第29讲 尺规作图与定义、命题、定理（讲义）（原卷版）

第29 讲 尺规作图与定义、命题、定理 目 录 一、考情分析 二、知识建构 考点一 尺规作图 题型01 尺规作图-作线段 题型02 尺规作图-作角度 类型一 作一个角等于已知角 类型二 尺规作角的和、差 类型三 过直线外一点作这条线的平行 类型四 作角平分线 题型03 尺规作图-作三角形（含特殊三角形） 题型04 尺规作图-作三角形的中线与高 题型05 尺规作图-作垂直平分线 题型06 尺规作图- 画圆 题型07 尺规作图- 找圆心 题型08 尺规作图-过圆外一点作圆的切线 题型09 尺规作图-作外接圆 题型10 尺规作图-作内切圆 题型11 尺规作图-作圆内接正多边形 题型12 尺规作图-格点作图 考点二 定义、命题、定理 题型01 判断是否命题 题型02 判断命题真假 题型03 举反例说明命题为假命题 题型04 写出命题的逆命题 题型05 反证法证明中的假设 题型06 用反证法证明命题 考点要求 新课标要求 命题预测 尺规作图 能用尺规作图: ①作一个角等于已知角；作一个角的平分线 ②作一条线段的垂直平分线；过一点作已知直线的垂线 ③过直线外一点作这条直线的平行线 ④已知三边、两边及其夹角、两角及其夹边作三角形；已知底边及底边 上的高线作等腰三角形;已知一直角边和斜边作直角三角形 ⑤过不在同一直线上的三点作圆;作三角形的外接圆、内切圆;作圆的内 接正方形和内接正六边形 ⑥过圆外一点作圆的切线 本考点内容以考查尺规作 图和真假命题为主，年年考 查，是广大考生的得分点，分 值为6 分左右．预计2024 年 各地中考还将继续考查这两个 知识点 中考对尺规作图的考 查涉及多种形式，不再是单一 的对作图技法操作进行考查， 而是把作图与计算、证明、分 析、判断等数学思维活动有效 融合，既体现了动手实践的数 学思维活动，也考查了学生运 用数学思考解决问题的能力， 为避免丢分，学生应扎实掌 握． 定义、命 题、定理 通过具体实例，了解定义、命题、定理、推论的意义 结合具体实例，会区分命题的条件和结论，了解原命题及其逆命题的概念 会识别两个互逆的命题，知道原命题成立其逆命题不一定成立 知道证明的意义和证明的必要性，知道数学思维要合乎逻辑，知道可以用 不同的形式表述证明的过程，会用综合法的证明格式 了解反例的作用，知道利用反例可以判断一个命题是错误的 通过实例体会反证法的含义 考点一 尺规作图 尺规作图的定义：在几何里，把限定用没有刻度的直尺和圆规来画图称为尺规作图． 五种基本作图： 类型 图示 作图依据 作一条线段等 于已知线段 a A O P 圆上的点到圆心的距离等于半径 作一个角等于 已知角 α N Q O O' A' G M B' 1)三边分别相等的两个三角形全等； 2)全等三角形的对应角相等； 3)两点确定一条直线 作一个角的平 分线 P N O A B M 作一条线段的 垂直平分线 N M A B 1)到线段两个端点距离相等的点在这条 线段的垂直平分线上； 2)两点确定一条直线 过一点作已知 直线的垂线 P N M B A A B P 1)等腰三角形“三线合一”； 2)两点确定一条直线 根据基本作图作三角形 类型 图示 已知三角形的三边，求作三角形 a b c b a c 已知三角形的两边及其夹角，求作三角形 α a b b a 已知三角形的两角及其夹边，求作三角形 β α β α m m A C B 已知直角三角形一直角边和斜边，求作直 角三角形 a c c a 根据基本作图作圆 类型 图示 过不在同一直线上的三点作圆 （即三角形的外接圆） O A B C 作三角形的内切圆 D O B C A 尺规作图的关键: 1）先分析题目，读懂题意，判断题目要求作什么； 2）读懂题意后，再运用几种基本作图方法解决问题； 3) 切记作图中一定要保留作图痕迹． 