专题17 全等三角形模型之奔驰模型解读与提分精练（全国通用）（解析版）

专题17 全等三角形模型之奔驰模型 对于奔驰模型我们主要是可以通过一些几何变化，把其中的线段进行转移，以达到聚合条件，推出我 们想要的结论的目的。对于几何变化，目前学过的主要有：轴对称，平移，旋转，位似等。对于“奔驰模 型”我们主要采用旋转的方法进行变换。对于旋转处理，我们主要分为：旋转全等，旋转相似。 今天的这 主要讲“奔驰模型”之旋转全等类型。 大家在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的证明思路及方法，导致本末倒 置。要知道数学题目的考察不是一成不变的，学数学更不能死记硬背，要在理解的基础之上再记忆，这样 才能做到对于所学知识的灵活运用，并且更多时候能够启发我们解决问题的关键就是基于已有知识、方法 的思路的适当延伸、拓展，所以学生在学习几何模型要能够做到的就是：①认识几何模型并能够从题目中 提炼识别几何模型；②记住结论，但更为关键的是记住证明思路及方法；③ 明白模型中常见的易错点，因 为多数题目考察的方面均源自于易错点。当然，以上三点均属于基础要求，因为题目的多变性，若想在几 何学习中突出，还需做到的是，在平时的学习过程中通过大题量的训练，深刻认识几何模型，认真理解每 一个题型，做到活学活用！ .................................................................................................................................................2 模型1 奔驰模型1（点在等边三角形内）..................................................................................................2 模型2 奔驰模型2（点在等腰直角三角形内）..........................................................................................7 模型3 奔驰模型3（点在三角形外-鸡爪模型）......................................................................................13 ...............................................................................................................................................18 模型1 奔驰模型1（点在等边三角形内） 此模型通常会和旋转一起来考查，还会综合勾股定理的知识来解题。为什么和旋转-起考查，因为旋转的特 征是:共顶点等线段。等边三角形，三边相等，每一个顶点出发都有两个相等线段，都符合共顶点等线段。 等边三角形三个顶点都可以作为旋转中心(如上图的旋转)。 条件：如图，已知正三角形内有一点P，满足 （常考数据：BP=3，P=4，P=5）， 结论：∠PB=150°。（注意该模型条件结论互换后依旧可以证明） 常用结论 等边三角形的面积公式： （选填题非常适用） 证明：以P 为边向左侧作等边三角形PP’，连接P’。 ∵三角形B 和三角形PP’都为等边三角形；∴B=，P=P’=PP’，∠B=∠PP’=∠PP’=60°； ∠ ∴ B-∠P=∠PP’-∠P，∴∠BP=∠P’，∴ （SS），∴BP=P’，∠PB=∠P’； ∵ ，∴ ，∴∠PP’=90°， ∠ ∴ P’=∠PP’+∠PP’=150°；∴∠PB=150°。 