第19讲 直角三角形（练习）（解析版）

第19 讲 直角三角形 目 录 题型01 利用直角三角形的性质求解 题型02 根据已知条件判定直角三角形 题型03 与直角三角形有关的面积计算 题型04 利用勾股定理求线段长 题型05 利用勾股定理求面积 题型06 已知两点坐标求两点距离 题型07 判断勾股数问题 题型08 勾股定理与格问题 题型09 勾股定理与无理数 题型10 以直角三角形三边为边长的图形面积 题型11 利用勾股定理证明线段的平方关系 题型12 勾股定理的证明方法 题型13 以弦图为背景的计算题 题型14 利用勾股定理构造图形解决问题 题型15 利用勾股定理解决实际问题 题型16 勾股定理与规律探究问题 题型17 在格中判定直角三角形 题型18 利用勾股定理逆定理求解 题型19 利用勾股定理解决实际生活问题 题型01 利用直角三角形的性质求解 1．（2023·广东梅州·统考一模）如图，已知l∥AB，CD⊥l于点D，若∠C=40°，则∠1的度数是 （ ） ．30° B．40° ．50° D．60° 【答】 【分析】根据直角三角形的性质求出∠CED，再根据平行线的性质解答即可． 【详解】解：在Rt △CDE中，∠CDE=90°，∠DCE=40°， 则∠CED=90°−40°=50°， ∵l∥AB， ∴∠1=∠CED=50°， 故选：． 【点睛】本题考查的是直角三角形的性质、平行线的性质，掌握直角三角形的两锐角互余是解题的关键． 2．（2023·广东中山·校考一模）如图，在Rt △ABC中，∠ABC=90°，∠C=60°，点D为边AC的中 点，BD=2，则BC的长为（ ） ．❑ √3 B．2❑ √3 ．2 D．4 【答】 【分析】根据三角形内角和定理可得∠=30°，由直角三角形斜边上的中线的性质得出=2BD=4，再利用含30 度角的直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵∠B=90°，∠=60°， ∠ ∴ =30°， ∵点D 为边的中点，BD=2 ∴=2BD=4， ∴B=1 2 AC=2， 故选：． 【点睛】题目主要考查三角形内角和定理及直角三角形斜边上中线的性质，含30 度角的直角三角形的性质 等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． 3．（2021·河南信阳·统考一模）如图，在菱形ABCD中，对角线AC 、BD相交于点O , H为BC中点， AC=6,BD=8．则线段OH的长为：（ ） ．12 5 B．5 2 ．3 D．5 【答】B 【分析】因为菱形的对角线互相垂直且平分，从而有AC ⊥BD，AO=OC=3，BO=OD=4，又因为为 B 中点，借助直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可作答． 【详解】解：∵四边形BD 是菱形 ∴AC ⊥BD，AO=OC=3，BO=OD=4 △ ∴B 是直角三角形 ∴BO 2+OC 2=BC 2 ∴B=5 ∵为B 中点 ∴OH=1 2 BC=5 2 故最后答为5 2． 【点睛】本题考查了菱形的性质、勾股定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，其中知道菱形的 性质，对角线互相垂直且平分是解题的关键． 4．（2022·广东广州·统考一模）如图，在平面直角坐标系中，矩形BD 的顶点，B 分别在y 轴的正半轴和x 轴的正半轴上，当B 在x 轴的正半轴上运动时，随之在y 轴的正半轴上运动，矩形BD 的形状保持不变．若 ∠B＝30°时，点的纵坐标为2❑ √3，点的纵坐标为1，则点D 到点的最大距离是（ ） ．2❑ √5 B．2❑ √2+¿2 ．2❑ √2+¿4 D．