专题17.4 勾股定理章末题型过关卷（解析版）

第17 章 勾股定理章末题型过关卷 【人版】 一．选择题（共10 小题，满分30 分，每小题3 分） 1．（3 分）（2022 春•三门峡期末）在△B 中，∠，∠B，∠的对边分别记为，b，，下列结 论中不正确的是（ ） ．如果：b：＝1：1：❑ √2，那么△B 是直角三角形 B．如果∠＝∠B﹣∠，那么△B 是直角三角形 ．如果¿ 3 5，b¿ 4 5 ，那么△B 为直角三角形 D．如果b2＝2﹣2，那么△B 是直角三角形且∠B＝90° 【分析】利用勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，进行计算逐一判断即可解答． 【解答】解：、∵：b：＝1：1：❑ √2， ∴设＝k，b＝k，¿ ❑ √2k， ∴2+b2＝k2+k2＝2k2，2＝（❑ √2k）2＝2k2， ∴2+b2＝2， ∴△B 是直角三角形， 故不符合题意； B、∵∠＝∠B﹣∠， + ∴∠∠＝∠B， + ∵∠∠B+∠＝180°， 2 ∴∠B＝180°， ∴∠B＝90°， ∴△B 是直角三角形， 故B 不符合题意； 、∵¿ 3 5，b¿ 4 5 ， ∴2+b2＝（3 5）2+（4 5 ）2＝2， ∴△B 为直角三角形， 故不符合题意； D、∵b2＝2﹣2， ∴b2+2＝2， ∴△B 为直角三角形， ∴∠＝90°， 1 故D 符合题意； 故选：D． 2．（3 分）（2022 秋•石狮市期末）如图，在四边形BD 中，B＝B＝2，D＝3，D＝1，∠B ＝90°，∠D＝α．则∠BD 的大小为（ ） ．α B．90° α ﹣ ．45°+α D．135° α ﹣ 【分析】由于∠B＝90°，B＝B＝2，利用勾股定理可求，并可求∠B＝45°，而D＝3，D ＝1，易得2+D2＝D2，可证△D 是直角三角形，于是有∠D＝90°，从而易求∠BD，进而得 出∠BD． 【解答】解：连接， ∵∠B＝90°，B＝B＝2， ∴¿ ❑ √A B 2+BC 2=2❑ √2，∠B＝45°， 又∵D＝3，D＝1， ∴2+D2＝8+1＝9，D2＝9， ∴2+D2＝D2， ∴△D 是直角三角形， ∴∠D＝90°， ∴∠DB＝45°+90°＝135°， ∵∠D＝α， ∴∠BD＝360° 90° 135° α ﹣ ﹣ ﹣＝135° α ﹣， 故选：D． 3．（3 分）（2022 春•随县期末）如图，已知钓鱼竿的长为10m，露在水面上的鱼线B 长 为6m，某钓鱼者想看看鱼钩上的情况，把鱼竿转动到'的位置，此时露在水面上的鱼线 B''为8m，则BB'的长为（ ） 1 ．1m B．2m ．3m D．4m 【分析】根据勾股定理分别求出B 和B′，再根据BB′＝B﹣B′即可得出答． 【解答】解：∵＝10m，B＝6m， ∴B¿ ❑ √A C 2−BC 2= ❑ √10 2−6 2=8（m）， ′ ∵＝10m，B′′＝8m， ∴B′¿ ❑ √AC ' 2−B' C ' 2= ❑ √10 2−8 2=6（m）， ∴BB′＝B﹣B′＝8 6 ﹣＝2（m）； 故选：B． 4．（3 分）（2022•台湾）如图，△B 中，有一点P 在上移动．若B＝＝5，B＝6，则 P+BP+P 的最小值为（ ） ．8 B．88 ．98 D．10 【分析】若P+BP+P 最小，就是说当BP 最小时，P+BP+P 才最小，因为不论点P 在上 的那一点，P+P 都等于．那么就需从B 向作垂线段，交于P．先设P＝x，再利用勾股定 理可得关于x 的方程，解即可求x，在Rt△BP 中，利用勾股定理可求BP．那么P+BP+P 的最小值可求． 