专题05 三角形中的倒角模型之双角平分线（三角形）模型解读与提分精练（全国通用）（原卷版）

专题05 三角形中的倒角模型之双角平分线（三角形）模型 近年来各地考试中常出现一些几何倒角模型，该模型主要涉及高线、角平分线及角度的计算（内角和 定理、外角定理等）。熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角。本专题就三类双角平分线模 型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 大家在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的证明思路及方法，导致本末倒 置。要知道数学题目的考察不是一成不变的，学数学更不能死记硬背，要在理解的基础之上再记忆，这样 才能做到对于所学知识的灵活运用，并且更多时候能够启发我们解决问题的关键就是基于已有知识、方法 的思路的适当延伸、拓展，所以学生在学习几何模型要能够做到的就是：①认识几何模型并能够从题目中 提炼识别几何模型；②记住结论，但更为关键的是记住证明思路及方法；③ 明白模型中常见的易错点，因 为多数题目考察的方面均源自于易错点。当然，以上三点均属于基础要求，因为题目的多变性，若想在几 何学习中突出，还需做到的是，在平时的学习过程中通过大题量的训练，深刻认识几何模型，认真理解每 一个题型，做到活学活用！ .................................................................................................................................................2 模型1 双角平分线模型（双内角）...............................................................................................................2 模型2 双角平分线模型（一内角一外角）...................................................................................................5 模型3 双角平分线模型（双外角）...............................................................................................................7 ...............................................................................................................................................10 模型1 双角平分线模型（双内角） 双角平分线模型1：当这两个角为内角时，这夹角等于90°与第三个角的一半的和。 1）两内角平分线的夹角模型 图1 图2 图3 条件：如图1，在△B 中，∠B 和∠B 的平分线BP，P 交于点P；结论： 。 证明：∵∠B 和∠B 的平分线BP，P 交于点P，∴ ， 。 ∠ ∴ P=180°-（∠PB+∠PB）=180°- （∠B+∠B）=180°- （180°-∠）=90°+ ∠。 2）凸多边形双内角平分线的夹角模型1 条件：如图2，BP、P 平分∠B、∠DB，两条角平分线相交于点P；结论：2∠P=∠+∠D。 证明：∵BP、P 平分∠B、∠DB，∴ ， 。 ∠ ∴ P=180°- （∠PB+∠PB ）=180°- （∠B+∠DB ）=180°- （360°-∠-∠D ）= （∠+∠D ）。即： 2∠P=∠+∠D。 3）凸多边形双内角平分线的夹角模型2 条件：如图3，P、DP 平分∠BD、∠DE，两条角平分线相交于点P；结论： 。 证明：∵P、DP 平分∠BD、∠DE，∴ ， 。 ∠ ∴ P=180°-（∠PD+∠PD）=180°- （∠BD+∠DE）=180°- （540°-∠-∠D-∠E）=∠+∠D+∠E-90°。即： 2∠P=∠+∠D+∠E-180°。 