专题171 勾股定理及其逆定理【九大题型】 【人版】 【题型1 勾股定理的运用】.....................................................................................................................................1 【题型2 直角三角形中的分类讨论思想】. ...................................................................................24 【题型9 勾股定理及其逆定理的运用】............................................................................................... ∴得出S1＝8y+x，S2＝4y+x，S3＝x， ∴S1+S2+S3＝3x+12y＝40， ∴x+4y¿ 40 3 ， ∴S2＝x+4y¿ 40 3 ． 故答为：40 3 ． 【知识点2 勾股定理的逆定理】 如果三角形的三边长，b，满足a 2+b 2=c 2，那么这个三角形就是直角三角形． 【题型6 直角三角形的判定】 【例6】（2022 春•绥宁县期中）若△B 的三边长分别为、b、，下列条件中能判断△B

专题171 勾股定理及其逆定理【九大题型】 【人版】 【题型1 勾股定理的运用】.....................................................................................................................................1 【题型2 直角三角形中的分类讨论思想】. ....................................................................................9 【题型9 勾股定理及其逆定理的运用】............................................................................................... （3）如图③，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形BD，正方形 EFG，正方形MKT 的面积分别为S1，S2，S3，若S1+S2+S3＝40，则S2＝ ． 【知识点2 勾股定理的逆定理】 如果三角形的三边长，b，满足a 2+b 2=c 2，那么这个三角形就是直角三角形． 【题型6 直角三角形的判定】 【例6】（2022 春•绥宁县期中）若△B 的三边长分别为、b、，下列条件中能判断△B

是等边三角形，利用勾股定理的逆定理证明∠PQB＝90°即可解决问题． 【详解】解：如图，连接PQ． ∵△P 绕点顺时针旋转60°得到△BQ， ∴P＝Q＝2，P＝BQ＝2 ，∠PQ＝60°， ∴△PQ 是等边三角形， ∴PQ＝P＝2， ∵PB＝4， ∴ ， ∴∠PQB＝90°， ∴ ， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，旋转的性质以及勾股定理的逆定理，熟练掌握相关内容是解题的关 2．（2022·贵州毕节·八年级期末）如图，P 是等边三角形 内的一点，且 ，将 绕点 B 顺时针旋转得到 ，连接 ，则以下结论中不正确是（ ） ． B． ． D． 【答】D 【分析】根据等边三角形性质以及勾股定理的逆定理，即可判断、D；依据△BPQ 是等边三角形，即可得到 ∠QPB=∠PBQ=∠BQP=60°，进而得出∠BP=∠BQ=60°+90°=150°，即可判断、B 选项． 【详解】解：∵△B 是等边三角形， 是等边三角形， ∴∠QPB=∠PBQ=∠BQP=60°， ∴∠BP=∠BQ=60°+90°=150°，故B 正确． 故选：D． 【点睛】本题考查了旋转的性质、等边三角形的性质和判定、勾股定理的逆定理的应用，解题关键是综合运用定 理进行推理． 3．（2022·广西桂林·八年级期末）如图，在等边三角形B 中，点P 是 内一点， ， ， ，则 的度数为（ ） ．160° B．155° ．150°

【点睛】本题考查旋转的性质、等边三角形的判定和性质、勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是勾股 定理逆定理的应用，属于中考常考题型． 例2．（2022·湖南·中考真题）如图，点 是等边三角形 内一点， ， ， ，则 与 的面积之和为（ ） ． B． ． D． 【答】 【分析】将 绕点B 顺时针旋转 得 ，连接 ，得到 是等边三角形，再利用勾股定理 的逆定理可得 ，从而求解． 【详解】解：将 绕点 绕点 顺时针旋转 得 ，连接 ， ， ， ， 是等边三角形， ， ∵ ， ， ， ， 与 的面积之和为 ．故选：． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定与性质，勾股定理的逆定理，旋转的性质等知识，利用旋转将 与 的面积之和转化为 ，是解题的关键． 例3（2024·重庆沙坪坝·模拟预测）如图， ， 都是等边三角形，将 绕点旋转，使得点， D，E 在同一直线上，连接 ．若 ， ，则 的长是 【答】 【分析】根据△B 是等边三角形，得出∠B=60°，根据△BQ △ ≌BP，得出∠BQ=∠BP，PB=QB=4，P=Q=3， ∠BP=∠BQ，求出∠PBQ=60°，即可判断；根据勾股定理的逆定理即可判断B；根据△BPQ 是等边三角形， △PQ 是直角三角形即可判断D；求出∠P=150°-∠QP，和P≠2Q，可得∠QP≠30°，即可判断． 【详解】解：∵△B 是等边三角形，∴∠B=60°，

解决水杯中的筷子问题 类型五 选址到两地距离相等 类型六 最短路径 类型七 航海问题 题型15 勾股定理与规律探究问题 考点三 勾股定理逆定理 题型01 图形上与已知两地构成直角三角形的点 题型02 在格中判定直角三角形 题型03 利用勾股定理逆定理求解 题型04 利用勾股定理解决实际生活问题 考点要求 新课标要求 命题预测 直角三角形的 性质与判定  理解直角三角形的概念 的性质定理、勾股定理及其逆定理、勾股定理与实 际问题等，特别是含特殊角的直角三角形，更加是 考察的重点出题类型可以是选择填空题这类小题， 也可以是各类解答题，以及融合在综合压轴题中， 作为问题的几何背景进行拓展延伸结合以上考察形 式，需要考生在复习这一模块时，准确掌握有关直 角三角形的各种性质与判定方法，以及特殊直角三 角形常考的考察方向 勾股定理  探索勾股定理及其逆定理，并能运用它 们解决一些简单的实际问题 2）三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形． 3）有一个角是直角的三角形叫做直角三角形． 4）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长，b，有关系2+b2=2，那么这个三角形是直角三角形。 面积公式：S=1 2 ab=1 2 cm (其中：为斜边上的高，m 为斜边长) a b m c 题型01 利用直角三角形的性质求解