【解答】解：从B 向作垂线段BP，交于P， 设P＝x，则P＝5﹣x， 在Rt△BP 中，BP2＝B2﹣P2， 在Rt△BP 中，BP2＝B2﹣P2， ∴B2﹣P2＝B2﹣P2， 5 ∴ 2﹣x2＝62﹣（5﹣x）2 解得x＝14， 在Rt△BP 中，BP¿ ❑ √5 2−1.4 2=❑ √23.04=¿48， ∴P+BP+P＝+BP＝5+48＝98． 1 故选：． 5．（3 分）（2022•岷县模拟）如图，在Rt△B 中，分别以三角形的三条边为边向外作正方 形，面积分别记为S1，S2，S3．若S1＝9，S2＝16，则S3的值为（ ） ．7 B．10 ．20 D．25 【分析】由正方形的面积公式可知S1＝B2，S2＝2，S3＝B2，在Rt△B 中，由勾股定理得 2+B2＝B2，即S1+S2＝S3，由此可求S3． 【解答】解：在Rt△B 中，2+B2＝B2， 由正方形面积公式得S1＝B2，S2＝2，S3＝B2， ∵S1＝9，S2＝16， ∴S3＝S1+S2＝9+16＝25． 故选：D． 6．（3 分）（2022•平邑县一模）如图所示的格是正方形格，，B，，D 是格线交点，则∠B 与∠D 的大小关系为（ ） ．∠B＞∠D B．∠B＜∠D ．∠B＝∠D D．无法确定 【分析】连接D，B，设小正方形的边长为1，根据勾股定理求出B、、B、D、D 的长， 根据求出的结果得出B＝，D＝D，2+B2＝B2，D2+D2＝2，求出△B 和△D 都是等腰直角三 角形，再得出选项即可． 【解答】解：连接D，B， 1 设小正方形的边长为1， 由勾股定理得：B2＝22+42＝4+16＝20，B2＝12+32＝1+9＝10，2＝12+32＝1+9＝10，D2＝ 12+22＝1+4＝5，D2＝12+22＝1+4＝5， 所以B＝，D＝D，2+B2＝B2，D2+D2＝2， 即△B 和△D 都是等腰直角三角形， 所以∠B＝∠D＝45°， 故选：． 7．（3 分）（2022•周村区一模）下列长度的三条线段能组成锐角三角形的是（ ） ．2，3，4 B．2，3，5 ．3，4，4 D．3，4，5 【分析】根据勾股定理求出以较短的两条边为直角边的三角形的斜边的长度，然后与较 长的边进行比较作出判断即可． 【解答】解：、∵❑ √2 2+3 2=❑ √13＜4，2+3＞4，∴不能组成锐角三角形； B、∵2+3＝5，∴不能组成三角形； 、∵❑ √3 2+4 2=¿5＞4，3+4＞4，∴能组成锐角三角形； D、∵❑ √3 2+4 2=¿5，是直角三角形，∴不能组成锐角三角形． 故选：． 8．（3 分）（2022•邯郸三模）在证明勾股定理时，甲、乙两位同学分别设计了方： 甲：如图，用四个全等的直角三角形拼成，其中四边形BDE 和四边形FG 均是正方形， 通过用两种方法表示正方形BDE 的面积来进行证明； 乙：两个全等的直角三角板B 和直角三角板DEF，顶点F 在B 边上，顶点、D 重合，通 过用两种方法表示四边形BE 的面积来进行证明． 对于甲、乙两种方，下列判断正确的是（ ） ．甲、乙均对 B．甲对、乙不对 ．甲不对，乙对 D．甲、乙均不对 【分析】甲：根据题意，我们可在图中找等量关系，由中间的小正方形的面积等于大正 方形的面积减去四个直角三角形的面积，列出等式化简即可得出勾股定理的表达式； 乙：根据三角形的面积和梯形的面积公式用两种方法求得四边形BE 的面积，于是得到 1 结论． 【解答】甲：证明：Rt△B 中，∠B＝90°，设＝b，B＝，B＝． 由图可知S 正方形BDE＝4S△B+S 正方形FG ∵S 正方形BDE＝2，S△B¿ 1 2b，正方形FG 边长为﹣b， ∴2＝4× 1 2b+（﹣b）2＝2b+2 2 ﹣b+b2 即2＝2+b2．