专题27.2 平行线分线段成比例【八大题型】（原卷版）

专题272 平行线分线段成比例【八大题型】 【人版】 【题型1 “#”字型】................................................................................................................................................... 1 【题型2 “X”字型】...................................................................................................................................................2 【题型3 “”字型】..................................................................................................................................................... 4 【题型4 “8”字型】................................................................................................................................................... 5 【题型5 判断比例式】............................................................................................................................................. 6 【题型6 平行线分线段成比例与三角形的中位线的综合】..................................................................................7 【题型7 多次利用平行线分线段成比例进行计算】..............................................................................................8 【题型8 平行线分线段成比例中的常作辅助线】..................................................................................................9 【知识点1 平行线分线段成比例定理】 两条直线被三条平行线所截，所得的对应线段成比例，简称为平行线分线段成比例定 理．如图：如果 ，则 ， ， ． 【小结】若将所截出的小线段位置靠上的（如B）称为上，位置靠下的称为下，两条 线段合成的线段称为全，则可以形象的表示为  上 上 下 下，  上 上 全 全，  下 下 全 全． 【题型1 “#”字型】 【例1】（2022•醴陵市模拟）如图，直线l1∥l2∥l3，直线和DF 被l1，l2，l3所截，如果B＝ 2，B＝3，EF＝2，那么DE 的长是（ ） ．2 B．4 3 ．1 D．3 4 【变式1-1】（2022•福建模拟）如图，∥b∥，两条直线与这三条平行线分别交于点，B，和 1 D，E，F．已知B＝3，B＝2，DE＝6，则DF 等于（ ） ．4 B．9 ．10 D．15 【变式1-2】（2022 秋•清苑区期中）如图，直线∥b∥，点，B 在直线上，点，D 在直线上， 线段，BD 分别交直线b 于点E，F，则下列线段的比与AE AC 一定相等的是（ ） ．CE AC B．BF BD ．BF FD D．AB CD 【变式1-3】（2022 秋•长宁区校级月考）如图，直线l1、l2、l3分别交直线l4于点、B、， 交直线l5于点D、E、F，且l1∥l2∥l3．已知DE：DF＝3：8，＝24 （1）求B 的长； （2）当D＝4，F＝20 时，求BE 的长． 【题型2 “X”字型】 【例2】（2022 春•莱西市期末）如图：B∥D∥EF，D：DF＝3：1，BE＝12，那么E 的长为 （ ） ．3 B．4 ．5 D．6 【变式2-1】（2022•广西模拟）如图，B∥D∥EF，F 与BE 相交于点G，且DG＝2，DF＝ 1 10，BC BE =3 8，则G 的长为（ ） ．2 B．3 ．4 D．5 【变式2-2】（2022 秋•船山区校级期末）如图：B∥D∥EF，D：F＝3：5，BE＝12，那么E 的长为（ ） ．2 B．4 ．24 5 D．36 5 【变式2-3】（2022 秋•合肥校级期末）如图，B∥D∥EF，BE 与F 相交于点，且＝2D¿ 1 2 DF，则BC CE 的值为（ ） ．1 B．3 4 ．2 3 D．5 6 【知识点2 平行线分线段成比例定理的推论】 1 平行于三角形一边的直线，截其它两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例． 如图：如果EF//B，则 ， ， ． A B C E F F E C B A 平行线分线段成比例定理的推论的逆定理 若 或 或 ，则有EF//B． 【注意】对于一般形式的平行线分线段成比例的逆定理不成立，反例：任意四边形中 一对对边的中点的连线与剩下两条边，这三条直线满足分线段成比例，但是它们并不平行． 【小结】推论也简称“”和“8”，逆定理的证明可以通过同一法，做 交于 ' F 点，再证明 ' F 与F 重合即可． 【题型3 “”字型】 【例3】（2022 秋•零陵区期末）如图，已知D 为△B 的角平分线，DE∥B 交于E，如果 AE EC =3 5，那么BD：B 等于（ ） ．