例1．（2023 秋·安徽阜阳·八年级统考期中）如图，在 中，点 是 内一点，且点 到 三 边的距离相等，若 ，则 ． 例2．（2023 秋·山西太原·八年级校考期末）已知：如图， 是 内一点，连接 ， ． (1)猜想： 与 、 、 存在怎样的等量关系？证明你的猜想．(2)若 ， 、 分别是 、 的三等分线，直接利用（1）中结论，可得 的度数为 ． 例3．（2023 秋·河南濮阳·八年级校考期末）模型认识：我们学过三角形的内角和等于 ，又知道角平 分线可以把一个角分成大小相等的两部分，接下来我们就利用上述知识进行下面的探究活动． 如图①，在 中， 、 分别是 和 的角平分线． 解决问题：(1)若 ， ，则 ______；（直接写出答） (2)若 ，求出 的度数； 拓展延伸：(3)如图②，在四边形 中， 、 分别是 和 的角平分线，直接写出 与 的数量关系． 例4．（23-24 八年级·山东青岛·期末）【基础探究1】（1）如图1， 中， 平分 ， 平分 ，探求 与 之间的数量关系； 【基础探究2】（2）如图2， 中， 、 是 的三等分线， 、 是 的三等分线， 则 与 之间的数量关系是______； 【基础探究3】（3）如图3， 中， 、 、 是 的四等分线， 、 、 是 的四等分线，则 与 之间的数量关系是______； 【拓展与探究】（4）如图4， 中， 、 、……、 、 是 的 等分线， 、 、 ……、 、 是 的 等分线，请用一个等式表示 、 、 三者之间的数量关 系是______； 【探究与应用】（5） 中， 、 、……、 是 的2024 等分线， 、 、……、 是 的2024 等分线，若 与 的和是 的7 倍，则 ______ ． 模型2 双角平分线模型（一内角一外角） 双角平分线模型2：当这两个角为一个内角和一个外角时，这夹角等于第三个角的一半。 图1 图2 1）一个内角一个外角平分线的夹角模型 条件：如图1，在△B 中，BP 平分∠B，P 平分∠B 的外角，两条角平分线相交于点P；结论： ． 证明：∵BP、P 平分∠B、∠D，∴ ， 。 ∠ ∴ P=∠PD-∠PB= （∠D-∠B）= ∠。 2）一个内角一个外角平分线的夹角模型（累计平分线） 条件：如图2， ，∠B、∠D 的平分线相交于点 ， 的平分线相交于点 ， ， 的平分线相交于点 ……以此类推；结论： 的度数是． 证明：∵BP1、P1平分∠B、∠D，∴ ， 。 ∠ ∴ P1=∠P1D-∠P1B= （∠D-∠B）= ∠= 。同理：∠P2= ∠P1= ，∠P= 1．（2023·浙江·八年级假期作业）如图， 平分 ，点 是射线 ， 上的点，连接 ． 按以下步骤作图： ①以点 为圆心，任意长为半径作弧，交 于点 ，交 于点 ； ②分别以点 和点 为圆心，大于 长为半径作弧，两弧相交于点 ； ③作射线 ，交 于点 ．若 ， ，则 的度数为（ ） ． B． ． D． 例2．（2023·河北·九年级专题练习）问题情境：如图1，点D 是△B 外的一点，点E 在B 边的延长线上， BD 平分∠B，D 平分∠E．试探究∠D 与∠的数量关系． (1)特例探究：如图2，若△B 是等边三角形，其余条件不变，则∠D＝ ； 如图3，若△B 是等腰三角形，顶角∠＝100°，其余条件不变，则∠D＝ ；这两个图中，与∠度数的比是 ；(2)猜想证明：如图1，△B 为一般三角形，在（1）中获得的∠D 与∠的关系是否还成立？若成立，利用图 1 证明你的结论；若不成立，说明理由． 例3．（2023 春·浙江·七年级专题练习）∠D 是△ 的外角， 的平分线与 的平分线交于点 ， 的平分线与 的平分线交于点 ，…， 的平分线与 的平分线交于点． 设∠＝ ．则 ＝ ，∠2021＝ ． 模型3 双角平分线模型（双外角） 双角平分线模型3：当这两个角为外角时，这夹角等于90°与第三个角的一半的差。 E D C B A 图1 图2 图3 1）两外角平分线的夹角模型 条件：如图1，在△B 中，B，是△B 的外角平分线；结论： ． 证明：∵B、平分∠BE、∠BF，∴ ， 。 ∠ ∴ =180°-（∠B+∠B）=180°- （∠EB+∠BF）=180°- （∠+∠B+∠B+∠） =180°- （180°+∠）=90°+ ∠。 