何中等分面积问题（解析版）

线段分三角形面积问题 当三角形具有公共顶点，并且底边共线时，三角形面积比等于底边边长比 如图 当S△BD∶S△D＝m∶时，则＝ 【例1】．如图，△B 三边的中线D，BE，F 的公共点为G，且G：GD＝2：1，若S△B＝ 12，则图中阴影部分的面积是 4 ． 解：∵△B 的三条中线D、BE，F 交于点G，G：GD＝2：1， ∴E＝E， ∴S△ GE＝S△GE＝ S△F，S△BGF＝S△BGD＝ S△BF， ∵S△ F＝S△BF＝ S△B＝ ×12＝6， ∴S△GE＝ S△F＝ ×6＝2，S△BGF＝ S△BF＝ ×6＝2， 模型介绍 例题精讲 ∴S 阴影＝S△GE+S△BGF＝4． 故答为：4． 变式训练 【变式1-1】．如图，在△B 中，点D、E、F 分别是B、D、E 的中点，且S△B＝8m2，则 S△BEF的面积是（ ） ．4m2 B．3m2 ．2m2 D．1m2 解：∵D 是B 的中点， ∴S△BD＝S△D＝ S△B， ∵E 是D 的中点， ∴S△BE＝S△BDE＝ S△BD，S△E＝S△DE＝ S△D， ∵F 是E 的中点， ∴S△BEF＝S△BF＝ S△BE， ∵S△B＝8m2， ∴S△BE＝4m2， ∴S△BF＝2m2， 故选：． 【变式1-2】．如图，在直角坐标系中，平行四边形B 的顶点坐标B（17，6），（5， 6），直线y＝ x+b 恰好将平行四边形B 的面积分成相等的两部分，那么b＝ ﹣ ． 解：连接、B，交于D． ∵平行四边形B， ∴B∥，DB＝D，D＝D， ∴∠MD＝∠D，∠MD＝∠D， ∴△MD≌△D， 同理△BMD≌△D， ∴过D 的任意直线都能把平行四边形的面积分成面积相等的两部分． 过D 作DF⊥x 轴于F，过B 作BE⊥x 轴于E． ∵平行四边形B，B（17，6），（5，6）， ∴D＝BD，DF∥BE， ∴F＝EF， ∴DF＝3，F＝ ×17＝85， ∴D（85，3）， 代入y＝ x+b 得：3＝ ×85+b， ∴b＝﹣ ， 故答为：﹣ ． 【例2】．如图，在平面直角坐标系xy 中，长方形B 的顶点B 的坐标为（6，4），直线y ＝﹣x+b 恰好将长方形B 分成面积相等的两部分，那么b＝ 5 ． 解：∵直线y＝﹣x+b 恰好将长方形B 分成面积相等的两部分 ∴直线y＝﹣x+b 要经过矩形的中心 ∵矩形的中心为（3，2） ∴把点（3，2）代入y＝﹣x+b，解得：b＝5． 变式训练 【变式2-1】．如图，在菱形BD 中，B＝6，∠B＝60°，点E 在边D 上，且E＝2．若直线l 经过点E，将该菱形的面积平分，并与菱形的另一边交于点F，则线段EF 的长为 2 ． 解：如图，过点和点E 作G⊥B，E⊥B 于点G 和， 得矩形GE， ∴G＝E＝2， ∵在菱形BD 中，B＝6，∠B＝60°， ∴BG＝3，G＝3 ＝E， ∴＝B﹣BG﹣G＝6 3 2 ﹣﹣＝1， ∵EF 平分菱形面积，EF 经过菱形对角线交点， ∴F＝E＝2， ∴F＝F﹣＝2 1 ﹣＝1， 在Rt△EF 中，根据勾股定理，得 EF＝ ＝ ＝2 ． 故答为：2 ． 【变式2-2】．如图，△B 的面积为1，D、E 分别为B、的中点，F、G 是B 边上的三等分 点．那么△DEF 的面积是多少？△DE 的面积是多少？ 解：①如图，过点作Q⊥B 于Q，过点D 作DM⊥B 于M， ∵D 是B 的中点，DM∥Q， ∴M 是BQ 的中点， ∴DM＝ Q， ∴三角形B 的面积是＝ B×Q＝1， ∴B×Q＝2， ∵D、E 分别为B、的中点， ∴DE＝ B， ∴三角形DEF 的面积为＝ DE×DM＝ × ×B× ×Q＝ ； ②∵DE＝ ，FG＝ ， ∴ ＝ ， ∴三角形DE 面积＝三角形DEF 面积× ＝ ． 