注意：多线段共端点常考旋转。 例1．（23-24 八年级下·广东深圳·期中）如图，点P 是等边三角形 内的一点，且 ， ， ，则 的度数为 ． 【答】150 【分析】将 绕点B 逆时针旋转 后得到的 ．首先证明 ，推出 ， ，所以 为等边三角形，得 ，可得 ， ， ， ，即可得到 为直角三角形，则 ，所以 ；由 此即可解决问题． 【详解】解：如图，将 绕点B 逆时针旋转 后得到的 ． ∴ ，∴ ， ， ∴ 为等边三角形，∴ ， ， ∵ ， ，∴ ，∴ 为直角三角形， ∴ ，∴ ；故答为：150． 【点睛】本题考查旋转的性质、等边三角形的判定和性质、勾股定理的逆定理等知识，解题的关键是勾股 定理逆定理的应用，属于中考常考题型． 例2．（2022·湖南·中考真题）如图，点 是等边三角形 内一点， ， ， ，则 与 的面积之和为（ ） ． B． ． D． 【答】 【分析】将 绕点B 顺时针旋转 得 ，连接 ，得到 是等边三角形，再利用勾股定理 的逆定理可得 ，从而求解． 【详解】解：将 绕点 顺时针旋转 得 ，连接 ， ， ， ， 是等边三角形， ， ∵ ， ， ， ， 与 的面积之和为 ．故选：． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定与性质，勾股定理的逆定理，旋转的性质等知识，利用旋转将 与 的面积之和转化为 ，是解题的关键． 例3（2024·重庆沙坪坝·模拟预测）如图， ， 都是等边三角形，将 绕点旋转，使得点， D，E 在同一直线上，连接 ．若 ， ，则 的长是 ． 【答】 【分析】本题主要考查等边三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握性质定理是 解题的关键．根据题意证明 ，即可求解． 【详解】解： ， 都是等边三角形， ， ， ， ， ， 在 和 中， ， ， ， ， ， ， ， ．故答为：． 例4．（2024·安徽·一模）如图，P 是等边三角形 内的一点，且 ， ， ，以 为边 在 外作 ，连接 ，则以下结论中不正确的是（ ） ． B． ． D． 【答】 【分析】根据△B 是等边三角形，得出∠B=60°，根据△BQ △ ≌BP，得出∠BQ=∠BP，PB=QB=4，P=Q=3， ∠BP=∠BQ，求出∠PBQ=60°，即可判断；根据勾股定理的逆定理即可判断B；根据△BPQ 是等边三角形， △PQ 是直角三角形即可判断D；求出∠P=150°-∠QP，和P≠2Q，可得∠QP≠30°，即可判断． 【详解】解：∵△B 是等边三角形，∴∠B=60°， △ ∵BQ △ ≌BP，∴∠BQ=∠BP，PB=QB=4，P=Q=3，∠BP=∠BQ， ∠ ∴ PBQ=∠PB+∠BQ=∠PB+∠BP=∠B=60°，所以正确，不符合题意； PQ=PB=4，PQ2+Q2=42+32=25，P2=52=25，∴PQ2+Q2=P2， ∠ ∴ PQ=90°，所以B 正确，不符合题意； ∵PB=QB=4，∠PBQ=60°，∴△BPQ 是等边三角形，∴∠BPQ=60°， ∠ ∴ PB=∠BQ=∠BQP+∠PQ=60°+90°=150°，所以D 正确，不符合题意； ∠P=360°-150°-60°-∠QP=150°-∠QP，∵P=5，Q=P=3,∴P≠2Q， ∠ ∵ PQ=90°，∴∠QP≠30°，∴∠P≠120°．所以不正确，符合题意．故选：． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的性质、等边三角形的性质、勾股定理的逆定理，解决 本题的关键是综合应用以上知识． 例5．