专题05 三角形中的倒角模型-双角平分线（三角形）模型（解析版）

专题05 三角形中的倒角模型-双角平分线（三角形）模型 模型1、双角平分线模型 图1 图2 图3 1）两内角平分线的夹角模型 条件：如图1，在△B 中，∠B 和∠B 的平分线BE，F 交于点G；结论： ． 2）两外角平分线的夹角模型 条件：如图2，在△B 中，B，是△B 的外角平分线；结论： ． 3）一个内角一个外角平分线的夹角模型 条件：如图3，在△B 中，BP 平分∠B，P 平分∠B 的外角，两条角平分线相交于点P；结论： ． 图4 图5 图6 4）凸多边形双内角平分线的夹角模型 条件：如图4，BP、P 平分∠B、∠DB，两条角平分线相交于点P；结论： 5）两内角平分线的夹角模型 条件：如图5，BP、DP 平分∠BD、∠DE，两条角平分线相交于点P；结论： 6）一个内角一个外角平分线的夹角模型（累计平分线） 条件：如图6， ， 的平分线相交于点 ， 的平分线相交于点 ， ， 的平分线相交于点 ……以此类推；结论： 的度数是 ． 7）旁心模型 旁心：三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点 E D C B A h1 h2 h3 E D C B A 条件：如图，BD 平分∠B，D 平分∠B 的外角，两条角平分线相交于点D；结论：D 平分∠D 例1．（2022 秋·安徽阜阳·八年级统考期中）如图，在 中，点 是 内一点，且点 到 三 边的距离相等，若 ，则 ． 【答】 【分析】由条件可知 平分 和 ，利用三角形内角和可求得 ． 【详解】解：∵点P 到 三边的距离相等， ∴ 平分 ， 平分 ， ∴ ， 故答为： ． 【点睛】本题考查角平分线的性质与判定，掌握角平分线的交点到三角形三边的距离相等是解题的关键． 例2．（2022·湖北十堰·八年级统考期末）如图，在五边形BDE 中， ，DP，P 分别平分 ， ，则 的度数是 ． 【答】 【分析】利用多边形内角和公式、三角形内角和定理和角平分线的定义即可求解． 【详解】解：∵五边形的内角和为 ，∴ ， ∵ 分别为 、 的平分线，∴ ， ， ∴ ， ∴ ，故答为： ． 【点睛】本题考查了多边形的内角和公式，牢记边形的内角和为 是解题关键． 例3．（2023·山东济南·校考模拟预测）如图1，在△B 中，∠B 的平分线D 与∠B 的平分线E 交于点．(1)求 证：∠＝90°＋ ∠B；(2)当∠B＝90°时，且＝3D（如图2），判断线段E，D，之间的数量关系，并加以证 明． 【答】(1)见解析(2) E+D=，证明见解析 【分析】（1）求出∠B+∠B=180°-∠B，根据角平分线定义求出∠= ∠B，∠= ∠B，即可求出∠+∠的度数， 根据三角形内角和定理求出即可；（3）在上分别截取M、，使M=E，=D，连接M，，证△E≌△M， △D≌△，推出∠E=∠M，∠=∠D，D=，求出∠M=∠M=45°，根据角平分线性质求出MK=ML，据此计算即可 求解． 【详解】（1）证明：∵∠B+∠B+∠B=180°，∴∠B+∠B=180°-∠B， ∵∠B 的平分线D 与∠B 的平分线E 交于点．∴∠= ∠B，∠= ∠B， + = ∴∠∠ （∠B+∠B）= （180°-∠B）=90°- ∠B， =180°- ∴∠ （∠+∠）=180°-（90°- ∠B），即∠=90°+ ∠B； （2）解： E+D=， 证明：如图2，∵∠=90°+ ∠B=135°，∴∠E=45°， 在上分别截取M、，使M=E，=D，连接M，， 则在△E 和△M 中， ，∴△E≌△M， 同理△D≌△，∴∠E=∠M，∠=∠D，D=， ∴∠E=∠M= = ∠∠D=45°，∴∠M=∠M=45°， 过M 作MK⊥D 于K，ML⊥于L， ∴MK=ML，S△M= ×MK，S△M= ×ML，∴ ， ∵ ，∴ ，∵=3D，∴ ，∴ ，∴= M= E， += ∵ ，∴ E+D=． