专题10 三角形中的重要模型之特殊三角形中的分类讨论模型解读与提分精练（全国通用）（解析版）

专题10 三角形中的重要模型之特殊三角形中的分类讨论模型 特殊三角形（等腰三角形和直角三角形）的分类讨论模型，是初中各类考试中几何压轴题的常客，并 且形式多样，内容新颖，能较好地考查同学们的应用意识和思维能力。在历年中考当中，很多考生因为在 处理等腰三角形和直角三角形有关的多解问题时，常常考虑不全面，导致漏解丢分。在学习等腰或直角三 角形的性质和判定时，分类讨论的思想尤为重要，希望大家要认真对待。本专题将把特殊三角形分类讨论 情形作系统的归纳与介绍，方便大家对它有个全面的了解与掌握。 .................................................................................................................................................2 模型1 等腰三角形中的分类讨论模型-对角（边）与高的分类讨论模型..................................................2 模型2 等腰三角形中的分类讨论模型-对边的分类讨论模型......................................................................5 模型3 直角三角形中的分类讨论模型-斜边（或直角）不确定的直角三角形模型................................13 模型4 直角三角形中的分类讨论模型-直角三角形存在性模型................................................................15 ...............................................................................................................................................26 模型1 等腰三角形中的分类讨论模型-对角（边）与高的分类讨论模型 1）若等腰三角形没有明确角的种类，要分类讨论；从锐角等腰三角形和钝角等腰三角形的角度入手分顶 角与底角两种情况进行分类讨论。当然有时候已知条件是以边的形式给出，我们讨论顶角和底角与讨论底 和腰的原理相同。 2）若等腰三角形没有明确高的位置，要分类讨论；从锐角等腰三角形和钝角等腰三角形的角度入手分腰 上高与底边高、界内高与界外高两种情况进行分类讨论。 例1．（24-25 九年级上·山东·期末）若等腰 内接于 ， ， ，则 底角 的度数为（ ） ． B． ． 或 D． 或 【答】 【分析】画出相应图形，分 为锐角三角形和钝角三角形2 种情况解答即可．本题考查的是三角形外 接圆和外心，三角形圆周角定理及等腰三角形的性质，分情况探讨是解决本题的易错点；用到的知识点为： 同弧所对的圆周角等于圆心角的一半；圆内接四边形的对角互补． 【详解】解：（1）圆心 在 外部， 在优弧 上任选一点 ，连接 ， ． ∵ ， ， ； ， ； （2）圆心 在 内部．∵ ，∴ ， ， ．综上所述， 底角的度数为 或 ，故选：． 例2．（2023·四川广元·八年级校联考期中）已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为 ，那么这个 等腰三角形的顶角等于（ ） ． B． 或 ． 或 D． 【答】B 【分析】分三角形是锐角三角形时，利用直角三角形两锐角互余求解；三角形是钝角三角形时，利用三角 形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解． 