故甲对； 乙：证明：∵四边形BE 的面积＝S△B+S△BE¿ 1 2B•DG+1 2 B•EG¿ 1 2B•（DG+EG）¿ 1 2B•DE ¿ 1 2 2， 四边形BE 的面积＝S 四边形FE+S△EFB¿ 1 2 ×（+EF）•F+1 2 BF•EF¿ 1 2（b+）b+1 2 （﹣b）•¿ 1 2 b2+1 2 b+1 2 2−1 2 b¿ 1 2 2+1 2 b2， ∴1 2 2¿ 1 2 2+1 2 b2， 即2+b2＝2．故乙对， 故选：． 9．（3 分）（2022 春•康县期末）若一个直角三角形的两边长为4 和5，则第三边长为（ ） ．3 B．❑ √41 ．8 D．3 或❑ √41 【分析】分5 是直角边、5 是斜边两种情况，再由勾股定理即可得出答． 【解答】解：当5 是直角边时，则第三边为：❑ √4 2+5 2=❑ √41； 当5 是斜边时，则第三边为：❑ √5 2−4 2=¿3， 综上所述，第三边的长为3 或❑ √41， 故选：D． 10．（3 分）（2022•东西湖区模拟）在数学活动课上，老师要求学生在4×4 的正方形BD 格中（小正方形的边长为1）画直角三角形，要求三个顶点都在格点上，而且三边与B 或D 都不平行，则画出的形状不同的直角三角形有（ ）种． 1 ．3 B．4 ．5 D．6 【分析】根据三个顶点都在格点上，而且三边与B 或D 都不平行，画出的形状不同的直 角三角形即可． 【解答】解：如图所示： 直角边之比为1：2，如图①和②； 直角边之比为1：3，如图③ 直角边之比为1：1，如图④和⑤． 形状不同的直角三角形共有3 种情况． 故选：． 二．填空题（共6 小题，满分18 分，每小题3 分） 11．（3 分）（2022•绵阳校级自主招生）如图，一牧童在处放羊，牧童的家在B 处，、B 距河岸的距离、BD 分别为500m 和700m，且、D 两地相距500m，天黑前牧童要将羊赶 往河边喝水再回家，那么牧童至少应该走 1300 m． 1 【分析】本题可以把两线段的和最小的问题转化为两点之间线段最短的问题解决．转化 的方法是作关于D 的对称点，求解对称点与B 之间的距离即可． 【解答】解：作关于D 的对称点E，连接BE，并作BF⊥于点F． 则EF＝BD+＝500+700＝1200m，BF＝D＝500m． 在Rt△BEF 中，根据勾股定理得：BE¿ ❑ √BF 2+EF 2= ❑ √1200 2+500 2=¿1300 米． 12．（3 分）（2022•岳麓区校级自主招生）如图Rt△B 中，＝12，B＝5，分别以B，，B 为 直径作半圆，则图中阴影部分的面积为 30 ． 【分析】利用勾股定理列式求出B，再根据阴影部分的面积等于阴影部分所在的两个半 圆的面积加上△B 的面积减去大半圆的面积，列式计算即可得解． 【解答】解：∵＝12，B＝5， ∴B¿ ❑ √AC 2+BC 2= ❑ √12 2+5 2=¿13， ∴阴影部分的面积¿ 1 2π（12 2 ）2+1 2 π（5 2）2+1 2 ×12×5−1 2 π（13 2 ）2 ¿ 144 8 π+25 8 π+30−169 8 π ＝30． 故答为：30． 13．（3 分）（2022•无棣县二模）观察下列一组数： 列举：3、4、5，猜想：32＝4+5； 列举：5、12、13，猜想：52＝12+13； 1 列举：7、24、25，猜想：72＝24+25； … 列举：13、b、，猜想：132＝b+； 请你分析上述数据的规律，结合相关知识求得b＝ 84 ，＝ 85 ． 