题型01 尺规作图-作线段 【例1】（2021 上·辽宁抚顺·九年级校联考周测）如图，平面上有四个点，B，，D，根据下列要求画图． (1)画直线B； (2)作射线B； (3)画线段D； (4)连接D，并延长D 至点E，使DE＝D；（保留作图痕迹） (5)在四边形BD 内找一点，使它到四边形四个顶点的距离的和+B++D 最小． 【变式1-1】（2023 上·广西河池·九年级统考期末）如图，在同一平面上有，B，三个点，按要求作图： (1)作直线，射线B，连接B； (2)延长B 到点D，使得BD=AB； (3)直接写出∠ABC+∠CBD=¿______°． 【变式1-2】（2023·山西太原·山西大附中校考模拟预测）已知线段a、b、c． (1)用直尺和圆规作出一条线段AB，使它等于a+c−b．（保留作图痕迹，检查无误后用水笔描黑，包括痕 迹） (2)若a=6，b=4，c=7，点C是线段AB的中点，求AC的长． 【变式1-3】（2022 上·广西梧州·七年级统考期末）（1）如图，已知线段，b，用直尺和圆规作图，分别 作下列两条线段． ①AB=a+b； ② CD=2a−b． （2）已知：如图，∠AOB=∠COD=90°，∠BOD=25°．求∠AOC的度数． 题型02 尺规作图-作角度 类型一 作一个角等于已知角 【例2】（2022·吉林长春·统考一模）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC ≠BC．用无刻度的直尺和 圆规在B 边上找一点D，使∠BCD=∠A，则符合要求的作图是（ ） ． B． ． D． 【变式2-1】（2023·山东青岛·校考一模）如图，BD 平分∠B，点E 为B 上一点． (1)尺规作图：以E 为顶点，作∠EF ＝∠B，交BD 于点F（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，若∠DFE＝150°，求∠BEF 的度数． 【变式2-2】（2021 下·上海闵行·上海上师初级中学校考期中）如图，已知∠AOB=70°，∠α=53°， 在图中用尺规作∠AOC=∠α，并计算∠BOC的值（保留作图痕迹，不得使用量角器） 类型二 尺规作角的和、差 【例3】（2023 上·内蒙古呼和浩特·校考阶段练习）如图，已知∠ABC． (1)请以射线DG为边作一个角，使它等于∠ABC的补角；（尺规作图，不必写作法，保留作图痕迹） (2)若∠ABC的补角是∠ABC的5 倍，则∠ABC=¿ ． 【变式3-1】（2023 上·陕西榆林·校考阶段练习）已知如图∠α、∠β，请你利用尺规作图作∠AOB，使 ∠AOB=∠β−∠α．（不写作法，保留作图痕迹） 【变式3-2】（2023·陕西商洛·统考模拟预测）如图，在△ABC中，AB=AC，∠ABC的平分线交AC于 点E，请用尺规作图法，在射线BE上求作一点D，使得∠ADE=1 2 ∠C．（保留作图痕迹，不写作法） 类型三 过直线外一点作这条线的平行 【例4】（2022·广东佛山·西南中学校考三模）如图，在△ABC中，P 为AC边上任意一点，按以下步骤作 图：①以点为圆心，以任意长为半径作弧，分别交AP 、AB于点M，；②以点P 为圆心，以AM长为半 径作弧，交PC于点E；③以点E 为圆心，以MN长为半径作弧，在△ABC内部交前面的弧于点F；④作 射线PF交BC于点Q．若∠A=60°，∠C=40°，则∠PQC=¿（ ） ．100° B．80° ．60° D．40° 【变式4-1】（2023 下·河南焦作·统考期中）如图，已知∠BOP与射线OP上的点A，小亮用尺规过点A 作OB 的平行线，步骤如下． ①取射线OP上的点C，以点O为圆心，OC长为半径画弧，交OB 于点D； ②以点为圆心，OC长为半径画弧，交OA于点M； ③以点M为圆心，CD长为半径画弧，交第②步中所画的弧于点E，直线EA 即为所求． 小亮作图的依据是（ ） ．