专题02 三角形中的倒角模型-飞镖模型、风筝模型、角内翻模型（原卷版）

专题02 三角形中的倒角模型-飞镖模型、风筝模型、角内翻模型 近年来各地中考中常出现一些几何倒角模型，该模型主要涉及高线、角平分线及角度的计算（内角和 定理、外角定理等）。熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题就飞镖型、风筝模型 进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 模型1、“飞镖”模型（“燕尾”模型） 图1 图2 图3 条件：如图1，凹四边形BD； 结论：① ；② 。 条件：如图2，线段B 平分∠B，线段D 平分∠D； 结论：∠= （∠+∠）。 条件：如图3，线段平分∠DB，线段平分∠BD； 结论：∠= （∠D-∠B）。 飞镖模型结论的常用证明方法： 例1．（2023·重庆·八年级专题练习）请阅读下列材料，并完成相应的任务： 有趣的“飞镖图”：如图，这种形似飞镖的四边形，可以形象地称它为“飞镖图”．当我们仔细观察后发 现，它实际上就是凹四边形．那么它具有哪些性质呢？又将怎样应用呢？下面我们进行认识与探究：凹四 边形通俗地说，就是一个角“凹”进去的四边形，其性质有：凹四边形中最大内角外面的角等于其余三个 内角之和． （即如图 1，∠DB=∠＋∠B＋∠ ）理由如下： 方法一：如图 2，连接 B，则在△B 中，∠+∠B+∠B=180°，即∠1+ 2+ 3+ 4+ =180° ∠ ∠ ∠ ∠ ，又∵在△BD 中， ∠1+ 2+ ∠ ∠DB=180°，∴∠DB= 3+ 4+ ∠ ∠ ∠， 即∠DB=∠D+∠BD+∠． 方法二：如图 3，连接 D 并延长至 F，∵∠1 和∠3 分别是△D 和△BD 的一个外角， 大家在探究的过程中，还发现有很多方法可以证明这一结论，你有自己的方法吗？ 任务：(1)填空：“方法一”主要依据的一个数学定理是 ； (2)探索：根据“方法二”中辅助线的添加方式，写出该证明过程的剩余部分； (3)应用：如图 4，E 是∠D 的平分线，BF 是∠BD 的平分线，E 与 BF 交于 G， 若∠DB=150°，∠GB=110°， 请你直接写出∠ 的大小． 例2．（2023·广东河源·八年级校考期末）（1）模型探究：如图1 所示的“镖形”图中，请探究 与 、 、 的数量关系并给出证明；（2）模型应用：如图2， 平分 ， 平分 ， ， ，请直接写出 的度数． 例3．（2022 秋·广西八年级期中）如图， ， 的角平分线交于点 ，若 ， ， 则 的度数（ ） ． B． ． D． 例4（2023·广东·八年级期中）如图，在三角形B 中， ，为三角形内任意一点，连结P，并 延长交B 于点D 求证：（1） ；（2） 例5．（2023·福建三明·八年级统考期末）如图1 所示的图形，像我们常见的符号——箭号．我们不妨把这 样图形叫做“箭头四角形”． 探究：（1）观察“箭头四角形”，试探究 与 、 、 之间的关系，并说明理由； 应用：（2）请你直接利用以上结论，解决以下两个问题： ①如图2，把一块三角尺 放置在 上，使三角尺的两条直角边 、 恰好经过点 、 ，若 ，则 ；②如图3， 、 的2 等分线（即角平分线） 、 相交于点 ，若 ， ，求 的度数； 拓展：（3）如图4， ， 分别是 、 的2020 等分线（ ），它们的 交点从上到下依次为 、 、 、…、 ．已知 ， ，则 度． 模型2、风筝模型（鹰爪模型）或角内翻模型 图1 图2 1）风筝（鹰爪）模型：结论：∠+ = 1+ 2 ∠∠ ∠； 2）风筝（鹰爪）模型（变形）：结论：∠+ = 2- 1 ∠∠ ∠。 例1．（2023·四川达州·八年级期末）如图， ， ， 分别是四边形 的外角，判定下列大小关 系：① ；② ；③ ；④ ． 其中正确的是 ．（填序号） 例2．（2023 春·河南南阳·八年级统考期末）请阅读下列材料，并完成相应任务． 在数学探究课上，老师出了这样一个题：如图1，锐角 内部有一点D，在其两边 和 上各取任 意一点E，F，连接 ．