【变式2-3】．如图，在平面直角坐标系xy 中，多边形BDE 的顶点坐标分别是 （0，0），（0，6），B（4，6），（4，4），D（6，4），E（6，0）． 若直线l 经过点M（2，3），且将多边形BDE 分割成面积相等的两部分，求直线l 的函 数表达式． 解：如图，延长B 交x 轴于点F，连接B，F，DF，E，DF 和E 相交于点， ∵（0，0），（0，6），B（4，6），（4，4），D（6，4），E（6，0）． ∴四边形BF 为矩形，四边形DEF 为矩形， ∴点M（2，3）是矩形BF 对角线的交点，即点M 为矩形BF 的中心， ∴直线l 把矩形BF 分成面积相等的两部分 又∵点（5，2）是矩形DEF 的中心， ∴过点（5，2）的直线把矩形DEF 分成面积相等的两部分． ∴直线M 即为所求的直线L， 设直线l 的解析式为y＝kx+b， 则2k+b＝3，5k+b＝2， 解得k＝ ，b＝ ， 因此所求直线l 的函数表达式是：y＝﹣ x+ ． 1．如图，长方形BD 的面积为36m2，E，F，G 分别为B，B，D 的中点，为D 上任一点， 则图中阴影部分的面积为（ ） ．18m2 B．16m2 ．20m2 D．24m2 解：设长方形BD 中，D＝，B＝b， 则E＝ b＝G，BF＝ ， ∴S 阴＝S 长方形BD﹣S△E﹣S△F﹣S△G， ＝36﹣ E•﹣ F•B﹣ D•G， ＝36﹣ D•E﹣ F•B， ＝36﹣ b， ＝18m2． 故选：． 2．已知梯形BD 的四个顶点的坐标分别为（﹣1，0），B（5，0），（2，2），D（0， 2），直线y＝kx+2 将梯形分成面积相等的两部分，则k 的值为（ ） ． B． ． D． 解：∵梯形BD 的四个顶点的坐标分别为（﹣1，0），B（5，0），（2，2），D（0， 2）， ∴梯形的面积为： ＝8， ∵直线y＝kx+2 将梯形分成面积相等的两部分， ∴直线y＝kx+2 与D、B 围成的三角形的面积为4， 设直线与x 轴交于点（x，0）， ∴ （x+1）×2＝4， ∴x＝3， ∴直线y＝kx+2 与x 轴的交点为（3，0） 0 ∴＝3k+2 解得k＝﹣ 故选：． 3．如图，在△B 中，∠B＝90°，D 是高，BE 是中线，F 是角平分线，F 交D 于点G，交BE 于点． ①△BE 的面积＝△BE 的面积；②F＝FB； ③∠FG＝2∠F．以上说法正确的是（ ） ．①③ B．①② ．②③ D．①②③ 解：∵E 是的中点， ∴E＝E， ∴△BE 的面积＝△BE 的面积， 故①符合题意； 若F＝FB，则F 是B 的中点， ∵F 是∠B 的平分线， ∴B＝与B＞矛盾， 故②不符合题意； ∵∠B＝90°， ∴∠FG+∠D＝90°， ∵D⊥B， ∴∠D+∠B＝90°， ∴∠FG＝∠D， ∵F 平分∠B， ∴∠D＝2∠DF， ∴∠FG＝2∠F， 故③符合题意； 故选：． 4．如图，在△B 中，已知点D、E、F 分别为B、D、E 的中点，若阴影部分的面积为4，则 △B 的面积为 16 ． 解：∵点E 是D 的中点， ∴S△BE＝ S△BD，S△E＝ S△D， ∴S△BE+S△E＝ S△B， ∴S△BE＝ S△B， ∵点F 是E 的中点， ∴S△BEF＝ S△BE， ∴S△B＝4S△BEF＝4×4＝16． 故答为：16． 5．如图，已知在平面直角坐标系中，平行四边形BD 顶点（0，0），（10，4），直线y＝ x 2 1 ﹣﹣将平行四边形BD 分成面积相等的两部分，求的值． 