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行 ．同旁内角互补，两直线平行 D．以上结论都不正确 【变式4-2】（2024 上·陕西商洛·统考期末）如图，在△ABC中，延长BC至点D，请用尺规作图法求作 射线CE，使得CE∥AB，且点E 在BD上方．（保留作图痕迹，不写作法） 【变式4-3】（2023 上·吉林长春·统考期末）图①、图②、图③均是6×6的正方形格，每个小正方形的顶 点称为格点，△ABC的顶点均在格点上，点D为AB的中点，在给定的格中，按下列要求作图 (1)在图①中△ABC的边BC上确定一点E，连结DE，使DE∥AC． (2)在图②中△ABC的边AC上确定一点F，连结DF，使∠AFD=∠C． (3)在图③中△ABC的边AC上确定一点G，连结DG，使∠AGD=∠B． 类型四 作角平分线 【例5】（2024 上·内蒙古包头·统考期末）如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①以点B为圆心，适当 长为半径作弧，分别交AB ,BC于点D和E；②分别以点D , E为圆心，以大于1 2 DE的长为半径作弧，两弧 相交于点F；③作射线BF交AC于点G；④过点G作GH ∥BC交AB于点H，若∠BHG=110°，则 ∠HGB=¿（ ） ．25° B．30° ．35° D．40° 【变式5-1】（2023 上·广东广州·广州市第七十五中学校考期中）如图，已知△ABC． (1)尺规作图：作∠ACB的角平分线，与AB交于点D；（保留作图痕迹，不用写作法） (2)若∠A=50°，∠B=70°，求∠CDA的大小． 【变式5-2】（2023 上·河南驻马店·统考阶段练习）如图，已知△ABC， 过点 的直线l∥BC． (1)请用无刻度的直尺和圆规作出∠B的平分线(保留作图痕迹，不写作法)； (2)若（1）中所作的角平分线与直线l 交于点D． 求证：△ABD是等腰三角形． 题型03 尺规作图-作三角形（含特殊三角形） 【例6】（2024 上·山西吕梁·统考期末）如图，已知△ABC． 实践操作： （1）作△ABD，使△ABD≌△ABC．（要求：尺规作图，点D 在直线AB的下方，保留作图痕迹，不 写作法）． 推理与探究： （2）点E 是BC上一点，AE∥BD．探究：线段CE+ AE与DB有怎样的数量关系，并说明理由． 【变式6-1】（2023 上·湖北襄阳·统考期末）（1）尺规作图中蕴含着丰富的数学知识和思想方法 如图， 为了得到∠MBN=∠PAQ，在用直尺和圆规作图的过程中，得到△ACD ≌△BEF的依据是（ ） ．SAS B．SSS ．ASA D．AAS （2）如图，直线是一条公路，M，是公路同侧的两个居民区，现计划在公路上修建一个公交候车亭，及修 建两居民区M，之间的道路，为了使OM +ON +MN最短，请在图中作出点的位置(尺规作图，不写作法， 保留作图痕迹)． 【变式6-2】（2024 上·湖北襄阳·统考期末）我们定义：顶角等于36°的等腰三角形为黄金三角形． 如图，△ABC中，AB=AC且∠A=36°，则△ABC为黄金三 角形． (1)利用尺规作图，在图中构造出一个“黄金三角形”；（保留作图痕迹，不写作法） (2)说说（1）中的三角形是“黄金三角形”的理由． 【变式6-3】（2024 上·江西南昌·校联考期末）如图是5×5的正方形格，每个小正方形的边长均为1，仅 用无刻度直尺在图①和图②中按要求作图． (1)在图①中，画等腰三角形ABC，使其面积为3（画出一个即可）； (2)在图②中，画等腰直角三角形ABD，使其面积为5 2 （画出一个即可）． 【变式6-4】（2023 上·江苏南京·校联考期末）如图，已知线段AB，用两种不同的方法作一个含30°角的 直角三角形ABC，使其斜边为AB（用直尺和圆规作图，不写作法，保留作图痕迹）． 