2❑ √3+¿4 【答】B 【分析】由Rt△B 中的条件可得B=4，由△B∽△BF，可得B=2，再B 上取一点E，利用勾股定理求出E，利 用直角三角形斜边中线等于斜边一半求出E，由三角形两边之后大于第三边可求出D 最大值． 【详解】解：取B 中点E，连接DE、E、D，过作F⊥BF 与点F， 在Rt△B 中，=2❑ √3，∠B=30°， ∴B=4，E=1 2B=2=E， 由矩形的性质，可得D=B，∠DB=∠B=90°， △ ∴B∽△BF， ∵的纵坐标为1， ∴B=2=D； 在Rt△DE 中，DE=2❑ √2， 当、D、E 三点共线时，D=DE＋E 最大， 此时D=2❑ √2+2； 故选：B． 【点睛】本题考查相似三角形的性质，直角三角形的性质，三角形三边关系，根据性质求出相应线段，根 据两边之和大于第三边求出最大值是解题的关键． 题型02 根据已知条件判定直角三角形 5．（2022·重庆·重庆市松树桥中学校校考模拟预测）已知△ABC的三条边分别是a、b、c，则下列条件 中不能判断△ABC是直角三角形的是（ ） ．a:b:c=3:4:5 B．∠C=∠A+∠B ．∠A :∠B:∠C=1:5:6 D．∠A :∠B:∠C=3:4:5 【答】D 【分析】根据勾股定理的逆定理判定正确，利用三角形内角和定理判定B 和正确、D 错误． 【详解】解：、设=3k，b=4k，=5k， ∵(3k ) 2+(4 k ) 2=(5k ) 2 ， 即a 2+b 2=c 2 ， ∴三角形是直角三角形， 正确； B、∵∠+∠B+∠=180°， ∠=∠+∠B， ∴2∠=180°， 即∠=90°， 正确； 、设∠=x°，∠B=5x°，∠=6x°， 又三角形内角和定理得x+5x+6x=180, 解得6x=90, 故正确； D、设∠=3x°，∠B=4x°，∠=5x°， 又三角形内角和定理得3x+4x+5x=180， 5x=75, 故不是直角三角形， 错误； 故本题选择D． 【点睛】本题考查直角三角形的判定方法：勾股定理的逆定理、证明最大角是直角． 6．（2022·云南昆明·统考二模）已知实数x，y，z 满足( x−5) 2+❑ √y−12+¿ z−13∨¿0，则以x，y，z 的 值为边长的三角形是（ ） ．锐角三角形 B．直角三角形 ．钝角三角形 D．无法判断 【答】B 【分析】根据平方式、算式平方根和绝对值的非负性求出x、y、z，再根据勾股定理的逆定理判断即可 【详解】解：∵实数x，y，z 满足( x−5) 2+❑ √y−12+¿ z−13∨¿0， ∴x=5，y=12，z=13， ∵52+122=132，∴x2+y2=z2 ∴以x，y，z 的值为边长的三角形是直角三角形， 故选B 【点睛】本题考查平方式、算式平方根和绝对值的非负性、勾股定理的逆定理，熟练掌握非负性是解答的 关键 7．（2022·安徽合肥·合肥38 中校考一模）已知△B 的三边长分别为，b，，选择下列条件中的一个，能判 断△B 是直角三角形的是（ ） ∠ ① ＝∠B﹣∠；②2＝（b+）（b﹣）；③∠：∠B：∠＝3：4：5；④：b：＝3：4：5 ．1 个 B．2 个 ．3 个 D．4 个 【答】 【分析】根据直角三角形的定义，勾股定理的逆定理一一判断即可． 【详解】①∵∠＝∠B﹣∠， ∠ ∴ +∠＝∠B， ∠ ∵ +∠B+∠＝180°， ∠ ∴ B＝90°， ∴是直角三角形， 故①是直角三角形； ②∵2＝（b+）（b﹣）， ∴2＝b2﹣2， 2+2＝b2， 故②是直角三角形； ∠ ∵ ：∠B：∠＝3：4：5， ∠+∠B+∠＝180°， ∠ ∴ ＝75°， 故③不是直角三角形； ∵：b：＝3：4：5， ∴32+42＝52， ∴2+b2＝2， 故④是直角三角形； 是直角三角形的三角形有3 个①②④ 故选：． 【点睛】此题考查了勾股定理逆定理的运用，判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要 利用勾股定理的逆定理加以判断即可，注意数据的计算． 