解：连接、BD，与BD 相交于点M，过点M 作ME⊥x 轴于点E，过点作F⊥x 轴于点 F， ∵（10，4）， ∴F＝10，F＝4，…（2 分） ∵四边形BD 为平行四边形， ∴M＝M，即 ＝ ， ∵ME⊥x 轴，F⊥x 轴， ∴∠ME＝∠F＝90°， ∴ME∥F， ∴∠ME＝∠F，∠EM＝∠F， ∴△ME∽△F， ∴ ＝ ＝ ，即E 为F 的中点， ∴ME 为△F 的中位线，…（4 分） ∴E＝ F＝5，ME＝ F＝2， ∴M（5，2），…（6 分） ∵直线y＝x 2 1 ﹣﹣将平行四边形BD 分成面积相等的两部分， ∴直线y＝x 2 1 ﹣﹣经过点M，…（8 分） 将M（5，2）代入y＝x 2 1 ﹣﹣得：＝1．…（9 分） 6．如图，在平面直角坐标系中，四边形B 是正方形，点B 的坐标为（4，4），直线y＝mx 2 ﹣恰好把正方形B 的面积分成相等的两部分，则m＝ 2 ． 解：∵直线y＝mx 2 ﹣恰好把正方形B 的面积分成相等的两部分 ∴直线必经过正方形的中心 ∵点B 的坐标为（4，4） ∴中心为（2，2），代入直线中得：2＝2m 2 ﹣，m＝2 7．已知平面上四点（0，0），B（10，0），（14，6），D（4，6），若直线y＝mx 3 ﹣m 1 ﹣将四边形BD 分成面积相等的两部分，则m 的值为 1 ． 解：∵点（0，0），B（10，0），（14，6），D（4，6）， ∴四边形BD 为平行四边形， ∵直线y＝mx 3 ﹣m 1 ﹣四边形BD 分成面积相等的两部分， ∴直线y＝mx 3 ﹣m 1 ﹣过矩形的对角线的交点， 而平行四边形的对角线的交点坐标为（7，3）， 7 ∴m 3 ﹣m 1 ﹣＝3， ∴m＝1． 故答为：1． 8．在△B 中，B＝5，＝12，B＝13，在B、上分别取点D、E，使线段DE 将△B 分成面积相 等的两部分，则这样线段的最小值是 2 ． 解：∵B2+2＝B2， ∴△B 为直角三角形， 过D 作DF⊥于F，设DF＝x，则 ＝ ， ∴F＝ x， ∵S△DE＝ x•E＝ S△B＝15， ∴E＝ ，EF＝ ﹣ x， ∴DE2＝DF2+EF2＝x2+（ ﹣ x）2＝ x2+ 144 ﹣ ＝（ x﹣ ）2+12≥12， 故可得DE2最小值是12， ∴DE 最小值为2 ． 故答为：2 ． 9．如图，在直角坐标系中，矩形B 的顶点B 的坐标为（15，6），直线 恰好将矩 形B 分成面积相等的两部分，那么b＝ ． 解：由B 的坐标（15，6），得到矩形中心的坐标为（75，3）， 直线y＝ x+b 恰好将矩形B 分成面积相等的两部分， 将（75，3）代入直线y＝ x+b 得： 3＝ ×75+b， 解得：b＝ ． 故答为： ． 10．如图，△B 中，D 是中线，延长D 到E，使DE＝D，DF 是△DE 的中线．已知△B 的面 积为2，求：△DF 的面积． 解：∵D 是△B 的中线， ∴S△D＝ S△B＝ ×2＝1， ∵D 是△E 的中线， ∴S△DE＝S△D＝1， ∵DF 是△DE 的中线，∴S△DF＝ S△DE＝ ×1＝ ． ∴△DF 的面积为 ． 11．正方形BD 的边长为4，将此正方形置于平面直角坐标系中，使B 边落在X 轴的正半轴 上，且点的坐标是（1，0）． （1）直线y＝ x 经过点，且与x 轴交于点E，求四边形ED 的面积； （2）若直线l 经过点E，且将正方形BD 分成面积相等的两部分，求直线l 的解析式； （3）若直线l1经过点F（﹣ ，0），且与直线y＝3x 平行，将（2）中直线l 沿着y 轴 向上平移 个单位交轴x 于点M，交直线l1于点，求△MF 的面积． 解：（1）在y＝ x 中， 令y＝4，即 x ＝4， 解得：x＝5，则B 的坐标是（5，0）； 令y＝0，即 x ＝0， 解得：x＝2，则E 的坐标是（2，0）． 