专题05 三角形中的倒角模型-双角平分线（三角形）模型 模型1、双角平分线模型 图1 图2 图3 1）两内角平分线的夹角模型 条件：如图1，在△B 中，∠B 和∠B 的平分线BE，F 交于点G；结论： ． 2）两外角平分线的夹角模型 2）两外角平分线的夹角模型 条件：如图2，在△B 中，B，是△B 的外角平分线；结论： ． 3）一个内角一个外角平分线的夹角模型 条件：如图3，在△B 中，BP 平分∠B，P 平分∠B 的外角，两条角平分线相交于点P；结论： ． 图4 图5 图6 4）凸多边形双内角平分线的夹角模型 平分∠B、∠DB，两条角平分线相交于点P；结论： 5）两内角平分线的夹角模型 条件：如图5，BP、DP 平分∠BD、∠DE，两条角平分线相交于点P；结论： 6）一个内角一个外角平分线的夹角模型（累计平分线） 条件：如图6， ， 的平分线相交于点 ， 的平分线相交于点 ， ， 的平分线相交于点 ……以此类推；结论： 的度数是 ． 7）旁心模型 旁心：三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点

专题11 三角形中的重要模型-特殊三角形中的分类讨论模型 模型1、等腰三角形中的分类讨论模型 【知识储备】凡是涉及等腰三角形边、角、周长、面积等问题，优先考虑分类讨论，再利用等腰三角形的 性质与三角形三边关系解题即可。 1）无图需分类讨论 ①已知边长度无法确定是底边还是腰时要分类讨论；②已知角度数无法确定是顶角还是底角时要分类讨 论； ③遇高线需分高在△内和△外两类讨论；④中线把等腰△周长分成两部分需分类讨论。 腰△周长分成两部分需分类讨论。 2）“两定一动”等腰三角形存在性问题： 即：如图：已知A ，B 两点是定点，找一点C 构成等腰△ABC 方法：两圆一线 具体图解：①当AB=AC 时，以点A 为圆心，AB 长为半径作⊙A ，点C 在⊙A 上（B ，C 除外） ②当AB=BC 时，以点B 为圆心，AB 长为半径作⊙B ，点C 在⊙B 上（A ，E 除外） 的中垂线，点C 在该中垂线上（D 除外） 例1．（2023 春·四川成都·八年级校考期中）已知等腰三角形的两边长分别是 ， ，若 ， 满足 ，那么它的周长是（ ） ．11 B．13 ．11 或13 D．11 或15 【答】 【分析】由已知等式，结合非负数的性质求 、 的值，再根据 、 分别作为等腰三角形的腰，分类求 解． 【详解】解： ， ， ， ， ，解得： ， ， 当 作腰时，三边

专题05 三角形中的倒角模型-双角平分线（三角形）模型 模型1、双角平分线模型 图1 图2 图3 1）两内角平分线的夹角模型 条件：如图1，在△B 中，∠B 和∠B 的平分线BE，F 交于点G；结论： ． 2）两外角平分线的夹角模型 2）两外角平分线的夹角模型 条件：如图2，在△B 中，B，是△B 的外角平分线；结论： ． 3）一个内角一个外角平分线的夹角模型 条件：如图3，在△B 中，BP 平分∠B，P 平分∠B 的外角，两条角平分线相交于点P；结论： ． 图4 图5 图6 4）凸多边形双内角平分线的夹角模型 平分∠B、∠DB，两条角平分线相交于点P；结论： 5）两内角平分线的夹角模型 条件：如图5，BP、DP 平分∠BD、∠DE，两条角平分线相交于点P；结论： 6）一个内角一个外角平分线的夹角模型（累计平分线） 条件：如图6， ， 的平分线相交于点 ， 的平分线相交于点 ， ， 的平分线相交于点 ……以此类推；结论： 的度数是． 7）旁心模型 旁心：三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点

