第19讲 直角三角形（讲义）（解析版）

第19 讲 直角三角形 目 录 一、考情分析 二、知识建构 考点一 直角三角形的性质与判定 题型01 利用直角三角形的性质求解 题型02 根据已知条件判定直角三角形 题型03 与直角三角形有关的面积计算 考点二 勾股定理 题型01 利用勾股定理求线段长 题型02 利用勾股定理求面积 题型03 已知两点坐标求两点距离 题型04 判断勾股数问题 题型05 利用勾股定理解决折叠问题 题型06 勾股定理与格问题 题型07 勾股定理与无理数 题型08 以直角三角形三边为边长的图形面积 题型09 利用勾股定理求两条线段的平方和（差） 题型10 利用勾股定理证明线段的平方关系 题型11 勾股定理的证明方法 题型12 以弦图为背景的计算题 题型13 利用勾股定理构造图形解决问题 题型14 利用勾股定理解决实际问题 类型一 求梯子滑落高度 类型二 求旗杆高度 类型三 大树折断前高度 类型四 解决水杯中的筷子问题 类型五 选址到两地距离相等 类型六 最短路径 类型七 航海问题 题型15 勾股定理与规律探究问题 考点三 勾股定理逆定理 题型01 图形上与已知两地构成直角三角形的点 题型02 在格中判定直角三角形 题型03 利用勾股定理逆定理求解 题型04 利用勾股定理解决实际生活问题 考点要求 新课标要求 命题预测 直角三角形的 性质与判定  理解直角三角形的概念  探索并掌握直角三角形的性质定理:直 角三角形的两个锐角互余，直角三角形 斜边上的中线等于斜边的一半掌握有两 个角互余的三角形是直角三角形 该模块内容在中考中一直是较为重要的几何考 点，考察难度为中等偏上，常考考点为:直角三角形 的性质定理、勾股定理及其逆定理、勾股定理与实 际问题等，特别是含特殊角的直角三角形，更加是 考察的重点出题类型可以是选择填空题这类小题， 也可以是各类解答题，以及融合在综合压轴题中， 作为问题的几何背景进行拓展延伸结合以上考察形 式，需要考生在复习这一模块时，准确掌握有关直 角三角形的各种性质与判定方法，以及特殊直角三 角形常考的考察方向 勾股定理  探索勾股定理及其逆定理，并能运用它 们解决一些简单的实际问题 勾股定理逆定 理 考点一 直角三角形的性质与判定 直角三角形的定义：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形． 直角三角形的性质：1）直角三角形两个锐角互余 2）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 3）在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半 直角三角形的判定：1）两个内角互余的三角形是直角三角形 2）三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形． 3）有一个角是直角的三角形叫做直角三角形． 4）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长，b，有关系2+b2=2，那么这个三角形是直角三角形。 面积公式：S=1 2 ab=1 2 cm (其中：为斜边上的高，m 为斜边长) a b m c 题型01 利用直角三角形的性质求解 【例1】（2023·山东聊城·统考二模）如图，直线l1∥l2，AB⊥CD，∠2=68°，那么∠1的度数是（ ） ．68° B．58° ．22° D．32° 【答】 【分析】由两直线平行同位角相等得到∠2=∠3，再由AB与CD垂直，利用垂直的定义得到∠BMC为 直角，得到∠1与∠3互余，由∠3的度数求出∠1的度数． 【详解】解： 直线 ∵ l1∥l2， ∴∠2=∠3=68°， ∵AB⊥CD， ∴∠CMB=90°， ∴∠1＋∠3=90°，又∠3=68°， ∴∠1=22°， 故选：． 【点睛】此题考查了平行线的性质，垂直定义、直角三角形的两个锐角互余，熟知平行线的性质：两直线 平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补． 【变式1-1】（2023·广东揭阳·统考一模）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BD平分 ∠ABC，P点是BD的中点，若CP=4，则AD的长为（ ） ．7 B．8 ．9 D．10 【答】B 【分析】由题意推出AD=BD，在Rt △BCD中，PC=1 2 BD，即可求出BD的长，进而可求出AD的长． 【详解】解：∵∠ACB=90°，∠ABC =60°， ∴∠A=30°， ∵BD平分∠ABC， ∴∠CBD=∠DBA=30°， ∴∠DBA=∠A， ∴AD=BD， ∵P点是BD的中点， ∴PC=1 2 BD， ∴BD=2CP=8， ∴AD=8． