专题11 三角形中的重要模型-特殊三角形中的分类讨论模型（原卷版）

专题11 三角形中的重要模型-特殊三角形中的分类讨论模型 模型1、等腰三角形中的分类讨论模型 【知识储备】凡是涉及等腰三角形边、角、周长、面积等问题，优先考虑分类讨论，再利用等腰三角形的 性质与三角形三边关系解题即可。 1）无图需分类讨论 ①已知边长度无法确定是底边还是腰时要分类讨论；②已知角度数无法确定是顶角还是底角时要分类讨 论； ③遇高线需分高在△内和△外两类讨论；④中线把等腰△周长分成两部分需分类讨论。 2）“两定一动”等腰三角形存在性问题： 即：如图：已知A ，B 两点是定点，找一点C 构成等腰△ABC 方法：两圆一线 具体图解：①当AB=AC 时，以点A 为圆心，AB 长为半径作⊙A ，点C 在⊙A 上（B ，C 除外） ②当AB=BC 时，以点B 为圆心，AB 长为半径作⊙B ，点C 在⊙B 上（A ，E 除外） ③当AC=BC 时，作AB 的中垂线，点C 在该中垂线上（D 除外） 例1．（2023 春·四川成都·八年级校考期中）已知等腰三角形的两边长分别是 ， ，若 ， 满足 ，那么它的周长是（ ） ．11 B．13 ．11 或13 D．11 或15 例2．（2023 春·黑龙江佳木斯·八年级校考期中）一个等腰三角形的周长为18m，且一边长是4m，则它的 腰长为（ ） ．4m B．7m ．4m 或7m D．全不对 例3．（2023 春·四川达州·八年级校考阶段练习）等腰三角形的一个角是 ，则它顶角的度数是（ ） ． B． 或 ． 或 D． 例3．（2023·四川广安·八年级校考期中）等腰三角形的一个外角为 ，则它的底角为（ ） ． B． ． 或 D．以上都不是 例4．（2023·四川绵阳·八年级校考阶段练习）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为 ，则等腰三角 形的顶角度数为 ． 例5．（2023·山东滨州·八年级校考期末）我们称格线的交点为格点．如图，在6 行 列的长方形格中有 两个格点、B，连接 ，在格中再找一个格点，使得 是等腰直角三角形，则满足条件的格点的个数 是（ ） ．3 B．4 ．5 D．6 例6．（2023·北京·八年级期中）Rt△B 中，∠B=90°，B==2，以为一边．在△B 外部作等腰直角三角形D，则 线段BD 的长为____． 例7．（2023·福建南平·八年级校考期中）已知△B 中，如果过顶点B 的一条直线把这个三角形分割成两个 三角形，其中一个为等腰三角形，另一个为直角三角形，则称这条直线为△B 的关于点B 的二分割线．如图 1，Rt△B 中，显然直线BD 是△B 的关于点B 的二分割线．在图2 的△B 中，∠B＝110°，若直线BD 是△B 的 关于点B 的二分割线，则∠DB 的度数是 ． 例8．（2023·四川成都·八年级校考期中）如图，、B 两点的坐标分别为 ， ，点P 是x 轴上一点， 且 为等腰三角形，则点P 的坐标为 ． 例9．（2023·江苏苏州·八年级校考期中）如图， 中， ， ， ，若点 从点 出发，以每秒 的速度沿折线 运动，设运动时间为秒（ ）． (1)若点 在 上，且满足 ，求此时的值；(2)若点 恰好在 的角平分线上，求此时的值： (3)在运动过程中，当为何值时， 为等腰三角形． 例10．（2022 春·四川成都·八年级校考期中）如图，在平面直角坐标系内，点为坐标原点，经过 的直线交x 轴正半轴于点B，交y 轴于点 ，直线 交x 轴负半轴于点D，若 的面积为 (1)求直线 的表达式和点D 的坐标；(2)横坐标为m 的点P 在线段 上（不与点 重合），过点P 作 x 轴的平行线交 于点E，设 的长为 ，求y 与m 之间的函数关系式并直接写出相应的m 取值 范围；(3)在（2）的条件下，在x 轴上是否存在点F，使 为等腰直角三角形？