（24-25 九年级上·广东广州·开学考试）如图， 是正 内一点， ， ， ，将 线段B 以点 为旋转中心逆时针旋转 得到线段 ，下列结论，① 可以由 绕点 逆时针 旋转 得到；②点 与 的距离为5；③ ；④四边形 面积 ；⑤ ，其中正确的结论是（ ） ．①④⑤ B．①③④ ．①③④⑤ D．①③⑤ 【答】 【分析】根据正三角形性质，得 ， ；根据旋转的性质，得 ， ，根据等边三角形的性质，可判断②，通过证明 ，即可判断①；根据勾股定理逆 定理，得 ，结合等边三角形 ，可判断③；根据等腰三角形三线合一和勾股定理的性 质，可计算得 ，从而判断④； 绕点逆时针旋转 得到 ，根据等腰三角形、勾股定理及 其逆定理的性质计算，可判断⑤，即可得到答． 【详解】解：连接 ，如下图：∵正 ∴ ， ∵线段 以点B 为旋转中心逆时针旋转 得到线段 ， ∴ ， ∴ 为等边三角形∴ ，即②错误； ∵ ， ∴ 和 中 ∴ ∴ ， 可以由 绕点B 逆时针旋转 得到，即①正确； ∵ ， ∴ ∴ ∵ 为等边三角形∴ ∴ ，即③正确； ∵ ∴ 过点B 做 ，交 于点 ∵ 为等边三角形∴ ∴ ∴ ∴ ∴四边形 面积 ，即④正确； ∵正 ∴ 绕点逆时针旋转 得到 ，如下图： ∵ ， ， ， ∴ 为等边三角形∴ 过点做 ，交 于点G，如下图：∵ 为等边三角形∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ， ， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ，即⑤正确；故选：． 【点睛】本题考查了等边三角形、旋转、全等三角形、勾股定理逆定理的知识；解题的关键是熟练掌握旋 转、等边三角形、等腰三角形三线合一、勾股定理及其逆定理的性质，从而完成求解． 模型2 奔驰模型2（点在等腰直角三角形内） 条件：如图，已知等腰直角三角形B 内有一点P，满足 ， 结论：∠PB=135°。（注意该模型条件结论互换后依旧可以证明） 证明：以P 为边向左侧作等腰直角三角形PP’，连接P’。 ∵三角形B 和三角形PP’都为等腰直角三角形； ∴B=，P=P’，∠B=∠PP’=90°， ，∠P’P=45°； ∠ ∴ B-∠P=∠PP’-∠P，∴∠PB=∠P’，∴ （SS），∴BP=P’，∠PB=∠P’； ∵ ，∴ ，∴∠PP’=90°， ∠ ∴ P’=∠PP’+∠PP’=135°；∴∠PB=135°。 例1．（23-24 九年级上·湖北孝感·阶段练习）如图，等腰直角 ， 点P 在 内， ， ， 则PB 的长为（ ） ． B． ．5 D．5 【答】 【分析】先利用等腰直角 ， 得到 ，再证明 ，接着把 绕点顺 时针旋转 得到 ，连接 ，根据旋转的性质得到 ，则可判断 为等腰直角三角形，从而 ，然后计算 ，从而利用勾股 定理计算出E 即可． 【详解】解∶∵等腰直角 ， ∴ ， ∵ ，∴ ， 如下图，把 绕点顺时针旋转 得到 ，连接 ， ∴ ，∴ 为等腰直角三角形， ∴ ，∴ ， ∴ ，故选∶． 【点睛】本题考查了勾股定理、等腰直角三角形的判定与性质以及旋转的性质，对应点到旋转中心的距离 相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．熟练掌握旋转的性质是解 题的关键． 例2．（2024·黑龙江绥化·模拟预测）如图，在正方形 外取一点E，连接 ， ， ，过点 作 的垂线交 于点P，若 ， 则下列结论：① ；② ； ③点到直线 的距离为 ；④ 其中结论正确的个数有（ ） ．1 个 B．2 个 ．3 个 D．4 个 【答】 【分析】利用正方形性质即可证明①，利用全等三角形性质即可推出②，过点 作 的延长线于点 ，利用勾股定理求出 ， ，再利用解直角三角形即可判断③，利用勾股定理得到 ，进而得到正 方形面积，即可判断④． 