题型03 与直角三角形有关的面积计算 8．（2023·广东佛山·统考二模）如图，在△ABC中，∠A=30°，∠ACB=90°，BC=4，以点A为圆 心，AC长为半径画弧，交AB于点D，则图中阴影部分的面积是（ ） ．8 ❑ √3−4 π B．8 ❑ √3−2π ．16 ❑ √3−8 π D．16 ❑ √3−4 π 【答】 【分析】根据直角三角形的性质得到AC=4 ❑ √3，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：∵在Rt △ABC中，∠A=30°，∠ACB=90°，BC=4， ∴AB=2BC=8，AC= ❑ √8 2−4 2=4 ❑ √3， ∴阴影部分的面积¿ S△ACB−S❑扇形ACD=1 2 ×4×4 ❑ √3−30 π ⋅(4 ❑ √3) 2 360 =8 ❑ √3−4 π， 故选：． 【点睛】本题考查了扇形面积的计算，含30°角的直角三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键． 9．（2023·山东泰安·统考一模）如图，Rt △ABC中，∠A=30° ,∠ABC=90°，将Rt △ABC绕点B 逆时针方向旋转得到△A ' BC '．此时恰好点在A 'C '上，A ' B交AC于点E，则△ABE与△ABC的面积之 比为（ ） ．1 3 B．9 16 ．2 3 D．3 4 【答】D 【分析】由旋转的性质得出BC=BC '，∠ACB=∠A 'C ' B=60°，则△BC C '是等边三角形， ∠CBC '=60°，得出∠BEA=90°，设CE=α，则BE=❑ √3α，AE=3α，求出AE AC = 3 4 ，可求出答． 【详解】∵∠A=30° ,∠ABC=90°， ∴∠ACB=60°， 由旋转得：BC=BC '，∠ACB=∠A 'C ' B=60°， ∴△BC C '是等边三角形， ∴∠CBC '=60°， ∴∠AB A '=60°， ∴∠BEA=90°，∠CBE=∠A=30°， 设CE=α，则BC=2α ，AC=2BC=4 α， ∴由勾股定理得BE=❑ √3α，AE=AC−CE=3α， ∴AE AC = 3 4 ， ∵△ABE与△ABC同高， ∴△ABE与△ABC的面积之比为3 4 ． 故选：D． 【点睛】本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，勾股定理，等边三角形的判定与性质，熟练掌握旋 转的性质是解题的关键． 10．（2022·山东济南·模拟预测）如图，在 Rt △ABC 中， ∠B=90 ∘ ， ∠C=30 ∘ ，以点 A 为圆心， 任意长为半径作弧，分别交边 AB ， AC 于点 P ， Q ；再分别以点 P ， Q 为圆心，以大于 1 2 PQ 的长 为半径作弧，两弧交于点 E ，作射线 AE 交 BC 于点 F 设 △ABF ， △ABC 的面积分别为 S1 ， S2 ， 则 S1 S2 的值为（ ） ．1 2 B．1 3 ．1 ❑ √3 D．1 4 【答】B 【分析】根据作图过程可知： AF是∠BAC 的平分线，设 BF=x ，在 Rt △ABC 中， ∠B=90 ∘ ， ∠C=30 ∘ ，则在 Rt △ABF 中， FA=2 x，分别表示出S1,S2，即可求解． 【详解】解：根据作图过程可知： AF是∠BAC 的平分线， ∴∠BAF=∠CAF=1 2 ∠BAC ， ∵∠B=90°，∠C=30° ， ∴∠BAC=60° ∴∠BAF=∠CAF=1 2 ∠BAC=30° ， ∴∠CAF=∠C=30° ∴FA=FC 设 BF=x ，则在 Rt △ABF 中， FA=2 x ∴FC=FA=2 x ， BC=BF+FC=x+2 x=3 x ， ∴S1=1 2 BF · AB= x 2 · AB ， S2=1 2 BC · AB=3 x 2 · AB ， ∴S1 S2 = x 2 · AB 3 x 2 · AB =1 3 ， 故选B． 