专题11 三角形中的重要模型-特殊三角形中的分类讨论模型（解析版）

专题11 三角形中的重要模型-特殊三角形中的分类讨论模型 模型1、等腰三角形中的分类讨论模型 【知识储备】凡是涉及等腰三角形边、角、周长、面积等问题，优先考虑分类讨论，再利用等腰三角形的 性质与三角形三边关系解题即可。 1）无图需分类讨论 ①已知边长度无法确定是底边还是腰时要分类讨论；②已知角度数无法确定是顶角还是底角时要分类讨 论； ③遇高线需分高在△内和△外两类讨论；④中线把等腰△周长分成两部分需分类讨论。 2）“两定一动”等腰三角形存在性问题： 即：如图：已知A ，B 两点是定点，找一点C 构成等腰△ABC 方法：两圆一线 具体图解：①当AB=AC 时，以点A 为圆心，AB 长为半径作⊙A ，点C 在⊙A 上（B ，C 除外） ②当AB=BC 时，以点B 为圆心，AB 长为半径作⊙B ，点C 在⊙B 上（A ，E 除外） ③当AC=BC 时，作AB 的中垂线，点C 在该中垂线上（D 除外） 例1．（2023 春·四川成都·八年级校考期中）已知等腰三角形的两边长分别是 ， ，若 ， 满足 ，那么它的周长是（ ） ．11 B．13 ．11 或13 D．11 或15 【答】 【分析】由已知等式，结合非负数的性质求 、 的值，再根据 、 分别作为等腰三角形的腰，分类求 解． 【详解】解： ， ， ， ， ，解得： ， ， 当 作腰时，三边为3，3，5，符合三边关系定理，周长为： ， 当 作腰时，三边为3，5，5，符合三边关系定理，周长为： ，故选：． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，非负数的性质，关键是根据非负数的性质求 、 的值，再根据 或 作为腰，分类求解． 例2．（2023 春·黑龙江佳木斯·八年级校考期中）一个等腰三角形的周长为18m，且一边长是4m，则它的 腰长为（ ） ．4m B．7m ．4m 或7m D．全不对 【答】B 【分析】根据等腰三角形的定义，两腰相等，结合三角形的三边关系，进行求解即可． 【详解】解：当 m 为腰长时，则底边长为 m， ∵ ，不符合题意；∴ m 为底边长，∴等腰三角形的腰长为： ；故选B． 【点睛】本题考查等腰三角形的定义，三角形的三边关系．解题的关键是掌握等腰三角形的两腰相等，注 意讨论时要根据三角形的三边关系，判断能否构成三角形． 例3．（2023 春·四川达州·八年级校考阶段练习）等腰三角形的一个角是 ，则它顶角的度数是（ ） ． B． 或 ． 或 D． 【答】B 【分析】根据三角形的内角和为 ，进行分类讨论即可 【详解】解：①当底角为 时，顶角 ， ②当顶角为 时，顶角度数 ，综上：顶角度数为 或 ；故选：B． 【点睛】本题考查了三角形的内角和为 ，等腰三角形两底角相等，解题的关键是书熟练掌握相关内容． 例3．（2023·四川广安·八年级校考期中）等腰三角形的一个外角为 ，则它的底角为（ ） ． B． ． 或 D．以上都不是 【答】D 【分析】等腰三角形的一个外角等于 ，则等腰三角形的一个内角为 ，但已知没有明确此角是顶角 还是底角，所以应分两种情况进行分类讨论． 【详解】∵等腰三角形的一个外角等于 ，∴等腰三角形的一个内角为 ， ①当 为顶角时，其他两角都为 、 ， ②当 为底角时，其他两角为 、 ，所以等腰三角形的底角可以是 ，也可以是 ．故选： D． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的内角和定理；在解决与等腰三角形有关的问题，由于等 腰所具有的特殊性质，很多题目在已知不明确的情况下，要进行分类讨论，才能正确解题，因此，解决和 等腰三角形有关的边角问题时，要仔细认真，避免出错． 例4．（2023·四川绵阳·八年级校考阶段练习）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为 ，则等腰三角 形的顶角度数为 ． 