专题05 三角形中的倒角模型之双角平分线（三角形）模型解读与提分精练（全国通用）（解析版）

专题05 三角形中的倒角模型之双角平分线（三角形）模型 近年来各地考试中常出现一些几何倒角模型，该模型主要涉及高线、角平分线及角度的计算（内角和 定理、外角定理等）。熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题就三类双角平分线模 型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 大家在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的证明思路及方法，导致本末倒 置。要知道数学题目的考察不是一成不变的，学数学更不能死记硬背，要在理解的基础之上再记忆，这样 才能做到对于所学知识的灵活运用，并且更多时候能够启发我们解决问题的关键就是基于已有知识、方法 的思路的适当延伸、拓展，所以学生在学习几何模型要能够做到的就是：①认识几何模型并能够从题目中 提炼识别几何模型；②记住结论，但更为关键的是记住证明思路及方法；③ 明白模型中常见的易错点，因 为多数题目考察的方面均源自于易错点。当然，以上三点均属于基础要求，因为题目的多变性，若想在几 何学习中突出，还需做到的是，在平时的学习过程中通过大题量的训练，深刻认识几何模型，认真理解每 一个题型，做到活学活用！ .................................................................................................................................................2 模型1 双角平分线模型（双内角）...............................................................................................................2 模型2 双角平分线模型（一内角一外角）...................................................................................................8 模型3 双角平分线模型（双外角）.............................................................................................................11 ...............................................................................................................................................17 模型1 双角平分线模型（双内角） 双角平分线模型1：当这两个角为内角时，这夹角等于90°与第三个角的一半的和。 1）两内角平分线的夹角模型 图1 图2 图3 条件：如图1，在△B 中，∠B 和∠B 的平分线BP，P 交于点P；结论： 。 证明：∵∠B 和∠B 的平分线BP，P 交于点P，∴ ， 。 ∠ ∴ P=180°-（∠PB+∠PB）=180°- （∠B+∠B）=180°- （180°-∠）=90°+ ∠。 2）凸多边形双内角平分线的夹角模型1 条件：如图2，BP、P 平分∠B、∠DB，两条角平分线相交于点P；结论：2∠P=∠+∠D。 证明：∵BP、P 平分∠B、∠DB，∴ ， 。 ∠ ∴ P=180°- （∠PB+∠PB ）=180°- （∠B+∠DB ）=180°- （360°-∠-∠D ）= （∠+∠D ）。即： 2∠P=∠+∠D。 3）凸多边形双内角平分线的夹角模型2 条件：如图3，P、DP 平分∠BD、∠DE，两条角平分线相交于点P；结论： 。 证明：∵P、DP 平分∠BD、∠DE，∴ ， 。 ∠ ∴ P=180°-（∠PD+∠PD）=180°- （∠BD+∠DE）=180°- （540°-∠-∠D-∠E）=∠+∠D+∠E-90°。即： 2∠P=∠+∠D+∠E-180°。 例1．（2023 秋·安徽阜阳·八年级统考期中）如图，在 中，点 是 内一点，且点 到 三 边的距离相等，若 ，则 ． 【答】 【分析】由条件可知 平分 和 ，利用三角形内角和可求得 ． 【详解】解：∵点P 到 三边的距离相等， ∴ 平分 ， 平分 ， ∴ ， 故答为： ． 【点睛】本题考查角平分线的性质与判定，掌握角平分线的交点到三角形三边的距离相等是解题的关键． 