模型33 旋转——奔驰模型-解析版

旋转 模型（三十三）——奔驰模型 ◎结论1：如图 ,等边△B，P=3，PB=4，P=5， 则①∠PB=150º， ②S△B＝ ❑ √3 4 B2＝25 ❑ √3+36 4 关键：旋转可以让线段动起来 ①【证明】以P 为边向左侧作等边△PD，连接BD, △B,△DP ∵ 为等边三角形 ∠DB ∴ ＝60°-∠BP ,∠P＝60°-∠BP ∠DB ∴ ＝∠P 可得△DB △P ≌ DB ∴ ＝P＝5 DP² ∵ ＋BP²＝DB²， ∠DPB ∴ ＝90°，∠PB＝150° ②过B 作BQ⊥P 于Q, ∠PB ∵ ＝150° ∠BPQ ∴ ＝30°，BP＝4，BQ＝2 PQ ∴ ＝❑ √BP ²−BQ ²＝2❑ √3 B² ∴ ＝Q²＋BQ²＝25＋12❑ √3 ∴ ❑ √3 4 B²＝25 ❑ √3+36 4 各种旋法： 超酷炫又实用：S= ❑ √3 4 2 1．（2021·黑龙江佳木斯·九年级期中）如图，P 是等边三角形B 内一点，将△P 绕点顺时针旋转60°得到△BQ，若P ＝2，PB＝4， ，则四边形PBQ 的面积为（ ） ． B． ． D． 【答】B 【分析】如图，连接PQ．由题意△PQ 是等边三角形，利用勾股定理的逆定理证明∠PQB＝90°即可解决问题． 【详解】解：如图，连接PQ． ∵△P 绕点顺时针旋转60°得到△BQ， ∴P＝Q＝2，P＝BQ＝2 ，∠PQ＝60°， ∴△PQ 是等边三角形， ∴PQ＝P＝2， ∵PB＝4， ∴ ， ∴∠PQB＝90°， ∴ ， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，旋转的性质以及勾股定理的逆定理，熟练掌握相关内容是解题的关 键． 2．（2022·贵州毕节·八年级期末）如图，P 是等边三角形 内的一点，且 ，将 绕点 B 顺时针旋转得到 ，连接 ，则以下结论中不正确是（ ） ． B． ． D． 【答】D 【分析】根据等边三角形性质以及勾股定理的逆定理，即可判断、D；依据△BPQ 是等边三角形，即可得到 ∠QPB=∠PBQ=∠BQP=60°，进而得出∠BP=∠BQ=60°+90°=150°，即可判断、B 选项． 【详解】解：∵△B 是等边三角形， ∴∠B=60°， ∵将△BP 绕点B 顺时针旋转60°到△BQ 位置， ∴△BQ≌△BP， ∴∠BP=∠BQ，BP=BQ=4，Q=P=3，∠BP=∠QB， ∴∠PBQ=∠PB+∠BQ=∠PB+∠BP=∠B=60°， ∴△BPQ 是等边三角形，△BPQ 的面积= ，故正确，D 错误； ∴PQ=BP=4， ∵ ， ， ∴ ， ∴∠PQ=90°，即△PQ 是直角三角形，△PQ 的面积= ×3×4=6，故正确， ∵△BPQ 是等边三角形， ∴∠QPB=∠PBQ=∠BQP=60°， ∴∠BP=∠BQ=60°+90°=150°，故B 正确． 故选：D． 【点睛】本题考查了旋转的性质、等边三角形的性质和判定、勾股定理的逆定理的应用，解题关键是综合运用定 理进行推理． 3．（2022·广西桂林·八年级期末）如图，在等边三角形B 中，点P 是 内一点， ， ， ，则 的度数为（ ） ．160° B．155° ．150° D．145° 【答】 【分析】由旋转的性质可得∠PE=60°，P=E=3，P=BE=4，∠EB=∠P，可证△PE 是等边三角形，可得PE=E=3， ∠EP=60°，由勾股定理的逆定理可求∠PEB=90°，即可求解． 【详解】解：如图，将△P 绕点顺时针旋转60°，得到△BE，连接PE， ∴△P≌△BE，∠PE=60°， ∴P=E=3，P=BE=4，∠EB=∠P， ∴△PE 是等边三角形， ∴PE=E=3，∠EP=60°， ∵ =25， + =9+16=25， ∴ = + ， ∴∠PEB=90°， ∴∠EB=150°=∠P， 故选：． 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质，等边三角形的性质，勾股定理逆定理，熟练利用勾股定理 逆定理得出是解题关键． 