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了角平分线的定义、直角三角形斜边上的中线的性质、等腰三角形的判定等知识， 熟练掌握相关知识是解题关键． 【变式1-2】（2023·山西大同·大同一中校考模拟预测）风铃，又称铁马，古称“铎”，常见于中国传统建 筑屋檐下（如图 ），如图 ，是六角形风铎的平面示意图，其底部可抽象为正六边形 ① ② ABCDEF，连接 AC，CF，则∠ACF的度数为 °． 【答】30 【分析】根据正六边形的性质求出∠B=∠BAF=∠AFE=180°−360° 6 =120°，AB=CB，求出， ∠CAF=90°，根据对称性求出∠AFC=60°，即可得到答． 【详解】解：在正六边形ABCDEF中， ∠B=∠BAF=∠AFE=180°−360° 6 =120°，AB=CB， ∴∠BAC=∠ACB=30°， ∴∠CAF=90°， ∵CF是正六边形的一条对称轴， ∴∠AFC=60°， ∴∠ACF=90°−∠AFC=30°， 故答为：30． 【点睛】此题考查了正多边形的性质，内角和的公式，直角三角形的性质，正确掌握正多边形的性质是解 题的关键． 【变式1-3】（2023·陕西西安·校考二模）如图，在Rt △ABC中，∠BAC=90°，AB=6，CD是 △ABC的中线，E是CD的中点，连接AE，BE，若AE⊥BE，垂足为E，则AC的长为 ． 【答】3 ❑ √3 【分析】根据垂直定义可得∠AEB=90°，利用直角三角形斜边上的中线性质可得DE=AD=1 2 AB=3， AE=DE=CE=3，从而得到CD=6，最后利用勾股定理进行计算即可解答． 【详解】解：∵AE⊥BE， ∴∠AEB=90°， ∵CD是△ABC的中线，AB=6， ∴DE是△ABE斜边上的中线， ∴ DE=AD=1 2 AB=3， ∵∠DAC=90°，E是CD的中点， ∴AE=DE=CE=3， ∴CD=6， 由勾股定理得AC= ❑ √C D 2−A D 2= ❑ √6 2−3 2=3 ❑ √3． 故答为：3 ❑ √3． 【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线，勾股定理，解题的关键是熟练掌握直角三角形斜边上的中 线性质． 题型02 根据已知条件判定直角三角形 【例2】（2023·福建漳州·统考一模）在下列条件中：①∠A+∠B=∠C，②∠A :∠B:∠C=1:5:6， ③∠A=90°−∠B，④∠A=∠B=∠C中，能确定△ABC是直角三角形的条件有（ ） ．1 个 B．2 个 ．3 个 D．4 个 【答】 【分析】根据三角形内角和定理，能证明有一个角是90 度即可确定△ABC是直角三角形． 【详解】解：由三角形内角和定理得∠A+∠B+∠C=180°， ①当∠A+∠B=∠C时，2∠C=180°，∠C=90°，能确定△ABC是直角三角形； ②当∠A :∠B:∠C=1:5:6时，∠C= 6 1+5+6 ×180°=90°，能确定△ABC是直角三角形； ③当∠A=90°−∠B时，∠A+∠B=∠C=90°，能确定△ABC是直角三角形； ④当∠A=∠B=∠C时，∠A+∠B=∠C=60°，不能确定△ABC是直角三角形； 综上可知，能确定△ABC是直角三角形的条件有3 个， 故选． 【点睛】本题考查直角三角形的判定，解题的关键是熟练运用三角形内角和定理． 【变式2-1】（2023·陕西西安·西安市曲江第一中学校考模拟预测）下列条件中不能判断△ABC是直角三 角形的是（ ） ．A B 2+BC 2=A C 2 B．A B 2−BC 2=A C 2 ．∠A+∠B=∠C D． ∠A :∠B:∠C=3:4:5 【答】D 【分析】根据勾股定理的逆定理判断和B 即可；根据三角形的内角和定理判断和D 即可． 【详解】解：．∵A B 2+BC 2=A C 2， ∴∠B=90°， ∴△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意； B．∵A B 2−BC 2=A C 2 ∴A C 2+BC 2=A B 2， ∴∠C=90°， ∴△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意； ．∵∠A+∠B+∠C=180°，∠A+∠B=∠C ， ∴∠C=90°， ∴△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意； D．∵∠A ：∠B：∠C=3：4：5，∠A+∠B+∠C=180°， ∴最大角∠C= 5 3+4+5 ×180°=75°， ∴△ABC不是直角三角形，故本选项符合题意； 故选：D 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，三角形的内角和定理等知识点，能熟记勾股定理的逆定理的内容 和三角形的内角和定理等于180°是解此题的关键，注意：如果一个三角形的两条边、b 的平方和等于第三 边的平方，即a 2+b 2=c 2，那么这个三角形是直角三角形． 