专题11 三角形中的重要模型-特殊三角形中的分类讨论模型 模型1、等腰三角形中的分类讨论模型 【知识储备】凡是涉及等腰三角形边、角、周长、面积等问题，优先考虑分类讨论，再利用等腰三角形的 性质与三角形三边关系解题即可。 1）无图需分类讨论 ①已知边长度无法确定是底边还是腰时要分类讨论；②已知角度数无法确定是顶角还是底角时要分类讨 论； ③遇高线需分高在△内和△外两类讨论；④中线把等腰△周长分成两部分需分类讨论。 △周长分成两部分需分类讨论。 2）“两定一动”等腰三角形存在性问题： 即：如图：已知A ，B 两点是定点，找一点C 构成等腰△ABC 方法：两圆一线 具体图解：①当AB=AC 时，以点A 为圆心，AB 长为半径作⊙A ，点C 在⊙A 上（B ，C 除外） ②当AB=BC 时，以点B 为圆心，AB 长为半径作⊙B ，点C 在⊙B 上（A ，E 除外） 春·四川成都·八年级校考期中）已知等腰三角形的两边长分别是 ， ，若 ， 满足 ，那么它的周长是（ ） ．11 B．13 ．11 或13 D．11 或15 例2．（2023 春·黑龙江佳木斯·八年级校考期中）一个等腰三角形的周长为18m，且一边长是4m，则它的 腰长为（ ） ．4m B．7m ．4m 或7m D．全不对 例3．（2023 春·四川达州·八年级校考阶段练习）等腰三角形的一个角是 ，则它顶角的度数是（

专题02 三角形中的倒角模型-飞镖模型、风筝模型、角内翻模型 近年来各地中考中常出现一些几何倒角模型，该模型主要涉及高线、角平分线及角度的计算（内角和 定理、外角定理等）。熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题就飞镖型、风筝模型 进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 模型1、“飞镖”模型（“燕尾”模型） 图1 面我们进行认识与探究：凹四 边形通俗地说，就是一个角“凹”进去的四边形，其性质有：凹四边形中最大内角外面的角等于其余三个 内角之和． （即如图 1，∠DB=∠＋∠B＋∠ ）理由如下： 方法一：如图 2，连接 B，则在△B 中，∠+∠B+∠B=180°，即∠1+ 2+ 3+ 4+ =180° ∠ ∠ ∠ ∠ ，又∵在△BD 中， ∠1+ 2+ ∠ ∠DB=180°，∴∠DB= 方法二：如图 3，连接 D 并延长至 F，∵∠1 和∠3 分别是△D 和△BD 的一个外角， 大家在探究的过程中，还发现有很多方法可以证明这一结论，你有自己的方法吗？ 任务：(1)填空：“方法一”主要依据的一个数学定理是 ； (2)探索：根据“方法二”中辅助线的添加方式，写出该证明过程的剩余部分； (3)应用：如图 4，E 是∠D 的平分线，BF 是∠BD 的平分线，E

专题02 三角形中的倒角模型-飞镖模型、风筝模型、角内翻模型 近年来各地中考中常出现一些几何倒角模型，该模型主要涉及高线、角平分线及角度的计算（内角和 定理、外角定理等）。熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题就飞镖型、风筝模型 进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 模型1、“飞镖”模型（“燕尾”模型） 图1 面我们进行认识与探究：凹四 边形通俗地说，就是一个角“凹”进去的四边形，其性质有：凹四边形中最大内角外面的角等于其余三个 内角之和． （即如图 1，∠DB=∠＋∠B＋∠ ）理由如下： 方法一：如图 2，连接 B，则在△B 中，∠+∠B+∠B=180°，即∠1+ 2+ 3+ 4+ =180° ∠ ∠ ∠ ∠ ，又∵在△BD 中， ∠1+ 2+ ∠ ∠DB=180°，∴∠DB= 方法二：如图 3，连接 D 并延长至 F，∵∠1 和∠3 分别是△D 和△BD 的一个外角， 大家在探究的过程中，还发现有很多方法可以证明这一结论，你有自己的方法吗？ 任务：(1)填空：“方法一”主要依据的一个数学定理是 ； (2)探索：根据“方法二”中辅助线的添加方式，写出该证明过程的剩余部分； (3)应用：如图 4，E 是∠D 的平分线，BF 是∠BD 的平分线，E