若存在求出点F 的坐标； 若不存在，请说明理由． 模型2、直角三角形中的分类讨论模型 【知识储备】凡是涉及直角三角形问题，优先考虑直角顶点（或斜边）分类讨论，再利用直角三角形的性 质或勾股定理解题即可。 1）无图需分类讨论：①已知边长度无法确定是直角边还是斜边时要分类讨论；②已知无法确定是哪个角 是直角时要分类讨论（常见与折叠、旋转中出现的直角三角形）。 2）“两定一动”直角三角形存在性问题：（常见于与坐标系综合出题，后续会专题进行讲解） 即：如图：已知A ，B 两点是定点，找一点C 构成Rt △ABC 方法：两线一圆 具体图解：①当∠BAC=90° 时，过点A 作AB 的垂线，点C 在该垂线上（A 除外） ②当∠ABC=90° 时，过点B 作AB 的垂线，点C 在该垂线上（B 除外）。 ③当∠ACB=90° 时，以AB 为直径作圆，点C 在该圆上（A ，B 除外）。 例1．（2023 春·河南安阳·八年级校考期末）若三角形的两边长为4 和5，要使其成为直角三角形，则第三 边的长为 ． 例2．（2023 春·河南郑州·八年级校考期中）如图， 是 的角平分线， 是 的高， ， ，点F 为边 上一点，当 为直角三角形时，则 的度数为 ． 例3．（2022 秋·河南新乡·八年级校考期末）如图，在4×4 的正方形格中有两个格点，B，连接B，在格中 再找一个格点，使得△B 是等腰直角三角形，则满足条件的格点的个数是（ ） ．1 个 B．2 个 ．3 个 D．4 个 例4．（2022·江西九江·八年级期末）已知在平面直角坐标系中（﹣2 ，0）、B（2，0）、（0，2）． 点P 在x 轴上运动，当点P 与点、B、三点中任意两点构成直角三角形时，点P 的坐标为________． 例5．（2022 秋·辽宁丹东·八年级校考期中）在△B 中，∠B＝90°，B＝＝4，以为一边，在△B 外作等腰直角 △D，则线段BD 的长为 ． 例6（2023 春·山东东营·八年级校考阶段练习）如图，长方形 中， ， ，点 为射线 上的一个动点，若 与 关于直线 对称，若 为直角三角形，则 的长为 ． 例7（2023 秋·浙江绍兴·八年级统考期末）如图，在 中， ， ，点D 是边 上的点，将 沿 折叠得到 ，线段 与边 交于点F．若 为直角，则 的长 是 ． 例8．（2023 秋·河南商丘·八年级校考期中）如图， 中， m，现有两点M、分别从 点、点B 同时出发，沿三角形的边运动，已知点M 的速度为 ，点的速度为 ．当点第一次到达 B 点时，M、同时停止运动． (1)点M、运动几秒后，M、两点重合？(2)点M、运动几秒后，可得到等边三角形 ？ (3)当点M、在 边上运动时，能否得到以 为底边的等腰三角形 ？如存在，请求出此时M、运动 的时间．(4)点M、运动______________________后，可得到直角三角形 ． 例9．（2023 秋·河南漯河·八年级校考期末）如图，等边三角形 中，D、E 分别是 、 边上的点， ， 与 相交于点P， ，Q 是射线 上的动点． (1)图中共有__________组全等，请选择其中的一组全等予以证明．(2)若 为直角三角形，求 的值． 例10．（2023·四川成都·八年级校考期末）如图1，在平面直角坐标系中，点的坐标为（-4，4），点B 的 坐标为（0，2）．（1）求直线B 的解析式；（2）以点为直角顶点作∠D=90°，射线交x 轴的负半轴于点， 射线D 交y 轴的负半轴于点D．当∠D 绕着点旋转时，-D 的值是否发生变化？