则B＝5，E＝2，BE＝B﹣＝5 2 ﹣＝3， ∴E＝B﹣BE＝4 3 ﹣＝1， S 四边形ED＝ （E+D）•D＝ （4+1）×4＝10； （2）经过点E 且将正方形BD 分成面积相等的两部分，则直线与D 的交点F，必有F＝ E＝1，则F 的坐标是（4，4）． 设直线的解析式是y＝kx+b，则 ， 解得： ． 则直线l 的解析式是：y＝2x 4 ﹣； （3）∵直线l1经过点F（﹣ ，0）且与直线y＝3x 平行， 设直线l1的解析式是y1＝kx+b， 则：k＝3， 代入得：0＝3×（﹣ ）+b， 解得：b＝ ， ∴y1＝3x+ ， 已知将（2）中直线l 沿着y 轴向上平移 个单位，则所得的直线的解析式是y＝2x 4+ ﹣ ， 即：y＝2x 3 ﹣ ， 当y＝0 时，x＝ ， ∴M（ ，0）， 解方程组 得： ， 即：（﹣7 ，﹣19）， S△MF＝ ×[ ﹣（﹣ ）]×| 19| ﹣ ＝ ． 答：△MF 的面积是 ． 12．如图，直线y＝2x+4 与x 轴、y 轴分别交于、B 两点，把△B 绕点顺时针旋转90°得到 △D． （1）求经过、B、D 三点的抛物线的解析式； （2）在所求的抛物线上是否存在一点P，使直线P 把△D 分成面积相等的两部分？如果 存在，求出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由． 解：（1）在y＝2x+4 中，分别令y＝0 和x＝0 来得到：（﹣2，0）、B（0，4）、 D 点是因为旋转，D＝B，所以，D 点（4，0）； 点也是因为旋转，＝，所以，点（0，2）； 设经过、B、D 的抛物线解析式为y＝x2+bx+， 则有：4 2 ﹣b+＝0①，＝4②，16+4b+＝0③（3 分） 解①②③得： ，b＝1，＝4， ∴抛物线的解析式为： ．（4 分） （2）若存在点P 满足条件，则直线P 必经过D 的中点E（2，0）；（5 分） 易知经过、E 的直线为y＝﹣x+2，（6 分） 于是可设点P 的坐标为P（m，﹣m+2）； 将P（m，﹣m+2）代入 得： ，（7 分） 整理，得：m2 4 ﹣m 4 ﹣＝0， 解得： ， ； 所以满足条件的点P 有两个：P1（2+2 ，﹣2 ）， ．（9 分） 13．已知菱形B 在坐标系中的位置如图所示，是坐标原点，点（1，2），点在x 轴上．点 M（0，2）． （1）点P 是直线B 上的动点，求PM+P 最小值． （2）将直线y＝﹣x 1 ﹣向上平移，得到直线y＝kx+b． ①当直线y＝kx+b 与线段有公共点时，结合图象，直接写出b 的取值范围． ②当直线y＝kx+b 将四边形B 分成面积相等的两部分时，求k，b． 解：（1）由已知，＝＝ ，连接、M，如图1 所示． ∵四边形B 是菱形， ∴P＝P， ∴P+PM＝PM+P≤M， 即P+PM≤ ＝ ＝3． （2）∵y＝kx+b 为y＝﹣x 1 ﹣平移得来的， ∴k＝﹣1． ①依照题意画出图形，如图2 所示． 结合函数图象可知，当点在直线y＝﹣x+b 上时，b 最小，此时b＝0； 当点在直线y＝﹣x+b 上时，b 值最大， ∵点（1，2）， 2 ∴＝﹣1+b，解得：b＝3． 故0≤b≤3． ②连接、B，设与B 的交点为D，当直线y＝﹣x+b 过点D 时，直线y＝﹣x+b 将四边形 B 分成面积相等的两部分，如图3 所示． ∵＝＝ ， ∴点（ ，0）． ∵四边形B 为菱形，（1，2），（ ，0）， ∴点D（ ，1）． ∵直线y＝﹣x+b 过点D， 1 ∴＝﹣ +b，解得：b＝ ． ∴当直线y＝kx+b 将四边形B 分成面积相等的两部分时，k＝﹣1，b＝ ． 14．