专题05 三角形中的倒角模型之双角平分线（三角形）模型 近年来各地考试中常出现一些几何倒角模型，该模型主要涉及高线、角平分线及角度的计算（内角和 定理、外角定理等）。熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题就三类双角平分线模 型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 大家在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的证明思路及方法，导致本末倒 置。要知道数学题目的考 提炼识别几何模型；②记住结论，但更为关键的是记住证明思路及方法；③ 明白模型中常见的易错点，因 为多数题目考察的方面均源自于易错点。当然，以上三点均属于基础要求，因为题目的多变性，若想在几 何学习中突出，还需做到的是，在平时的学习过程中通过大题量的训练，深刻认识几何模型，认真理解每 一个题型，做到活学活用！ ................................................... ..........................2 模型1 双角平分线模型（双内角）...............................................................................................................2 模型2 双角平分线模型（一内角一外角）......................

专题10 三角形中的重要模型之特殊三角形中的分类讨论模型 特殊三角形（等腰三角形和直角三角形）的分类讨论模型，是初中各类考试中几何压轴题的常客，并 且形式多样，内容新颖，能较好地考查同学们的应用意识和思维能力。在历年中考当中，很多考生因为在 处理等腰三角形和直角三角形有关的多解问题时，常常考虑不全面，导致漏解丢分。在学习等腰或直角三 角形的性质和判定时，分类讨论的思想尤为重要，希望大家要认真对待。本专题将把特殊三角形分类讨论 真对待。本专题将把特殊三角形分类讨论 情形作系统的归纳与介绍，方便大家对它有个全面的了解与掌握。 .................................................................................................................................................2 模型1 模型1 等腰三角形中的分类讨论模型-对角（边）与高的分类讨论模型..................................................2 模型2 等腰三角形中的分类讨论模型-对边的分类讨论模型......................................................................5 模型3 直角三角形中的分类讨论模

专题05 三角形中的倒角模型之双角平分线（三角形）模型 近年来各地考试中常出现一些几何倒角模型，该模型主要涉及高线、角平分线及角度的计算（内角和 定理、外角定理等）。熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题就三类双角平分线模 型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 大家在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的证明思路及方法，导致本末倒 置。要知道数学题目的考 提炼识别几何模型；②记住结论，但更为关键的是记住证明思路及方法；③ 明白模型中常见的易错点，因 为多数题目考察的方面均源自于易错点。当然，以上三点均属于基础要求，因为题目的多变性，若想在几 何学习中突出，还需做到的是，在平时的学习过程中通过大题量的训练，深刻认识几何模型，认真理解每 一个题型，做到活学活用！ ................................................... ..........................2 模型1 双角平分线模型（双内角）...............................................................................................................2 模型2 双角平分线模型（一内角一外角）......................

专题10 三角形中的重要模型之特殊三角形中的分类讨论模型 特殊三角形（等腰三角形和直角三角形）的分类讨论模型，是初中各类考试中几何压轴题的常客，并 且形式多样，内容新颖，能较好地考查同学们的应用意识和思维能力。在历年中考当中，很多考生因为在 处理等腰三角形和直角三角形有关的多解问题时，常常考虑不全面，导致漏解丢分。在学习等腰或直角三 角形的性质和判定时，分类讨论的思想尤为重要，希望大家要认真对待。本专题将把特殊三角形分类讨论 真对待。本专题将把特殊三角形分类讨论 情形作系统的归纳与介绍，方便大家对它有个全面的了解与掌握。 .................................................................................................................................................2 模型1 模型1 等腰三角形中的分类讨论模型-对角（边）与高的分类讨论模型..................................................2 模型2 等腰三角形中的分类讨论模型-对边的分类讨论模型......................................................................5 模型3 直角三角形中的分类讨论模