若不变，求出它的值；若变化， 求出它的变化范围；（3）如图2，点M（-4，0）和（2，0）是x 轴上的两个点，点P 是直线B 上一点．当 △PM 是直角三角形时，请求出满足条件的所有点P 的坐标． 课后专项训练 1．（2023·福建龙岩·八年级校考期中）在平面直角坐标系xy 中，点 ， ，若点在x 轴上，且 为等腰三角形，则满足条件的点的个数为（ ） ．1 B．2 ．3 D．4 2．（2022·山东青岛·统考二模）在平面直角坐标系中， 为坐标原点，点 的坐标为 ，若 为 轴 上一点，且使得 为等腰三角形，则满足条件的点 有（ ） ．2 个 B．3 个 ．4 个 D．5 个 3．（2022·安徽淮北·九年级阶段练习）如图，在 中， ， ， ．若点P 为直线B 上一点，且 为等腰三角形，则符合条件的点P 有（ ）． ．1 个 B．2 个 ．3 个 D．4 个 4．（2022·四川广元·八年级期末）如图，在Rt B △中，∠B＝90°，∠B=36°，以为原点，所在直线为y 轴，B 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系 ，在坐标轴上取一点M 使△MB 为等腰三角形，符合条件的 M 点有 （ ） ．6 个 B．7 个 ．8 个 D．9 个 5．（2023·四川凉山·八年级校考期中）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是 ，则底角是 ． 6．（2023 春·四川达州·八年级校考阶段练习）我们规定：等腰三角形的顶角与一个底角度数的比值叫作等 腰三角形的“特征值”，记作k．若 ，则该等腰三角形的顶角为 度． 7．（2022·河南平顶山·八年级期末）如图， 中， ， ， 的平分线与线段 交 于点 ，且有 ，点 是线段 上的动点（与、 不重合），连接 ，当 是等腰三角形 时，则 的长为___________． 8．（2023·上虞市初二月考）在如图所示的三角形中，∠＝30°，点P 和点Q 分别是边和B 上的两个动点， 分别连接BP 和PQ，把△B 分割成三个三角形△BP，△BPQ，△PQ，若分割成的这三个三角形都是等腰三角形， 则∠有可能的值有________个． 9．（2022·河南·郑州八年级阶段练习）如图，已知等腰△B 中，B5，B8，E 是B 上的一个动点，将 △BE 沿着E 折叠到△DE 处，再将边折叠到与D 重合，折痕为F，当△DEF 是等腰三角形时，BE 的长是__ _________． 10．（2022·河南南阳·二模）如图，在 的纸片中， ， ， ．点 在边 上， 以 为折痕将 折叠得到 ， 与边 交于点 ．若 为直角三角形，则 的长是_ ______． 11．（2022·江西萍乡·二模）如图，在△B 中，B＝B＝2，＝B，P 是射线 上的一个动点，∠＝60°，则当 △PB 为直角三角形时，P 的长为____． 12．（2023 春·江西鹰潭·八年级校考阶段练习）如图，在 中，已知 ， ， ． ， 在直线上．现将 在直线上进行平移，当 为直角三角形时， 的长为 ． 13．（2022 秋·四川成都·八年级校考期中）如图，四边形 是一张长方形纸片，将其放在平面直角坐 标系中，使得点 与坐标原点重合，点 、 分别在 轴、 轴的正半轴上，点 的坐标为 ， 的坐 标为 ，现将纸片沿过 点的直线折叠，使顶点 落在线段 上的点 处，折痕与 轴的交点记为 ． (1)求点 的坐标和 的大小；(2)在 轴正半轴上是否存在点 ，满足 ，若存在，求出 点坐标，若不存在请说明理由；(3)点 在直线 上，且 为等腰三角形，请直接写出点 的坐标． 14．