【详解】解： 四边形 为正方形， ， ， ， ， ， ， ，故①正确； ， ， ， ， ， ，故②正确； 过点 作 的延长线于点 ，如图所示， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，故③错误； ， ， ， ， ，故④正确；综上所述，正确的有个，故选：． 【点睛】本题考查了全等三角形性质和判定，正方形性质，勾股定理，解直角三角形，垂直的判定，正方 形面积，解题的关键在于熟练掌握相关知识并灵活运用． 例3．（2023 年湖北省武汉市中考一模）如图， 中， ， ， ．点P 为 内一点，且满足 ．当 的长度最小时，则 的面积是 ． 【答】 【分析】取 中点，连接 ， ，由 即可得到 ，再由 ，可 得当点P 在线段 上时， 有最小值，然后利用直角三角形的性质可得 ， 即可推出 ，则 是等边三角形，求得 的面积，根据 可得 ． 【详解】解：如图，取 的中点，连接 ， ， ∵ ，∴ ，∴点P 在以 为直径的圆上运动， 在 中， ，∴当点P 在线段 上时， 有最小值， ∵点是 的中点， ，∴ ， ∴ ，∴ ，∴ 是等边三角形， ∴ ，∵ ，∴ ，故答为： ． 【点睛】本题主要考查了正切的定义与特殊角的三角函数值，勾股定理的逆定理，三角形的三边关系，直 角三角形斜边上的中线，等边三角形的性质与判定，解题的关键在于能够综合应用各种性质解题． 例4．（2024·河北·校考一模）如图1，在正方形 内有一点P， ， ， ，求 的度数． 【分析问题】根据已知条件比较分散的特点，我们可以通过旋转变换将分散的已知条件集中在一起，于是 将 绕点B 逆时针旋转 ，得到了 （如图2），然后连结P P '． 【解决问题】请你通过计算求出图2 中 的度数； 【比类问题】如图3，若在正六边形 内有一点P，且 ， ， ． （1） 的度数为 ；（2）直接写出正六边形 的边长为 ． 【答】（1） ；（2） ； ． 【分析】解决问题：由旋转的性质可得 ， ， ， ， 然后证明 得到 ，则 ； （1）仿照【分析】中的思路，将 绕点B 逆时针旋转 ，得到了 ，连接P P '．如图所示，根 据旋转的性质可得： ，从而得出 为等腰三角形， ，，由 ，得到 ，可以求得 ， 由勾股定理的逆定理就可以求出 ，从而得出结论； （2）延长 ，作 于点G，在 中， ，就可以得出 ， ，，则 ，在 中，根据勾股定理得 ． 【详解】解决问题：由旋转的性质可得 ， ， ， ， ∴ ， ，∵ ， ， ， ∴ ，∴ ，∴ ； （1）仿照【分析】中的思路，将 绕点B 逆时针旋转 ，得到了 ，连接P P '．如图5， ∴ ，∴ ，∴ 为等腰三角形， ∵ ，∴ ，作 于G，∴ ． ∵ ，∴ ，∴ ∴ ， 在 中，∵ ， ， ，∴ ， ， ， ∴ ∴ 是直角三角形，∴ ． ∴ ．故答为： （2）延长 ，作 于点G，如图6， 在 中， ，∴ ， ∴ ， ，∴ ， 在 中，根据勾股定理得 ．故答为： 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，正方形的性质，多边形内角和，等腰三角形的性质与判定，含30 度 角的直角三角形的性质，勾股定理及其逆定理，解题的关键在于能够熟练掌握旋转的性质． 模型3 奔驰模型3（点在三角形外-鸡爪模型） 模型1）条件：如图1，点P 在等边三角形B 外，若 ，结论：∠P=30°。 模型2）条件：如图2，点P 在等腰直角三角形B 外，若 ，结论：∠P=45°。 （注意：上述两个模型结论和条件互换也成立） 图1 图2 鸡爪就是模型本质就是通过旋转构造“手拉手”，构造出全等三角形，实现边的转化，结合勾股定理，非 常有意思。连完辅助线往往会产生新的直角三角形、等边三角形等。 