【答】 或 【分析】要注意分类讨论，等腰三角形可能是锐角三角形也可能是钝角三角形，然后根据三角形的内角和 以及三角形的外角的性质即可求解． 【详解】解：若三角形为锐角三角形时，如图， ， ， 为高，即 ， 此时 ，∴ ， 若三角形为钝角三角形时，如图， ， ， 为高，即 ， 此时 ，综上，等腰三角形的顶角的度数为 或 ． 故答为： 或 ． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理，解题的关键是根据 题意画出图形，并注意分类讨论． 例5．（2023·山东滨州·八年级校考期末）我们称格线的交点为格点．如图，在6 行 列的长方形格中有 两个格点、B，连接 ，在格中再找一个格点，使得 是等腰直角三角形，则满足条件的格点的个数 是（ ） ．3 B．4 ．5 D．6 【答】 【分析】根据题意，结合图形，分两种情况讨论：① 为等腰直角 底边；② 为等腰直角 其中的一条腰． 【详解】如图：分情况讨论： ① 为等腰直角 底边时，符合条件的格点点有2 个； ② 为等腰直角 其中的一条腰时，符合条件的格点点有3 个．故共有5 个点，故选：． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和判定；解答本题关键是根据题意，画出符合实际条件的图形，数 形结合的思想是数学解题中很重要的解题思想． 例6．（2023·北京·八年级期中）Rt△B 中，∠B=90°，B==2，以为一边．在△B 外部作等腰直角三角形D，则 线段BD 的长为____． 【答】 或 或 ． 【分析】根据题意分类讨论，① ，② ，③ ，分别作出图形，再结合已 知条件勾股定理求解即可． 【详解】解：①如图，当 时， 是等腰直角三角形， , ， ； ②如图，当 时，过点 作 ，交 的延长线于点 ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 又 ， 是等腰直角三角形， ， 在 中， ， ， 在 中， ，在 中， ； ③如图，当 时， ， 是等腰直角三角形， ， 在 中， ，在 中， ． 综上所述， 的长为： 或 或 ．故答为： 或 或 ． 【点睛】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，分类讨论是解题的关键． 例7．（2023·福建南平·八年级校考期中）已知△B 中，如果过顶点B 的一条直线把这个三角形分割成两个 三角形，其中一个为等腰三角形，另一个为直角三角形，则称这条直线为△B 的关于点B 的二分割线．如图 1，Rt△B 中，显然直线BD 是△B 的关于点B 的二分割线．在图2 的△B 中，∠B＝110°，若直线BD 是△B 的 关于点B 的二分割线，则∠DB 的度数是 ． 【答】40°或90°或140° 【分析】分三种情况讨论，由等腰三角形的性质和直角三角形的性质可求解． 【详解】解：①如图，当∠DB=90°，D=BD 时，直线BD 是△B 的关于点B 的二分割线， ∵∠B=110°，∠DB=90°，∴∠BD=20°， ∵D=BD，∴∠=∠BD=20°，∴∠DB= + ∠∠BD=40°； ②如图，当∠BD=90°，D=BD 时，直线BD 是△B 的关于点B 的二分割线，或当∠BD=90°，D=BD 时，直线 BD 是△B 的关于点B 的二分割线，； ③如图，当∠BD=90°，D=BD 时，直线BD 是△B 的关于点B 的二分割线， ∵∠B=110°，∠BD=90°，∴∠DB=20°，∵D=BD，∴∠=∠DB=20°，∴∠BD=140°． 综上所述：当∠BD 的度数是40°或90°或140°时，直线BD 是△B 的关于点B 的二分割线． