专题02 三角形中的倒角模型-飞镖模型、风筝模型、角内翻模型（解析版）

专题02 三角形中的倒角模型-飞镖模型、风筝模型、角内翻模型 近年来各地中考中常出现一些几何倒角模型，该模型主要涉及高线、角平分线及角度的计算（内角和 定理、外角定理等）。熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题就飞镖型、风筝模型 进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 模型1、“飞镖”模型（“燕尾”模型） 图1 图2 图3 条件：如图1，凹四边形BD； 结论：① ；② 。 条件：如图2，线段B 平分∠B，线段D 平分∠D； 结论：∠= （∠+∠）。 条件：如图3，线段平分∠DB，线段平分∠BD； 结论：∠= （∠D-∠B）。 飞镖模型结论的常用证明方法： 例1．（2023·重庆·八年级专题练习）请阅读下列材料，并完成相应的任务： 有趣的“飞镖图”：如图，这种形似飞镖的四边形，可以形象地称它为“飞镖图”．当我们仔细观察后发 现，它实际上就是凹四边形．那么它具有哪些性质呢？又将怎样应用呢？下面我们进行认识与探究：凹四 边形通俗地说，就是一个角“凹”进去的四边形，其性质有：凹四边形中最大内角外面的角等于其余三个 内角之和． （即如图 1，∠DB=∠＋∠B＋∠ ）理由如下： 方法一：如图 2，连接 B，则在△B 中，∠+∠B+∠B=180°，即∠1+ 2+ 3+ 4+ =180° ∠ ∠ ∠ ∠ ，又∵在△BD 中， ∠1+ 2+ ∠ ∠DB=180°，∴∠DB= 3+ 4+ ∠ ∠ ∠， 即∠DB=∠D+∠BD+∠． 方法二：如图 3，连接 D 并延长至 F，∵∠1 和∠3 分别是△D 和△BD 的一个外角， 大家在探究的过程中，还发现有很多方法可以证明这一结论，你有自己的方法吗？ 任务：(1)填空：“方法一”主要依据的一个数学定理是 ； (2)探索：根据“方法二”中辅助线的添加方式，写出该证明过程的剩余部分； (3)应用：如图 4，E 是∠D 的平分线，BF 是∠BD 的平分线，E 与 BF 交于 G， 若∠DB=150°，∠GB=110°， 请你直接写出∠ 的大小． 【答】(1)三角形内角和定理（或三角形的内角和等于 180°）；(2)见解析；(3)70° 【分析】（1）根据三角形内角和定理，即可求解；（2）根据三角形外角的性质可得∠1= 2+ ∠ ∠， ∠3= 4+ ∠ ∠B，从而得到∠1+ 3= 2+ + 4+ ∠ ∠ ∠∠ ∠B，即可求证；（3）由（2）可得：∠DB=∠D+∠BD+∠， ∠GB=∠E+∠BF+∠，从而得到∠E+∠BF=110°- ∠，∠D+∠BD=150°-∠，再由E 是∠D 的平分线，BF 是∠BD 的平分线，可得150°- =2 ∠ （110°- ∠），即可求解． 【详解】（1）解：三角形内角和定理（或三角形的内角和等于 180°） （2）证明：连接 D 并延长至 F， 1 ∠和∠2 分别是△D 和△BD 的一个外角，∴∠1= 2+ ∠ ∠，∠3= 4+ ∠ ∠B， 1+ 3= 2+ + 4+ ∴∠ ∠ ∠ ∠∠ ∠B，即∠DB= + ∠∠B+∠B ； （3）解：由（2）得：∠DB=∠D+∠BD+∠，∠GB=∠E+∠BF+∠， ∵∠DB=150°，∠GB=110°，∴∠D+∠BD+ =150° ∠ ，∠E+∠BF+ =110° ∠ ， ∴∠E+∠BF=110°- ∠，∠D+∠BD=150°-∠， ∵E 是∠D 的平分线，BF 是∠BD 的平分线，∴∠D =2∠E，∠BD=2∠BF， ∴∠D+∠BD=2（∠E+∠BF），∴150°- =2 ∠ （110°- ∠），解得：∠=70°． 