专题17.1 勾股定理及其逆定理【九大题型】（原卷版）

专题171 勾股定理及其逆定理【九大题型】 【人版】 【题型1 勾股定理的运用】.....................................................................................................................................1 【题型2 直角三角形中的分类讨论思想】.............................................................................................................2 【题型3 勾股定理解勾股树问题】.........................................................................................................................2 【题型4 勾股定理解动点问题】.............................................................................................................................4 【题型5 勾股定理的验证】.....................................................................................................................................5 【题型6 直角三角形的判定】.................................................................................................................................7 【题型7 勾股数问题】............................................................................................................................................. 8 【题型8 格点图中求角的度数】.............................................................................................................................9 【题型9 勾股定理及其逆定理的运用】............................................................................................................... 10 【知识点1 勾股定理】 在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．如果直角三 角形的两条直角 边长分别是，b，斜边长为，那么a 2+b 2=c 2． 【题型1 勾股定理的运用】 【例1】（2022•和平区三模）如图，在△B 中，∠＝90°，D 平分∠B，D＝15，BD＝25，则 的长为（ ） ．5 B．4 ．3 D．2 【变式1-1】（2022 春•上杭县期中）如图在Rt△B 中，∠B＝90°，B＝8，＝10，的垂直平 分线DE 分别交B、于D、E 两点，则BD 的长为（ ） 1 ．3 2 B．7 4 ．2 D．5 2 【变式1-2】（2022 春•汉阳区期中）如图，在△B 中B＝＝10，B＝16，若∠BD＝3∠D，则 D＝ ． 【变式1-3】（2021 秋•朝阳区校级期末）如图，在△B 中，∠＝90°，B＝30，D 是上一点， D：D＝25：7，且DB＝D，过B 上一点P，作PE⊥于E，PF⊥BD 于F，则PE+PF 长是 ． 【题型2 直角三角形中的分类讨论思想】 【例2】（2022 春•长沙月考）已知△B 中，B＝13，＝15，B 边上的高为12．则△B 的面积 为（ ） ．24 或84 B．84 ．48 或84 D．48 【变式2-1】（2022 春•宁津县期中）△B 中，B＝15，＝13，高D＝12，则△B 的周长是（ ） ．42 B．32 ．42 或32 D．42 或37 【变式2-2】（2022 春•香河县期中）已知直角三角形两边的长为5 和12，则此三角形的周 长为（ ） ．30 B．❑ √119+¿17 ．❑ √119+¿17 或30 D．36 【变式2-3】（2022 春•海淀区校级期中）在Rt△B 中，∠B＝90°，＝4，B＝5．点P 在直线 上，且BP＝6，则线段P 的长为 ． 【题型3 勾股定理解勾股树问题】 【例3】（2021 秋•南关区期末）如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是 直角三角形，若正方形、B、D 的面积依次为6、10、24，则正方形的面积为（ ） 1 ．