【详解】如图1，三角形是锐角三角时， ， 顶角 ； 如图 ，三角形是钝角时， ， 顶角 ， 综上所述，顶角等于 或 ．故选：B． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形的两个锐角互余，难点在于分情况讨论，作出图形更 形象直观． 例3．（2023 春·山东枣庄·八年级校考期中）已知x，y 满足 ，则以，的值为两边长的 等腰三角形的周长是（ ） ．20 或16 B．20 ．16 D．以上答均不对 【答】B 【分析】利用非负数的性质，求出 ， 的值，利用分类讨论的思想思考问题即可． 【详解】解： ，又 ， ， ， ， 当等腰三角形的边长为4，4，8 时，不符合三角形的三边关系； 当等腰三角形的三边为8，8，4 时，周长为20，故选：B． 【点睛】本题考查等腰三角形的概念、非负数的性质、三角形的三边关系等知识，解题的关键是熟练掌握 基本知识，属于中考常考题型． 例4．（2024 八年级上·湖北·专题练习）等腰三角形三边长分别为 ， ， ，则等腰三角形的周 长为（ ） ．10 B．7 或10 ．7 或4 D．10 或7 或4 【答】B 【分析】本题考查了等腰三角形的定义、一元一次方程的应用、三角形三边关系，根据等腰三角形的定义， 分三种情况，分别得出一元一次方程，解方程结合三角形三边关系判断即可得解． 【详解】解：①当 为底边长时，腰长为 ， ， ∵三角形为等腰三角形， ，解得 ，∴ ， ，∵ ，∴构不成三角形； ②当 为底边长时，腰长为 ， ，∵三角形为等腰三角形， ，解得 ， ∴ ， ，符合三角形三边关系， 等腰三角形的周长为 ； ③当 为底边长时，腰长为 ， ，∵三角形为等腰三角形， ，解得 ， ∴ ， ，符合三角形三边关系， 等腰三角形的周长为 ． 综上，等腰三角形的周长为7 或10，故选：B． 例5．（24-25 八年级上·浙江嘉兴·阶段练习）等腰三角形一腰上的中线将这个等腰三角形的周长分为 和 两部分，那么这个等腰三角形的底边长是 ． 【答】 / 厘米 【分析】本题考查了等腰三角形的定义（至少有两边等长或相等的三角形）、二元一次方程组的几何应用、 三角形的三边关系定理；依据题意，正确分两种情况讨论是解题关键．如图（见解析），分① ；② 两种情况，再分别根据等腰三角形 的定义建立二元一次方程组，解方程组可得等腰三角形的三边长，然后利用三角形的三边关系定理进行检 验即可得． 【详解】解：如图， 是等腰三角形， 是腰 上的中线， 设 ，则 ，由题意，分以下两种情况： ①当 时，则 ，解得 ， 此时等腰三角形的三边长分别为 ，不满足三角形的三边关系定理，舍去； ②当 时，则 ，解得 ， 此时等腰三角形的三边长分别为 ，满足三角形的三边关系定理， 因此，这个等腰三角形的底边长为 ．故答为： ． 模型2 等腰三角形中的分类讨论模型-对边的分类讨论模型 1）等腰三角形没有明确边的种类，要分类讨论；结合三角形三边关系分腰与底边两种情况进行分类讨论。 2）坐标系中的等腰三角形的分类讨论。 等腰三角形的两种分类讨论方法 方法1 “两圆一线”；（一般符合“两个定点一个动点”的等腰三角形）。 如图：已知A ，O 两点是定点，在坐标轴上找一点P 构成等腰△OAP 。 ①以已知线段OA 为底作它的垂直平分线，与坐标轴的交点即为点P（有2 个）； ②以已知线段OA 为腰：用线段的两个端点为圆心，线段长为半径，分别作圆。（以O 为圆心的有4 个， 以A 为圆心的有2 个）。具体题目要通过计算这些点的坐标来考虑是否出现重叠现象。 方法2 “三边两两相等分三种情况”讨论，先列出三种情况，再首先选最简单的那种情况先解答。 若是“两个动点一个定点”，多采用第二种方法分类讨论。