【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理，三角形外角的性质，有关角平分线的计算，熟练掌握三角 形内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键． 例2．（2023·广东河源·八年级校考期末）（1）模型探究：如图1 所示的“镖形”图中，请探究 与 、 、 的数量关系并给出证明；（2）模型应用：如图2， 平分 ， 平分 ， ， ，请直接写出 的度数． 【答】（1） = + + ，理由见详解；（2）21° 【分析】（1）连接D 并延长到点E，利用三角形的外角的性质求解即可；（2）由（1）可知：∠DB- = + ∠∠∠B=90°，从而得∠ED-∠B= ×90°=45°，结合∠ED+∠E=∠B+∠B，即可求解． 【详解】解：（1） = + + ，理由如下： 连接D 并延长到点E， ∵∠DE＝∠D＋∠，∠BDE＝∠BD＋∠B， ∴∠DE＋∠BDE＝∠D＋∠＋∠BD＋∠B，∴ = + + ． （2）由第（1）题可得： = + + ，∴∠DB-∠B= + ∠∠B=66°+24°=90°， ∵ 平分 ， 平分 ，∴∠ED-∠B= （∠DB-∠）= ×90°=45°， ∵∠DE=∠B，∴∠ED+∠E=∠B+∠B， ∴∠B-∠E=∠ED-∠B=45°，∴∠E=∠B-45°=66°-45°=21°． 【点睛】本题考查三角形的外角的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理，掌握三角形外角的性质， 是解题的关键． 例3．（2022 秋·广西八年级期中）如图， ， 的角平分线交于点 ，若 ， ， 则 的度数（ ） ． B． ． D． 【答】 【分析】法一：延长P 交BD 于E，设、PB 交于F，根据三角形的内角和定理得到∠＋∠BF＋∠FB＝∠P＋ ∠PF＋∠PF＝180°推出∠P＋∠PF＝∠＋∠BF，根据三角形的外角性质得到∠P＋∠PBE＝∠PED，推出∠P＋ ∠PBE＝∠PD−∠D，根据PB、P 是角平分线得到∠PF＝∠PD，∠BF＝∠PBE，推出2∠P＝∠−∠D，代入即可 求出∠P．法二：延长D，与B 交于点E．设与BP 相交于，则∠B＝∠P，可得∠P＋ ∠D＝∠＋ ∠BD，代 入计算即可． 【详解】解：法一：延长P 交BD 于E，设、PB 交于F， ∵∠＋∠BF＋∠FB＝∠P＋∠PF＋∠PF＝180°， ∵∠FB＝∠PF，∴∠P＋∠PF＝∠＋∠BF， ∵∠P＋∠PBE＝∠PED，∠PED＝∠PD−∠D，∴∠P＋∠PBE＝∠PD−∠D， 2 ∴∠P＋∠PF＋∠PBE＝∠−∠D＋∠BF＋∠PD， ∵PB、P 是角平分线∴∠PF＝∠PD，∠BF＝∠PBE，∴2∠P＝∠−∠D ∵∠＝48°，∠D＝10°，∴∠P＝19°． 法二：延长D，与B 交于点E． ∵∠D 是△E 的外角，∠＝48°，∴∠D＝∠＋∠E＝48°＋∠E． ∵∠E 是△BDE 的外角，∴∠E＝∠BD＋∠D＝∠BD＋10°， ∴∠D＝48°＋∠E＝48°＋∠BD＋10°，整理得∠D−∠BD＝58°． 设与BP 相交于，则∠B＝∠P， ∴∠P＋ ∠D＝∠＋ ∠BD，即∠P＝48°− （∠D−∠BD）＝19°．故选 【点睛】本题主要考查对三角形的内角和定理，三角形的外角性质，对顶角的性质，角平分线的性质等知 识点的理解和掌握，能熟练地运用这些性质进行计算是解此题的关键． 