【分析】认真观察三个数之间的关系：首先发现每一组的三个数为勾股数，第一个数为 从3 开始连续的奇数，第二、三个数为连续的自然数；进一步发现第一个数的平方是第 二、三个数的和；最后得出第组数为（2+1），（(2n+1) 2−1 2 ），（(2n+1) 2+1 2 ）， 由此规律解决问题． 【解答】解：在32＝4+5 中，4¿ 3 2−1 2 ，5¿ 3 2+1 2 ； 在52＝12+13 中，12¿ 5 2−1 2 ，13¿ 5 2+1 2 ； … 则在13、b、中，b¿ 13 2−1 2 =¿84，¿ 13 2+1 2 =¿85． 14．（3 分）（2022•浙江自主招生）如图，设D、BE、F 为三角形B 的三条高，若B＝6， B＝5，E﹣E¿ 11 5 ，则线段BE 的长为 24 5 ． 【分析】可设E＝x，E＝y，则根据勾股定理和已知条件可得方程组，解方程组可求E 的长，再根据勾股定理可求线段BE 的长． 【解答】解：设E＝x，E＝y，则 { 36−x 2=25−y 2 x−y=11 5 ， 解得x¿ 18 5 ， 则BE¿ ❑ √A B 2−A E 2=24 5 ． 故答为：24 5 ． 15．（3 分）（2022 秋•兰考县期末）周长为24，斜边长为10 的直角三角形面积为 24 1 ． 【分析】设直角三角形两直角边长为，b，由周长与斜边的关系得+b＝14，中由完全平 方公式和勾股定理求出b 的值，即可求出三角形的面积． 【解答】解：设直角三角形两直角边长为，b， ∵该直角三角形的周长为24，其斜边长为10， 24 ∴ ﹣（+b）＝10， 即+b＝14， 由勾股定理得：2+b2＝102＝100， ∵（+b）2＝142， ∴2+b2+2b＝196， 即100+2b＝196， ∴b＝48， ∴直角三角形的面积¿ 1 2b＝24， 故答为：24． 16．（3 分）（2022 春•铁东区期末）甲、乙两艘客轮同时离开港口，航行的速度都是 40m/m，甲客轮用15m 到达点，乙客轮用20m 到达点B．若，B 两点的直线距离为 1000m，甲客轮沿着北偏东30°的方向航行，则乙客轮的航行方向可能是 南偏东 60° 或 北偏西 60° ． 【分析】首先根据速度和时间计算出行驶路程，再根据勾股定理逆定理结合路程可判断 出甲和乙两艘轮船的行驶路线呈垂直关系，进而可得答． 【解答】解：如图： ∵甲乙两艘客轮同时离开港口，航行的速度都是每分钟40m，甲客轮用15 分钟到达点， 乙客轮用20 分钟到达点B， ∴甲客轮走了40×15＝600（m），乙客轮走了40×20＝800（m）， ∵、B 两点的直线距离为1000m， 600 ∴ 2+8002＝10002， ∴∠B＝90°， ∵甲客轮沿着北偏东30°的方向航行， ∴乙客轮的航行方向可能是南偏东60°， 同理可得：乙客轮的航行方向也可能是北偏西60°． 综上所述：乙客轮的航行方向可能是南偏东60°或北偏西60°． 故答为：南偏东60°或北偏西60°． 1 三．解答题（共7 小题，满分52 分） 17．（6 分）（2022 秋•伊川县期末）如图所示，已知△B 中，D⊥B 于D，＝4，B＝3，DB ¿ 9 5 ． （1）求D 的长； （2）求D 的长； （3）求证：△B 是直角三角形． 【分析】（1）直接利用勾股定理求出D 的长即可； （2）利用（1）中所求，直接利用勾股定理求出D 的长即可； （3）利用（2）中所求进而勾股定理的逆定理求出即可． 【解答】（1）解：在Rt△BD 中，D¿ ❑ √BC 2−B D 2=❑ √3 2−( 9 5 ) 2=12 5 ； （2）解：在Rt△D 中 D¿ ❑ √A C 2−DC 2=❑ √4 2−( 12 5 ) 2=16 5 ； （3）证明：∵B2＝9，2＝16， （BD+D）2＝25， ∴B2+2＝B2， ∴△B 是直角三角形． 