求证： ． 小丽的证法 小红的证法 证明： 如图2，连接 并延长至点M， ， （ 依据 ） ， 又∵ ， ， ∴ ． 证明： ∵ ， （量角器测量所得）， ∴ ， （计算所得）． ∴ （等量代 换）． 任务：(1)小丽证明过程中的“依据”是指数学定理：________________________； (2)下列说法正确的是____________． ．小丽的证法用严谨的推理证明了该定理 B．小丽的证法还需要改变 的大小，再进行证明，该定理的证明才完整 ．小红的证法用特殊到一般的方法证明了该定理 D．小红的证法只要将点D 在 的内部任意移动100 次，重新测量进行验证，就能证明该定理 (3)如图，若点D 在锐角 外部， 与 相交于点G，其余条件不变，原题中结论还成立吗？若成 立，请说明理由；若不成立，请探索 之间的关系． 例3．（2022 秋·山东青岛·八年级统考期末）三角形内角和定理告诉我们：三角形三个内角的和等于 如何证明这个定理呢？我们知道，平角是 ，要证明这个定理就是把三角形的三个内角转移到一个平角 中去，请根据如下条件，证明定理． （1）【定理证明】 已知： 如图①，求证： ． （2）【定理推论】如图②，在 中，有 ，点D 是 延长线上一点，由平角的定 义可得 ，所以 _______，从而得到三角形内角和定理的推论：三角形的外角 等于与它不相邻的两个内角的和． 【初步运用】如图③，点D、E 分别是 的边 延长线上一点． （3）若 ， ，则 _______．（4）若 ，则 _______． 【拓展延伸】如图④，点D、E 分别是四边形 的边 延长线上一点． （5）若 ， ，则 _________． （6）分别作 和 的平分线 ，如图⑤，若 ，则 和 的关系为________ __． （7）分别作 和 的平分线，交于点，如图⑥，求出 ， 和 的数量关系，说明理由． 模型3、角内翻模型 图1 图2 条件：如图1，将三角形纸片B 沿EF 边折叠，当点落在四边形BFE 内部时，结论：2 = 1+ 2 ∠∠ ∠； 条件：如图2，将三角形纸片B 沿EF 边折叠，当点落在四边形BFE 外部时，结论：2 = 2- 1 ∠∠ ∠。 例1．（2023 春·江苏镇江·七年级校考阶段练习）如图， 中， ，将 沿 翻折后，点 落在 边上的点 处，如果 ，那么 的度数为 ． 例2．（2022 秋·辽宁抚顺·八年级统考期末）如图，在 中， ，将 沿直线m 翻折，点B 落在点D 的位置，则 的度数是（ ） ． B． ． D． 例3．（2023 春·重庆黔江·七年级统考期末）如图1， 中， ， ， ．点 是 边上的定点，点 在 边上运动，沿 折叠 ，折叠后点 落在点 处．下面我们来研究折叠 后的 有一边与原三角形 的一边平行时 的值． (1)首先我们来研究边 ．因为 和 的 、 相交，所以只有一种可能的情况（如图2）， ，此时 ． (2)其次，我们来研究边 ．因为点 在 上，所以 可能与 的边 、 边分别平行． 当 时（如下图），则 ． 当 时（如下图），则 ． (3)最后，我们来研究边 ．因为点 在 上，所以 可能与 的边 、 边分别平行． 当 时， ．当 时， ． 例4．（2023·湖北武汉·八年级校考阶段练习）（1）如图，将 沿 折叠，使点 落在 的内部 的点 M 处，当 ， 时，求 的度数； （2）如图，将 沿 折叠，使点 落在 的外部的点 M 处．求图中 ， ， 之间的数量关系；（3）如图 ，将 、 一起沿 折叠，使点 、点B 的对应点 M、 分别落在射线 的左右两侧， ， ， 、 的数量关系 ． (直接写结果，不需要过程） 课后专项训练 1．（2023·四川绵阳·八年级校考期中）如图， 中， ，将 沿 折叠，使得点B 落在 边上的点F 处，若 且 ，则 的度数为（ ） ．30° B．40° ．50° D．60° 2．（2023·河南安阳·八年级校考期中）如图，把△B 纸片沿DE 折叠，当点落在四边形BED 的外部时，则∠ 与∠1 和∠2 之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这个规律，你发现的规律是（ ） ．