4．（2022·全国·九年级专题练习）如图，等边三角形B 内一点P 到三角形三个顶点的距离P=3，PB=4，P=5，则 ∠PB 的大小是（ ） ．150° B．120° ．100° D．以上都不对 【答】 【分析】将△BP 绕点B 逆时针旋转60°得△BE，根据旋转的性质得BE=BP=4，E=P=5，∠PBE=60°，则△BPE 为等 边三角形，得到PE=PB=4，∠BPE=60°，在△EP 中，E=5，P=3，PE=4，根据勾股定理的逆定理可得到△PE 为直 角三角形，且∠PE=90°，即可得到∠PB 的度数 【详解】解：∵△B 为等边三角形， ∴B=B， 可将△BP 绕点B 逆时针旋转60°得△BE， 如图②，连接EP， ∴BE=BP=4，E=P=5，∠PBE=60°， ∴△BPE 为等边三角形， ∴PE=PB=4，∠BPE=60°， 在△EP 中，E=5，P=3，PE=4， ∴E2=PE2+P2， ∴△PE 为直角三角形，且∠PE=90°， ∴∠PB=90°+60°=150°． 故选：． 【点睛】本题考查了旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对 应点到旋转中心的距离相等．也考查了等边三角形的判定与性质以及勾股定理的逆定理． 1．（2022·辽宁·丹东第九中学八年级期末）如图，点 是等边三角形 内的一点，且 ， ， ，则 的度数为______． 【答】 ##150 度 【分析】将 绕点 逆时针旋转 后得到的 ，由旋转的性质可得 ， ， 可得 为等边三角形，由勾股定理的逆定理可得 ，即可求解． 【详解】解：如图，将 绕点 逆时针旋转 后得到的 ． ≌ ， ， ， 为等边三角形， ， ， ， ， ， 为直角三角形， ， ； 故答为： ． 【点睛】本题考查等边三角形的性质，旋转的性质，勾股定理的逆定理，利用旋转的性质和勾股定理的逆定理得 到 为直角三角形是解题的关键． 2．（2021·浙江温州·八年级期中）如图，点P 到等边三角形B 各顶点的距离分别是P＝2，PB＝15，P＝25．若将 线段P 绕点顺时针旋转60°得到线段Q，连接BQ．则∠PB 的度数是______度． 【答】150 【分析】连接PQ，如图，根据等边三角形的性质得∠B＝60°，B＝，再根据旋转的性质得P＝PQ＝2，∠PQ＝ 60°，则可判断△PQ 为等边三角形，所以PQ＝P＝2，接着证明△P≌△BQ 得到P＝QB＝25，然后利用勾股定理的逆 定理证明△PBQ 为直角三角形，于是得到结论． 【详解】连接PQ，如图， ∵△B 为等边三角形，P=2，PB=15，P=25， ∴∠B＝60°，B＝， ∵线段P 绕点顺时针旋转60°得到线段Q， ∴P＝Q＝2，∠PQ＝60°， ∴△PQ 为等边三角形，∠PQ＝60°， ∴PQ＝P＝2， ∵∠P＋∠BP＝60°，∠BP＋∠BQ＝60°， ∴∠P＝∠BQ， 在△P 和△QB 中， ∴△P≌△QB（SS）， ∴P＝QB＝25， ∵在△BPQ 中， ， ， ， 而 ， ∴△PBQ 为直角三角形，∠BPQ＝90°， ∴∠PB＝90°＋60°＝150°． 故答为：150． 【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角； 还考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理的逆定理以及等边三角形的知识．证明△BPQ 是直角三角形是解答本 题的关键． 3．（2022·广东顺德德胜学校八年级阶段练习）如图，等边三角形 内有一点P，分别连接 、 、 ，若 ， ， ． (1)则线段 、 、 构成的三角形是______三角形（填“钝角、直角、锐角”）； (2)将 绕点B 顺时针旋转60°，画出旋转后的 ，并由此求出 的度数； (3)求三角形 的面积． 【答】(1)直角； (2) ； (3) ． 