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，理解二分割线是本题关键． 例8．（2023·四川成都·八年级校考期中）如图，、B 两点的坐标分别为 ， ，点P 是x 轴上一点， 且 为等腰三角形，则点P 的坐标为 ． 【答】 或 或 或 【分析】根据等腰三角形的判定，分①B=BP；②B=P；③P=BP 三种情况求解即可． 【详解】∵ 为等腰三角形，①当 时，如图①， ∵ ，∴ ， ∵ ，∴ 或 ； ②当 时，如图② 作 于点，则 ， ∵ ，∴ ，∵ ，∴ ，∴ ． ③当 时，如图③，作 ，∴ ，∴ ． 综上所述：点P 的坐标为 或 或 或 ， 故答为： 或 或 或 ． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质、勾股定理、坐标与图形，熟练掌握等腰三角形的判定与性 质，灵活运用分类讨论的思想解决问题是解答的关键． 例9．（2023·江苏苏州·八年级校考期中）如图， 中， ， ， ，若点 从点 出发，以每秒 的速度沿折线 运动，设运动时间为秒（ ）． (1)若点 在 上，且满足 ，求此时的值；(2)若点 恰好在 的角平分线上，求此时的值： (3)在运动过程中，当为何值时， 为等腰三角形． 【答】(1) (2) 或 (3) 或 或 或3 【分析】（1）设 ，则 ，利用勾股定理求出 ，在 中，依据 ，列方程求解即可得到的值．（2）如图所示，当点P 在 上时，过 作 于 ，设 ，则 ，在 中，依据 ，列方程求解即可得到 的值．当点 与点 重合时，点 也在 的角平分线上，此时， ． （3）分四种情况：当 在 上且 时，当 在 上且 时，当 在 上且 时，当 在 上且 时，分别依据等腰三角形的性质即可得到的值． 【详解】（1）解：如图，设 ，则 ， ， ， ， ， 在 中，由勾股定理得 ， ，解得 ， ， ； （2）解：如图所示，当点P 在 上时，过 作 于 ， 平分 ， ， ， ， 在 与 中， ， ， ，设 ，则 ， 在 中，由勾股定理得 ， ，解得 ， ， ， 当点 与点 重合时，点 也在 的角平分线上，此时， ． 综上所述，点 恰好在 的角平分线上，的值为 或 ． （3）解：分四种情况：①如图，当 在 上且 时，∴ ， ∵ ， ， ， ， 是 的中点，即 ， ． ②如图，当 在 上且 时，∴ ． ③如图，当 在 上且 时，过 作 于 ， ∵ ，∴ ， 在 中，由勾股定理得 ， ， ． ④如图，当 在 上且 时，则 ， ． 综上所述，当的值为 或 或 或3 时， 为等腰三角形． 【点睛】本题属于三角形综合题，考查了角平分线的性质，等腰三角形的性质以及勾股定理的综合运用． 画出图形，利用分类讨论的思想是解第（3）题的关键． 例10．（2022 春·四川成都·八年级校考期中）如图，在平面直角坐标系内，点为坐标原点，经过 的直线交x 轴正半轴于点B，交y 轴于点 ，直线 交x 轴负半轴于点D，若 的面积为 (1)求直线 的表达式和点D 的坐标；(2)横坐标为m 的点P 在线段 上（不与点 重合），过点P 作 x 轴的平行线交 于点E，设 的长为 ，求y 与m 之间的函数关系式并直接写出相应的m 取值 范围；(3)在（2）的条件下，在x 轴上是否存在点F，使 为等腰直角三角形？若存在求出点F 的坐标； 若不存在，请说明理由． 【答】(1) (2) (3)存在，点F 的坐标为 或 或 【分析】（1）据直线 交 轴正半轴于点 ，交 轴于点 ， ，设直线 解析式为 ， 把 的坐标代入求得 的值，从而求得 的坐标，再根据三角形的面积建立方程求出 的值，求出 的 值，从而求出 点的坐标； （2）直接根据待定系数法求出 的解析式，先根据 的坐标求出直线 的解析式，将 点的横坐标代入直线 的解析式，求出 的纵坐标，将 的纵坐标代入直线 的解 析式就可以求出 的横坐标，根据线段的和差关系就可以求出结论；（3）要使 为等腰直角三角形， 分三种情况分别以点 为直角顶点，据等腰直角三角形的性质求出（2）中 的值，就可以求出 点的坐标． 