专题17.1 勾股定理及其逆定理【九大题型】（解析版）

专题171 勾股定理及其逆定理【九大题型】 【人版】 【题型1 勾股定理的运用】.....................................................................................................................................1 【题型2 直角三角形中的分类讨论思想】.............................................................................................................5 【题型3 勾股定理解勾股树问题】.........................................................................................................................7 【题型4 勾股定理解动点问题】...........................................................................................................................10 【题型5 勾股定理的验证】...................................................................................................................................14 【题型6 直角三角形的判定】...............................................................................................................................19 【题型7 勾股数问题】...........................................................................................................................................22 【题型8 格点图中求角的度数】...........................................................................................................................24 【题型9 勾股定理及其逆定理的运用】............................................................................................................... 27 【知识点1 勾股定理】 在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．如果直角三 角形的两条直角 边长分别是，b，斜边长为，那么a 2+b 2=c 2． 【题型1 勾股定理的运用】 【例1】（2022•和平区三模）如图，在△B 中，∠＝90°，D 平分∠B，D＝15，BD＝25，则 的长为（ ） ．5 B．4 ．3 D．2 【分析】过点D 作DE⊥B 于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得D＝ DE，再利用勾股定理列式求出BE，然后设＝E＝x，根据勾股定理列式计算即可得解． 【解答】解：如图，过D 作DE⊥B 于E， 1 ∵∠＝90°，D 平分∠B，D＝15， ∴DE＝D＝15， 在Rt△DEB 中，由勾股定理得： BE¿ ❑ √B D 2−D E 2= ❑ √2．5 2−1．5 2=¿2， ∵D＝D，D＝DE，∠＝∠ED， Rt ∴ △D Rt ≌ △ED， ∴＝E， 设＝E＝x，则B＝x+2， 由勾股定理得：B2＝2+B2， 即（x+2）2＝x2+42， 解得x＝3， ∴＝3． 故选：． 【变式1-1】（2022 春•上杭县期中）如图在Rt△B 中，∠B＝90°，B＝8，＝10，的垂直平 分线DE 分别交B、于D、E 两点，则BD 的长为（ ） ．3 2 B．7 4 ．2 D．5 2 【分析】先根据线段垂直平分线的性质得出D＝D，故B＝BD+D＝BD+D，设D＝x，则 BD＝8﹣x，在Rt△BD 中根据勾股定理求出x 的值即可解答． 