109 面积法

面积法 【规律总结】 所谓面积法，就是利用面积相等或者成比例，来证明其他的线段相等或为成比例线段 的方法。 相关定理 (1)等底等高的两个三角形面积相等； (2)等底（或等高）的两三角形面积之比等于其高（或底）之比； (3)在两个三角形中，若两边对应相等，其夹角互补，则这两个三角形面积相等； (4)若在同一线段的同侧有底边相等面积相等的两个三角形，则连结两个三角形的顶点 的直线与底边平行。 【典例分析】 例1、如图，四边形BD 是菱形，对角线，BD 相交于点， DE⊥AB于点E，若AC=8cm，BD=6cm，则DE=() 5 ❑ √3cm B 2❑ √5cm 24 5 cm D 48 5 m 【答】 【解析】 【分析】 本题考查了菱形的性质以及勾股定理的应用．注意菱形的面积等于对角线积的一半或底乘 以高．首先利用勾股定理求得菱形的边长，然后由菱形的两个面积计算渠道求得边B 上的 高DE 的长即可． 【解答】 解：∵四边形BD 是菱形，AC=8cm，BD=6cm， ∴S 菱形ABCD=1 2 AC ⋅BD=1 2 ×6×8=24， ∵四边形BD 是菱形， ∴AC ⊥BD，OA=OC=1 2 AC=4 cm，OB=OD=3cm， ∴在直角三角形B 中，AB= ❑ √O B 2+O A 2= ❑ √3 2+4 2=5cm， ， 故选． 例2、如图所示，菱形BD 的对角线、BD 相交于点O.若 AC=6，BD=8，AE⊥BC，垂足为E，则E 的长为____ __． 【答】24 5 【解析】 【分析】 本题考查菱形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用面积法求线段的长，属于 中考常考题型． 利用菱形的面积公式：1 2 ⋅AC ⋅BD=BC ⋅AE，即可解决问题； 【解答】 解：∵四边形BD 是菱形， ∴AC ⊥BD，OA=OC=3，OB=OD=4， ∴由勾股定理得：AB=BC=5， ∵1 2 ⋅AC ⋅BD=BC ⋅AE， ∴AE=24 5 ， 故答为：24 5 ． 例3、如图，在△ABC中，∠A=90°，D 是B 边上一点， △DCB为等腰三角形，过B 上一点P，作PE⊥AB，垂足为 点E，作PF ⊥CD，垂足为点F，已知AD︰DB=1︰3，BC=6 ❑ √6，求PE+PF的长． 【答】解：∵△DCB为等腰三角形，PE⊥AB，PF ⊥CD，AC ⊥BD， ∴S△BCD=1 2 BD⋅PE+ 1 2 CD⋅PF=1 2 BD⋅AC， ∴PE+PF=AC， 设AD=x' BD=CD=3 x，AB=4 x' ∵A C 2=C D 2−A D 2=(3 x) 2−x 2=8 x 2， ∵A C 2=BC 2−A B 2=(6 ❑ √6) 2−(4 x) 2， ∴x=3， ∴AC=2❑ √2 x=6 ❑ √2， ∴PE+PF=6 ❑ √2． 【解析】本题主要考查了面积法和勾股定理，把求两条边的长的和转变为求直角三角形的 边是解答本题的关键． 根据三角形的面积判断出PE+PF的长等于的长，这样就变成了求的长；在Rt △ACD和 Rt △ABC中，利用勾股定理表示出，解方程就可以得到D 的长，再利用勾股定理就可以 求出的长，也就是PE+PF的长． 【好题演练】 一、选择题 1. 如图，Rt △ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，将 边沿E 翻折，使点落在B 上的点D 处；再将边B 沿F 翻折， 使点B 落在D 的延长线上的点B'处，两条折痕与斜边B 分别 交于点E、F，则B' F长为() ❑ √3 2 B 1 3 5 D 4 5 【答】D 【解析】 【分析】 本题主要考查了翻折变换，等腰三角形的判定和性质，勾股定理的应用等，根据折叠的性 质求得相等的角是本题的关键． 