但就算是用第二种方法分类讨论，也可以先用 “两圆一线”确定符合等腰三角形的点可能有几个及这些点的大致位置。 例1．（2024·山东·统考二模）在平面直角坐标系中， 为坐标原点，点 的坐标为 ，若 为 轴 上一点，且使得 为等腰三角形，则满足条件的点 有（ ） ．2 个 B．3 个 ．4 个 D．5 个 【答】 【分析】分别以、为圆心，以长为半径作圆，与x 轴交点即为所求点M，再作线段的垂直平分线，与坐标 轴的交点也是所求的点M，作出图形，利用数形结合求解即可． 【详解】解：如图， 满足条件的点M 的个数为2．故选． 【点睛】本题考查了坐标与图形的性质及等腰三角形的判定；对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没 有明确哪边是底哪边是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论． 例2．（2023·福建南平·八年级校考期中）已知△B 中，如果过顶点B 的一条直线把这个三角形分割成两个 三角形，其中一个为等腰三角形，另一个为直角三角形，则称这条直线为△B 的关于点B 的二分割线．如图 1，Rt△B 中，显然直线BD 是△B 的关于点B 的二分割线．在图2 的△B 中，∠B＝110°，若直线BD 是△B 的 关于点B 的二分割线，则∠DB 的度数是 ． 【答】40°或90°或140° 【分析】分三种情况讨论，由等腰三角形的性质和直角三角形的性质可求解． 【详解】解：①如图，当∠DB=90°，D=BD 时，直线BD 是△B 的关于点B 的二分割线， ∠ ∵ B=110°，∠DB=90°，∴∠BD=20°， ∵D=BD，∴∠=∠BD=20°，∴∠DB=∠+∠BD=40°； ②如图，当∠BD=90°，D=BD 时，直线BD 是△B 的关于点B 的二分割线，或当∠BD=90°，D=BD 时，直线 BD 是△B 的关于点B 的二分割线，； ③如图，当∠BD=90°，D=BD 时，直线BD 是△B 的关于点B 的二分割线， ∠ ∵ B=110°，∠BD=90°，∴∠DB=20°，∵D=BD，∴∠=∠DB=20°，∴∠BD=140°． 综上所述：当∠BD 的度数是40°或90°或140°时，直线BD 是△B 的关于点B 的二分割线． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，理解二分割线是本题关键． 例3．（2023·江苏泰州·统考中考真题）如图， 中， ， ，射线 从射线 开始 绕点逆时针旋转 角 ，与射线 相交于点D，将 沿射线 翻折至 处，射线 与射线 相交于点E．若 是等腰三角形，则 的度数为 ． 【答】 或 或 【分析】分情况讨论，利用折叠的性质知 ， ，再画出图形，利用三角形 的外角性质列式计算即可求解． 【详解】解：由折叠的性质知 ， ， 当 时， ， 由三角形的外角性质得 ，即 ，此情况不存在； 当 时， ， ， 由三角形的外角性质得 ，解得 ； 当 时， ，∴ ， 由三角形的外角性质得 ，解得 ； 当 时， ，∴ ， ∴ ； 综上， 的度数为 或 或 ．故答为： 或 或 ． 【点睛】本题考查折叠的性质，三角形的外角性质，等腰三角形的性质，画出图形，数形结合是解题关键． 例4．（2023 春·四川达州·八年级校考期中）在直角坐标系中， 为坐标原点，已知点 （1，2），点 P 是 y 轴正半轴上的一点，且△P 为等腰三角形，则点 P 的坐标为 ． 【答】 【分析】有三种情况：①以为圆心，以为半径画弧交y 轴于D，求出即可；②以为圆心，以为半径画弧交 y 轴于P，求出P 即可；③作的垂直平分线交y 轴于，则＝，根据勾股定理求出即可． 