【详解】（1）解： ，∴设直线 的解析式为 ， ∵直线 经过 ， ， ， ∴直线 的解析式为 ， ， ， 的面积为 ， ， ， ， ， 直线 的解析式为 （2）解：设直线 的解析式为 ， ， ∴ ，解得 ．∴直线 的解析式为 ； ∵点P 在 上，且横坐标为m， ， 轴，∴E 的纵坐标为 ， 代入 得， ，解得 ， ， 的长 ；即 ， ； （3）解：在x 轴上存在点F，使 为等腰直角三角形， ①当 时，如图①，有 ， ， ， ，解得 ，此时 ； ②当 时，如图②，有 ， 的长等于点E 的纵坐标， ， ，解得： ， ∴点E 的横坐标为 ，∴ ； ③当 时，如图③，有 ， ． ， ．作 ，点R 为垂足， ， ， ．同理 ， ． ∵点R 与点E 的纵坐标相同， ，∴ ，解得： ， ，∴点F 的横坐标为 ， ． 综上，在x 轴上存在点F 使 为等腰直角三角形，点F 的坐标为 或 或 ． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，三角形的面积公式的运用，待定系数法求一次函数的解析式 模型2、直角三角形中的分类讨论模型 【知识储备】凡是涉及直角三角形问题，优先考虑直角顶点（或斜边）分类讨论，再利用直角三角形的性 质或勾股定理解题即可。 1）无图需分类讨论：①已知边长度无法确定是直角边还是斜边时要分类讨论；②已知无法确定是哪个角 是直角时要分类讨论（常见与折叠、旋转中出现的直角三角形）。 2）“两定一动”直角三角形存在性问题：（常见于与坐标系综合出题，后续会专题进行讲解） 即：如图：已知A ，B 两点是定点，找一点C 构成Rt △ABC 方法：两线一圆 具体图解：①当∠BAC=90° 时，过点A 作AB 的垂线，点C 在该垂线上（A 除外） ②当∠ABC=90° 时，过点B 作AB 的垂线，点C 在该垂线上（B 除外）。 ③当∠ACB=90° 时，以AB 为直径作圆，点C 在该圆上（A ，B 除外）。 例1．（2023 春·河南安阳·八年级校考期末）若三角形的两边长为4 和5，要使其成为直角三角形，则第三 边的长为 ． 【答】3 或 / 或3 【分析】根据勾股定理逆定理：如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角 三角形，再分5 为斜边或第三边为斜边两种情况考虑，即可求出第三边． 【详解】解：当较大的数5 为斜边时，第三边 ， 当第三边为斜边时，第三边 ，故答为：3 或 ． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，即如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角 形就是直角三角形，熟练掌握勾股定理的逆定理及分情况考虑是解题关键． 例2．（2023 春·河南郑州·八年级校考期中）如图， 是 的角平分线， 是 的高， ， ，点F 为边 上一点，当 为直角三角形时，则 的度数为 ． 【答】 或 【分析】分情况讨论：①当 时，②当 时，根据角平分线和三角形高线的定义分别 求解即可． 【详解】解：如图所示，当 时， ∵ 是 的角平分线， ， ∴ ，∴ 中， ； 如图，当 时， 同理可得 ，∵ ，∴ ， ∴ ， 综上所述： 的度数为 或 ．故答为： 或 ． 【点睛】本题考查角平分线和高线的定义，三角形外角的性质，三角形内角和定理，掌握分类讨论的思想 是解题的关键． 例3．（2022 秋·河南新乡·八年级校考期末）如图，在4×4 的正方形格中有两个格点，B，连接B，在格中 再找一个格点，使得△B 是等腰直角三角形，则满足条件的格点的个数是（ ） ．1 个 B．2 个 ．3 个 D．