【分析】（1）根据勾股定理的逆定理判断即可； （2）由旋转的性质可得 ， ， ，证明 是等边三角形， ，进而可得 的度数； （3）将 绕点B 顺时针旋转60°得到 ，根据 是等边三角形， 是直角三角形，求出 ＝ ，同理，将 绕点顺时针旋转60°得到 ，将 绕点顺时针旋 转60°得到 ，可得 ＝ ， ＝ ，求出 的面积，进而根据 得出答． （1） 解：∵ ， ， ， ∴ ， ， ∴ ， ∴线段 、 、 构成的三角形是直角三角形， 故答为：直角； （2） 解：如图，将 绕点B 顺时针旋转60°得到 ，点 与点重合， 由旋转的性质可得 ， ， ， ∴ 是等边三角形， ∴ ， ， 由（1）可知 ， ∴ ， ∴ ， ∴ ； （3） 解：如图，将 绕点B 顺时针旋转60°得到 ，点 与点重合， 由（2）可得 是等边三角形， 是直角三角形， ， ， 过点P 作P⊥ ，则B＝ ， ∴P＝ ， ∴ ， ∴ ＝ ， 将 绕点顺时针旋转60°得到 ， 同理可得， 是以P＝10 为边的等边三角形， 是以6、8、10 为边的直角三角形， ＝ ， 将 绕点顺时针旋转60°得到 ， 同理可得， 是以P＝6 为边的等边三角形， 是以6、8、10 为边的直角三角形， ＝ ， ∴ ， ∴ ． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理及其逆定理的应用等知识，通过旋转构造 出等边三角形和直角三角形是解答本题的关键． 1．（1）如图，在等边三角形 内有一点 ，且 ， ， ，冰墩墩同学作了如图 的辅助 线，将 绕点 按逆时针方向旋转 、如图 所示，连接 ，请你按照冰墩墩的方法求出 的度数． （2）如图，在正方形 内有一点 ，且 ， ， ，类比第（1）题的方法． 求 的度数； 与 的面积之和． （3）如图，在（2）的基础上请求出正方形 的面积． 【答】（1）150°；（2）①135°；② ；（3）5 【分析】（1）将 绕点 顺时针旋转 ，画出旋转后的图形（如图 ，连接 ，可得△ 是等边三角形， 而△ 又是直角三角形（由勾股定理的逆定理可证），所以 ，而 ； （2）①求出 ，根据勾股定理的逆定理求出 ，推出 ； ②由（1）知， ， ， ， ，即可求出答． （3）过点 作 ，交 的延长线于点 ，求出 ， ，关键勾股定理即可求出 ，即可 求出答． 【详解】解：（1） 是等边三角形， ， 将 绕点 顺时针旋转 得出 ， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ，则△ 是 直角三角形； ； （2）①如图，将 绕点 逆时针旋转 得到 ， 与（1）类似：可得： ， ， ， ， ， ， 在 中，由勾股定理得： ， ， ， ， ； ②由①知， ， ， ， ， ， 与 的面积之和为 ； （3）由（2）知， ， ， 过点 作 ，交 的延长线于点 ； ， ， ； 在 中，由勾股定理，得 ； 正方形 的面积为5． 【点睛】本题主要考查勾股定理及逆定理，等边三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，含30 度角的直角三角 形的性质，正方形的性质，旋转的性质等知识点的理解和掌握，解题的关键是正确作辅助线并能根据性质进行证 明． 2．如图，点 是等边三角形 外一点， ， ， ．将 绕点 逆时针旋转60°后得到 ． (1)求证： 是直角三角形； (2)求 的面积． 【答】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据旋转后所得的图形与原图形大小相等，可得BD、D 的长和 ，可证明 是等边 三角形，得到 ，利用勾股定理得出 即可证明； （2）通过求解 ，作P 边上的高B，则 ，根据 即可求 出． (1) 由题意得： ， ， 是等边三角形 ， 是直角三角形； (2) 是等边三角形 是直角三角形， 作 ．则 【点睛】本题考查了三角形和旋转，熟练运用旋转的性质特殊三角形的性质是解题的关键．