33 面积等量问题的存在性

面积等量问题的存在性 方法点拨 面积转化 例题演练 1．抛物线y＝﹣ x+3 与x 轴交于、B 两点，与y 轴交于点，连接B． （1）如图1，求直线B 的表达式； （2）如图1，点P 是抛物线上位于第一象限内的一点，连接P，PB，当△PB 面积最大 时，一动点Q 从点P 从出发，沿适当路径运动到y 轴上的某个点G 再沿适当路径运动到 x 轴上的某个点处，最后到达线段B 的中点F 处停止．求当△PB 面积最大时，点P 的坐 标及点Q 在整个运动过程中经过的最短路径的长； （3）如图2，在（2）的条件下，当△PB 面积最大时，把抛物线y＝﹣ x+3 向 右平移使它的图象经过点P，得到新抛物线y'，在新抛物线y'上是否存在点E，使△EB 的面积等于△PB 的面积．若存在，请求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由． 【解答】解：∵抛物线y＝﹣ x+3 与x 轴交于、B 两点，与y 轴交于点， ∴令x＝0， ∴y＝3， ∴（0，3）， 令y＝0， ∴0＝﹣ x+3， ∴x＝﹣ 或x＝3 ， ∴B（3 ，0）， 设直线B 的解析式为y＝kx+3， ∴3 k+3＝0， ∴k＝﹣ ， ∴直线B 的解析式为y＝﹣ x+3； （2）如图1，设P（m，﹣ m2+ m+3）（0＜m＜3 ）， 过点P 作PM∥y 轴交B 于M， ∵直线B 的解析式为y＝﹣ x+3， ∴M（m，﹣ m+3）， ∴PM＝﹣ m2+ m+3﹣（﹣ m+3）＝﹣ m2+ m＝﹣ （m﹣ ）2+ ， ∴S△PB＝ [﹣ （m﹣ ）2+ ]×3 ＝﹣ （m﹣ ）2+ ， ∴m＝ 时，S△PB的面积最大，最大值为 ， 即：点P（ ， ）， ∵B（3 ，0），（0，3）， ∴F（ ， ）， ∴点M 和点F 重合， 作点P（ ， ）关于y 轴的对称点P'（﹣ ， ）， 再作点F（ ， ）关于x 的对称点F'（ ，﹣ ）， 连接P'F'交y 轴于G，交x 轴于，连接PD，G，，F 此时PG+G+F 最小，最小值为P'F'＝ ； （3）如图2，在抛物线y＝﹣ x+3＝﹣ （x﹣ ）2+4 中， 令y＝ ， ∴ ＝﹣ x+3， ∴x＝ 或x＝ ， 由平移知，抛物线y 向右平移到y'，则平移了 ﹣ ＝ 个单位，y'＝﹣ （x﹣2 ）2+4＝﹣ x2+2 ， 设点E（，﹣ 2+2 ）， 过点E 作EQ∥y 轴交B 于Q， ∵直线B 的解析式为y＝﹣ x+3， ∴Q（，﹣ +3）， ∴EQ＝|﹣ 2+2 + ﹣3|＝ |2﹣5 +6| ∵△EB 的面积等于△PB 的面积， 由（2）知，PM＝﹣ （m﹣ ）2+ ， ∴PM 最大＝ ∴EQ＝PM 最大， ∴ |2﹣5 +6|＝ ∴＝ 或＝ 或＝ 或 （舍）， ∴E（ ，﹣ ）或（ ，﹣ ）或（ ， ）． 2．如图，抛物线y＝mx2﹣2mx﹣3m（m＞0）与x 轴交于、B 两点，与y 轴交于点，点M 为 抛物线的顶点． （1）求，B 两点的坐标； （2）是否存在以BM 为斜边的Rt△BM 的抛物线？若存在，请求出抛物线的解析式；如 果不存在，请说明理由； （3）在（2）的条件下，若抛物线上有一点P，连接P 交线段BM 于Q 点，且S△BPQ＝ S△MQ，请写出点P 的坐标． 