2）旁心模型 旁心：三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点 条件：如图2，BD 平分∠B，D 平分∠B 的外角，两条角平分线相交于点D；结论：D 平分∠D。 证明：如图3，过点D 作DM⊥B、D⊥、D⊥B， ∵BD 平分∠B，D 平分∠B 的外角，∴D=DM，D=D，∴DM=D，∴D 平分∠D。, 例1．（2023 广东八年级期中）如图，在△B 中，∠B＝46°，三角形的外角∠D 和∠F 的平分线交于点E，则 ∠E＝ ． 例2．（2023·安徽宿州·八年级校联考期末）（1）如图（）， 平分 ， 平分 ①当 时，求 的度数②猜想 与 有什么数量关系？并证明你的结论 （2）如图（b）， 平分外角 ， 平分外角 ，（1）中②的猜想还正确吗？如果不正确， 请你直接写出正确的结论（不用写出证明过程） 例3．（2023 秋·贵州遵义·八年级校考阶段练习）如图（1）， ， 是 的外角， 的 平分线所在直线与 的平分线 交于点D，与 的平分线 交于点E．(1)若 ，则 度；(2)若 ，求∠E 的度数；(3)在图（1）的条件下，沿 作射线 ，连接 ，如图 （2）．求证： 平分 ． 例4．（2023·甘肃天水·七年级统考期末）已知在△B 中，图1，图2，图3 中的△B 的内角平分线或外角平 分线交于点， （1）如图1，点是△B 的两个内角平分线的交点，猜想∠与∠之间的数量关系，并加以证明． （2）请直接写出结果．如图2，若 ，△B 的内角平分线与外角平分线交于点，则∠＝________； 如图3，若 ，△B 的两个外角平分线交于点，则∠＝_________． 1．（2023 春·山东泰安·七年级统考期末）如图， 的外角 的平分线 与内角 的平分线 交与点P，若 ，则 （ ） ． B． ． D． 2．（2023·江苏·八年级统考期末） 中，点 是 内一点，且点 到 三边的距离相等； ，则 ． B． ． D． 3．（2023 秋·四川绵阳·八年级统考期末）如图，在△B 中，∠＝30°，E 为B 延长线上一点，∠B 与∠E 的平 分线相交于点D，则∠D 等于（ ） ．10° B．15° ．20° D．30° 4．（2023 春·广东·七年级专题练习）如图，已知△B，是△B 内的一点，连接B、，将∠B、∠分别记为∠1、 ∠2，则∠1、∠2、∠、∠四个角之间的数量关系是（ ） ．∠1+∠0=∠+∠2 B．∠1+∠2+∠+∠=180° ．∠1+∠2+∠+∠=360° D．∠1+∠2+∠=∠ 5（2023 广东七年级期中）在四边形 中， 的平分线与 的平分线交于点 ，若 ，则 （ ） ． B． ． D． 6．（2023 春·福建漳州·七年级统考期末）如图，在 中， 是角平分线， 是边 上的高，延长 与外角 的平分线交于点 ．以下四个结论：① ；② ；③ ；④ ．其中结论正确的个数是（ ） ．1 B．2 ．3 D．4 7．（2023·辽宁营口·八年级校考阶段练习）如图，∠D 是△B 的外角，∠B 的平分线与∠D 的平分线交于点 1，∠1B 的平分线与∠1D 的平分线交于点2，…，∠﹣1B 的平分线与∠﹣1D 的平分线交于点．设∠= ．则： （1）∠1= ；（2）∠= ． 8．（2023 春·成都市七年级课时练习）如图在△B 中，B，分别平分∠B，∠B，交于，E 为外角∠D 的平分线， 交B 的延长线于点E，记 ， ，则以下结论① ，② ，③ ，④ ，正确的是 ．（把所有正确的结论的序号写在横线上） 9．（2023 秋·安徽阜阳·八年级统考期中）如图，在 中，点 是 内一点，且点 到 三边 的距离相等，若 ，则 ． 10．（2023 秋·北京大兴·八年级统考期末）如图，在 中， ， 的平分线与外角 的平分线相交于点M，作 的延长线得到射线 ，作射线 ，有下面四个结论： ① ；② ；③射线 是 的角平分线；④ ． 所有正确结论的序号是 ． 11．（2023 春·河南郑州·七年级校考期末）如图，已知在 中， ． (1)分别作 ， 的平分线，它们交于点 （尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)当 时， 的度数为 ．(3)当 时， 的度数为 ． 12．（2023·成都市·八年级专题练习）在 中， ，线段 、 分别平分 、 交于点G．