专题05 三角形中的倒角模型-双角平分线（三角形）模型（原卷版）

专题05 三角形中的倒角模型-双角平分线（三角形）模型 模型1、双角平分线模型 图1 图2 图3 1）两内角平分线的夹角模型 条件：如图1，在△B 中，∠B 和∠B 的平分线BE，F 交于点G；结论： ． 2）两外角平分线的夹角模型 条件：如图2，在△B 中，B，是△B 的外角平分线；结论： ． 3）一个内角一个外角平分线的夹角模型 条件：如图3，在△B 中，BP 平分∠B，P 平分∠B 的外角，两条角平分线相交于点P；结论： ． 图4 图5 图6 4）凸多边形双内角平分线的夹角模型 条件：如图4，BP、P 平分∠B、∠DB，两条角平分线相交于点P；结论： 5）两内角平分线的夹角模型 条件：如图5，BP、DP 平分∠BD、∠DE，两条角平分线相交于点P；结论： 6）一个内角一个外角平分线的夹角模型（累计平分线） 条件：如图6， ， 的平分线相交于点 ， 的平分线相交于点 ， ， 的平分线相交于点 ……以此类推；结论： 的度数是． 7）旁心模型 旁心：三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点 E D C B A h1 h2 h3 E D C B A 条件：如图，BD 平分∠B，D 平分∠B 的外角，两条角平分线相交于点D；结论：D 平分∠D 例1．（2022 秋·安徽阜阳·八年级统考期中）如图，在 中，点 是 内一点，且点 到 三 边的距离相等，若 ，则 ． 例2．（2022·湖北十堰·八年级统考期末）如图，在五边形BDE 中， ，DP，P 分别平分 ， ，则 的度数是 ． 例3．（2023·山东济南·校考模拟预测）如图1，在△B 中，∠B 的平分线D 与∠B 的平分线E 交于点．(1)求 证：∠＝90°＋ ∠B；(2)当∠B＝90°时，且＝3D（如图2），判断线段E，D，之间的数量关系，并加以证 明． 例4．（2023 秋·成都市·八年级专题练习）如图，在 中， ，三角形两外角的角平分线交于点 E，则 ． 例5．（2023·湖北·八年级专题练习）如图，已知在 中， 、 的外角平分线相交于点 ，若 ， ，求 的度数 例6．（2023·辽宁葫芦岛·八年级统考期中）如图，D、BD 分别平分∠E、∠B，∠＝70°，则∠BD＝（ ） ．35° B．25° ．70° D．60° 例7．（2022 秋·八年级课时练习）如图， 和 分别是 的内角平分线和外角平分线， 是 的平分线， 是 的平分线， 是 的平分线， 是 的平分线，……以此类 推，若 ，则 ． 例8．（2023 春·成都市七年级课时练习）如图在△B 中，B，分别平分∠B，∠B，交于，E 为外角∠D 的平分 线，交B 的延长线于点E，记 ， ，则以下结论① ，② ，③ ，④ ，正确的是 ．（把所有正确的结论的序号写在横线上） 例9．（2023 秋·广东佛山·八年级校考期末）（1）如图1 所示，在 中， 和 的平分线将 于点，则有 ，请说明理由． （2）如图2 所示，在 中，内角的平分线 和外角 的平分线交于点，请直接写出 与 之间的关系，不必说明理由． （3）如图3 所示，P，BP 分别平分 ， ，则有 ，请说明理由． （4）如图4 所示，P，BP 分别平分 ， ，请直接写出 与 ， 之间的关系，不必说 明理由． 课后专项训练 1．（2023·成都·八年级月考）如图， 的外角 的平分线 与内角 的平分线 交于点 ，若 ，则 ． B． ． D． 2．（2023 秋·绵阳市·八年级专题练习）如图，在 中， ， ，点E 在 的延 长线上， 的平分线 与 的平分线 相交于点D，连接 ，下列结论中不正确的是（ ） ． B． ． D． 3．（2022 春·北京海淀·七年级校考期中）如图，在平面直角坐标系中，直线B 与y 轴在正半轴、x 轴正半 轴分别交、B 两点，点在B 的延长线上，D 平分∠，BD 平分∠B，则∠D 的度数是（ ） ．30° B．45° ．55° D．60° 4．（2022 秋·河北张家口·八年级统考阶段练习）如图，点 在 内，且到三边的距离相等，连接 ．若 ，则 的度数是（ ） ． B． ． D． 5．（2022 秋·四川绵阳·八年级统考期末）如图，在△B 中，∠＝30°，E 为B 延长线上一点，∠B 与∠E 的平 分线相交于点D，则∠D 等于（ ） ．10° B．15° ．20° D．30° 6．（2023 春·福建漳州·七年级统考期末）如图，在 中， 是角平分线， 是边 上的高，延长 与外角 的平分线交于点 ．以下四个结论：① ；② ；③ ；④ ．其中结论正确的个数是（ ） ．