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，角平分线定义和性质，三角形的面积，三角形内角和定理 的应用，熟练掌握各性质定理是解答此题的关键． 例4．（2023 秋·成都市·八年级专题练习）如图，在 中， ，三角形两外角的角平分线交于点 E，则 ． 【答】61° 【分析】先根据三角形的内角和定理和平角定义求得∠D+∠F 的度数，再根据角平分线的定义求得∠E+∠E 的度数，即可解答． 【详解】解：∵∠B+∠B+∠B=180°，∠B=58°，∴∠B+∠B=180°﹣∠B=180° 58°=122° ﹣ ， ∵∠B+∠D=180°，∠B+∠F=180°， ∴∠D+∠F=360°﹣（∠B+∠B）=360° 122°=238° ﹣ ， ∵E 平分∠D，E 平分∠F，∴∠E= ∠D，∠E= ∠F， ∴∠E+∠E = （∠D+∠F）=119°，∵∠E+∠E+∠E=180°， ∴∠E=180°﹣（∠E+∠E）=180° 119°=61° ﹣ ，故答为：61°． 【点睛】本题考查三角形的内角和定理、角平分线的定义、平角定义，熟练掌握三角形的内角和定理和角 平分线的定义是解答的关键． 例5．（2023·湖北·八年级专题练习）如图，已知在 中， 、 的外角平分线相交于点 ，若 ， ，求 的度数 【答】 【分析】运用角平分线的知识列出等式求解即可．解答过程中要注意代入与之有关的等量关系． 【详解】解：∠B、∠的外角平分线相交于点G， 在 中，∠BG=180°-（ ∠EB+ BF ∠ ）=180°- （∠EB+ BF ∠ ） =180°- （180°- B+180°- B ∠ ∠）=180°- （180°-m°+180°-°）；= 【点睛】本题考查的是三角形内角和定理以及角平分线的知识．此类题的关键是找出与之相关的等量关系 简化计算得出． 例6．（2023·辽宁葫芦岛·八年级统考期中）如图，D、BD 分别平分∠E、∠B，∠＝70°，则∠BD＝（ ） ．35° B．25° ．70° D．60° 【答】 【分析】根据角平分线的定义可得∠BD＝ ∠B，∠DE＝ ∠E，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻 的两个内角的和可得∠DE＝∠D＋∠BD，∠E＝∠＋∠B，然后整理求出∠D＝ ∠． 【详解】解：∵D、BD 分别平分∠E、∠B，∴∠BD＝ ∠B，∠DE＝ ∠E， 由三角形的外角性质得，∠DE＝∠D＋∠BD，∠E＝∠＋∠B， ∴∠D＋∠BD＝ （∠＋∠B）∴∠D＝ ∠， ∵∠＝70°，∴∠D＝ ×70°＝35°．故选：． 【点睛】本题考查了三角形的外角性质，角平分线的定义，注意整体思想的利用是解答的关键． 例7．（2022 秋·八年级课时练习）如图， 和 分别是 的内角平分线和外角平分线， 是 的平分线， 是 的平分线， 是 的平分线， 是 的平分线，……以此类 推，若 ，则 ． 【答】 【分析】根据角平分线的定义可得∠1B= ∠B，∠1D= ∠D，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两 个内角的和可得∠D= + ∠∠B，∠1D=∠1B+∠1，整理即可得解 ，同理求出∠2，∠3，可以发现后一个 角等于前一个角的 ，根据此规律即可得解． 【详解】∵1B 是∠B 的平分线，1是∠D 的平分线， ∴∠1B= ∠B，∠1D= ∠D， 又∵∠D= + ∠∠B，∠1D=∠1B+∠1， ∴ （∠+∠B）= ∠B+∠1，∴∠1= ∠， =α ∵∠ ．