模型1）证明：以P 为边向右侧作等边三角形DP，连接D。 ∵三角形B 和三角形DP 都为等边三角形；∴B=，P=D=DP，∠B=∠PD=∠PD=60°； ∠ ∴ B+∠P=∠PD+∠P，∴∠BP=∠D，∴ （SS），∴BP=D； ∵ ，∴ ，∴∠DP=90°，∴∠P=∠DP-∠PD=30°。 模型2）证明：以P 为边向上方作等腰直角三角形PP’，且∠PD=90°，连接P’。 ∵三角形B 和三角形PD 都为等腰直角三角形； ∴B=，P=D，∠B=∠PD=90°， ，∠PD=45°； ∠ ∴ B+∠P=∠PD+∠P，∴∠PB=∠D，∴ （SS），∴BP=D； ∵ ，∴ ，∴∠DP=90°，∴∠P=∠DP-∠PD=45°。 例1．（2024 九年级上·重庆·专题练习）如图， 是等边三角形 外一点， ， ， ，求 的度数． 【答】 【分析】由等边三角形的性质可知， ， ；将 绕点 顺时针旋转 得 ， 连 ，首先证明 为等边三角形，可确定 ，由勾股定理的逆定理可证明 为直角三 角形，且 ，然后计算 的度数即可． 【详解】解：∵ 为等边三角形，∴ ， ， 可将 绕点 顺时针旋转 得 ，连 ，如下图， ∴ ， ， ， ，∴ 为等边三角形，∴ ， 在 中， ， ， ，∴ ，∴ 为直角三角形，且 ， ∴ ， ∴ ． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理的逆定理、四边形内角和等知 识，正确作出辅助线，构建直角三角形和等边三角形是解题关键． 例2．（2023·广西贺州·二模）如图，点P 为等边三角形 外一点，连接 ， ，若 ， ， ，则 的长是 ． 【答】 【分析】把 绕点B 顺时针旋转 ，连接 ， ，可证 是等边三角形，利用 证明 ，得出 ，在 中，利用勾股定理求出 ，即可求解． 【详解】解：把 绕点B 顺时针旋转 ，连接 ， ，如图所示： 则 ， ，∴ 是等边三角形，∴ ， ， ∵ 是等边三角形，∴ ， ，∴ ， ∴ ，∴ ，∵ ，∴ ， 又 ， ，∴ ．故答为： ． 【点睛】本题主要考查等边三角形的判定和性质，直角三角形，勾股定理，旋转的性质的综合，三角形全 等的判定和性质，掌握旋转的性质，等边三角形的性质，勾股定理是解题的关键． 例3．（23-24 八年级上·江苏无锡·期中）如图，在四边形BD 中，D=5，D=3，∠B=∠B=∠D=45°，则BD 的长为（ ） ． B． ． D． 【答】D 【详解】作D′⊥D，D′=D，连接D′，DD′，如图： ∠ ∵ B+∠D=∠DD′+∠D，即∠BD=∠D′， 在△BD 与△D′中， ，∴△BD △ ≌D′（SS）， ∴BD=D′．∠DD′=90°由勾股定理得DD′= ，∠D′D+∠D=90° 由勾股定理得D′= ，故选D． 例4．（23-24 九年级上·湖北武汉·阶段练习）【问题情境】在数学课上，老师出了这样一个问题：“如图 1，在四边形 中， ， ， ， ， ，求CD的长．”经过小 组合作交流，找到了解决方法：构造旋转全等．将 绕点B 逆时针旋转60°到 ，连接DE．则 是等边三角形，所以 ，导角可得 ，所以 ． （1）请补全图形； 【探究应用】（2）如图2，在 中， ， ．D 为 外一点，且 ， ，求 的度数； 【拓展延伸】（3）如图3，在 中， ， ， 于D，M 为AD上一点，连 接BM，为BM上一点，若 ， ， ，连接 ，请直接写出线段 的 长______． 【答】（1）见解析；（2） ；（3）3 【分析】本题主要考查了三角形的综合，灵活运用旋转构造相似三角形，利用相似三角形的判定和性质是 本题解题的关键．（1）题意补全图形即可；（2）将 绕点逆时针旋转得到 ，连接 ，作 于F，根据含30 度的直角三角形的性质及勾股定理求得 ，推出 ，据此求 解即可； （3）延长 构造等边三