【变式2-2】（2020·浙江绍兴·模拟预测）由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是（ ） ．a=5,b=12,c=13 B．∠A :∠B:∠C=3:4:5 ．∠A=∠B−∠C D．a=1,b=2,c=❑ √5 【答】B 【分析】根据三角形的内角和以及勾股定理的逆定理分别判断，进而得出结论． 【详解】解：、52+122=132，故△B 是直角三角形，不符合题意． B、 ： ∵∠ ∠B：∠=3：4：5，∴∠=180°× 5 3+4+5=75°，故不是直角三角形，符合题意； 、∵∠= B- ∠ ∠，∴∠B- + B+ =180° ∠∠ ∠ ，∴∠B=90°，故是直角三角形，不符合题意； D、12+22=（❑ √5）2，故是直角三角形，不符合题意． 故选B． 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理和勾股定理的逆定理，求出各选项中的最大角是解题的关键． 【变式2-3】（2022·河北保定·统考一模）下列长度的三条线段能组成锐角三角形的是（ ） ．3，4，4 B．3，4，5 ．3，4，6 D．3，4，7 【答】 【分析】根据三角形三边组成锐角三角形的条件进行判断可得答． 【详解】解：在能够组成三角形的条件下，如果满足较小两边平方的和等于最大边的平方是直角三角形； 满足较小两边平方的和大于最大边的平方是锐角三角形； 满足较小两边平方的和小于最大边的平方是钝 角三角形． 项，因为32 +42 >42 ，所以这三条线段组成锐角三角形，故项符合题意； B 项，因为32 +4 2 =5 2 ，所以这三条线段组成直角三角形， 故B 项不符合题意； 项，因为3 2 +4 2 <6 2 ，所以这三条线段组成钝角三角形，故项不符合题意； D 项，因为3+4=7，所以这三条线段不满足组成三角形的条件，故D 项不符合题意． 故应选：． 【点睛】本题主要考查三角形的基本概念和直角三角形，其中在能够组成三角形的条件下， 如果满足较 小两边平方的和等于最大边的平方是直角三角形； 满足较小两边平方的和大于最大边的平方是锐角三角 形；满足较小两边平方的和小于最大边的平方是钝角三角形；掌握直角三角形的判断条件是解题的关键． 题型03 与直角三角形有关的面积计算 【例3】（2023·广西南宁·统考三模）如图，在平面直角坐标系中，点P 在反比例函数y= k x (x>0)的图象 上，点，B 在x 轴上，且PA ⊥PB，垂足为P，P 交y 轴于点，AO=BO=BP，△ABP的面积是2．则k 的值是（ ） ．1 B．3 2 ．❑ √3 D．2 【答】 【分析】连接OP，过点P 作PD⊥AB，垂足为D，证明△OPB为等边三角形，设OB=a，利用求出 PD= ❑ √3 2 a，得到点P 坐标，根据△ABP的面积是2，列出方程，求出a 2= 4 ❑ √3 3 ，再将点P 坐标代入 y= k x (x>0)中，可得k 值． 【详解】解：如图，连接OP，过点P 作PD⊥AB，垂足为D， ∵AO=BO=BP， ∴OP=OB=BP，即△OPB为等边三角形， ∴∠DPB=30°， 设OB=a，则AB=2a， ∴BD=1 2 a， ∴PD= ❑ √P B 2−B D 2= ❑ √3 2 a，即P( 1 2 a, ❑ √3 2 a)， ∵△ABP的面积是2， ∴1 2 × AB× DP=2， ∴1 2 ×2a× ❑ √3 2 a=2， 解得：a 2= 4 ❑ √3 3 ， ∴k=1 2 a× ❑ √3 2 a= ❑ √3 4 a 2= ❑ √3 4 × 4 ❑ √3 3 =1， 故选． 【点睛】本题考查了反比例函数表达式，等边三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线，勾股定理，解 题的关键是判断出△OPB为等边三角形，得到点P 坐标． 【变式3-1】（2023·河北邢台·邢台三中校考一模）如图，将两个全等的正方形ABCD与APQR重叠放置， 若∠BAP=30°，AB=6 ❑ √3，则图中阴影部分的面积是（ ） ．48 B．54 ．81−18 ❑ √3 D．