∠1= = ∠ α，同理可得∠2= ∠1= α， 根据规律推导，∴ ，故答为 ． 【点睛】本题主要考查的是三角形外角性质，角平分线定理，熟知三角形的一个外角等于与它不相邻的两 个内角的和的性质，角平分线的定义是解题的关键． 例8．（2023 春·成都市七年级课时练习）如图在△B 中，B，分别平分∠B，∠B，交于，E 为外角∠D 的平分 线，交B 的延长线于点E，记 ， ，则以下结论① ，② ，③ ，④ ，正确的是 ．（把所有正确的结论的序号写在横线上） 【答】①④ 【分析】依据角平分线的性质以及三角形外角性质，即可得到∠1＝2 2 ∠，∠B＝90°＋ ∠1，∠B＝90°＋ ∠2，再分析判断． 【详解】∵E 为外角∠D 的平分线，BE 平分∠B，∴∠DE＝ ∠D，∠DBE＝ ∠B， 又∵∠DE 是△BE 的外角，∴∠2＝∠DE− DBE ∠ ＝ （∠D− B ∠）＝ ∠1，故①正确； B ∵，分别平分∠B，∠B，∴∠B＝ B，∠B＝ ∠B， B ∴∠＝180°−（∠B＋∠B）＝180°− （∠B＋∠B）＝180°− （180°− 1 ∠）＝90°＋ ∠1， 故②、③错误； ∵平分∠B，E 平分∠D，∴∠＝ ∠B，∠E＝ ∠D， E ∴∠＝ （∠B＋∠D）＝ ×180°＝90°， B ∵∠是△E 的外角，∴∠B＝∠E＋∠2＝90°＋∠2，故④正确；故答为：①④． 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，以 及角平分线的定义． 例9．（2023 秋·广东佛山·八年级校考期末）（1）如图1 所示，在 中， 和 的平分线将 于点，则有 ，请说明理由． （2）如图2 所示，在 中，内角的平分线 和外角 的平分线交于点，请直接写出 与 之间的关系，不必说明理由． （3）如图3 所示，P，BP 分别平分 ， ，则有 ，请说明理由． （4）如图4 所示，P，BP 分别平分 ， ，请直接写出 与 ， 之间的关系，不必说 明理由． 【答】(1)理由见解析；(2) B=2 B ∠ ∠；(3) 理由见解析；(4) 【分析】(1)根据B 是∠B 的角平分线，是∠B 的角平分线，利用三角形的内角和等于180°即可得出结果；(2) 根据B 是∠B 的角平分线，是∠D 的角平分线，利用三角形的外角性质即可得出结果； (3)根据P 是∠D 的角平分线，BP 是∠DB 的角平分线，利用三角形的外角性质列出等式 ∠D+ DP= P+ DBP ∠ ∠ ∠ ，∠P+ P= PB+ ∠ ∠ ∠，分析等式即可得出结果； (4) P 是∠M 的角平分线，BP 是∠DB 的角平分线，设∠DBP= PB=x ∠ ，∠MP= P=y ∠ ，利用三角形外角性质和内 角和性质即可得出结果． 【详解】解：(1) B ∵是∠B 的角平分线，是∠B 的角平分线∴∠B=B，∠= B ∠ + B+ B=180° B+ B= ∵∠∠ ∠ ∴∠ ∠ B= ∴∠ (2) B ∵是∠B 的角平分线，是∠D 的角平分线∴∠B= B ∠，∠= D ∠ B + B= D ∵∠ ∠ ∠，∠B+ B = D 2 B+2 B =2 D ∠ ∠ ∠ ∠ ∠ ∴ B+2 B = D B=2 B ∴∠ ∠ ∠∴∠ ∠ (3) P ∵是∠D 的角平分线，BP 是∠DB 的角平分线∴∠DP= P ∠，∠DBP= PB ∠ D+ DP= P+ DBP ∵∠ ∠ ∠ ∠ ，∠P+ P= PB+ ∠ ∠ ∠ D- P= P- ∴∠ ∠ ∠∠∴ (4) P ∵是∠M 的角平分线，BP 是∠DB 的角平分线 MP= P ∴∠ ∠，∠DBP= PB ∠ 设∠DBP= PB=x ∠ ，∠MP= P=y ∠ GB= +2x BEP= EG=180°- ∴∠ ∠ ∴∠ ∠ （∠+2x）-y P=180°- BEP- DBP= +x+y D+ EG= MP D+180°- ∴∠ ∠ ∠ ∠ ∵∠ ∠ ∠ ∴∠ （∠+2x）-y=y x+y= ∴ ∴ ∴ 【点睛】本题主要考查的是角平分线性质的综合运用，正确的掌握角平分线的性质以及运用是解题的关键． 