（2023 秋·浙江杭州·八年级校联考期末）如图，在平面直角坐标系中，是坐标原点，长方形 的顶 点、B 分别在x 轴与y 轴上，已知 ， ，点D 为y 轴上一点，其坐标为 ，点P 从点出发以 每秒1 个单位的速度沿线段 的方向运动，当点P 与点B 重合时停止运动． (1)当点P 与点重合时，求直线 的函数解析式；(2)设运动时间为t 秒．当点P 在运动过程中， ①求 的面积S 关于t 的函数解析式；②是否存在等腰三角形 ？若存在，请求出点P 的坐标； 若不存在，请说明理由． 15．（2022 春·四川成都·八年级校考阶段练习）如图，平面直角坐标系 中，直线 交 轴于 点 ，交 轴于点 ，点 是线段 上一动点（不与点 重合），过点 作 于点 ． (1)当点 是 中点时，求 的面积；(2)连接 ，若 平分 ，求此时点 的坐标； (3) 平分 ，在 轴上有一动点 ， 横坐标为 ，过点 作直线 轴，与线段 有交点，求 的取值范围；(4) 平分 ， 为 轴上动点， 为等腰三角形，求 坐标． 16．（2023 春·吉林长春·八年级校考阶段练习）如图，在 的正方形格中，每个小正方形的边长为1 个 单位长度，存在线段 ，端点，B 均落在格点上，构建如图所示平面直角坐标系． (1)直接写出点，B 的坐标：（______，______）， B（______，______）； (2)请在格中找到点，连接 ， ，使 为等腰直角三角形，此时点的坐标为______； (3)如图所示，格中（包括格的边界）存在点P，点P 的横纵坐标均为整数，连接 ， ，得到锐角 ，且 为等腰三角形，则满足条件的点P 有_____个． 17．（2023 秋·浙江金华·八年级校联考阶段练习）在平面直角坐标系中，点的坐标为(-1，0)，点B 是直线 上的动点，连接B，设点B 的横坐标为 ． (1)如图1，当 时，以B 为直角边在B 下方作等腰直角三角形B，使 ，求点的坐标． (2)如图2，把线段B 绕点顺时针旋转 得到线段D，当点B 在直线 上运动时，点D 也随之运动， 连接D，求 D 的面积（用含 的代数式表示）． (3)在图3 中以B 为直角边作等腰直角三角形BE，当点E 落在直线 上时，求 的值． 18．（2023 秋·四川成都·八年级校考期末）如图，在平面直角坐标系内，点为坐标原点，经过(-2，6)的直 线交x 轴正半轴于点B，交y 轴于点，B=，直线D 交x 轴负半轴于点D，若△BD 的面积为27． （1）求直线D 的解析式；（2）横坐标为m 的点P 在B 上（不与点，B 重合），过点P 作x 轴的平行线交D 于点E，设PE 的长为y（y≠0），求y 与m 之间的函数关系式并直接写出相应的m 的取值范围； （3）在（2）的条件下，在x 轴上是否存在点F，使△PEF 为等腰直角三角形？若存在求出点F 的坐标，若 不存在，请说明理由． 19．（2023 秋·四川成都·八年级统考期末）如图1，在平面直角坐标系中，点的坐标为 ，点B 的坐标 为 ．(1)求直线 的表达式；(2)点M 是坐标轴上的一点，若以 为直角边构造 ，请求出 满足条件的所有点M 的坐标；(3)如图2，以为直角顶点作 ，射线 交x 轴的正半轴于点，射 线 交y 轴的负半轴于点D，当 绕点旋转时，求 的值． 20．（2022 秋·四川成都·八年级校考期中）如图，在平面直角坐标系中，直线 与x 轴交于点，与 y 轴交于点B，过点B 的直线交x 轴的正半轴于点，且 面积为10． (1)求直线B 的解析式；(2)如图1，若点M 为线段B 上一点，且满足 ，求点M 的坐标； (3)如图2，点F 为线段B 中点，点G 为y 轴上任意一点，连接FG，以FG 为腰，G 为直角顶点，在FG 右 侧作等腰直角 ，当顶点Q 落在直线B 上时，求点的坐标．