【解答】解：（1）令y＝0，则mx2﹣2mx﹣3m＝0， 即x2﹣2x﹣3＝0， 解得x1＝﹣1，x2＝3， 所以，点（﹣1，0），B（3，0）； （2）令x＝0，则y＝﹣3m， ∴点坐标为（0，﹣3m）， ∵y＝mx2﹣2mx﹣3m＝m（x﹣1）2﹣4m， ∴抛物线的对称轴为直线x＝1，顶点M 坐标为（1，﹣4m）， ∴B2＝32+（3m）2＝9+9m2，BM2＝（3﹣1）2+（4m）2＝4+16m2，M2＝12+[（﹣3m﹣ （﹣4m）]2＝1+m2， ∵Rt△BM 以BM 为斜边， ∴B2+M2＝BM2， 即9+9m2+1+m2＝4+16m2， 整理得，m2＝1， 解得m＝±1， ∵m＞0， ∴m＝1， ∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3； （3）在（2）的条件下，点坐标为（0，﹣3），M（1，﹣4）， 设直线B 的解析式为y＝kx+b， 则 ， 解得 ， 所以直线B 的解析式为y＝x﹣3， ∵S△BPQ＝S△MQ， ∴S△BPQ+S△BQ＝S△MQ+S△BQ， 即S△BP＝S△BM， ∴点P 到B 的距离等于点M 到B 的距离， ∴MP∥B， 设MP 的解析式为y＝x+， 则1+＝﹣4， 解得＝﹣5， 所以，直线MP 的解析式为y＝x﹣5， 联立 ， 解得 （为点M 坐标）， ， 所以，点P 的坐标为（2，﹣3）． 3．已知抛物线：y＝﹣x2+x+2 与x 轴交于点，B（点在点B 左侧），与y 轴交于点K，顶点 为D． （Ⅰ）求点，B，K，D 的坐标； （Ⅱ）若向下平移抛物线，使顶点D 落在x 轴上，抛物线上的点P 平移后的对应点为 P′，若P′＝P，求点P 的坐标； （Ⅲ）点E（﹣2，）在抛物线上，则在抛物线上是否存在一点Q，使△QBE 的面积是 △BEK 面积的一半，若存在，求满足条件的点Q 的坐标；若不存在，说明理由． 【解答】解：（Ⅰ）对于y＝﹣x2+x+2①，令y＝﹣x2+x+2＝0，解得x＝﹣1 或2，令x ＝0，则y＝2， 则点、B、K 的坐标分别为（﹣1，0）、（2，0）、（0，2）， ∵y＝﹣x2+x+2＝﹣（x﹣ ）2+ ， 故点D 的坐标为（ ， ）； （Ⅱ）由平移的性质知，平移后的抛物线表达式为y＝﹣（x﹣ ）2＝﹣x2+x﹣ ， 设点P 的坐标为（x，﹣x2+x+2），则点P′的坐标为（x，﹣x2+x﹣ ）， ∵P′＝P， 故点P、P′关于x 轴对称， 即（﹣x2+x+2）+（x，﹣x2+x﹣ ）＝0， 解得x＝ ， 故点P 的坐标为（ ， ）或（ ， ） （Ⅲ）存在，理由： 当x＝﹣2 时，＝y＝﹣x2+x+2，即点E 的坐标为（﹣2，﹣4）， 由点B、E 的坐标得，直线BE 的表达式为y＝x﹣2， ①当点Q 在BE 上方时， 设直线EB 交y 轴于点P，则点P 的坐标为（0，﹣2）， 取PK 的中点M，作直线m∥BE，则直线m 和抛物线的交点即为所求的点Q， 由点K、P 的坐标得，点M 的坐标为（0，0）， 故直线m 的表达式为y＝x②， 联立①②得：﹣x2+x+2＝x，解得x＝ ， 则点Q 的坐标为（ ， ）或（﹣ ，﹣ ）； ②当点Q 在BE 的下方时， 同理可得，直线的表达式为y＝x﹣4， 同理可得，点Q 的坐标为（ ， ﹣4）或（﹣ ，﹣ ﹣4）， 综上，点Q 的坐标为（ ， ）或（﹣ ，﹣ ）或（ ， ﹣4）或（﹣ ， ﹣ ﹣4）． 4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣2x﹣3 与x 轴交于、B 两点，与y 轴交于点． （1）求直线B 的解析式； （2）若点P 为抛物线上一动点，当点P 运动到某一位置时，S△BP＝ S△B，求此时点P 的坐标． （3）若将△沿射线B 方向平移，平移后的三角形记为△111，连接1，直线1交抛物线于M 点，是否存在点1，使得△M1为等腰三角形？若存在，直接写出1点横坐标；若不存在， 请说明理由． 