108−36 ❑ √3 【答】D 【分析】设CD与PQ交于G，连接AG，根据正方形的性质得到AB=AP=AD， ∠BAD=∠P=∠D=90°，根据全等三角形的性质得到∠PAG=∠DAP=30°，根据正方形的面积公 式和三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】设CD与PQ交于G，连接AG， ∵四边形ABCD和正方形APQR是正方形， ∴AB=AP=AD，∠BAD=∠P=∠D=90°， ∵∠BAP=30°， ∴∠PAD=60°， 在Rt △APG与Rt △ADG中， ¿， ∴Rt △APG≅ Rt △ADG (HL)， ∴∠PAG=∠DAG=30°， ∵AD=AP=AB=6 ❑ √3， ∴PG=DG=6 ❑ √3× ❑ √3 3 =6， ∴图中阴影部分的面积¿正方形APQR的面积−△APG的面积−△ADG的面积 ¿6 ❑ √3×6 ❑ √3−1 2 ×6 ❑ √3×6−1 2 ×6 ❑ √3×6=108−36 ❑ √3， 故选：D． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的面积的计算，正确地作出辅助线 是解题的关键． 【变式3-2】（2023·云南曲靖·统考二模）如图，在▱ABCD中，AD⊥BD ,∠A=30° ,BD=3，则 ▱ABCD的面积等于 ． 【答】9 ❑ √3 【分析】根据30°角所对直角边是斜边的一半求出AB=6，根据勾股定理求出AD，计算出△ABD的面积， 即可得解； 【详解】∵AD⊥BD，∠A=30°，BD=3， ∴AB=3×2=6， ∴AD= ❑ √A B 2−B D 2=❑ √36−9=❑ √27=3 ❑ √3， ∴S△ABD=1 2 ×3 ❑ √3×3=9 ❑ √3 2 ， ∴S平行四边形ABCD=2S△ABD=9 ❑ √3； 故答是：9 ❑ √3． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、勾股定理，准确根据30°角所对直角边是斜边的一半求解是 解题的关键． 【变式3-3】（2023·河北唐山·统考模拟预测）将一副三角尺如图所示叠放在一起，若重叠部分的面积是 12cm 2，则AB的长是 cm． 【答】4 ❑ √6 【分析】根据重叠部分的面积求出AC，利用直角三角形30°角的性质求出AB的长． 【详解】解：∵∠ACB=∠AED=90°， ∴CB∥ED， ∴∠AFC=∠D=45°， ∴∠DAC=∠AFC=45°， ∴AC=CF， ∵重叠部分的面积¿ 1 2 AC ⋅CD=12， ∴AC=2❑ √6， ∵∠ACB=90° ,∠B=30°， ∴AB=2 AC=4 ❑ √6， 故答为：4 ❑ √6． 【点睛】此题考查了平行线的判定和性质，等角对等边证明边相等，直角三角形30°角的性质，正确掌握 各知识点是解题的关键． 考点二 勾股定理 勾股定理的概念：如果直角三角形的两直角边分别为a，b，斜边为c，那么a 2+b 2=c 2 变式：a 2=c 2−b 2，b 2=c 2−a 2，c= ❑ √a 2+b 2,a= ❑ √c 2−b 2,b= ❑ √c 2−b 2 勾股定理的证明方法（常见）： 方法一（图一）：4 S Δ+S正方形EFGH=S正方形ABCD，4× 1 2 ab+(b−a) 2=c 2，化简可证． 方法二（图二）：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积． 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为S=4× 1 2 ab+c 2=2ab+c 2 大正方形面积为S=(a+b) 2=a 2+2ab+b 2，所以a 2+b 2=c 2 方法三（图三）：S 梯形=1 2 (a+b)⋅(a+b)，S 梯形=2S Δ ADE+S Δ ABE=2⋅1 2 ab+ 1 2 c 2，化简得证a 2+b 2=c 2 c b a H G F E D C B A b a c b a c c a b c a b a b c c b a E D C B A 图一 图二 图三 勾股数概念：能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即a 2+b 2=c 2中，a，b，c为正整 数时，称a，b，c为一组勾股数 常见的勾股数：如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等 判断勾股数的方法：1）确定是三个正整数，b，； 2）确定最大的数； 3）计算较小的两个数的平方a 2+b 2是否等于c 2 题型01 利用勾股定理求线段长 【例1】（2023·广东云浮·统考一模）如图，AB切⊙O于，点D 从出发，以每秒1cm的速度沿CB方向运 动，运动1 秒时OD=2cm，运动2 秒时OD长是（ ） ．❑ √5cm B．❑ √6cm ．❑ √7cm D．2❑ √2cm 【答】 【分析】本题考查切线的性质、勾股定理，掌握切线性质是关键．先证得∠OCD=90°，再利用勾股定 理求解即可． 【详解】解：∵AB切⊙O于， ∴∠OCD=90°， ∵点D 从出发，以每秒1cm的速度沿CB方向运