例4（2023·广东·八年级期中）如图，在三角形B 中， ，为三角形内任意一点，连结P，并 延长交B 于点D 求证：（1） ；（2） 【详解】（1）∵ ，∴ ∵ ，∴ ，∴ ∵ ，∴ （2）过点 作 ，交 、 于 、 ，则 ， 由（1）知 ∵ ， ∴ 即 （几何证明中后一问常常要用到前一问的结论） 例5．（2023·福建三明·八年级统考期末）如图1 所示的图形，像我们常见的符号——箭号．我们不妨把这 样图形叫做“箭头四角形”． 探究：（1）观察“箭头四角形”，试探究 与 、 、 之间的关系，并说明理由； 应用：（2）请你直接利用以上结论，解决以下两个问题： ①如图2，把一块三角尺 放置在 上，使三角尺的两条直角边 、 恰好经过点 、 ，若 ，则 ；②如图3， 、 的2 等分线（即角平分线） 、 相交于点 ，若 ， ，求 的度数； 拓展：（3）如图4， ， 分别是 、 的2020 等分线（ ），它们的 交点从上到下依次为 、 、 、…、 ．已知 ， ，则 度． 【答】（1） ，理由见详解； （2）①30；②95°；（3） 【分析】（1）连接D 并延长至点E，利用三角形外角的性质得出 左右两边相加即可得出结论； （2）①直接利用（1）中的结论有 ，再把已知的角度代入即可求出答； ②先根据 求出 ，然后结合角平分线的定义再利用 即可求解； （3）先根据 求出 ，再求出 的度数，最 后利用 求解即可． 【详解】（1）如图，连接D 并延长至点E ∵ 又∵ ∴ （2）①由（1）可知 ∵ ， ∴ ②由（1）可知 ∵ ， ∴ 平分 ，F 平分 （3）由（1）可知 ∵ ， ∴ ∵ ， 分别是 、 的2020 等分线（ ） ∴ ∴ 【点睛】本题主要考查三角形外角的性质，角平分线的定义，掌握三角形外角的性质和角平分线的定义是 解题的关键． 模型2、风筝模型（鹰爪模型）或角内翻模型 图1 图2 1）风筝（鹰爪）模型：结论：∠+ = 1+ 2 ∠∠ ∠； 2）风筝（鹰爪）模型（变形）：结论：∠+ = 2- 1 ∠∠ ∠。 例1．（2023·四川达州·八年级期末）如图， ， ， 分别是四边形 的外角，判定下列大小关 系：① ；② ；③ ；④ ． 其中正确的是 ．（填序号） 【答】① 【分析】根据多边形（三角形）的外角和为 即可求解． 【详解】解：如图，连接 ， ∵ ， ， ∴ ，故①正确，②不正确； ∵多边形的外角和是 ，∴ ，故③④不正确，故答为：①． 【点睛】本题主要考查多边形的内角和定理、外角和性质，掌握以上知识，能正确添加辅助线构成三角形 是解题的关键． 例2．（2023 春·河南南阳·八年级统考期末）请阅读下列材料，并完成相应任务． 在数学探究课上，老师出了这样一个题：如图1，锐角 内部有一点D，在其两边 和 上各取任 意一点E，F，连接 ．求证： ． 小丽的证法 小红的证法 证明： 如图2，连接 并延长至点M， ， （ 依据 ） ， 又∵ ， ， ∴ ． 证明： ∵ ， （量角器测量所得）， ∴ ， （计算所得）． ∴ （等量代 换）． 任务：(1)小丽证明过程中的“依据”是指数学定理：________________________； (2)下列说法正确的是____________． ．小丽的证法用严谨的推理证明了该定理 B．小丽的证法还需要改变 的大小，再进行证明，该定理的证明才完整 ．小红的证法用特殊到一般的方法证明了该定理 D．小红的证法只要将点D 在 的内部任意移动100 次，重新测量进行验证，就能证明该定理 (3)如图，若点D 在锐角 外部， 与 相交于点G，其余条件不变，原题中结论还成立吗？若成 立，请说明理由；若不成立，请探索 之间的关系． 