【点睛】本题考查了角平分线的作图，含30 度角的直角三角形的性质，掌握含30 度角的直角三角形的性 质是解题的关键． 11．（2022·浙江金华·统考一模）把一副三角尺如图所示拼在一起，其中边长是2❑ √6，则△D 的面积是 （ ） ．4 ❑ √2 B．6 ．4 ❑ √3 D．6 ❑ √2 【答】 【分析】根据勾股定理得到B¿ ❑ √A C 2+ A B 2=¿4❑ √3，根据直角三角形的性质得到D¿ ❑ √3 3 B＝4，过作 E⊥D 交D 的延长线于E，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：∵∠B＝90°，∠B＝∠B＝45°，＝2❑ √6， ∴＝B＝2❑ √6， ∴B¿ ❑ √A C 2+ A B 2=¿4❑ √3， ∠ ∵ BD＝90°，∠BD＝30°， ∴D¿ ❑ √3 3 B＝4， 过作E⊥D 交D 的延长线于E， ∠ ∴ EB＝90°， ∠ ∴ E＝45°， ∴E2+E2＝2， ∴E¿ ❑ √2 2 AC ＝2❑ √3， △ ∴D 的面积¿ 1 2D•E¿ 1 2 ×4×2❑ √3=¿4❑ √3， 故选：． 【点睛】本题考查了勾股定理，直角三角形的性质，正确地作出辅助线是解题的关键． 题型04 利用勾股定理求线段长 12．（2021·黑龙江哈尔滨·统考模拟预测）往直径为52cm的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示， 若水面宽AB=48cm，则水的最大深度为（ ） ．8cm B．10cm ．16cm D．20cm 【答】 【分析】过点作D⊥B 于D，交⊙于E，连接，根据垂径定理即可求得D 的长，又由⊙的直径为52cm，求 得的长，然后根据勾股定理，即可求得D 的长，进而求得水的最大深度DE的长． 【详解】解：过点作D⊥B 于D，交⊙于E，连接， 由垂径定理得：AD=1 2 AB=1 2 ×48=24 cm， ∵⊙的直径为52cm， ∴OA=OE=26cm， 在RtΔAOD中，由勾股定理得：OD= ❑ √O A 2−A D 2= ❑ √26 2−24 2=10cm， ∴DE=OE−OD=26−10=16cm， ∴水的最大深度为16cm， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了垂径定理的知识．此题难度不大，解题的关键是注意辅助线的作法，构造直角三 角形，利用勾股定理解决． 13．（2022·云南昆明·官渡六中校考一模）在△ABC中，∠ABC=90°，若AC=100,sin A=3 5，则AB 的长是（ ） ．500 3 B．503 5 ．60 D．80 【答】D 【分析】根据三角函数的定义得到B 和的比值，求出B，然后利用勾股定理即可求解． 【详解】解：∵∠B=90°，s = ∠BC AC =3 5，=100， ∴B=100×3÷5=60， ∴B=❑ √A C 2−BC 2=80， 故选D． 【点睛】本题主要考查的是解直角三角形，掌握勾股定理和正弦函数的定义是解题的关键． 14．（2023·辽宁沈阳·模拟预测）如图1 是第七届国际数学育大会（ICME）的会徽，在其主体图中选择 两个相邻的直角三角形，恰好能够组合得到如图2 所示的四边形OABC．若OC=❑ √5，BC=1， ∠AOB=30°，则OA的值为（ ） ．❑ √3 B．3 2 ．❑ √2 D．