首先根据折叠可得CD=AC=3，B' C=BC=4，∠ACE=∠DCE， ∠BCF=∠B' CF，CE⊥AB，然后求得△ECF是等腰直角三角形，进而求得 ∠B' FD=90°，CE=EF=12 5 ，ED=AE=9 5 ，从而求得B' D=1，DF=3 5，在 Rt △B' DF中，由勾股定理即可求得B' F的长． 【解答】 解：根据折叠的性质可知CD=AC=3，B' C=BC=4，∠ACE=∠DCE， ∠BCF=∠B' CF，CE⊥AB， ∴B' D=4−3=1，∠DCE+∠B' CF=∠ACE+∠BCF， ∵∠ACB=90°， ∴∠ECF=45°， ∴△ECF是等腰直角三角形， ∴EF=CE，∠EFC=45°， ∴∠BFC=∠B' FC=135°， ∴∠B' FD=90°， ∵S△ABC=1 2 AC ·BC=1 2 AB·CE， ∴AC ·BC=AB·CE， ∵根据勾股定理求得AB=5， ∴CE=12 5 ， ∴EF=12 5 ，ED=AE= ❑ √A C 2−C E 2=9 5， ∴DF=EF−ED=3 5， ∴B' F= ❑ √B ' D 2−D F 2= 4 5 ． 故选D． 2. 在△ABC中，D 是B 延长线上一点，且BC=mBD，AB=nAC，过D 点作直线B、 的垂线，垂足分别为E、F，则DE：DF 的比值为() 1：n(1−m) B 1：n(m−1) 1：m(1−n) D 1：n(m+1) 【答】 【解析】 【分析】 本题考查了面积法，利用同一个三角形的面积的两种表示等到等式是解题的关键． 分别用DE、DF 表示S△ABD=1 2 ⋅AB⋅DE，S△ACD=1 2 ⋅AC ⋅DF，通过线段比可知两三角 形面积关系，进而得到1 2 ⋅AC ⋅DF=(1−m) 1 2 ⋅AB⋅DE，从而得到DE 和DF 关系即可解 答． 【解答】 解：连接D， ∵BC=m⋅BD， ∴CD=(1−m)BD， ∴S△ACD=(1−m)S△ABD， 又∵S△ABD=1 2 ⋅AB⋅DE，S△ACD=1 2 ⋅AC ⋅DF， ∴1 2 ⋅AC ⋅DF=(1−m) 1 2 ⋅AB⋅DE， ∵AB=n⋅AC， ∴AC ⋅DF=(1−m)n⋅AC ⋅DE ∴DF=(1−m)n⋅DE ∴DE DF = 1 (1−m)n=1：n(1−m)， 故选：． 3. 如图，在Rt △ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，D 是∠BAC的平分线． 若P，Q 分别是D 和上的动点，则PC+PQ的最小值是( ) 24 5 B 4 5 D 12 5 【答】 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称问题，解题的关键是找出满足PC+PQ有最小值时点P 和 Q 的位置．过点作CM ⊥AB交B 于点M，交D 于点P，过点P 作PQ⊥AC于点Q，由D 是∠BAC的平分线．得出PQ=PM，这时PC+PQ有最小值，即M 的长度，运用勾股定 理求出B，再运用S△ABC=1 2 AB⋅CM=1 2 AC ⋅BC，得出M 的值，即PC+PQ的最小值． 【解答】 解：如图，过点作CM ⊥AB交B 于点M，交D 于点P，过点P 作PQ⊥AC于点Q， ∵AD是∠BAC的平分线． ∴PQ=PM，这时PC+PQ有最小值，即M 的长度， ∵AC=6，BC=8，∠ACB=90°， ∴AB= ❑ √A C 2+BC 2= ❑ √6 2+8 2=10． ∵S△ABC=1 2 AB⋅CM=1 2 AC ⋅BC， ∴CM= AC ⋅BC AB =6×8 10 =24 5 ， 即PC+PQ的最小值为24 5 ． 