例2．（2023 秋·山西太原·八年级校考期末）已知：如图， 是 内一点，连接 ， ． (1)猜想： 与 、 、 存在怎样的等量关系？证明你的猜想．(2)若 ， 、 分别是 、 的三等分线，直接利用（1）中结论，可得 的度数为 ． 【答】(1) ，证明见解析(2) 【分析】（1）根据三角形内角和定理得到 ， ，再结 合 ， 即可得到结论；（2）先根据三角形内角和定理和角三等分 线的定义得到 ， ， ，再代入（1）中结论求解即可． 【详解】（1）解：猜想： ， 证明：由题意得： ， ， ∵ ， ，∴ ， ∴ ，∴ ， ∴ ； （2）解：∵ ， 、 分别是 、 的三等分线， ∴ ， ， ， ∴ ．故答为： ． 【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，角三等分线的定义，熟知三角形内角和为 度是解题的关 键． 例3．（2023 秋·河南濮阳·八年级校考期末）模型认识：我们学过三角形的内角和等于 ，又知道角平 分线可以把一个角分成大小相等的两部分，接下来我们就利用上述知识进行下面的探究活动． 如图①，在 中， 、 分别是 和 的角平分线． 解决问题：(1)若 ， ，则 ______；（直接写出答） (2)若 ，求出 的度数； 拓展延伸：(3)如图②，在四边形 中， 、 分别是 和 的角平分线，直接写出 与 的数量关系． 【答】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据角平分线的定义和三角形内角和定理可得∠BP 的度数； （2）根据角平分线的定义和三角形内角和定理可得∠BP 的度数； （3）根据角平分线的定义和四边形内角和定理可得∠BP 与∠+∠D 的数量关系． 【详解】（1）解：∵BP、P 分别是∠B 和∠B 的角平分线，∠B=40°，∠B=80°， ∠ ∴ PB= ∠B= ×40°=20°，∠PB= ∠B= ×80°=40°． ∠ ∴ BP=180°-∠PB-∠PB=180°-20°-40°=120°； 故答为：120°； （2）∵BP、P 分别是∠B 和∠B 的角平分线， ∠ ∴ PB= ∠B，∠PB= ∠B． ∠ ∴ BP=180°-∠PB-∠PB=180°- （180°-∠B）=90°+ ∠B， ∠ ∵ B=100°， ∴∠BP=90°+ ∠B=90°+ ×100°=140°； （3）∵BP、P 分别是∠B 和∠DB 的角平分线， ∴∠PB= ∠B，∠PB= ∠DB． ∠ ∴ BP=180°-∠PB-∠PB=180°- （360°-∠-∠D）= （∠+∠D）． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，三角形的内角和定理，多边形的内角和公式，此类题目根据同一个 解答思路求解是解题的关键． 例4．（23-24 八年级·山东青岛·期末）【基础探究1】（1）如图1， 中， 平分 ， 平分 ，探求 与 之间的数量关系； 【基础探究2】（2）如图2， 中， 、 是 的三等分线， 、 是 的三等分线， 则 与 之间的数量关系是______； 【基础探究3】（3）如图3， 中， 、 、 是 的四等分线， 、 、 是 的四等分线，则 与 之间的数量关系是______； 【拓展与探究】（4）如图4， 中， 、 、……、 、 是 的 等分线， 、 、 ……、 、 是 的 等分线，请用一个等式表示 、 、 三者之间的数量关 系是______； 【探究与应用】（5） 中， 、 、……、 是 的2024 等分线， 、 、……、 是 的2024 等分线，若 与 的和是 的7 倍，则 ______ ． 【答】（1） （2） （3） （4） （5）105 【分析】本题考查三角形的内角和定理，等分线的定义． （1）由三角形的内角和定理可得 ，由角平分线得到 ， ，从而 ； （2）由三等分线可得 ， ，从而 ； （3）同（2）思路即可求解； （4）同（2）（3）思路即可 ， ，两式相加即可解答； （5）同（4）思路可得 ，又 ，即可求得 ， 同理有 ，即可解答． 【详解】解：（1）∵ ，∴ ， ∵ 平分 ， 平分 ，∴ ， ， ∴ ． （2）∵ 、 是 的三等分线， 、 是 的三等分线， ∴ ， ， ∴ ．故答为： （3）∵ 、 、 是 的四等分线， 、 、 是 的四等分线， ∴ ， ， ∴ ．故答为： （4）∵ 、 、……、 、 是 的 等分线， 、 、……、 、 是 的 等分线，∴ ， ， ， ， ∴ ， ， ∴ ． 故答为： （5）∵ 、 、……、 是 的2024 等分线， 、 、……、 是 的2024 等分 线， ∴ ， ， ， ， ∴ ， ， ∴ ， ∵ ∴ ，∴ ， 同理可得 ．