△OEP △OFP ≌ D. OE = OF 17. 关于角平分线的性质定理和逆定理，下列说法正确的有： A. ⇒ 性质定理：点在角平分线上 点到角两边距离相等 B. ⇒ 逆定理：点到角两边距离相等 点在角平分线上 C. 性质定理：角平分线将角平分 D. 逆定理：将角平分的线是角平分线 18. △ 在ABC 中，AD ∠ 是 BAC 的平分线，DE⊥AB

以弦图为背景的计算题 题型14 利用勾股定理构造图形解决问题 题型15 利用勾股定理解决实际问题 题型16 勾股定理与规律探究问题 题型17 在格中判定直角三角形 题型18 利用勾股定理逆定理求解 题型19 利用勾股定理解决实际生活问题 题型01 利用直角三角形的性质求解 1．（2023·广东梅州·统考一模）如图，已知l∥AB，CD⊥l于点D，若∠C=40°，则∠1的度数是 （ 中不能判断△ABC是直角三角形的是（ ） ．a:b:c=3:4:5 B．∠C=∠A+∠B ．∠A :∠B:∠C=1:5:6 D．∠A :∠B:∠C=3:4:5 【答】D 【分析】根据勾股定理的逆定理判定正确，利用三角形内角和定理判定B 和正确、D 错误． 【详解】解：、设=3k，b=4k，=5k， ∵(3k ) 2+(4 k ) 2=(5k ) 2 ， 即a 2+b 2=c 2 【点睛】本题考查直角三角形的判定方法：勾股定理的逆定理、证明最大角是直角． 6．（2022·云南昆明·统考二模）已知实数x，y，z 满足( x−5) 2+❑ √y−12+¿ z−13∨¿0，则以x，y，z 的 值为边长的三角形是（ ） ．锐角三角形 B．直角三角形 ．钝角三角形 D．无法判断 【答】B 【分析】根据平方式、算式平方根和绝对值的非负性求出x、y、z，再根据勾股定理的逆定理判断即可 【详解】解：∵实数x，y，z

B．如果∠＝∠B﹣∠，那么△B 是直角三角形 ．如果¿ 3 5，b¿ 4 5 ，那么△B 为直角三角形 D．如果b2＝2﹣2，那么△B 是直角三角形且∠B＝90° 【分析】利用勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，进行计算逐一判断即可解答． 【解答】解：、∵：b：＝1：1：❑ √2， ∴设＝k，b＝k，¿ ❑ √2k， ∴2+b2＝k2+k2＝2k2，2＝（❑ √2k）2＝2k2， 1000m，甲客轮沿着北偏东30°的方向航行，则乙客轮的航行方向可能是 南偏东 60° 或 北偏西 60° ． 【分析】首先根据速度和时间计算出行驶路程，再根据勾股定理逆定理结合路程可判断 出甲和乙两艘轮船的行驶路线呈垂直关系，进而可得答． 【解答】解：如图： ∵甲乙两艘客轮同时离开港口，航行的速度都是每分钟40m，甲客轮用15 分钟到达点， 乙客轮用20 分钟到达点B， 的长； （3）求证：△B 是直角三角形． 【分析】（1）直接利用勾股定理求出D 的长即可； （2）利用（1）中所求，直接利用勾股定理求出D 的长即可； （3）利用（2）中所求进而勾股定理的逆定理求出即可． 【解答】（1）解：在Rt△BD 中，D¿ ❑ √BC 2−B D 2=❑ √3 2−( 9 5 ) 2=12 5 ； （2）解：在Rt△D 中 D¿ ❑ √A C

F E C B A 平行线分线段成比例定理的推论的逆定理 若 或 或 ，则有EF//B． 【注意】对于一般形式的平行线分线段成比例的逆定理不成立，反例：任意四边形中 一对对边的中点的连线与剩下两条边，这三条直线满足分线段成比例，但是它们并不平行． 【小结】推论也简称“”和“8”，逆定理的证明可以通过同一法，做 交于 ' F 点，再证明 ' F 与F 重合即可．

互逆命 题 1．如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个 定理叫做另一个定理的逆定理． 2．任何一个命题都有逆命题，而一个定理并不一定有逆定理． 3．角平分线性质定理及其逆定理、线段的垂直平分线性质定理及其逆定理、勾股定理及其逆定理等都是互 逆定理． 反证法 1．定义：假设命题的结论不成立，即命题结论的反面成立，由此经过推理得出矛盾，由矛盾断定所作假设 【变式6-2】．（2018·河北石家庄·石家庄市第四十二中学校考一模）阅读以下证明过程： 已知：在△B 中，∠≠90°，设B=，=b，B=．求证：2+b2≠2． 证明：假设2+b2=2，则由勾股定理逆定理可知∠=90°，这与已知中的∠≠90°矛盾，故假设不成立，所以 2+b2≠2． 请用类似的方法证明以下问题： 已知：关于x 的一元二次方程x2﹣ （m+1）x+2m-3=0 有两个实根x1和x2．