例9．（2023·江苏八年级课时练习）（1）如图所示，在 中， 分别是 和 的平分 线，证明： ． （2）如图所示， 的外角平分线 和 相交于点D，证明： ． （3）如图所示， 的内角平分线 和外角平分线 相交于点D，证明： ． 【答】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析 【详解】（1）设 ． 由 的内角和为 ，得 ．① 由 的内角和为 ，得 ．② 由②得 ．③ 把③代入①，得 ， 即 ，即 （2）∵BD、D 为△B 两外角∠B、∠B 的平分线， ∴ 由三角形内角和定理得， ， =180°- [ + ∠（∠+∠B+∠B）]，=180°- （∠+180°），=90°- ∠； （3）如图： ∵BD 为△B 的角平分线，交与点E，D 为△B 外角∠E 的平分线，两角平分线交于点D 1= 2 ∴∠ ∠，∠5= （∠+2 1 ∠），∠3= 4 ∠， 在△BE 中，∠=180°- 1- 3 1+ 3=180°- ① ∠ ∠ ∠ ∠ ∠ ∴ 在△DE 中，∠D=180°- 4- 5=180°- 3- ∠ ∠ ∠ （∠+2 1 ∠）， 即2∠D=360°-2 3- -2 1=360°-2 ∠ ∠ ∠ （∠1+ 3 ∠）- ② ∠ ， 把①代入②得∠D= ∠． 【点睛】此题考查的是三角形内角与外角的关系，角平分线的性质，三角形内角和定理，属中学常规题． 课后专项训练 1．（2023·成都·八年级月考）如图， 的外角 的平分线 与内角 的平分线 交于点 ，若 ，则 ． B． ． D． 【解答】解：延长 ，作 ， ， ，设 ， 平分 ， ， ， 平分 ， ， ， ， ， ， ， ， 在 和 中， ， ， ．故选： ． 2．（2023 秋·绵阳市·八年级专题练习）如图，在 中， ， ，点E 在 的延 长线上， 的平分线 与 的平分线 相交于点D，连接 ，下列结论中不正确的是（ ） ． B． ． D． 【答】B 【分析】根据三角形的内角和定理列式计算即可求出 ，即可判断选项；根据角平分线的定义求出 ，再利用三角形的内角和定理求出 ，然后利用对顶角，即可判断B 选项；根据邻补角的定义 和角平分线的定义求出 ，再利用三角形的内角和定理求出 ，即可判断选项；利用角平分线 的性质，推出 为 的外角平分线，然后列式计算求出 ，即可判断D 选项． 【详解】解： ， ， ，故选项正确，不符合题意； 平分 ， ， 在 中， ， ，故B 选项错误，符合题意； 平分 ， ， 在 中， ，故选项正确，不符合题意； 、 分别是 和 的平分线， 到 、 、 的距离相等， 是 的外角平分线， ， 故D 选项正确，不符合题意．故选：B． 【点睛】本题考查角平分线的性质，三角形的内角和定理，角平分线的定义，熟记定理和概念是解题关键． 3．（2022 春·北京海淀·七年级校考期中）如图，在平面直角坐标系中，直线B 与y 轴在正半轴、x 轴正半 轴分别交、B 两点，点在B 的延长线上，D 平分∠，BD 平分∠B，则∠D 的度数是（ ） ．30° B．45° ．55° D．60° 【答】B 【分析】由⊥B 即可得出∠B+∠B=90°、∠B=90°，再根据角平分线的定义以及三角形内角和定理即可求出 ∠D 的度数． 【详解】解：∵⊥B，∴∠B+∠B=90°，∠B=90°． ∵D 平分∠，∴∠D= = ∠ （180°-∠B）．