【变式6-5】（2022 下·福建漳州·统考期末）求证：在直角三角形中，若一个锐角等于30°，则它所对的直 角边等于斜边的一半．要求： (1)根据给出的线段AB及∠B，以线段AB为直角边，在给出的图形上用尺规作出Rt △ABC的斜边AC，使 得∠A=30°，保留作图痕迹，不写作法； (2)根据（1）中所作的图形，写出已知、求证和证明过程． 【变式6-6】．（2022·江苏南京·统考一模）如图，已知线段，，用直尺和圆规按下列要求分别作一个等腰 三角形B(保留作图痕迹，写出必要的文字说明)． (1)△B 的底边长为，底边上的高为； (2)△B 的腰长为，腰上的高为． 题型04 尺规作图-作三角形的中线与高 【例7】（2023 下·江苏泰州·泰州市海军中学校考阶段练习）如图，在正方形格中有一个△ABC，按要求 进行下列作图（只能借助于格） (1)分别画出△ABC的中线BG、高CH； (2)画出先将△ABC向右平移6 格，再向上平移3 格后的△≝¿； (3)画一个直角三角形MNP(要求各顶点在格点上），使其面积等于△ABC的面积的2 倍． 【变式7-1】（2023·吉林·一模）如图，图①、图②均是8×8的正方形格，每个小正方形的边长均为1，每 个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C均为格点.只用无刻度的直尺，按下列要求作图： (1)在图①中，作△ABC的BC边上的高； (2)在图②中，过点B作直线l，使得直线l平分△ABC的面积． 【变式7-2】（2024·陕西西安·校考模拟预测）如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，请用尺规作图 法在AC边上作一点P，使得S△ABC=4 S△ADP（保留作图痕迹，不写作法） 【变式7-3】（2023·吉林长春·吉林大学附属中学校考二模）图①、那②，图③积是6×6的间格，每个小 正方形的顶点称为格点，△ABC顶点、B、均在格点上，在图①，图②，图③给定格中按要求作图，并保 留作图痕迹． (1)格中∠B的度数是 ___________°； (2)在图①中画出△ABC中BC边上的中线AD； (3)在图②中确定一点E，使得点E 在AC边上，且满足BE⊥AC； (4)在图③中画出△BMN，使得△BMN与△BCA是位似图形，且点B为位似中心，点M、N分别在BC、 AB边上，位似比为1 3． 题型05 尺规作图-作垂直平分线 【例8】（2023 下·河北石家庄·校考开学考试）如图，由作图痕迹做出如下判断，其中正确的是（ ） ．FH >HG B．FH=HG ．EF>FH D．EF=FH 【变式8-1】（2023·江苏南通·统考二模）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°．按照如下步骤作 图： ①分别以点A ,B为圆心，大于1 2 AC的长为半径作弧，两弧相交于点M , N； ②作直线MN，交AC点D； ③以D为圆心，BC长为半径作弧，交AC的延长线于点E； ④连接BD ,BE． 下列说法错误的是( ) ．AD=DE B．∠CBE=1 2 ∠A ．BC 2=AC ⋅CD D．CE CD =3 5 【变式8-2】（2023·贵州遵义·统考二模）如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以B，为圆心， 大于1 2 BC的长为半径作弧，两弧相交于M，两点；②作直线MN交AB于点D，连接CD．若AD=AC， ∠A=56°，则∠ACB的度数为（ ） ．90° B．93° ．100° D．112° 【变式8-3】（2023·广东清远·统考二模）如图，在△ABC中，∠A>∠B． (1)请用尺规作图法，在BC边上求作一点E，使得EA=EB（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，连接AE，若∠B=48°，求∠AEC的度数． 