(1)如图1，求 的度数；(2)如图2，求证： ；(3)如图3，过点作 交 延长线于点D，连接 ，点在 延长线上，连接 交 于点 ，使 ，若 ， ，求线段 的长． 13．（2023 秋·山东·八年级专题练习）如图，在 中， ， 是 ， 平分线的交 点．(1) ；(2)若 是两条外角平分线的交点，则 ；(3)在（2）的条件下，若 是 内角 和外角 的平分线的交点，试探索 与 的数量关系，并说明理由． 14．（2022 春·湖北十堰·七年级统考期末）在三角形中，由三角形的内角平分线所形成的角存在一定的规 律，理解并掌握其中的规律，有助于同学们巩固相关的数学知识． 如图1， 中， 分别平分 ，且相交于点 “勤奋小组”的同学发现: ．证明过程如下: 证明:如图2，连接 并延长， 则 (依据1) 与 分别平分 又 ，(依据2) ． 依据1 是 ___，依据2 是 __； 如图3，在图1 的基础上，作 的角平分线 交于 点 试探究 与 之间的数量关系． 15．（2023 秋·山西朔州·八年级统考阶段练习）（1）【情境引入】如图1， ， 分别是 的内角 ， 的平分线，说明 的理由． （2）【深入探究】①如图2， ， 分别是 的两个外角 ， 的平分线， 与 之 间的等量关系是_________； ②如图3， ， 分别是 的一个内角 和一个外角 的平分线． ， 交于点D，探 究 与 之间的等量关系，并说明理由． （3）【拓展应用】请用以上结论解决下列问题：如图4，在 中， ， 分别平分 ， ． M，，Q 分别在 ， ， 的延长线上， ， 分别平分 ， ， ， 分别平分 ， ．若 ，则 的度数是________． 16．（2023·江苏镇江·七年级校考期中）（1）如图1，B、分别是 中 和 的平分线，则 与 的关系是______（直接写出结论）； （2）如图2，B、分别是 两个外角 和 的平分线，则 与 的关系是______，请 证明你的结论．（3）如图3，B、分别是 一个内角和一个外角的平分线，则 与 的关系是_ _____，请证明你的结论．（4）利用以上结论完成以下问题：如图4，已知： ，点、B 分别是 射线F、D 上的动点， 的外角 的平分线与内角 的平分线相交于点P，猜想 的大小 是否变化？请证明你的猜想． 17．（2023·天津河西·八年级期中）探究一：已知：如图1， 与 分别为 的两个外角． 试探究 与 的数量关系_____(即列出一个含有 ， ， 的等式，直接写出 答即可)； 探究二：已知：如图2，在 中， 分别平分 和 ，求： 与 的数量关系； 探究三：若将探究2 中的 改为任意四边形 呢？ 即：如图3，在四边形 中， 分别平分 和 ，试利用上述结论探究 与 的数量关系． 18．（2023·山东济南·校考模拟预测）如图1，在△B 中，∠B 的平分线D 与∠B 的平分线E 交于点．(1)求证： ∠＝90°＋ ∠B；(2)当∠B＝90°时，且＝3D（如图2），判断线段E，D，之间的数量关系，并加以证明． 19．（2024·安徽安庆·八年级统考期末）如图，在 中， 和 的平分线相交于点 ，过点 作 交 于 ，交 于 ，过点 作 于 （1）求证： （2）求证： （3）若 ， ，请用含 ， 的代数式表示 的面积， ___________（直接写出结果） 20．（2023 秋·湖北武汉·八年级统考期末）如图，已知 中， ， ， 分别平分 和 ． (1)如图（1），求 的度数；(2)如图（2），延长 交 于 ，作 交 于 ，作 交 的延长线于 ，垂足为 ，求证： ； (3)如图（3），若 ， 是边 所在直线上一点，分别关于 ， 作 的对称点 ， ， 它们到直线 的距离分别记作 和 ．①若点 在边 上，直接写出 的最大值； ②若点 在 的延长线上，取十个特殊的 点，使十个对应的 值依次为 ， ，…， 这 十个自然数，对应的 的值分别记作 ， ，…， ．直接写出 的和． 21．（23-24 七年级下·河南洛阳·期末）已知直线 与 互相垂直，垂足为，点在射线 上运动，点B 在射线 上运动，点，B 均不与点重合． (1)如图1， 平分 ， 平分 ， 交 于，则 ______°． (2)如图2， 平分 交 于点， 平分 ， 的反向延长线交 的延长线于点D． ①直接写出，则 ______°．②在点，B 的运动过程中， 的大小是否会发生变化？若不变， 求出 的度数；若变化，请说明理由．