已知，y＝x2+bx 3 ﹣过（2，﹣3），与x 轴交于（﹣1，0），B（x2，0），交y 轴于． （1）求抛物线的解析式； （2）过点作D∥x 轴，交抛物线于D，是否存在直线y＝kx+1 将四边形DB 分成面积相等 的两部分，若存在，请求k 的值；若不存在，请说明理由； （3）若直线y＝m（﹣3＜m＜0）与线段、B 分别交于D、E 两点，则在x 轴上是否存在 点P，使得△DPE 为等腰直角三角形，若存在，请求P 点的坐标；若不存在，请说明理 由． 解：（1）∵y＝x2+bx 3 ﹣过（2，﹣3），（﹣1，0）， ∴ ， 解得＝1，b＝﹣2， 所以抛物线的解析式为：y＝x2 2 ﹣x 3 ﹣； （2）设直线y＝kx+1 与x 轴交于点E，于D 交于点F， （﹣1，0），B（3，0）， E（ ），F（ ）； S 四边形FE＝ （F+E）•＝ （1 ）； S 四边形EFDB＝ （DF+BE）•＝ （5 ）； 即（1 ）＝（5 ），k＝ ． （3）存在点P．直线y＝m 与y 轴交点为F（0，m）， ①当DE 为腰时，分别过D、E 作DP1⊥x 轴于P1， 作EP2⊥x 轴于P2；如图， 则△DP1E 和△DEP2均为等腰直角三角形， 又DP1＝DE＝EP2＝F＝﹣m，又B＝xB﹣x＝3+1＝4， 又△ED∽△B，即 ， 即m＝ ；P1（ ，0），P2（ ，0）； ②当DE 为底时，过P3作GP3⊥DE 于G，如图， 又DG＝GE＝GP3＝F＝﹣m，由△ED∽△B， ， 即m＝ ；P3（ ，0） 综上所述，P1（ ，0），P2（ ，0），P3（ ，0）． 15．如图，在Rt△B 中，∠＝90°，B＝50，＝30，矩形DEFG 的顶点G 与△B 的顶点重合， 边GD、GF 分别与，B 重合．GD＝12，GF＝16，矩形DEFG 沿射线B 的方向以每秒4 个单位长的速度匀速运动，点Q 从点B 出发沿B 方向以每秒5 个单位长的速度匀速运动， 过点Q 作射线QK⊥B，交折线B﹣于点，矩形DEFG、点Q 同时出发，当点Q 到达点时 停止运动，矩形DEFG 也随之停止运动．设矩形DEFG、点Q 运动的时间是t 秒（t＞ 0）． （1）求线段DF 的长； （2）求运动过程中，矩形DEFG 与Rt△B 重叠部分的面积s 与t 的函数关系式（写出自 变量的取值范围）； （3）射线QK 能否把矩形DEFG 分成面积相等的两部分？若能，求出t 值；若不能，说 明理由； （4）连接D，当D∥B 时，请直接写出t 值． 解：（1）如图1：连接DF，在Rt△DF 中，D＝12，F＝16， 根据勾股定理： DF＝ ＝20； （2）∵在Rt△B 中，∠＝90°，B＝50，＝30， ∴B＝ ＝40， 根据题意得：当t＝ ＝10 时，停止运动； 如图2：当点E 在B 上时， ∵∠＝90°，∠EFG＝90°， ∴EF∥， ∴△BEF∽△B， ∴EF：＝BF：B， 12 ∴ ：30＝BF：40， ∴BF＝16， ∴G＝B﹣BF﹣GF＝40 16 16 ﹣ ﹣ ＝8， 此时，t＝8÷4＝2； 如图3：当F 与B 重合时， G＝B﹣BG＝40 16 ﹣ ＝24， 此时，t＝24÷4＝6， t ∵∠B＝ ＝ ，t∠GBD＝ ＝ ， ∴此时，点D 在直线B 上； ①当0＜t≤2 时，s＝S 矩形DEFG＝12×16＝192， ②如图4：当2＜t≤6 时，设矩形DEFG 的边EF 交B 于点M，边DE 交B 于点 ∵BF＝24 4 ﹣t tB＝ ∴MF＝ （24 4 ﹣t）＝18 3 ﹣t， ∴EM＝EF﹣FM＝12﹣（18 3 ﹣t）＝3t 6 ﹣， ∴E＝ EM＝4t 8 ﹣， ∴s＝S 矩形DEFG﹣S△EM＝192﹣ EM•E＝192