【答】(1)三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 (2) (3)不成立， 【分析】（1）连接 并延长至点M，根据三角形外角的性质解答即可； （2）按照定理的证明的一般步骤，从已知出发经过量角器测量，计算，证明，即可得答； （3）根据三角形外角的性质得 ， ，整理可得答 【详解】（1）小丽证明过程中的“依据”是指数学定理：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角 的和； （2）根据定理证明的一般步骤，从已知出发经过量角器测量，计算，证明，故正确； （3）不成立， 是 的一个外角， ， 为 的一个外角， ， （或 ）． 【点睛】本题考查了三角形的外角，解题的关键是掌握三角形外角的性质：三角形的一个外角等于和它不 相邻的两个内角的和． 例3．（2022 秋·山东青岛·八年级统考期末）三角形内角和定理告诉我们：三角形三个内角的和等于 如何证明这个定理呢？我们知道，平角是 ，要证明这个定理就是把三角形的三个内角转移到一个平角 中去，请根据如下条件，证明定理． （1）【定理证明】 已知： 如图①，求证： ． （2）【定理推论】如图②，在 中，有 ，点D 是 延长线上一点，由平角的定 义可得 ，所以 _______，从而得到三角形内角和定理的推论：三角形的外角 等于与它不相邻的两个内角的和． 【初步运用】如图③，点D、E 分别是 的边 延长线上一点． （3）若 ， ，则 _______．（4）若 ，则 _______． 【拓展延伸】如图④，点D、E 分别是四边形 的边 延长线上一点． （5）若 ， ，则 _________． （6）分别作 和 的平分线 ，如图⑤，若 ，则 和 的关系为________ __． （7）分别作 和 的平分线，交于点，如图⑥，求出 ， 和 的数量关系，说明理由． 【答】（1）见解析；（2） ；（3） ；（4） ；（5） ；（6） ；（7） ，理由见解析 【分析】（1）过点 作 ，根据平行线的性质和平角的定义解决． （2）根据三角形内角和定理和平角的定义即可解答． （3）三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和即可解答； （4）根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和可得 ， 根据三角形的内角和定理得 ，以此即可求解． （5）连接 ，根据三角形内角和定理的推论即可解答． （6）过点 作 ，由（1）可知， ，则 ，根据平行线和角平分线的性质可得 ，则 ，以此即可求解． （7）由（1）可知， ，则 ，根据角平分线 的性质和四边形的内角和为 即可求解． 【详解】（1）证明：如图，过点 作 ， ∵ ， ， ， ， ． （2） ， ， ．故答为： ． （3） ， ， ， ；故答为： ； （4） ， ， ， ， ， ．故答为： ． （5）如图，连接 ， ， ， ， ， ， ．故答为： ． （6）如图，过点 作 ，则 ， 由（1）知， ， ， ， ， ， ， 、 分别是 和 ， ， ， ．故答为： ． （7） ，理由如下： 由（1）知， ， ， 、 分别为 和 的角平分线， ， ， ， ， ，即 ． 【点睛】本题考查三角形内角和定理的证明、三角形外角的性质、平行线的性质、角平分线的性质，根据 题干作出正确的辅助线是解题关键． 模型3、角内翻模型 图1 图2 条件：如图1，将三角形纸片B 沿EF 边折叠，当点落在四边形BFE 内部时，结论：2 = 1+ 2 ∠∠ ∠； 条件：如图2，将三角形纸片B 沿EF 边折叠，当点落在四边形BFE 外部时，结论：2 = 2- 1 ∠∠ ∠。 