【详解】有三种情况： ①以为圆心，以为半径画弧交y 轴于D，则＝D＝ ；∴D（0， ）； ②以为圆心，以为半径画弧交y 轴于P，P＝2×y=4，∴P（0，4）； ③作的垂直平分线交y 轴于，则＝，由勾股定理得：＝＝ ， ∴＝ ，∴（0， ）；故答为： ． 【点睛】本题主要考查对线段的垂直平分线，等腰三角形的性质和判定，勾股定理，坐标与图形性质等知 识点的理解和掌握，能求出符合条件的所有情况是解此题的关键． 例5．（2024·江苏泰州·八年级校联考阶段练习）如图1， 中， 于D，且 ， (1)试说明 是等腰三角形；(2)已知 ，如图2，动点M 从点B 出发以每秒 的速度沿线 段 向点运动，同时动点从点出发以相同速度沿线段 向点运动，当其中一点到达终点时整个运动都停 止．设点M 运动的时间为t（秒），①若 的边与 平行，求t 的值；②若点E 是边 的中点，问 在点M 运动的过程中， 能否成为等腰三角形？若能，求出t 的值；若不能，请说明理由． 【答】(1)见解析(2)①5 或6；②9 或10 或 【分析】（1）设 ，则 ，由勾股定理求出 ，即可得出结论； （2）由 的面积求出 ；①当 时， ；当 时， ；得出方程，解方程即可； ②由直角三角形的性质得出 ，根据题意得出当点M 在 上，即 时， 为等腰三角 形，有3 种可能： ； ； ；分别得出方程，解方程即可． 【详解】（1）证明：设 ，则 ， 在 中， ，∴ ，∴ 是等腰三角形； （2）解：设 ，则 ， ，而 ，∴ 则 ， 由题意可知当点M 到达点时点刚好到达点，此时 ． ①当 时， ，即 ，∴ ； 当 时， ，得： ； ∴若 的边与 平行，t 值为5 或6． ②∵点E 是边 的中点， ，∴ m， 当点M 在 上，即 时， 为钝角三角形，但 ； 当 时，点M 运动到点D，不构成三角形 当点M 在 上，即 时， 为等腰三角形，有3 种可能． 如果 ，则 ，∴ ； 如果 ，则点M 运动到点，∴ ； 如果 m，过点E 作 于F，如图3 所示： 此时 m，∵ ，∴ m ∵ ，∴ m， ∵ m，则在 中， ，∴ ． 综上所述，符合要求的t 值为9 或10 或 ． 【点睛】本题考查了勾股定理、等腰三角形的判定与性质、平行线的性质、解方程等知识；本题有一定难 度，需要进行分类讨论才能得出结果． 例6．（2024·四川成都·八年级校考期中）如图，在平面直角坐标系内，点为坐标原点，经过 的直 线交x 轴正半轴于点B，交y 轴于点 ，直线 交x 轴负半轴于点D，若 的面积为 (1)求直线 的表达式和点D 的坐标；(2)横坐标为m 的点P 在线段 上（不与点 重合），过点P 作 x 轴的平行线交 于点E，设 的长为 ，求y 与m 之间的函数关系式并直接写出相应的m 取值 范围；(3)在（2）的条件下，在x 轴上是否存在点F，使 为等腰直角三角形？若存在求出点F 的坐标； 若不存在，请说明理由． 【答】(1) (2) (3)存在，点F 的坐标为 或 或 【分析】（1）据直线 交 轴正半轴于点 ，交 轴于点 ， ，设直线 解析式为 ， 把 的坐标代入求得 的值，从而求得 的坐标，再根据三角形的面积建立方程求出 的值，求出 的 值，从而求出 点的坐标； （2）直接根据待定系数法求出 的解析式，先根据 的坐标求出直线 的解析式，将 点的横坐标代入直线 的解析式，求出 的纵坐标，将 的纵坐标代入直线 的解 析式就可以求出 的横坐标，根据线段的和差关系就可以求出结论；（3）要使 为等腰直角三角形， 分三种情况分别以点 为直角顶点，据等腰直角三角形的性质求出（2）中 的值，就可以求出 点的坐标． 【详解】（1）解： ，∴设直线 的解析式为 ， ∵直线 经过 ， ， ， ∴直线 的解析式为 ， ， ， 的面积为 ， ， ， ， ， 直线 的解析式为 （2）解：设直线 的解析式为 ， ， ∴ ，解得 ．