4 个 【答】 【分析】根据题意，结合图形，分两种情况讨论：①B 为等腰直角△B 底边；②B 为等腰直角△B 其中的一 条腰． 【详解】解：如图：分情况讨论：①B 为等腰直角△B 底边时，符合条件的点有0 个； ②B 为等腰直角△B 其中的一条腰时，符合条件的点有3 个． ∵ ， ， ∴ ， ， ， ∴ ， ， 都是等腰直角三角形，故共有3 个点，故选． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定；解答本题关键是根据题意，画出符合实际条件的图形，数形 结合的思想是数学解题中很重要的解题思想． 例4．（2022·江西九江·八年级期末）已知在平面直角坐标系中（﹣2 ，0）、B（2，0）、（0，2）． 点P 在x 轴上运动，当点P 与点、B、三点中任意两点构成直角三角形时，点P 的坐标为________． 【答】（0，0），（ ，0），（﹣2，0） 【分析】因为点P、、B 在x 轴上，所以P、、B 三点不能构成三角形．再分Rt△P 和Tt△PB 两种情况进行 分析即可． 【详解】解：∵点P、、B 在x 轴上，∴P、、B 三点不能构成三角形． 设点P 的坐标为（m，0）．当△P 为直角三角形时， ∠ ① P＝90°，易知点P 在原点处坐标为（0，0）； ∠ ② P＝90°时，如图，∵∠P＝90°∴2＋P2＝P2， ，解得，m＝ ，∴点P 的坐标为（ ，0）； 当△PB 为直角三角形时，①∠BP＝90°，易知点P 在原点处坐标为（0，0）； ∠ ② BP＝90°时，∵∠BP＝90°，⊥PB，∴P＝B＝2，∴点P 的坐标为（﹣2，0）． 综上所述点P 的坐标为（0，0），（ ，0），（﹣2，0）． 【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理，涉及到了数形结合和分类讨论思想．解题的关键是不重复不遗 漏的进行分类． 例5．（2022 秋·辽宁丹东·八年级校考期中）在△B 中，∠B＝90°，B＝＝4，以为一边，在△B 外作等腰直角 △D，则线段BD 的长为 ． 【答】或 或 【分析】根据题意分类讨论，① ，② ，③ ，分别作出图形，再结合已 知条件勾股定理求解即可． 【详解】①如图，当 时， 是等腰直角三角形， , ②如图，当 时，过点 作 ，交 的延长线于点 ， ， 是等腰直角三角形， ， 又 是等腰直角三角形 在 中， 在 中， 在 中， ③如图，当 时 ， 是等腰直角三角形， ， 在 中， 在 中， 综上所述， 的长为：或 或 【点睛】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，分类讨论是解题的关键． 例6（2023 春·山东东营·八年级校考阶段练习）如图，长方形 中， ， ，点 为射线 上的一个动点，若 与 关于直线 对称，若 为直角三角形，则 的长为 ． 【答】2 或18 【分析】分点 在线段 上，点 在线段 的延长线上两种情况讨论，由题意可得 ， ， ， ，根据勾股定理和全等三角形的性质，可求 的长． 【详解】解：若点 在线段 上， 若 与△ 关于直线 对称， ， ， ， △ 为直角三角形， ， ， ， ， ， 点 ，点 ，点 共线， 在 中， ． ， ， 若点 在线段 的延长线上，且点 在 上， 若 与△ 关于直线 对称， ， ， 在 △ 中， ， ， ， ，且 ， ， △ ， ， ，故答为：2 或18． 【点睛】本题考查了矩形的性质，轴对称的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，熟练运用这些性 质解决问题是本题的关键 例7（2023 秋·浙江绍兴·八年级统考期末）如图，在 中， ， ，点D 是边 上的点，将 沿 折叠得到 ，线段 与边 交于点F．若 为直角，则 的长 是 ． 【答】 / 【分析】过点作 于点G，根据等腰三角形的性质