【解答】解：∵∠B＝90°，B＝8，＝10， ∴B＝6， ∵DE 是的垂直平分线， ∴D＝D， ∴B＝BD+D＝BD+D＝8， 设D＝x，则BD＝8﹣x， 1 在Rt△BD 中，D2＝B2+BD2， 即x2＝62+（8﹣x）2， 解得x＝625． ∴BD＝8 625 ﹣ ＝175¿ 7 4 ． 故选：B． 【变式1-2】（2022 春•汉阳区期中）如图，在△B 中B＝＝10，B＝16，若∠BD＝3∠D，则 D＝ ． 【分析】先作E⊥B 于点E，作DF⊥于点F，然后根据等腰三角形的性质和勾股定理， 可以得到E 的值，D 平分∠E，从而可以得到DE＝DF，再根据等面积法即可求得D 的长． 【解答】解：作E⊥B 于点E，作DF⊥于点F，如图所示， ∵B＝＝10，B＝16， ∴E＝8， ∴D¿ ❑ √A C 2−C E 2= ❑ √10 2−8 2=¿6， 设∠D＝x，则∠D＝3x， ∵E⊥B，B＝， ∴∠BE＝∠E＝2x， ∴∠ED＝∠D， ∴DE＝DF， 设D＝，则DE＝8﹣， ∵CD⋅AE 2 = AC ⋅DF 2 ， ∴a×6 2 =10×(8−a) 2 ， 解得＝5， 即D＝5， 故答为：5． 1 【变式1-3】（2021 秋•朝阳区校级期末）如图，在△B 中，∠＝90°，B＝30，D 是上一点， D：D＝25：7，且DB＝D，过B 上一点P，作PE⊥于E，PF⊥BD 于F，则PE+PF 长是 ． 【分析】如图作⊥BD 交BD 的延长线于，设D＝BD＝25k，D＝7k，在Rt△DB 中，B ¿ ❑ √B D 2−C D 2=¿24k，在Rt△B 中，由2+B2＝B2，可得（32k）2+（24k）2＝302，推出 k¿ 3 4 ，B＝18，由△D≌△BD，推出＝B＝18，由S△BD¿ 1 2•BD•¿ 1 2•D•PF+1 2 •BD•PF，推出 PE+PF＝＝18， 【解答】解：如图作⊥BD 交BD 的延长线于，设D＝BD＝25k，D＝7k， 在Rt△DB 中，B¿ ❑ √B D 2−C D 2=¿24k， 在Rt△B 中，∵2+B2＝B2， ∴（32k）2+（24k）2＝302， ∴k¿ 3 4 ， ∴B＝18， 在△D 和△BD 中， { ∠ADH=∠BDC ∠H=∠C=90° AD=BD ， ∴△D≌△BD， ∴＝B＝18， ∵S△BD¿ 1 2•BD•¿ 1 2•D•PF+1 2 •BD•PF， ∴PE+PF＝＝18， 故答为18． 1 【题型2 直角三角形中的分类讨论思想】 【例2】（2022 春•长沙月考）已知△B 中，B＝13，＝15，B 边上的高为12．则△B 的面积 为（ ） ．24 或84 B．84 ．48 或84 D．48 【分析】在Rt△BD 和Rt△D 中分别进行计算，求出BD 和D，再根据三角形的面积公式 即可求解． 【解答】解：∵B＝13，＝15，B 边上的高D＝12， 在Rt△BD 中， BD¿ ❑ √A B 2−A D 2=¿5， 在Rt△D 中， D¿ ❑ √A C 2−A D 2=¿9， ∴B＝BD+D＝14，B＝D﹣BD＝4， ∴△B 的面积¿ 1 2 ×14×12＝84，或¿ 1 2 ×4×12=24； 故选：． 【变式2-1】（2022 春•宁津县期中）△B 中，B＝15，＝13，高D＝12，则△B 的周长是（ ） ．42 B．32 ．42 或32 D．42 或37 【分析】本题应分两种情况进行讨论： （1）当△B 为锐角三角形时，在Rt△BD 和Rt△D 中，运用勾股定理可将BD 和D 的长求 1 出，两者相加即为B 的长，从而可将△B 的周长求出； （2）当△B 为钝角三角形时，在Rt△BD 和Rt△D 中，运用勾股定理可将BD 和D 的长求 出，两者相减即为B 的长，从而可将△B 的周长求出． 【解答】解：此题应分两种情况说明： （1）当△B 为锐角三角形时，在Rt△BD 中， BD¿ ❑ √A B 2−A D 2=¿9， 在Rt△D 中， D¿ ❑ √A C 2−A D 2=¿5 ∴B＝5+9＝14 ∴△B 的周长为：15+13+14＝42； （2）当△B 为钝角三角形时， 在Rt△BD 中，BD＝9， 在Rt△D 中，D＝5， ∴B＝9 5 ﹣＝4． ∴△B 的周长为：15+13+4＝32 ∴当△B 为锐角三角形时，△B 的周长为42；当△B 为钝角三角形时，△B 的周长为32． 综上所述，△B 的周长是42 或32． 故选：． 【变式2-2】（2022 春•香河县期中）已知直角三角形两边的长为5 和12，则此三角形的周 长为（ ） ．30 B．❑ √119+¿17 ．❑ √119+¿17 或30 D．