2∠＝∠1 2 ﹣∠ B．3∠＝2（∠1 2 ﹣∠） ．3∠＝2 1 2 ∠ ∠ ﹣ D．∠＝∠1 2 ﹣∠ 3．（2023 秋·重庆开州·八年级统考期末）如图，将 沿 翻折交 于点 ，又将 沿 翻折， 点 落在 上的 处，其中 ， ，则原三角形中 的度数为（ ） ． B． ． D． 4．（2023·广东八年级课时练习）如图，在 中， ，将 沿直线m 翻折，点B 落在点D 的位置，则 ． 5．（2023·河南平顶山·八年级统考期末）如图，点、B、、D、E 在同一平面内，连接 ，若 ，则 ． 6．（2023 秋·浙江·八年级专题练习）如图，在 中， 是 边上的高，点E，F 分别是 ， 边上的点，连接 ，将 沿着 翻折，使点与 边上的点G 重合，若 ， ，则 的度数为 ． 7．（2023 春·江苏镇江·七年级校考阶段练习）如图， 中， ，将 沿 翻折后，点落 在 边上的点 处，如果 ，那么 的度数为 ． 8．（2023·湖南永州·八年级统考期中）如图，若 ≌ ，且 ， ，则 ． 9．（2023 春·四川·七年级统考期末）在四边形 中， ， ． (1)如图1，若 ，则 __________度； (2)如图2，作 的平分线 交 与点E，若 ，求 的度数； (3)如图3，作 和 的平分线交于点E，求 的度数． 10．（2023·浙江杭州·八年级专题练习）（2018 十三中开学考）已知，在 中，∠=60°， （1）如图①，∠B 和∠B 的角平分线交于点，则∠B= ； （2）如图②，∠B 和∠B 的三等分线分别对应交于点1，2，则 ； （3）如图③，∠B 和∠B 的等分线分别对应交于点1，2，…， （内部有 个点），则 ； （4）如图③，∠B 和∠B 的等分线分别对应交于点1，2，…， ，若 ，求的值． 11．（2023·北京·一模）在课外活动中，我们要研究一种凹四边形——燕尾四边形的性质． 定义1：把四边形的某些边向两方延长，其他各边有不在延长所得直线的同一旁，这样的四边形叫做凹四 边形（如图1）． （1）根据凹四边形的定义，下列四边形是凹四边形的是（填写序号） ； ① ② ③ 定义2：两组邻边分别相等的凹四边形叫做燕尾四边形（如图2）． 特别地，有三边相等的凹四边形不属于燕尾四边形． 小洁根据学习平行四边形、菱形、矩形、正方形的经验，对燕尾四边形的性质进行了探究 下面是小洁的探究过程，请补充完整：（2）通过观察、测量、折叠等操作活动，写出两条对燕尾四边形 性质的猜想，并选取其中的一条猜想加以证明；（3）如图2，在燕尾四边形BD 中，B=D=6，B=D=4， ∠BD=120°，求燕尾四边形BD 的面积（直接写出结果）． 12．（2023·重庆·八年级专题练习）如图①所示是一个飞镖图，连接B，B，我们把四边形BD 叫做“飞镖模 型”． （1）求证： ；（2）如图②所示是一个变形的飞镖图，E 与BF 交于点 D，若 ，求 的度数． 13．（2023·四川达州·中考模拟）箭头四角形,模型规律:如图1，延长交B 于点D，则 ．因为凹四边形B 形似箭头，其四角具有“ ”这 个规律，所以我们把这个模型叫做“箭头四角形”．模型应用: （1）直接应用：①如图2， ．②如图3， 的2 等分线 （即角平分线） 交于点F，已知 ，则 ③如图4， 分别为 的2019 等分线 ．它们的交点从上到下 依次为 ．已知 ，则 度 14．（2022 秋·浙江·八年级期末）如图（1） 是一个三角形的纸片，点D、E 分别是 边上的两 点， 研究（1）：如果沿直线 折叠，写出 与 的关系，并说明理由． 研究（2）：如果折成图2 的形状，猜想 和 的关系，并说明理由． 研究（3）：如果折成图3 的形状，猜想 和 的关系，并说明理由． 15．（2022 秋·河北唐山·八年级校考阶段练习）已知，在四边形BD 中， ． （1）求证： ． （2）如图1，若DE 平分 ，BF 平分 的外角，写出DE 与BF 的位置关系，并证明． （3）如图2，若BF、DE 分别平分 ， 的外角，写出BF 与DE 的位置关系，并证明． 