例1．（2023 春·江苏镇江·七年级校考阶段练习）如图， 中， ，将 沿 翻折后，点 落在 边上的点 处，如果 ，那么 的度数为 ． 【答】 【分析】根据翻折性质求得 ，再根据三角形的内角和定理求解即可． 【详解】解：由折叠性质得 ， ， ∵ ， ，∴ ， ， ∴ ，故答为： ． 【点睛】本题考查翻折性质，三角形的内角和定理，熟练掌握翻折性质是解答的关键． 例2．（2022 秋·辽宁抚顺·八年级统考期末）如图，在 中， ，将 沿直线m 翻折，点B 落在点D 的位置，则 的度数是（ ） ． B． ． D． 【答】 【分析】由折叠的性质可得 ，再根据外角的性质即可求出结果． 【详解】解：将 沿直线m 翻折，交 于点E、F，如图所示： 由折叠的性质可知： ，根据外角的性质可知： ， ， ， ，故选：． 【点睛】本题考查三角形内角和定理、翻折变换的性质，熟练掌握三角形外角的性质和翻折的性质是解题 的关键． 例3．（2023 春·重庆黔江·七年级统考期末）如图1， 中， ， ， ．点 是 边上的定点，点 在 边上运动，沿 折叠 ，折叠后点 落在点 处．下面我们来研究折叠 后的 有一边与原三角形 的一边平行时 的值． (1)首先我们来研究边 ．因为 和 的 、 相交，所以只有一种可能的情况（如图2）， ，此时 ． (2)其次，我们来研究边 ．因为点 在 上，所以 可能与 的边 、 边分别平行． 当 时（如下图），则 ． 当 时（如下图），则 ． (3)最后，我们来研究边 ．因为点 在 上，所以 可能与 的边 、 边分别平行． 当 时， ．当 时， ． 【答】(1) (2) 或 ； (3) 或 ； 【分析】（1）根据折叠的性质得出 ，再根据外角的性质得出 计算 得出结论即可；（2）当 时，分情况求出 的度数，当 时，根据平行线的性质直接 得出 的度数即可；（3）当 时，分情况求出 的度数，当 时，根据平行线的 性质直接得出 的度数即可． 【详解】（1）解：由题意知， ， ∴ ，故答为： ； （2）解：当 （1）时（如图3）， ∵ ， ，∴ ， ∴ ； 当 （2）时，∵ ， ∴ ，故答为： 或 ； 当 时， ，故答为： ； （3）解：当 时， 或 ，故答为： 或 ； 当 时， ，故答为： ． 【点睛】本题主要考查三角形的综合题，熟练掌握折叠的性质和平行线的性质及三角形内角和是 等知 识是解题的关键． 例4．（2023·湖北武汉·八年级校考阶段练习）（1）如图，将 沿 折叠，使点 落在 的内部 的点 M 处，当 ， 时，求 的度数； （2）如图，将 沿 折叠，使点 落在 的外部的点 M 处．求图中 ， ， 之间的数量关系；（3）如图 ，将 、 一起沿 折叠，使点 、点B 的对应点 M、 分别落在射线 的左右两侧， ， ， 、 的数量关系 ． (直接写结果，不需要过程） 【答】（1） ，（2） ，（3） 【分析】（1）根据翻折的性质表示出 、 ，再根据三角形的内角和定理列式整理即可得 ，问题随之得解；（2）先根据翻折的性质以及平角的定义表示出 、 ，再根据三角形 的内角和定理列式整理即可得解；（3）先根据翻折的性质表示出 、 ，再根据四边形的内角和定理 列式整理即可得解． 【详解】解：（1）如图， ， ， ， ， ∵翻折，∴ ， ， ∵ ， ， ， ∴ ，整理得， ， ∵ ， ，∴ ，即 ； （2）如图， ， ， ， ， ∵翻折，∴ ， ， ∵ ，∴ ， 整理得， ，即 ；故答为： ； （3）如图， ， ， ， ， ∵翻折，∴ ， ， ∵ ，∴ ， 整理得， ，即 ． 【点睛】本题主要考查了