36 【分析】先设Rt△B 的第三边长为x，由于12 是直角边还是斜边不能确定，故应分12 是 斜边或x 为斜边两种情况讨论． 【解答】解：设Rt△B 的第三边长为x， ①当12 为直角三角形的直角边时，x 为斜边， 由勾股定理得，x¿ ❑ √5 2+12 2=¿13，此时这个三角形的周长＝5+12+13＝30； ②当12 为直角三角形的斜边时，x 为直角边， 由勾股定理得，x¿ ❑ √12 2−5 2=❑ √119，此时这个三角形的周长＝5+12+❑ √119=❑ √119+¿ 1 17， 综上所述，该三角形的周长为30 或❑ √119+¿17． 故选：． 【变式2-3】（2022 春•海淀区校级期中）在Rt△B 中，∠B＝90°，＝4，B＝5．点P 在直线 上，且BP＝6，则线段P 的长为 ． 【分析】当点P 在延长线上时，当点P 在延长线上时，根据勾股定理即可得到结论． 【解答】解：在Rt△B 中，∠B＝90°，＝4，B＝5， ∴B¿ ❑ √A B 2−A C 2=¿3， 当点P 在延长线上时，∵BP＝6，B＝6， ∴P¿ ❑ √B P 2−BC 2= ❑ √6 2−3 2=¿3❑ √3， ∴P＝P﹣＝3❑ √3−¿4； 当点P 在延长线上时，∵BP′＝6，B＝3， ∴P′＝3❑ √3， + ∴P′＝4+3❑ √3， 综上所述，线段P 的长为3❑ √3−¿4 或3❑ √3+¿4； 故答为：3❑ √3−¿4 或3❑ √3+¿4． 【题型3 勾股定理解勾股树问题】 【例3】（2021 秋•南关区期末）如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是 直角三角形，若正方形、B、D 的面积依次为6、10、24，则正方形的面积为（ ） ．4 B．6 ．8 D．12 【分析】根据勾股定理的几何意义：S 正方形+S 正方形B＝S 正方形E，S 正方形D﹣S 正方形＝S 正方 形E解得即可． 【解答】解：由题意：S 正方形+S 正方形B＝S 正方形E，S 正方形D﹣S 正方形＝S 正方形E， 1 ∴S 正方形+S 正方形B＝S 正方形D﹣S 正方形 ∵正方形、B、D 的面积依次为6、10、24， 24 ∴ ﹣S 正方形＝6+10， ∴S 正方形＝8． 故选：． 【变式3-1】（2021 秋•高新区校级期末）如图，在四边形BD 中，∠DB＝∠BD＝90°，分别 以四边形的四条边为边向外作四个正方形，若S1+S4＝135，S3＝49，则S2＝（ ） ．184 B．86 ．119 D．81 【分析】利用勾股定理的几何意义解答． 【解答】解：由题意可知：S1＝B2，S2＝B2，S3＝D2，S4＝D2， 连接BD，在直角△BD 和△BD 中， BD2＝D2+B2＝D2+B2， 即S1+S4＝S3+S2， 因此S2＝135 49 ﹣ ＝86， 故选：B． 【变式3-2】（2022 春•泗水县期中）有一个边长为1 的正方形，经过一次“生长”后，在 它的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经 过一次“生长”后，变成了如图，如果继续“生长”下去，他将变得“枝繁叶茂”，请 你计算出“生长”了2022 次后形成的图形中所有正方形的面积之和为（ ） ．2020 B．2021 ．2022 D．2023 【分析】根据勾股定理求出“生长”了1 次后形成的图形中所有的正方形的面积和，结 合图形总结规律，根据规律解答即可． 1 【解答】解：由题意得，正方形的面积为1， 由勾股定理得，正方形B 的面积+正方形的面积＝1， “ ∴生长”了1 次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2， 同理可得，“生长”了2 次后形成的图形中所有的正方形的面积和为3， “ ∴生长”了3 次后形成的图形中所有的正方形的面积和为4， …… “ ∴生长”了2022 次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2023． 故选：D． 【变式3-3】（2022 春•张湾区期中）如图①，在△B 中，∠B＝90°，：B＝4：3，这个直角 三角形三边上分别有一个正方形．执行下面的操作：由两个小正方形向外分别作直角边 之比为4：3 的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形． 图②是1 次操作后的图形，图③是2 次操作后的图形．如果图①中的直角三角形的周 长为12，那么10 次操作后的图形中所有正方形的面积和为（ ） ．225 B．250 ．275 D．