故选． 4. 如图，在菱形BD 中，AC=2❑ √6，BD=2❑ √3， DH ⊥AB于点，则D 的长为() 3 B 2❑ √3 2 D 2❑ √2 【答】D 【解析】 【分析】 此题主要考查了菱形的面积公式以及菱形的性质以及勾股定理的运用，得出菱形边长是解 题关键．利用菱形的对角线互相平分线且垂直即可得出菱形的边长，再利用菱形面积公式 求出即可求出D 的长． 【解答】 解：∵在菱形BD 中，AC=2❑ √6，BD=2❑ √3， ∴AO=CO=1 2 AC=❑ √6，BO=DO=1 2 BD=❑ √3， ∴AB=❑ √3+6=3， ∴DH ×3=1 2 AC ×BD， ∴DH= 1 2 ×2❑ √6×2❑ √3 3 =2❑ √2， 故选：D． 5. 如图，□ABCD的对角线与BD 相交于点，AE⊥BC垂足为E，AB=❑ √3，AC=2， BD=4，则E 的长为( ) ❑ √3 2 B 3 2 ❑ √21 7 D 2❑ √21 7 【答】D 【解析】 【分析】 本题考查了勾股定理的逆定理和平行四边形的性质，由勾股定理的逆定理可判定△BAO是 直角三角形，利用三角形B 面积的不同表示方法，建立方程求出E 的长． 【解答】 解：∵AC=2，BD=4，四边形BD 是平行四边形， ∴AO=1 2 AC=1，BO=1 2 BD=2， ∵AB=❑ √3， ∴A B 2+ A O 2=BO 2， ∴∠BAC=90°， ∵在Rt △BAC中，BC= ❑ √A B 2+ A C 2= ❑ √(❑ √3) 2+2 2=❑ √7， S△BAC=1 2 × AB× AC=1 2 ×BC × AE， ∴❑ √3×2=❑ √7 AE， ∴AE=2❑ √21 7 ， 故选D． 6. 如图，在平面直角坐标系中Rt △ABC的斜边B 在x 轴上，点B 坐标为(1,0)，AC=2， ∠ABC=30°，把Rt △ABC先绕B 点顺时针旋转180°，然后再向下平移2 个单位， 则点的对应点A '的坐标为() (−4 ,−2−❑ √3) B (−4 ,−2+❑ √3 ) (−2,−2+❑ √3) D (−2,−2−❑ √3 ) 【答】D 【解析】 【试题解析】 【分析】 本题主要考查了直角三角形的性质，勾股定理，旋转的性质和平移的性质，作出图形利用 旋转的性质和平移的性质是解答此题的关键．作AD⊥BC，并作出把Rt △ABC先绕B 点 顺时针旋转180°后所得△A1BC1，然后依据旋转的性质解答即可． 【解答】 解：如图所示，作AD⊥BC，并作出把Rt △ABC先绕B 点顺时针旋转180°后所得 △A1BC1， ∵AC=2，∠ABC=30°， ∴BC=4， ∴AB=2❑ √3， ∴AD= AB⋅AC BC =2❑ √3×2 4 =❑ √3， ∴BD= ❑ √A B 2−A D 2=3． ∵点B 坐标为(1,0)， ∴A点的坐标为(4 ,❑ √3). ∵BD=3， ∴B D1=3， ∴D1坐标为(−2,0)， ∴A1坐标为(−2,−❑ √3). ∵再向下平移2 个单位， ∴A '的坐标为(−2,−❑ √3−2)． 故选D． 二、填空题 7. 如图，Rt △ABC中，∠C=90 °，AC=3cm， BC=4 cm，D 是AB上一点，DE⊥AC于点E， DF ⊥BC于点F，连接EF，则EF的最小值为____ ___________ cm． 