3：5 B．5：3 ．8：5 D．3：8 【变式3-1】（2022 秋•越城区期末）如图，在△B 中，DE∥B，DE 分别与B、相交于点D、 E，若E＝4，E＝2，则AD AB 的值为（ ） ．2 3 B．1 2 ．1 3 D．1 4 【变式3-2】（2022 秋•新民市期末）如图，点，B 在格点上，若B¿ 2 3，则的长为（ ） 1 ．1 B．4 3 ．2 D．3 【变式3-3】（2022 秋•覃塘区期末）如图，B 与D 相交于点E，点F 在线段D 上，且 BD∥EF∥．若DE＝5，DF＝3，E＝D，则EF BD 的值为 ． 【题型4 “8”字型】 【例4】（2022•镜湖区校级一模）如图，在平行四边形BD 中，点F 是D 上的点，F＝ 2FD，直线BF 交于点E，交D 的延长线于点G，则BE EG 的值为（ ） ．1 2 B．1 3 ．2 3 D．3 4 【变式4-1】（2022 秋•金牛区期末）如图，△B 中，D、E 分别为B、延长线上的点， DE∥B，BD＝3D，若E＝6，则的长为（ ） ．2 B．3 ．4 D．5 【变式4-2】（2022 秋•南皮县校级月考）如图，B．D 相交于点E，且∥EF∥DB，点，F，B 在同一条直线上．已知＝p，EF＝r，DB＝q．嘉嘉得出结论p q = r p，淇淇得出结论 r p + r q =1，则（ ） 1 ．只有嘉嘉正确 B．只有淇淇正确 ．两人均正确 D．两人均不正确 【变式4-3】（2022 秋•宜兴市校级月考）如图，l1∥l2，F：BF＝2：5，B：D＝4：1，则 E：E 的值为（ ） ．5：2 B．1：4 ．2：1 D．3：2 【题型5 判断比例式】 【例5】（2022 春•潍坊期末）如图，B∥D∥EF，F 交BE 于点G，若＝G，G＝FG，则下列 结论错误的是（ ） ．DG BG =1 2 B．CD EF =1 2 ．CG CF =1 3 D．DG BE =1 3 【变式5-1】（2022 春•东平县期末）已知，在△B 中，点D 为B 上一点，过点D 作DE∥B， D∥分别交、B 于点E、，点F 是B 延长线上一点，连接FD 交于点G，则下列结论中错 误的是（ ） ．AD DB = AE DH B．CF DE = DH CG ．FD FG = EC CG D．CH BC = AE AC 【变式5-2】（2022 秋•青浦区期末）如图，点D、E 分别在△B 的边B、B 上，下列条件中 1 一定能判定DE∥的是（ ） ．AD DB = BE CE B．BD AD = BE EC ．AD AB =CE BE D．BD BA = DE AC 【变式5-3】（2022•香坊区一模）如图，B∥D∥EF，F 交BE 于点G，若＝G，G＝FG，则下 列结论错误的是（ ） ．DG BG =1 2 B．DG BE =1 3 ．CG CF =1 3 D．CD EF =1 2 【题型6 平行线分线段成比例与三角形的中位线的综合】 【例6】（2022•沁阳市模拟）如图，BE 是△B 的中线，点F 在BE 上，延长F 交B 于点D， 若BF＝3EF，则BD DC =¿（ ） ．4 3 B．3 2 ．6 5 D．2 3 【变式6-1】（2022 春•任城区校级期末）如图，D 是△B 的中线，E 是D 上一点，且E： ED＝1：2，BE 的延长线交于F，则F：F＝ ． 【变式6-2】（2009 秋•北京校级期中）如图，在△B 中，点D 为B 上一点，点P 在D 上， 1 过点P 作PM∥交B 于点M，作P∥B 交于点． （1）若点D 是B 的中点，且P：PD＝2：1，求M：B 的值； （2）若点D 是B 的中点，试证明AM AB = AN AC ； （3）若点D 是B 上任意一点，试证明AM AB + AN AC = AP AD ． 【变式6-3】（2022 春•西湖区校级期中）如图，在△B 中，D 是B 上的中线，点F 为D 的 中点，连接BF 并延长交于点E，设AE EC =¿m，EF FB =¿，则m+＝（ ） ．1 2 B．2 3 ．5 6 D．3 2 【题型7 多次利用平行线分线段成比例进行计算】 【例7】（2022•宁阳县一模）如图，在△B 中，D 在边上，D：D＝1：2，是BD 的中点， 连接并延长交B 于E，若BE＝1，则E＝（ ） ．3 2 B．2 ．3 D．4 【变式7-1】（2022 秋•虹口区期末）在△B 中，点E、D、F 分别在边B、B、上，联结 DE、DF，如果DE∥，DF∥B，E：EB＝3：2，那么F：F 的值是（ ） ．3 2 B．2 3 ．2 5 D．3 5 1 【变式7-2】（2022 秋•亳州期末）如图，D∥EF∥B，点G 是EF 的中点，EF BC =3 5，若EF＝ 6，则D 的长为（ ） ．6 B．13 2 ．7 D．15 2 【变式7-3】（2022•邢台模拟）在△B 中，E、F 是B 边上的三等分点，BM 是边上的中线， E、F 分BM 为三段的长分别是x、y、z，若这三段有x＞y＞z，则x：y：z 等于（ ） ．3：2：1 B．4：2：1 ．5：2：1 D．5：3：2 【题型8 平行线分线段成比例中的常作辅助线】 【例8】（2022•襄阳）如图，在△B 中，D 是的中点，△B 的角平分线E 交BD 于点F，若 BF：FD＝3：1，B+BE＝3❑ √3，则△B 的周长为 ． 【变式8-1】（2022•雁塔区校级模拟）如图，已知点F 在B 上，且F：BF＝1：2，点D 是 B 延长线上一点，B：D＝2：1，连接FD 与交于点M，则F：D＝ ． 【变式8-2】（2022 秋•六盘水期末）如图，已知四边形BD，点E、F 分别在B、D 上，且 E：BE＝2：3，DF：F＝1：2，BF 与DE 相交于点G，则DG：GE＝ ． 1 【变式8-3】（2022•宿迁）如图，在△B 中，B＝4，B＝5，点D、E 分别在B、上，D＝ 2BD，E＝2E，BE 交D 于点F，则△FE 面积的最大值是 ． 1