1 【答】 【分析】根据勾股定理和含30°角的直角三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：∵∠OBC=90°，OC=❑ √5，BC=1， ∴OB= ❑ √OC 2−BC 2= ❑ √(❑ √5) 2−1 2=2 ∵∠A=90°，∠AOB=30°， ∴AB=1 2 OB=1， ∴OA= ❑ √O B 2−A B 2= ❑ √2 2−1 2=❑ √3， 故选：． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，含30°角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握直角三角形的性质是 解题的关键． 题型05 利用勾股定理求面积 15．（2022·四川内江·四川省内江市第六中学校考一模）若直角三角形的两边长分别是方程 x 2−7 x+12=0的两根，则该直角三角形的面积是（ ） ．6 B．12 ．12 或3 ❑ √7 2 D．6 或3 ❑ √7 2 【答】D 【分析】根据题意，先将方程x 2−7 x+12=0的两根求出，然后对两根分别作为直角三角形的直角边和斜 边进行分情况讨论，最终求得该直角三角形的面积即可． 【详解】解方程x 2−7 x+12=0得x1=3，x2=4 当3 和4 分别为直角三角形的直角边时，面积为1 2 ×3×4=6； 当4 为斜边，3 为直角边时根据勾股定理得另一直角边为❑ √4 2−3 2=❑ √7，面积为1 2 ×❑ √7×3= 3 ❑ √7 2 ； 则该直角三角形的面积是6 或3 ❑ √7 2 ， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程及直角三角形直角边斜边的确定、直角三角形的面积求解，熟练 掌握解一元二次方程及勾股定理是解决本题的关键． 16．（2023·河南南阳·统考三模）如图，在正方形ABCD中，AB=4 cm，在等腰直角三角形EFG中， ∠FEG=90°，EF=10cm．边BC与FG在同一直线上．CF=8cm．若正方形ABCD以2cm/s的速度 沿直线向右运动，经过 s，此三角形和正方形重叠部分的面积是4 cm 2． 【答】(4+❑ √2)或(6+4 ❑ √2) 【分析】分两种情况讨论，当CD交EF于点和AB交EG于点时，利用等腰直角三角形的性质以及三角形的 面积公式即可求解． 【详解】解：∵在等腰直角三角形EFG中， ∴∠EFG=45°， 当CD交EF于点时， ∴∠HFC=∠FHC=45°， ∴设CF=CH=x， 由题意得1 2 x 2=4， 解得x=2❑ √2，即CF=CH=2❑ √2， ∴点移动的距离为8+2❑ √2， 所用时间为8+2❑ √2 2 =4+❑ √2 (s)； 当AB交EG于点时， ∴∠HGB=∠BHG=45°， 同理，得BG=BH=2❑ √2， ∴CG=4−BG=4−2❑ √2， ∵在等腰直角三角形EFG中，∠FEG=90°，EF=10cm， ∴FG=❑ √2 EF=10 ❑ √2， ∴点移动的距离为8+10 ❑ √2+4−2❑ √2=12+8 ❑ √2， 所用时间为12+8 ❑ √2 2 =6+4 ❑ √2 (s)； 故答为：(4+❑ √2)或(6+4 ❑ √2)． 【点睛】本题主要考查了平移的性质，勾股定理以及等腰直角三角形的性质，解题的关键是掌握等腰直角 三角形的性质． 17．（2023·广东潮州·统考模拟预测）如图，△BED是等腰直角三角形，AC经过点E，过点B 作 BA ⊥AC，过点D 作DC ∥BA，若AC=10，CD=8，求△BDE的面积． 【答】34 【分析】由等腰直角三角形的性质得出BE=DE，∠BED=90°，证明△AEB ≌△CDE (AAS)，由全等 三角形的性质得出CD=AE，求出CE的长，由三角形面积公式可得出答． 【详解】解：∵△BED是等腰直角三角形， ∴BE=DE，∠BED=90°， ∴∠AEB+∠CED=90°， ∵BA ⊥AC，