故答为：105 模型2 双角平分线模型（一内角一外角） 双角平分线模型2：当这两个角为一个内角和一个外角时，这夹角等于第三个角的一半。 图1 图2 1）一个内角一个外角平分线的夹角模型 条件：如图1，在△B 中，BP 平分∠B，P 平分∠B 的外角，两条角平分线相交于点P；结论： ． 证明：∵BP、P 平分∠B、∠D，∴ ， 。 ∠ ∴ P=∠PD-∠PB= （∠D-∠B）= ∠。 2）一个内角一个外角平分线的夹角模型（累计平分线） 条件：如图2， ，∠B、∠D 的平分线相交于点 ， 的平分线相交于点 ， ， 的平分线相交于点 ……以此类推；结论： 的度数是 ． 证明：∵BP1、P1平分∠B、∠D，∴ ， 。 ∠ ∴ P1=∠P1D-∠P1B= （∠D-∠B）= ∠= 。同理：∠P2= ∠P1= ，∠P= 1．（2023·浙江·八年级假期作业）如图， 平分 ，点 是射线 ， 上的点，连接 ． 按以下步骤作图： ①以点 为圆心，任意长为半径作弧，交 于点 ，交 于点 ； ②分别以点 和点 为圆心，大于 长为半径作弧，两弧相交于点 ； ③作射线 ，交 于点 ．若 ， ，则 的度数为（ ） ． B． ． D． 【答】B 【分析】根据条件可知 平分 ，则可求出 ，根据 平分 求出 ，进而利用 即可求出答． 【详解】由作法得 平分 ，∴ ， ∵ 平分 ，∴ ， ∵ ，∴ ．故选B． 【点睛】本题主要考查角平分线的定义及作法，三角形的外角的性质，根据题目条件发现角平分线是解题 的关键． 例2．（2023·河北·九年级专题练习）问题情境：如图1，点D 是△B 外的一点，点E 在B 边的延长线上， BD 平分∠B，D 平分∠E．试探究∠D 与∠的数量关系． (1)特例探究：如图2，若△B 是等边三角形，其余条件不变，则∠D＝ ； 如图3，若△B 是等腰三角形，顶角∠＝100°，其余条件不变，则∠D＝ ；这两个图中，与∠度数的比是 ；(2)猜想证明：如图1，△B 为一般三角形，在（1）中获得的∠D 与∠的关系是否还成立？若成立，利用图 1 证明你的结论；若不成立，说明理由． 【答】(1)30°；50°；1:2(2)成立，见解析 【分析】（1）根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和用 和 表示出 ，再根 据角平分线的定义得到 ， ，然后整理即可． （2）根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和用 和 表示出 ，再根据角平分 线的定义得到 ， ，然后整理即可． 【详解】（1）解：如图2， 是等边三角形， ， ， 平分 ， 平分 ． ， ， ， ； 如图3， 是等腰三角形， ， ， ， 平分 ， 平分 ． ， ， ， ；故答为 ， ， ； （2）解：成立，如图1，在 中， ， 在 中， ， （1） 平分 ， 平分 ， ， ， 又 ， ， （2） 由（1） （2）， ， ． 【点睛】本题考查等边三角形的性质、等腰三角形的性质、利用三角形的外角性质和角平分线的定义解答 是关键． 例3．（2023 春·浙江·七年级专题练习）∠D 是△ 的外角， 的平分线与 的平分线交于点 ， 的平分线与 的平分线交于点 ，…， 的平分线与 的平分线交于点． 设∠＝ ．则 ＝ ，∠2021＝ ． 【答】 【分析】据角平分线的定义可得∠1B= ∠B，∠1D= ∠D，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两 个内角的和可得∠D=∠+∠B，∠1D=∠1B+∠1，整理即可求出∠1的度数，同理求出∠2，可以发现后一个角等 于前一个角的 ，根据此规律即可得解． 【详解】解：∵1B 是∠B 的平分线，1是∠D 的平分线， ∠ ∴ 1B= ∠B，∠1D= ∠D， 又∵∠D=∠+∠B，∠1D=∠1B+∠1， ∴ （∠+∠B）= ∠B+∠1，∴∠1= ∠， ∠ ∵ = ，∴∠1= ，同理可得：∠= ，∴∠2021= ，故答为： ， ． 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角 平分线的定义，熟记性质并准确识图然后求出后一个角是前一个角的 是解题的关键． 模型3 双角平分线模型（双外角） 双角平分线模型3：当这两个角为外角时，这夹角等于90°与第三个角的一半的差。 E D C B A 图1 图2 图3 1）两外角平分线的夹角模型 条件：如图1，在△B 中，B，是△B 的外角平分线；结论： ． 证明：∵B、平分∠BE、∠BF，∴ ， 。 ∠ ∴ =180°-（∠B+∠B）=180°- （∠EB+∠BF）=180°- （∠+∠B+∠B+∠） =180°- （180°+∠）=90°+ ∠。 