∵DB 平分∠B，∴∠BD= ∠B， ∴∠D=180°-∠D-∠B-∠BD=180°- （180°-∠B）-∠B- ∠B=90°- （∠B+∠B）=45°． 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，解题的关键是找出∠D=90°- （∠B+∠B）．本题属于基础题，难 度不大，解决该题型题目时，熟练运用三角形内角和定理解决问题是关键． 4．（2022 秋·河北张家口·八年级统考阶段练习）如图，点 在 内，且到三边的距离相等，连接 ．若 ，则 的度数是（ ） ． B． ． D． 【答】 【分析】由点 在 内，且到三边的距离相等，可知 是角平分线的交点，则 ， ，由 ，可得 ，根据 ，计算求解即可． 【详解】解：∵点 在 内，且到三边的距离相等， ∴ 是角平分线的交点，∴ ， ， ∵ ，∴ ，即 ， ∵ ，∴ ，故选：． 【点睛】本题考查了角平分线的判定定理，三角形内角和定理．解题的关键在于明确角度之间的数量关系． 5．（2022 秋·四川绵阳·八年级统考期末）如图，在△B 中，∠＝30°，E 为B 延长线上一点，∠B 与∠E 的平 分线相交于点D，则∠D 等于（ ） ．10° B．15° ．20° D．30° 【答】B 【分析】先根据角平分线的定义得到 ， ，再根据三角形外角性质得 ， ，则 ，利用等式的性质得到 ，然后把 的度数代入计算即可． 【详解】解答：解：∵ 的平分线与 的平分线交于点D，∴ ， ， ∵ ，即 ，∴ ， ∵ ，∴ ．故选：B． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理和三角形外角性质、角平分线的性质等，根据三角形内角和是180° 和三角形外角性质进行分析是解题关键． 6．（2023 春·福建漳州·七年级统考期末）如图，在 中， 是角平分线， 是边 上的高，延长 与外角 的平分线交于点 ．以下四个结论：① ；② ；③ ；④ ．其中结论正确的个数是（ ） ．1 B．2 ．3 D．4 【答】 【分析】由三角形的角平分线的含义可判断①，由三角形的高的含义可判断②，证明 ， ， ， ，可判断③，由 ， ，可得 ，从而可判断④，从而可得答． 【详解】解：∵ 是 角平分线，∴ ，故①符合题意； ∵ 是边 上的高，∴ ，故②符合题意； ∵ 是 角平分线， 平分 ，∴ ， ∵ ， ，∴ ，∴ ， ∵ ，∴ ，故③不符合题意； ∵ ， ， ∴ ，故④符合题意；故选 【点睛】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，三角形的角平分线与高的含义，三角形的外角的性质， 灵活运用三角形的外角的性质解决问题是关键． 7．（2022 秋·贵州遵义·八年级校考阶段练习）如图， 中， ， ， 的平 分线与外角 的平分线交于点E，连接 ，则 的度数为 ． 【答】 /37 度 【分析】由角平分线的性质可得 ，进而可证明 是 的外角平分线，再利用三角形 的内角和定理解答即可． 【详解】解：过E 点分别作 于 ，作 于点G，作 于， ∵ 是 的平分线， 是 的平分线，∴ ， ， ∴ ，∴ 是 的外角平分线， ∵ ， ，∴ ，∴ ， ∴ ．故答为： ． 【点睛】本题考查了三角形内角平分线和外角平分线的定义，掌握角平分线的定义是解题的关键． 8．（2023 春·江苏南通·七年级统考阶段练习）如图， 和 分别是 的内角平分线和外角平分线， 是 的平分线， 是 的平分线， 是 的平分线， 是 的平分线，若 ，则 ． 【答】 【分析】根据角平分线的定义可得 ， ，再根据三角形外角的性质可得 ，化简可得 ，进一步找出其中的规律，即可求出 的度数． 【详解】解： 和 分别是 的内角平分线和外角平分线，