300 【分析】根据勾股定理、三角形的周长公式分别求出＝4，B＝3，B＝5，根据勾股定理 计算得出规律，根据规律解答即可． 【解答】解：设＝4x，则B＝3x， 由勾股定理得：B¿ ❑ √A C 2+BC 2=¿5x， ∵△B 的周长为12， 3 ∴x+4x+5x＝12， 1 解得：x＝1， ∴＝4，B＝3，B＝5， 第1 次操作后的图形中所有正方形的面积和为：32+42+32+42+52＝25+50， 第2 次操作后的图形中所有正方形的面积和为：32+42+32+42+32+42+52＝25×2+50， 第3 次操作后的图形中所有正方形的面积和为：32+42+32+42+32+42+32+42+52 ＝ 25×3+50， …… 第10 次操作后的图形中所有正方形的面积和为：25×10+50＝300， 故选：D． 【题型4 勾股定理解动点问题】 【例4】（2021 秋•开福区校级期末）如图，Rt△B 中，∠B＝90°，B＝25m，＝7m，动点P 从点B 出发沿射线B 以2m/s 的速度运动，设运动时间为ts，当△PB 为等腰三角形时，t 的值为（ ） ．625 96 或25 2 B．25 2 或24 或12 ．625 96 或24 或12 D．625 96 或25 2 或24 【分析】当△BP 为等腰三角形时，分三种情况：①当B＝BP 时；②当B＝P 时；③当 BP＝P 时，分别求出BP 的长度，继而可求得t 值． 【解答】解：∵∠＝90°，B＝25m，＝7m， ∴B＝24m． ①当BP＝B＝25 时， ∴t¿ 25 2 ． ②当B＝P 时，BP＝2B＝48m， ∴t＝24． ③当PB＝P 时，PB＝P＝2t m，P＝（24 2 ﹣t）m，＝7m， 在Rt△P 中，P2＝2+P2， ∴（2t）2＝72+（24 2 ﹣t）2， 解得t¿ 625 96 ． 1 综上，当△BP 为等腰三角形时，t¿ 25 2 或24 或625 96 ， 故选：D． 【变式4-1】（2021 秋•宛城区期末）如图，在Rt△B 中，∠B＝90°，B＝40m，＝30m，动 点P 从点B 出发沿射线B 以2m/s 的速度运动．则当运动时间t＝ s 时，△BP 为直 角三角形． 【分析】首先根据勾股定理求出斜边B 的长度，利用三角形的面积求出斜边上的高D， 再分两种情况进行讨论：①当∠BP 为直角时，②当∠BP 为直角时，分别求出此时的t 值即可． 【解答】解：在Rt△B 中，∠B＝90°，B＝40m，＝30m， ∴B¿ ❑ √BC 2+ A C 2= ❑ √4 0 2+30 2=¿50（m）． 如图，作B 边上的高D． ∵S△B¿ 1 2B•D¿ 1 2•B， ∴D¿ AC ⋅BC AB =30×40 50 =¿24（m）． ①当∠BP 为直角时，点P 与点重合，BP＝B＝50m， ∴t＝50÷2＝25（秒）． ②当∠BP 为直角时，P 与D 重合，BP＝2tm，P＝24m，B＝40m， 在Rt△BP 中，∵BP2+P2＝B2， ∴（2t）2+242＝402， 解得t＝16． 综上，当t＝25 或16 秒时，△BP 为直角三角形． 故答为：25 或16． 【变式4-2】（2022 春•蚌山区校级期中）如图，在△B 中，∠B＝90°，B＝10，＝8，点P 从 1 点出发，以每秒2 个单位长度的速度沿折线﹣B﹣运动．设点P 的运动时间为t 秒（t＞ 0）． （1）B 的长是 ． （2）当点P 刚好在∠B 的角平分线上时，t 的值为 ． 【分析】（1）由勾股定理可直接求解； （2）过点P 作PD⊥B，结合题意，由角平分线的性质可推得BP，PD，BD 的长，再根 据勾股定理即可求解． 【解答】解：（1）在△B 中，∠B＝90°，B＝10，＝8，BC= ❑ √A B 2−A C 2=6， 故答为：6； （2）当点P 在∠B 的角平分线上时，过点P 作PD⊥B，如图． ∵P 平分∠B，B⊥，PD⊥B，点P 从点出发，以每秒2 个单位长度的速度沿折线﹣B﹣运 动． ∴PD＝P＝16 2 ﹣t，BP＝2t 10 ﹣ ， ∴D＝＝8， ∴BD＝2． 在Rt△BDP 中，由勾股定理得22+（16 2 ﹣t）2＝（2t 10 ﹣ ）2， 解得t=20 3 ， 故答为：20 3 ． 【变式4-3】（2022 春•河东区期中）如图，已知△B 中，∠B＝90°，B＝16m，B＝12m， P、Q 是△B 边上的两个动点，其中点P 从点开始沿→B 方向运动，且速度为每秒1m，点 Q 从点B 开始沿B→→方向运动，且速度为每秒2m，它们同时出发，同时停止． （1）P、Q 出发4 秒后，求PQ 的长； （2）当点Q 在边上运动时，出发几秒钟后，△QB 能形成直角三角形？ 1 【分析】（1）根