2）旁心模型 旁心：三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点 条件：如图2，BD 平分∠B，D 平分∠B 的外角，两条角平分线相交于点D；结论：D 平分∠D。 证明：如图3，过点D 作DM⊥B、D⊥、D⊥B， ∵BD 平分∠B，D 平分∠B 的外角， ∴D=DM，D=D，∴DM=D，∴D 平分∠D。, 例1．（2023 广东八年级期中）如图，在△B 中，∠B＝46°，三角形的外角∠D 和∠F 的平分线交于点E，则 ∠E＝ ． 【答】67°． 【分析】先根据三角形内角和定理计算出∠B+∠B＝180°﹣∠B＝134°，则利用邻补角定义计算出∠D+∠F＝ 180°﹣∠B+180°﹣∠B＝226°，再根据角平分线定义得到∠E＝ ∠D，∠E＝ ∠F，所以∠E+∠E＝ （∠D+∠F）＝113°，后再用三角形内角和计算∠E 的度数． 【详解】解：∵∠B＝46°，∴∠B+∠B＝180° 46° ﹣ ＝134°， ∠ ∴ D+∠F＝180°﹣∠B+180°﹣∠B＝360° 134° ﹣ ＝226°， ∵E 和E 分别平分∠D 和∠F，∴∠E＝ ∠D，∠E＝ ∠F， ∠ ∴ E+∠E＝ （∠D+∠F）＝113°， ∠ ∴ E＝180°﹣（∠E+∠E）＝180° 113° ﹣ ＝67°．故答为：67°． 【点睛】本题考查角平分线的有关计算，三角形内角和定理，三角形外角的性质．在本题解题过程中，有 些角单独计算不出来，所以把两个角的和看作一个整体计算（如：∠B+∠B，∠D+∠F），故掌握整体思想 是解决此题的关键． 例2．（2023·安徽宿州·八年级校联考期末）（1）如图（）， 平分 ， 平分 ①当 时，求 的度数②猜想 与 有什么数量关系？并证明你的结论 （2）如图（b）， 平分外角 ， 平分外角 ，（1）中②的猜想还正确吗？如果不正确， 请你直接写出正确的结论（不用写出证明过程） 【答】（1）①120°；② ；证明见解析；（2）不正确； 【分析】（1）①根据角平分线的定义以及三角形的内角和定理计算即可； ②结论：∠D=90°+ ∠．根据角平分线的定义以及三角形的内角和定理计算即可； （2）不正确．结论：∠D=90°- ∠．根据角平分线的定义以及三角形的内角和定理三角形的外角的性质计 算即可． 【详解】解：（1）① ， ， ， ， ， ； ②结论： ．理由： ， ， ； （2）不正确．结论： ．理由： ， ， ， 【点睛】本题考查三角形内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的定义等知识，解题的关键是熟练掌 握基本知识，属于中考常考题型． 例3．（2023 秋·贵州遵义·八年级校考阶段练习）如图（1）， ， 是 的外角， 的 平分线所在直线与 的平分线 交于点D，与 的平分线 交于点E．(1)若 ，则 度；(2)若 ，求∠E 的度数；(3)在图（1）的条件下，沿 作射线 ，连接 ，如图 （2）．求证： 平分 ． 【答】(1) (2) (3)见解析 【分析】（1）由角平分线的定义得到 ， ，然后根据三角形的内角和即 可得到结论；（2）根据角平分线的定义得到 ， ，于是得到∠ ，由（1）知 ，根据三角形的内角和得到 ；（3）过点D 作 于点， 于点K， 于点，由角平分线的性质可得， ， ，则 ， 即可得到结论． 【详解】（1）解：∵ 平分 ， 平分 ，∴ ， ， ∵ ，∴ ， ∵ ，∴ ， ∴ ，∴ ；故答为： （2）∵ 平分 ， 平分 ，∴ ， ， ∴ ，∴ ， ∵ ，∵ ，∴ ，∴ ； （3） 如图2，过点D 作 于点， 于点K， 于点， ∵ 平分 ， 平分 ，∴ ， ，∴ ， ∵ 于点K， 于点，∴ 平分 ． 【点睛】本题主要考查三角形的角平分线的性质与判定，三角形外角的性质，三角形内角和定理，灵活运 用三角形外角的性质是解题的关键． 例4．（2023·甘肃天水·七年级统考期末）已知在△B 中，图1，图2，图3 中的△B 的内角平分线或外角平 分线交于点， （1）如图1，点是△B 的两个内角平分线的交点，猜想∠与∠之间的数量关系，并加以证明． （2）请直接写出结果．如图2，若 ，△B 的内角平分线与外角平分线交于点，则∠＝________； 如图3，若 ，△B 的两个外角平分线交于点，则∠＝_________． 【答】（1） ，证明见解析；（2） ； ． 【分析】（1）根据角平分线的性质可以得到 ， ，再根据三角形的内角 和定理得到 和 的三个内角的和是 ，对角度进行等价代换即可； （2）图2 中，根据角平分线的性质可以得到 ， ，再根据三角形外角的 性质得到 和 ，最后对