4 B．6 ．8 D．12 【变式3-1】（2021 秋•高新区校级期末）如图，在四边形BD 中，∠DB＝∠BD＝90°，分别 以四边形的四条边为边向外作四个正方形，若S1+S4＝135，S3＝49，则S2＝（ ） ．184 B．86 ．119 D．81 【变式3-2】（2022 春•泗水县期中）有一个边长为1 的正方形，经过一次“生长”后，在 它的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经 过一次“生长”后，变成了如图，如果继续“生长”下去，他将变得“枝繁叶茂”，请 你计算出“生长”了2022 次后形成的图形中所有正方形的面积之和为（ ） ．2020 B．2021 ．2022 D．2023 【变式3-3】（2022 春•张湾区期中）如图①，在△B 中，∠B＝90°，：B＝4：3，这个直角 三角形三边上分别有一个正方形．执行下面的操作：由两个小正方形向外分别作直角边 之比为4：3 的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形． 图②是1 次操作后的图形，图③是2 次操作后的图形．如果图①中的直角三角形的周 长为12，那么10 次操作后的图形中所有正方形的面积和为（ ） 1 ．225 B．250 ．275 D．300 【题型4 勾股定理解动点问题】 【例4】（2021 秋•开福区校级期末）如图，Rt△B 中，∠B＝90°，B＝25m，＝7m，动点P 从点B 出发沿射线B 以2m/s 的速度运动，设运动时间为ts，当△PB 为等腰三角形时，t 的值为（ ） ．625 96 或25 2 B．25 2 或24 或12 ．625 96 或24 或12 D．625 96 或25 2 或24 【变式4-1】（2021 秋•宛城区期末）如图，在Rt△B 中，∠B＝90°，B＝40m，＝30m，动 点P 从点B 出发沿射线B 以2m/s 的速度运动．则当运动时间t＝ s 时，△BP 为直 角三角形． 【变式4-2】（2022 春•蚌山区校级期中）如图，在△B 中，∠B＝90°，B＝10，＝8，点P 从 点出发，以每秒2 个单位长度的速度沿折线﹣B﹣运动．设点P 的运动时间为t 秒（t＞ 0）． （1）B 的长是 ． （2）当点P 刚好在∠B 的角平分线上时，t 的值为 ． 1 【变式4-3】（2022 春•河东区期中）如图，已知△B 中，∠B＝90°，B＝16m，B＝12m， P、Q 是△B 边上的两个动点，其中点P 从点开始沿→B 方向运动，且速度为每秒1m，点 Q 从点B 开始沿B→→方向运动，且速度为每秒2m，它们同时出发，同时停止． （1）P、Q 出发4 秒后，求PQ 的长； （2）当点Q 在边上运动时，出发几秒钟后，△QB 能形成直角三角形？ 【题型5 勾股定理的验证】 【例5】勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了 小聪以灵感，他惊喜的发现，当两个全等的直角三角形如图1 或图2 摆放时，都可以用 “面积法”来证明，下面是小聪利用图1 证明勾股定理的过程： 将两个全等的直角三角形按图1 所示摆放，其中∠DB＝90°，求证：2+b2＝2 证明：连接DB，过点D 作B 边上的高DF，则DF＝E＝b﹣ ∵S 四边形DB＝S△D+S△B¿ 1 2b2+1 2 b． 又∵S 四边形DB＝S△DB+S△DB¿ 1 2 2+1 2 （b﹣） ∴1 2b2+1 2 b¿ 1 2 2+1 2 （b﹣） ∴2+b2＝2 请参照上述证法，利用图2 完成下面的证明． 将两个全等的直角三角形按图2 所示摆放，其中∠DB＝90°．求证：2+b2＝2． 1 【变式5-1】（2022 春•巢湖市校级期中）学习勾股定理之后，同学们发现证明勾股定理有 很多方法．某同学提出了一种证明勾股定理的方法：如图1 点B 是正方形DE 边D 上一 点，连接B，得到直角三角形B，三边分别为，b，，将△B 裁剪拼接至△EF 位置，如图2 所示，该同学用图1、图2 的面积不变证明了勾股定理．请你写出该方法证明勾股定理 的过程． 【变式5-2】（2021 秋•朝阳区期末）【阅读理解】我国古人运用各种方法证明勾股定理， 如图①，用四个直角三角形拼成正方形，通过证明可得中间也是一个正方形．其中四 个直角三角形直角边长分别为、b，斜边长为．图中大正方形的面积可表示为（+b）2， 也可表示为2+4× 1 2b，即（+b）2＝2+4× 1 2b，所以2+b2＝2． 【尝试探究】美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”如图②所示，用两个全等的 直角三角形拼成一个直角梯形BDE，其中△B≌△DE，∠＝∠D＝90°，根据拼图证明勾股 定理． 【定理应用】在Rt△B 中，∠＝90°，∠、∠B、∠所对的边长分别为、b、． 求证：22+2b2＝4﹣b4． 