16．（2023 春·江苏淮安·九年级校考阶段练习）我们知道：光线反射时，反射光线、入射光线分别在法线 两侧，反射角等于入射角．如图1， 为一镜面, 为入射光线，入射点为点， 为法线（过入射点且 垂直于镜面 的直线）， 为反射光线,此时反射角 等于入射角 ，由此可知 等于 ． （1）两平面镜 、 相交于点，一束光线从点出发，经过平面镜两次反射后，恰好经过点B． ①如图2，当 为多少度时，光线 ？请说明理由． ②如图3，若两条光线 、 所在的直线相交于点E，延长 发现 和 分别为 一个内角 和一个外角的平分线，则 与 之间满足的等量关系是_______．（直接写出结果） （2）三个平面镜 、 、 相交于点M、，一束光线从点出发,经过平面镜三次反射后，恰好经过点 E，请直接写出 、 、 与 之间满足的等量关系． 17．（2023·江西新余·八年级统考阶段练习）已知，P 为第四象限一动点，Q 为x 轴负半轴上一动点，R 在 下方且为y 轴负半轴上一动点． (1)如图①，若 ， ， ，求 ；(2)如图②，若 、 分别平分 ， P、Q、R 在运动过程中， 是否存在确定的数量关系？若存在，请证明你的结论；若不存在．请 说明理由；(3)如图③，若将R 点改为y 轴正半轴上一动点，且在P、Q 及（2）中的条件不变的前提下， 又有何数量关系？ 18．（2023·山东·八年级假期作业）模型规律：如图1，延长 交 于点D，则 ．因为凹四边形 形似箭头，其四角具有“ ”这个规律，所以我们把这个模型叫做“箭头四角形”． 模型应用：（1）直接应用：①如图2， ，则 __________ ； ②如图3， __________ ； （2）拓展应用：①如图4， 、 的2 等分线（即角平分线） 、 交于点 ，已知 ， ，则 __________ ； ②如图5， 、 分别为 、 的10 等分线 ．它们的交点从上到下依次为 、 、 、…、 ．已知 ， ，则 __________ ； ③如图6， 、 的角平分线 、 交于点D，已知 ，则 __ ________ ； ④如图7， 、 的角平分线 、 交于点D，则 、 、 之间的数量关系为____ ______． 19．（2023 春·山东·七年级校联考期中）实验探究：（1）动手操作： ①如图1，将一块直角三角板 放置在直角三角板 上，使三角板 的两条直角边DE、 分 别经过点 、 ，且 ，已知 ，则 ； ②如图2，若直角三角板 不动，改变等腰直角三角板 的位置，使三角板 的两条直角边 、 仍然分别经过点 、 ，那么 ； （2）猜想证明：如图3， 与 、 、 之间存在着什么关系，并说明理由； （3）灵活应用：请你直接利用以上结论，解决下列问题：①如图4， 平分 ， 平分 ， 若 ， ，求 度数．②如图5， ， 的 等分线相交于点 ，若 ， ，则 的度数为 ． 20．（2023·广东清远·七年级统考期末）（1）如图①，在四边形 中， ， ， ．直接写出 与 ， ， 之间的关系． （2）根据图②中的条件，利用（1）中你得出的结论计算 的度数． （3）如图③，在 中，设 ， 和 的平分线 ， 交于点，过B 作 的平行线 交 的延长线于点 ，试用含 的代数式表示 的度数． 21．（2023·安徽淮北·八年级统考期末）如图，在 中， ，直线 分别交 的边 、 和 的延长线于点D、E、F．(1)若 ，则 ．(2) 、 、 有什么数 量关系？请说明理由． 22．（2023·江苏·八年级专题练习）Rt△B 中，∠＝90°，点D，E 分别是边，B 上的点，点P 是一动点，令 ∠PD＝∠1，∠PEB＝∠2，∠DPE＝∠α． (1)若点P 在线段B 上，如图1 所示，且∠α＝50°，则∠1+ 2 ∠＝ °； (2)若点P 在边B 上运动，如图2 所示，则∠α、∠1、∠2 之间的关系为 ； (3)如图3，若点P 在斜边B 的延长线上运动(E＜D)，请写出∠α、∠1、∠2 之间的关系式，并说明理由．