【答】2.4 【解析】 【分析】 本题考查了矩形的判定与性质，垂线段最短的性质，勾股定理，判断出CD⊥AB时，线 段EF 的值最小是解题的关键，难点在于利用等面积法列出方程． 【解答】 解：如图，连接D． ∵∠ACB=90°，AC=3cm，BC=4 cm， ∴AB= ❑ √3 2+4 2=5(cm)， ∵DE⊥AC，DF ⊥BC，∠ACB=90°， ∴四边形FDE 是矩形， ∴EF=CD． 由垂线段最短可得，当CD⊥AB时，线段D 的值最小，即线段EF 的值最小， 此时，S▵ABC=1 2 BC ⋅AC=1 2 AB⋅CD， 即1 2 ×4×3=1 2 ×5⋅CD，解得CD=2.4 cm， ∴E F 最小=2.4 cm． 故答为2.4． 8. 若△ABC三边的长，b，均为整数，且1 a + 1 b + 3 ab= 1 4 ，a+b−c=8，设△ABC的面 积为S，则S 的最大值是 ，最小值是 ． 【答】4 ❑ √231；4 ❑ √105 【解析】 【分析】 此题考查了三角形的面积，根据所给算式求出、b、的值再用海伦公式解答是解题的关键． 根据1 a + 1 b + 3 ab= 1 4 得到(a−4)(b−4)=28，然后将28 分解为1×28，2×14⋯等，据此 得到、b 的所有可能值及的值，利用海伦公式计算出面积，找出最小者与最大者即可． 【解答】 解：∵1 a + 1 b + 3 ab= 1 4 ， ∴4 b+4 a+12=ab， 即ab−4 a−4 b=12， ∴(a−4)(b−4)=28， ∴a>4，b>4， ∴a−4=1，2，4，7，14，28， b−4=28，14，7，4，2，1， ∴a=5，6，8，11，18，32， b=32，18，11，8，6，5， ∵a+b−c=8， ∴c=29，16，11，11，16，29， (1)当 a=5， b=32， c=29时 ， p=5+32+29 2 =33， S=❑ √p( p−a)( p−b)( p−c)=❑ √33(33−5)(33−32)(33−29)=4 ❑ √231; (2)当 a=6， b=18， c=16时 ， p=6+18+16 2 =20， S=❑ √20(20−6)(20−18)(20−16)=8 ❑ √35; (3)当 a=8， b=11， c=11时 ， p=8+11+11 2 =15， S=❑ √15(15−8)(15−11)(15−11)=4 ❑ √105; (4)当 a=11， b=8， c=11时 ， p=11+8+11 2 =15， S=❑ √15(15−11)(15−8)(15−11)=4 ❑ √105; (5)当 a=18， b=6， c=16时 ， p=18+6+16 2 =20， S=❑ √20(20−18)(20−6)(20−16)=8 ❑ √35; (6)当 a=32， b=5， c=29时 ， p=32+5+29 2 =33， S=❑ √33(33−32)(33−5)(33−29)=4 ❑ √231． 可见最大值为4 ❑ √231，最小值为4 ❑ √105． 故答为4 ❑ √231，4 ❑ √105． 9. 如图，矩形BD 中，E 为边B 上一点，将△ADE沿DE 折 叠，使点的对应点F 恰好落在边B 上，连接F 交DE 于点， 连接BN .若DE=3 ❑ √6，tan∠BNF= ❑ √5 2 ，则AD=¿ 【答】3 ❑ √5 【解析】 【分析】 本题考查了折叠的性质，圆周角定理，矩形的性质，锐角三角函数，勾股定理以及三角形 的面积等知识，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．