【解答】解：（1）对于y＝x2﹣2x﹣3①，令x＝0，则y＝﹣3，令y＝x2﹣2x﹣3＝0， 解得x＝﹣1 或3， 故点、B、的坐标分别为（﹣1，0）、（3，0）、（0，﹣3）， 设直线B 的表达式为y＝kx+b，则 ，解得 ， 故直线B 的表达式为y＝x﹣3； （2）∵S△BP＝ S△B，则|yP|＝ |y|＝ ×3＝4， 则x2﹣2x﹣3＝±4， 解得x＝1±2 或1， 故点P 的坐标为（1 ，4）或（1﹣2 ，4）或（1，﹣4）； （3）存在，理由： 由B 的表达式知，直线B 与x 轴的夹角为45°，则△沿射线B 向右平移m 个单位就向上平 移了m 个单位， 则点1（m，m﹣3）， ∵1∥B，则设直线1的表达式为y＝x+s， 将点的坐标代入上式并解得s＝1， 故直线1的表达式为y＝x+1②， 联立①②并解得 ，即点M 的坐标为（4，5）， 由点、M、1的坐标的：M2＝50，M1 2＝（m﹣4）2+（m﹣8）2，1 2＝（m+1）2+（，m﹣ 3）2， 当M＝M1时，则M2＝（m﹣4）2+（m﹣8）2，解得m＝6± ； 当M＝1时，同理可得：m＝1 （舍去负值）； 当M1＝1时，同理可得：m＝35； 综上，点1的横坐标为6+ 或6﹣ 或1+ 或35． 5．如图1，在平面直角坐标系xy 中，已知、B 两点的坐标分别为（﹣4，0）、（4，0）， （m，0）是线段B 上一动点（与、B 两点不重合），抛物线l1：y＝x2+b1x+1（＞0）经 过点、，顶点为D，抛物线l2：y＝x2+b2x+2（＞0）经过点、B，顶点为E，直线D、BE 相交于F． （1）若＝ ，m＝﹣1，求抛物线l1、l2的解析式； （2）若＝1，∠FB＝90°，求m 的值； （3）如图2，连接D、E，记△D 的面积为S1，△EB 的面积为S2，△FB 的面积为S，问是 否存在点使得2S1•S2＝•S，若存在，请求出的坐标；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）解：（1）将、点代入y＝x2+b1x+1中，可得： ，解 得： ， ∴抛物线L1解析式为y＝ x2+ +2； 同理可得： ，解得： ， ∴抛物线L2解析式为y＝ x2﹣ x﹣2； （2）如图，过点D 作DG⊥x 轴于点G，过点E 作E⊥x 轴于点， 由题意得： ，解得： ， ∴抛物线L1解析式为y＝x2+（4﹣m）x﹣4m； ∴点D 坐标为（ ，﹣ ）， ∴DG＝ ，G＝ ； 同理可得：抛物线L2解析式为y＝x2﹣（m+4）x+4m； ∴E＝ ，B＝ ， ∵F⊥BF，DG⊥x 轴，E⊥x 轴， ∴∠FB＝∠GD＝∠EB＝90°， ∵∠DG+∠DG＝90°，∠DG+∠EB＝90°， ∴∠DG＝∠EB， ∵在△DG 和△EB 中， ， ∴△DG～△EB， ∴ ＝ ， ∴ ＝ ，化简得：m2＝12， 解得：m＝±2 ； （3）设L1：y＝（x+4）（x﹣m）＝x2+（4﹣m）x﹣4m，L2：y＝（x﹣4）（x﹣m）＝x2 ﹣（4+m）x+4m， ∴D（ ，﹣ ），E（ ，﹣ ）， ∴直线F 的解析式为y＝﹣ x﹣2（m+4），直线BF 的解析式为y＝﹣ x+2（m﹣4）， 由 ，解得 ， ∴F（﹣m， ）， ∵2S1•S2＝•S， ∴2× ×（m+4）× × ×（4﹣m）× ＝× ×8×[﹣ ]， 整理得：（m2﹣16）2＝64， ∴m2﹣16＝±8， 解得m＝±2 或±2 （舍弃）， ∴（2 ，0）或（﹣2 ，0）； 6．如图，抛物线l1：y＝﹣x2平移得到抛物线l2，且经过点（0，0）和点（4，0），l2的顶 点为点B，它的对称轴与l2相交于点，设l1、l2与B 围成的阴影部分面积为S，解答下列 问题： （1）求l2表示的函数解析式及它的对称轴，顶点的坐标． （2）求点的坐标，并直接写出S 的值． （3）在直线上是否存在点P，使得S△P＝ S？若存在，求点P 的坐标；若不存在，请 说明理由． 【参考公式：抛物线y＝x2+bx+的对称轴是x＝﹣ ，顶点坐标是（﹣ ， ）】． 