∴直线 的解析式为 ； ∵点P 在 上，且横坐标为m， ， 轴，∴E 的纵坐标为 ， 代入 得， ，解得 ， ， 的长 ；即 ， ； （3）解：在x 轴上存在点F，使 为等腰直角三角形， ①当 时，如图①，有 ， ， ， ，解得 ，此时 ； ②当 时，如图②，有 ， 的长等于点E 的纵坐标， ， ，解得： ， ∴点E 的横坐标为 ，∴ ； ③当 时，如图③，有 ， ． ， ．作 ，点R 为垂足， ， ， ．同理 ， ． ∵点R 与点E 的纵坐标相同， ，∴ ，解得： ， ，∴点F 的横坐标为 ， ． 综上，在x 轴上存在点F 使 为等腰直角三角形，点F 的坐标为 或 或 ． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，三角形的面积公式的运用，待定系数法求一次函数的解析式 的运用，解答本题时求出函数的解析式是关键． 模型3 直角三角形中的分类讨论模型-斜边（或直角）不确定的直角三角形模型 若直角三角形没有明确谁直角（斜边），要分类讨论；从直角（斜边）入手分三种情况进行讨论。 例1．（2024·浙江嘉兴·三模）已知直角三角形两边长为3，4，则该直角三角形斜边上的中线长为（ ） ．2 或25 B．5 或 ．25 或 D．25 或 【答】 【分析】本题考查了勾股定理，直角三角形斜边上的中线性质，合理分类讨论斜边的长是解题的关键．分 类讨论斜边的情况，根据斜边上的中线等于斜边的一半求解即可． 【详解】解：当和 为直角边时，则斜边 ，中线 ， 当斜边为 时，中线 ，∴斜边的长为 或 ，故选：． 例2．（2023 春·河南郑州·八年级校考期中）如图， 是 的角平分线， 是 的高， ， ，点F 为边 上一点，当 为直角三角形时，则 的度数为 ． 【答】 或 【分析】分情况讨论：①当 时，②当 时，根据角平分线和三角形高线的定义分别 求解即可． 【详解】解：如图所示，当 时， ∵ 是 的角平分线， ， ∴ ，∴ 中， ； 如图，当 时，同理可得 ， ∵ ，∴ ， ∴ ， 综上所述： 的度数为 或 ．故答为： 或 ． 【点睛】本题考查角平分线和高线的定义，三角形外角的性质，三角形内角和定理，掌握分类讨论的思想 是解题的关键． 例3．（2023·辽宁葫芦岛·二模）如图，在 中， ， ， ，点D 是 的中 点，点E 是斜边 上一动点，沿 所在直线把 翻折到 的位置， 交 于点F，若 为直角三角形，则 的长为 ． 【答】1 或 【分析】本题考查翻折变换、勾股定理、解直角三角形、全等三角形的判定和性质等知识，分 ， 两种情形分别画出图形，结合三角函数及勾股定理求解即可得到答； 【详解】解：如图，当 时． 在 中，∵ ， ，∴ ， ， ∵ ，∴ ，∵ ，∴ ，∴ ， ∴ ，∴ ， ，∴ ， ， ， 如图，当 时，作 交 的延长线于．设 ， ∵ ， ，∴ ，∴ ， ∵ ，∴ ，在 中， ， ， ， 在 中，∵ ，∴ ，解得 ， 综上所述，满足条件的 的值为1 或 ，故答为：1 或 ． 模型4 直角三角形中的分类讨论模型-直角三角形存在性模型 直角三角形存在性的问题，首先需要观察图形，判断直角顶点是否确定。若不确定，则需要进行分类讨论， 如下面模型构建。直角三角形存在性的问题常考背景有翻折（折叠）、动点、旋转等。 “两定一动”直角三角形存在性问题：（常见与坐标系综合、或结合翻折（折叠）、动点、旋转等）。 问题：已知点，B 和直线l，在l 上求点P，使△PB 为直角三角形． 分三种情况，如图： ①以为直角顶点，即∠BP＝90°：过点作B 的垂线，与已知直线l 的交点P1即为所求； ②以B 为直角顶点，即∠BP＝90°：过点B 作B 的垂线，与已知直线l 的交点P2即为所求； ③以P 为直角顶