【变式8-4】（2023·广东潮州·二模）如图，在▱ABCD中，AC为对角线． (1)求证：△ABC ≌△CDA． (2)尺规作图：作AC的垂直平分线，分别交AD，BC于点E，F（不写作法，保留作图痕迹）； (3)若△CDE的周长为10，求▱ABCD的周长． 题型06 尺规作图- 画圆 【例9】（2023·福建泉州·统考一模）如图，在△ABC中，∠ABC是钝角 (1)求作⊙O，使得圆心O在边AC上，且⊙O经过点B ,C（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，设AC与⊙O的另一个交点为D，且AC=2 AB=4 AD求证：AB是⊙O的切线 【变式9-1】（2021·山东青岛·统考一模）已知：△ABC及AB边上一点E． 求作：⊙O，使它分别与AB、BC相切，且点E为其中一个切点． （请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．） 【变式9-2】（2021·江苏盐城·校考二模）已知：如图，在△B 中，∠B＝90°． （1）求作 ，使点在 ⊙ B 上，且 与、 ⊙ B 都相切；（保留作图痕迹，不写作法） （2）若=8，B=15，求 半径． ⊙ 题型07 尺规作图- 找圆心 【例10】（2023·广东茂名·统考一模）张师傅要将一张残缺的圆形轮片恢复原貌（如图），已知轮片的一 条弦AB的垂直平分线交弧AB于点C，交弦AB于点D，测得AB=24 cm，CD=8cm． (1)请你帮张师傅找出此残片所在圆的圆心（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)求（1）中所作圆的半径． 【变式10-1】（2023·河南新乡·统考三模）考古学家在考古过程中发现一个圆盘，但是因为历史悠久，已 经有一部分缺失，现希望复原圆盘，需要先找到圆盘的圆心，才能继续完成后续修复工作．在如图1 所示 的圆盘边缘上任意找三个点，B，． (1)请利用直尺（无刻度）和圆规，在图1 中画出圆心．（要求：不写作法，保留作图痕迹） (2)如图2，数学兴趣小组的同学在（1）的基础上，补全⊙O，连接AC ，BC，过点作⊙O的切线交CB 的延长线于点E，过点作CD∥AE，交⊙O于点D，连接AD． ①求证：AD=AC； ②连接DB，若DB为⊙O的直径，AC=❑ √70,BC=4，求⊙O的半径． 【变式10-2】（2023·黑龙江绥化·统考二模）如图，在Rt △ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC， (1)在AB边上找一点，以点为圆心，且过、D 两点作⊙O（不写作法，保留作图痕迹）． (2)在（1）的条件下，若AB=6，BD=2❑ √3，求⊙O的半径． 题型08 尺规作图-过圆外一点作圆的切线 【例11】（2023·陕西西安·高新一中校考一模）如图，点P 是⊙O外一点．请利用尺规过点P 作⊙O的一 条切线PE．（保留作图痕迹，不要求写作法和证明） 【变式11-1】（2023·安徽宿州·统考模拟预测）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交 BC于点P，交CA的延长线于点D，连接BD． (1)求作⊙O的切线PQ，PQ交AC于点Q；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，求证：PQ=1 2 BD， 【变式11-2】（2023·河南平顶山·统考模拟预测）如图，在Rt △ABC中， ∠BAC=90°，AB=4，AC=6，点在边AB上，以OB为半径作⊙O，交BC于点D，连接OD． (1)尺规作图：先作线段CD的