【解答】解：（1）设l2的函数解析式为y＝﹣x2+bx+， 把点（0，0）和点（4，0）代入函数解析式，得： ， 解得： ， ∴l2表示的函数解析式为：y＝﹣x2+4x， ∵y＝﹣x2+4x＝﹣（x﹣2）2+4， ∴l2的对称轴是直线x＝2，顶点坐标B（2，4）； （2）当x＝2 时，y＝﹣x2＝﹣4， ∴点坐标是（2，﹣4）， ∵顶点坐标B（2，4）， ∴S 即是抛物线l1、l2与x 轴组成的面积， ∴S＝ ×2×（4+4）＝8； （3）存在． 理由：设直线表示的函数解析式为y＝kx+， 把（4，0），（2，﹣4）代入得： ， 解得： ， ∴y＝2x﹣8， 设△P 的高为， S△P＝ •＝2＝4， 设点P 的坐标为（m，2m﹣8）． ∵S△P＝ S，且S＝8， ∴S△P＝ ×8＝4， 当点P 在x 轴上方时，得 ×4（2m﹣8）＝4， 解得m＝5， ∴2m﹣8＝2． ∴P 的坐标为（5，2）． 当点P 在x 轴下方时，得 ×4（8﹣2m）＝4． 解得m＝3， ∴2m﹣8＝﹣2， ∴点P 的坐标为（3，﹣2）． 综上所述，点P 的坐标为（5，2）或（3，﹣2）． 7．如图，已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点（﹣3，﹣3）． （1）求正比例函数和反比例函数的表达式； （2）把直线向上平移后与反比例函数的图象交于点B（﹣6，m），与x 轴交于点，求 m 的值和直线B 的表达式； （3）在（2）的条件下，直线B 与y 轴交于点D，求以点，B，D 为顶点的三角形的面 积； （4）在（3）的条件下，点，B，D 在二次函数的图象上，试判断该二次函数在第三象 限内的图象上是否存在一点E，使四边形ED 的面积S1与四边形BD 的面积S 满足：S1＝ S？若存在，求点E 的坐标；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）设正比例函数的解析式是y＝kx，代入（﹣3，﹣3），得：﹣3k＝﹣ 3，解得：k＝1， 则正比例函数的解析式是：y＝x； 设反比例函数的解析式是y＝ ，把（﹣3，﹣3）代入解析式得：k1＝9， 则反比例函数的解析式是：y＝ ； （2）m＝ ＝﹣ ，则点B 的坐标是（﹣6，﹣ ）， ∵y＝k3x+b 的图象是由y＝x 平移得到， ∴k3＝1，即y＝x+b， 故一次函数的解析式是：y＝x+ ； （3）∵y＝x+ 的图象交y 轴于点D， ∴D 的坐标是（0， ）， 作M⊥y 轴于点M，作B⊥y 轴于点． ∵的坐标是（﹣3，﹣3），B 的坐标是（﹣6，﹣ ）， ∴M 的坐标是（0，﹣3），的坐标是（0，﹣ ）． ∴M＝3，＝ ． 则MD＝3+ ＝ ，D＝ + ＝6，M＝3﹣ ＝ ． 则S△DM＝ ×3× ＝ ，S△BD＝ ×6×6＝18，S 梯形BM＝ ×（3+6）× ＝ ． 则S 四边形BDM＝S 梯形BM+S△BD＝ +18＝ ， S△BD＝S 四边形BDM﹣S△DM＝ ﹣ ＝ ； （4）设二次函数的解析式是y＝x2+bx+ ， 则 ， 解得： ， 则这个二次函数的解析式是：y＝ x2+4x+ ； 点的坐标是（﹣ ，0）． 则四边形BD 的面积S＝S△BD+S△D＝ + × ×3＝ ． 假设存在点E（x0，y0），使S1＝ S＝ × ＝ ． ∵四边形DE 的顶点E 只能在x 轴的下方， ∴y0＜0， ∴S1＝S△D+S△E＝ × × ﹣ × y0＝ ﹣ y0， ∴ ﹣ y0＝ ， ∴y0＝﹣4， ∵E（x0，y0）在二次函数的图象上， ∴ x0 2+4x0+ ＝﹣4， ∴方程无解， ∴不存在． 8．