由折叠的性质得出∠BNF=∠BEF， 由条件得出tan∠BEF= ❑ √5 2 ，设BF=❑ √5 x，BE=2 x，由勾股定理得出EF=3 x，得出 AB=5 x，再由勾股定理得出F 的长，于是得到的长，在Rt △DAE中根据面积法列式求 解可得出答． 【解答】 解：∵将△ADE沿DE 折叠，使点的对应点F 恰好落在边B 上， ∴AF ⊥DE，AE=EF，AN=FN， ∵矩形BD 中，∠ABF=90°， ∴B，E，，F 四点共圆， ∴∠BNF=∠BEF， ∴tan∠BNF=tan∠BEF= BF BE = ❑ √5 2 ， 设BF=❑ √5 x，BE=2 x， ∴EF= ❑ √B F 2+B E 2=3 x， ∴AE=3 x， ∴AB=5 x， ∴AF= ❑ √A B 2+B F 2=❑ √30 x， ∴AN= ❑ √30 2 x， 在Rt △DAE中，根据面积法可得：1 2 AE⋅AD=1 2 AN ⋅DE， ∴AD= AN · DE AE = ❑ √30 2 x·3 ❑ √6 3 x =3 ❑ √5． 故答为3 ❑ √5． 10. 如下图，▱BD 的对角线与BD 相交于点，AE⊥BC，垂足为E，AB=❑ √3，AC=2， BD=4，则E 的长为____________． 【答】2❑ √21 7 【解析】解：∵AC=2，BD=4，四边形BD 是平行四边形， ∴AO=1 2 AC=1，BO=1 2 BD=2， ∵AB=❑ √3， ∴A B 2+ A O 2=BO 2， ∴∠BAC=90°， ∵在Rt △BAC中，BC= ❑ √A B 2+ A C 2= ❑ √(❑ √3) 2+2 2=❑ √7 S△BAC=1 2 × AB× AC=1 2 ×BC × AE， ∴2❑ √3=❑ √7 AE， ∴AE=2❑ √21 7 ， 故答为：2❑ √21 7 ． 由勾股定理的逆定理可判定△BAO是直角三角形，所以根据△ABC的面积列等式即可求 出E 的长． 本题考查了勾股定理的逆定理和平行四边形的性质，能得出△BAC是直角三角形是解此题 的关键． 11. 如图，用4 个全等的直角三角形与1 个小正方形镶嵌而成的正 方图，已知大正方形面积为10，小正方形面积为2，若用x，y 表示直角三角形的两直角边( x> y)，下列四个说法： ①x 2+ y 2=10；②xy=2；③ ；④x+2 y=4 ❑ √2. 其中说法正确的有_____.(只填序号) 【答】①③④ 【解析】 【分析】 本题主要考查了勾股定理、面积分割法等知识． 根据勾股定理、面积分割法对选项一一分析即可． 【解答】 解：①大正方形的面积是10，则其边长是❑ √10，显然，利用勾股定理可得x 2+ y 2=10，故 选项①正确； ③小正方形的面积是2，则其边长是❑ √2，根据图可发现y+❑ √2=x，即③x−y=❑ √2，故 选项③正确； ②根据图形可得四个三角形的面积+¿小正方形的面积¿大正方形的面积，即 4× 1 2 xy+2=10，化简得xy=4，故选项②错误； ④因为y+❑ √2=x，所以把它代入xy=4中，得到y( y+❑ √2)=4，解得y=❑ √2，或 y=−2❑ √2(舍去)， 则x=2❑ √2，则x+2 y=4 ❑ √2，故选项④正确． 故答为①③④． 12. 如图，在矩形BD 中，AB=3，AD=4，点P 在B 上， PE⊥AC于点E，PF ⊥BD于点F，则PE+PF=¿_____ _． 【答】12 5 【解析】 【分析】 本题考查矩形的性质、勾股定理，三角形的面积等知识，解题的关键是学会用面积法解决 问题; 连接P，首先求得 的面积，根据 的面积¿ △OAP的面积 的面积即