1 【变式5-3】（2022 春•寿光市期中）如图①，美丽的弦图，蕴含着四个全等的直角三角形． （1）弦图中包含了一大，一小两个正方形，已知每个直角三角形较长的直角边为，较 短的直角边为b，斜边长为，结合图①，试验证勾股定理． （2）如图②，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成飞镖状，已知外围轮廓（粗线） 的周长为24，＝3，求该飞镖状图的面积． （3）如图③，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形BD，正方形 EFG，正方形MKT 的面积分别为S1，S2，S3，若S1+S2+S3＝40，则S2＝ ． 【知识点2 勾股定理的逆定理】 如果三角形的三边长，b，满足a 2+b 2=c 2，那么这个三角形就是直角三角形． 【题型6 直角三角形的判定】 【例6】（2022 春•绥宁县期中）若△B 的三边长分别为、b、，下列条件中能判断△B 是直 角三角形的有（ ） ①∠＝∠B﹣∠，②∠：∠B：∠＝3：4：5，③∠＝90°﹣∠B，④∠＝∠B¿ 1 2∠，⑤2＝ （b+）（b﹣），⑥：b：＝5：12：13． ．3 个 B．4 个 ．5 个 D．6 个 【变式6-1】（2022 春•赣州月考）下列满足条件的三角形中，不是直角三角形的是（ ） ．在△B 中，若¿ 3 5，b¿ 4 5 ．则△B 为直角三角形 B．三边长的平方之比为1：2：3 ．三内角之比为3：4：5 D．三边长分别为，b，，＝1+2，＝2 1 ﹣，b＝2（＞1） 1 【变式6-2】（2022 春•汉滨区期中）若△B 的三边长，b，满足（﹣）2＝b2 2 ﹣，则（ ） ．∠为直角 B．∠B 为直角 ．∠为直角 D．△B 不是直角三角形 【变式6-3】（2022 春•开州区期中）下列是直角三角形的有（ ）个 ①△B 中2＝2﹣b2 ②△B 的三内角之比为3：4：7 ③△B 的三边平方之比为1：2：3 ④三角形三边之比为3：4：5 ．1 B．2 ．3 D．4 【题型7 勾股数问题】 【例7】（2022 春•滑县月考）在学习“勾股数”的知识时，小明发现了一组有规律的勾股 数，并将它们记录在如下的表格中． 6 8 10 12 14 … b 8 15 24 35 48 … 10 17 26 37 50 … 则当＝24 时，b+的值为（ ） ．162 B．200 ．242 D．288 【变式7-1】（2022•湖北）勾股定理最早出现在商高的《周髀算经》：“勾广三，股修四， 经隅五”．观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，这类勾股数的特 点是：勾为奇数，弦与股相差为1．柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差为2 的一类勾 股数，如：6，8，10；8，15，17；…，若此类勾股数的勾为2m（m≥3，m 为正整数）， 则其弦是 （结果用含m 的式子表示）． 【变式7-2】（2022 春•白云区期末）（1）3k，4k，5k（k 是正整数）是一组勾股数吗？如 果是，请证明；如果不是，请说明理由； （2）如果，b，是一组勾股数，那么k，bk，k（k 是正整数）也是一组勾股数吗？如果 是，请证明；如果不是，请说明理由． 【变式7-3】（2022•石家庄三模）已知：整式＝2+1，B＝2，＝2 1 ﹣，整式＞0． （1）当＝1999 时，写出整式+B 的值 （用科学记数法表示结果）； （2）求整式2﹣B2； （3）嘉淇发现：当取正整数时，整式、B、满足一组勾股数，你认为嘉淇的发现正确吗？ 请说明理由． 1 【题型8 格点图中求角的度数】 【例8】（2021 秋•伊川县期末）如图，正方形BD 是由9 个边长为1 的小正方形组成的， 点E，F 均在格点（每个小正方形的顶点都是格点）上，连接E，F，则∠EF 的度数是 ． 【变式8-1】（2022•惠山区一模）如图所示的格是由相同的小正方形组成的格，点，B，P 是格线的交点，则∠PB+∠PB＝ °． 【变式8-2】（2022 春•武侯区校级期末）如图，在正方形格中，每个小正方形的边长均为 1，点，B，，D，P 都在格点上，连接P，P，D，则∠PB﹣∠PD＝ ． 【变式8-3】（2022 春•孝南区期中）如图所示的格是正方形格，△B 和△DE 的顶点都是格 线交点，那么∠B+∠DE＝ ． 【题型9 勾股定理及其逆定理的运用】 【例9】（2021 秋•蓝田县校级期末）如图，在△B 中，B＝，D 是的延长线上一点，连接 BD． （1）若＝8，D＝17，BD＝15，判断B 与BD 的位置关系，并说明理由； （2）若∠D＝28°，∠DB＝121°，求∠DB 的度数． 1 【变式9-1】（2022 春•陵城区期中）如图，在△B 中，D、BE 分别为边B、的中线，分别交 B、于点D、E． （1）若D＝4，E＝3，B＝10，求证：∠＝90°； （2）若∠＝90°，D＝6，BE＝8，求B 的长． 【变式9-2】（2021 春•当涂县期末）如图，在△B 中．D 是B 边的中点，DE⊥B 于点D，交 于点E，且E2﹣E2＝B2， （1）试说明：∠＝90°； （2）若DE＝6，BD＝8，求E 的长． 【变式9-3】（2022 春•汉阳区校级月考）如图，在四边形BD 中，∠B＝90°，B＝6，B＝ 8，D＝10，D＝10❑ √2． （1）求四边形BD 的面积． （2）求对角线BD 的长． 1