如图，已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点（3，3）． （1）求正比例函数和反比例函数的解析式； （2）把直线向下平移后与反比例函数的图象交于点B（6，m），求m 的值和这个一次 函数的解析式； （3）第（2）问中的一次函数的图象与x 轴、y 轴分别交于、D，求过、B、D 三点的三 角形的面积． （4）在第（3）问的条件下，二次函数的图象上是否存在点E，使四边形ED 的面积S1 与四边形BD 的面积S 满足：S1＝ S？若存在，求点E 的坐标；若不存在，请说明理由 【解答】解：（1）设正比例函数的解析式是y＝kx，代入（3，3），得：3k＝3，解得： k＝1， 则正比例函数的解析式是：y＝x； 设反比例函数的解析式是y＝ ，把（3，3）代入解析式得：k1＝9， 则反比例函数的解析式是：y＝ ； （2）m＝ ＝ ，则点B 的坐标是（6， ）， ∵y＝k3x+b 的图象是由y＝x 平移得到， ∴k3＝1，即y＝x+b， 一次函数的解析式是：y＝x﹣ ； （3）∵y＝x﹣ 的图象交y 轴于点D， ∴D 的坐标是（0，﹣ ）， 作M⊥y 轴于点M，作B⊥y 轴于点． ∵的坐标是（3，3），B 的坐标是（6， ）， ∴M 的坐标是（0，3），的坐标是（0， ）． ∴M＝3，＝ ． 则MD＝3+ ＝ ，D＝ + ＝6，M＝3﹣ ＝ ． 则S△DM＝ ×3× ＝ ，S△BD＝ ×6×6＝18，S 梯形BM＝ （3+6）× ＝ ． 则S 四边形BDM＝S 梯形BM+S△BD＝ +18＝ ， S△BD＝S 四边形BDM﹣S△DM＝ ﹣ ＝ ＝ ； （4）设二次函数的解析式是y＝x2+bx﹣ ， 则 ， 解得： ， 则这个二次函数的解析式是：y＝﹣ x2+4x﹣ ； 点的坐标是（ ，0）． 则S＝ ×6﹣ ×6×6﹣ ×3×3＝45﹣18﹣ ﹣ ＝ ． 假设存在点E（x0，y0），使S1＝ S＝ × ＝ ． ∵四边形DE 的顶点E 只能在x 轴的上方， ∴y0＞0， ∴S1＝S△D+S△E＝ × × + y0 ＝ + y0， ∴ + y0＝ ， ∴y0＝ ， ∵E（x0，y0）在二次函数的图象上， ∴﹣ x0 2+4x0﹣ ＝ ， 解得：x0＝2 或6． 当x0＝6 时，点E（6， ）与点B 重合，这时DE 不是四边形，故x0＝6，（舍去）． ∴E 的坐标是（2， ）． 9．如图，已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点（3，3）． （1）求正比例函数和反比例函数的解析式； （2）把直线向下平移后与反比例函数的图象交于点B（6，m），求m 的值和这个一次 函数的解析式； （3）第（2）问中的一次函数的图象与x 轴、y 轴分别交于、D，求过、B、D 三点的二 次函数的解析式； （4）在第（3）问的条件下，二次函数的图象上是否存在点E，使△E 的面积S1与△D 的 面积S 满足：S1＝ S？若存在，求点E 的坐标；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）设正比例函数的解析式为y＝x，反比例函数的解析式为 ， ∵正比例函数和反比例函数的图象都经过点（3，3）， ∴3＝3，3＝ ， ∴＝1，k＝9， ∴正比例函数的解析式为y＝x，反比例函数的解析式为y＝ ． （2）∵点B（6，m）在反比例函数上， ∴m＝ ， ∴B 点的坐标为（6， ）， ∵直线BD 是直线平移后所得的直线， ∴可设直线BD 的解析式为y＝x+b， 将B 点代入上面的关系式得： ， ∴b＝ ， ∴这个一次函数的解析式为y＝x﹣ ． （3）令y＝x﹣ 中的x＝0 得，y＝ ， ∴D（0， ）， 令y＝x﹣ 中的y＝0 得，x＝ ， ∴（ ，0）， 设过、B、D 三点的二次函数的解析式为： y＝x2+bx+， 将（3，3）、B（6， ）、D（0，﹣ ）三点代入上面的关系式得： ， 解得： ， ∴过、B、D 三点的二次函数的解析式为： ， （4）存在点E，使△E 的