18．（6 分）（2022 春•肥东县期末）如图，已知等腰三角形B 的底边B＝20m，D 是腰B 上的一点，且BD＝12m，D＝16m． （1）求证：△BD 是直角三角形； 1 （2）求△B 的周长， 【分析】（1）求出BD2+D2＝B2，再根据勾股定理的逆定理得出即可； （2）设B＝＝xm，则D＝（x 12 ﹣ ）m，根据勾股定理求出x，求出＝B＝15m，再求出 周长即可． 【解答】（1）证明：∵在△BD 中，B＝20m，BD＝12m，D＝16m． ∴BD2+D2＝B2， ∴∠BD＝90°， ∴△BD 是直角三角形； （2）解：设B＝＝xm，则D＝（x 12 ﹣ ）m， 在Rt△D 中，由勾股定理得：D2+D2＝2， 即（x 12 ﹣ ）2+162＝x2， 解得：x¿ 50 3 ， 即B＝¿ 50 3 m， ∵B＝20m， ∴△B 的周长是B++B¿ 50 3 m+50 3 m+20m¿ 160 3 m． 19．（8 分）（2022 春•合肥期末）早在我国西汉时期算书《周髀算经》就有“勾三股四弦 五”的记载．如果一个直角三角形三边长都是正整数，这样的直角三角形叫做“整数直 角三角形”，那么这三个整数叫做一组“勾股数”．在一次“构造勾股数”的探究性学 习中，老师给出了下表（其中m，为正整数，且m＞）： m 2 3 3 4 4 … 1 1 2 1 2 … 22+12 32+12 32+22 42+12 42+22 … b 4 6 12 8 16 … 22 1 ﹣ 2 32 1 ﹣ 2 32 2 ﹣ 2 42 1 ﹣ 2 42 2 ﹣ 2 … （1）探究，b，与m，之间的关系并用含m，的代数式表示：＝ m 2 + 2 ，b＝ 2 m ，＝ m 2 ﹣ 2 ． （2）以，b，为边长的三角形是否一定为直角三角形？请说明理由． 1 【分析】（1）根据给出的数据总结即可； （2）分别计算出2、b2、2，根据勾股定理的逆定理进行判断． 【解答】解：（1）观察得，＝m2+2，b＝2m，＝m2﹣2． 故答为：m2+2，2m，m2﹣2； （2）以，b，为边长的三角形一定为直角三角形，理由如下： ∵2＝（m2+2）2＝m4+2m22+4， b2+2＝m4 2 ﹣m22+4+4m22＝m4+2m22+4， ∴2＝b2+2， ∴以，b，为边长的三角形一定为直角三角形． 20．（8 分）（2022 秋•泰兴市期末）阅读理解并解答问题 如果、b、为正整数，且满足2+b2＝2，那么，、b、叫做一组勾股数． （1）请你根据勾股数的意思，说明为什么3、4、5 是一组勾股数； （2）写出一组不同于3、4、5 的勾股数； （3）如果m 表示大于1 的整数，且＝2m，b＝m2 1 ﹣，＝m2+1，请你根据勾股数的意思， 说明、b、为勾股数． 【分析】（1）直接利用勾股数的定义去验证即可； （2）根据勾股数的定义：满足2+b2＝2的三个正整数，称为勾股数，即可写出一组勾股 数； （3）得到2+b2＝2即可得到这是一组勾股数． 【解答】解：（1）∵3、4、5 是正整数，且32+42＝52， 3 ∴、4、5 是一组勾股数； （2）∵122+162＝202，且12，16，20 都是正整数， ∴一组勾股数可以是12，16，20．答不唯一； （3）∵m 表示大于1 的整数， ∴由＝2m，b＝m2 1 ﹣，＝m2+1 得到、b、均为正整数； 又∵2+b2＝（2m）2+（m2 1 ﹣）2＝4m2+m4 2 ﹣m2+1＝m4+2