1 B．2 ．3 D．4 7．（2022 秋·贵州遵义·八年级校考阶段练习）如图， 中， ， ， 的平 分线与外角 的平分线交于点E，连接 ，则 的度数为 ． 8．（2023 春·江苏南通·七年级统考阶段练习）如图， 和 分别是 的内角平分线和外角平分线， 是 的平分线， 是 的平分线， 是 的平分线， 是 的平分线，若 ，则 ． 9．（2022 秋·北京大兴·八年级统考期末）如图，在 中， ， 的平分线与外角 的平分线相交于点M，作 的延长线得到射线 ，作射线 ，有下面四个结论： ① ；② ；③射线 是 的角平分线；④ ． 所有正确结论的序号是 ． 10．（2023 春·河北·七年级专题练习）如图，在△B 中，∠B 和∠B 的角平分线交于点，延长B 与∠B 的外角平 分线交于点D，若∠B＝130°，则∠D＝ 11．（2023·浙江杭州·八年级期末）如图，在四边形 中， ， 的平分线与 的平分线交于点 ，则 ．（用含字母 的代数式表示） 12．（2023 春·河南·七年级专题练习）如图，点M 是△B 两个内角平分线的交点，点是△B 两外角平分线的 交点，如果∠MB：∠B＝3：2，那么∠B＝ ． ABCD A D m   ABC  BCD  P P   m 13．（2023·黑龙江八年级课时练习）（1）如图（1）所示，已知在△B 中，为∠B 和∠B 的平分线B，的交 点．试猜想∠B 和∠的关系，并说明理由．（2）如图（2）所示，若为∠B 的平分线B 和∠E 的平分线的交点， 则∠B 与∠的关系又该怎样？为什么？ 14．（2023·北京昌平·八年级校考阶段练习）认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹角的探究片段， 完成所提出的问题 探究1：如图l，在△B 中，是∠B 与∠B 的平分线B 和的交点，通过分析发现∠B=90 + , ∠理由如下： B ∵和分别是∠B 和∠B 的角平分线 1= ∠ B, 2= ∠ ∠ B ∠ l+ 2= ∴∠∠ ( B+ B)= ∠ ∠ (180 - )= 90 ∠ - ∠ B=180 ∴∠ -( 1+ 2) =180 ∠ ∠ -(90 - )=90 ∠ + ∠ (1)探究2；如图2 中，是 ∠B 与外角 ∠D 的平分线B 和的交点，试分析∠B 与∠有怎样的关系？请说明理 由． (2)探究3：如图3 中, 是外角∠DB 与外角∠EB 的平分线B 和的交点，则∠B 与∠有怎样的关系？（直接写出结 论） (3)拓展：如图4，在四边形BD 中，是∠B 与∠DB 的平分线B 和的交点，则∠B 与∠+ D ∠ 有怎样的关系？（直 接写出结论） 15．（2023 春·江苏无锡·七年级校考阶段练习）如图1，点、B 分别在射线M、上运动（不与点重合），、 B 分别是∠B 和∠B 的角平分线，B 延长线交M 于点G． （1）若∠M＝60°，则∠G＝ °；若∠M＝90°，则∠G＝ °； （2）若∠M＝°，请求出∠G 的度数；（用含的代数式表示）（3）如图2，若∠M＝°，过作直线与B 交于 F，若F∥时，求∠BG－∠F 的度数．（用含的代数式表示）． 16．（2023·山西晋城·七年级统考期末）在△B 中，已知∠＝α． （1）如图1，∠B、∠B 的平分线相交于点D． ①当α＝70°时，∠BD 度数＝ 度（直接写出结果）； ②∠BD 的度数为 （用含α 的代数式表示）； （2）如图2，若∠B 的平分线与∠E 角平分线交于点F，求∠BF 的度数（用含α 的代数式表示）． （3）在（2）的条件下，将△FB 以直线B 为对称轴翻折得到△GB，∠GB 的角平分线与∠GB 的角平分线交 于点M（如图3），求∠BM 的度数（用含α 的代数式表示）． 17．（2023·江苏连云港·七年级统考期中）在数学学习过程中，对有些具有特殊结构，且结论又具有一般 性的数学问题我们常将其作为一个数学模型加以识记，以积累和丰富自己的问题解决经验． 【结论发现】小明在处理材第43 页第21 题后发现：三角形的一个内角平分线与另一内角的外角平分线的 夹角的度数是三角形第三内角度数的一半． 【结论探究】（1）如图1，在 中，点 是 内角 平分线 与外角 的平分线 的交点，则有 ．请补齐下方的说理过程． 理由如下：因为 ， 又因为在 中， ， 所以 ． 所以 ______．（理由是：等式性质） 同理可得： ______． 又因为 和 分别是 和 的角平分线， 所以 ， ______ ． 所以 ． 即 （ ）． 所以 ． 请直接应用上面的“结论发现”解决下列问题： 【简单应用】（2）如图2，在 中， ．延长 至 ，延长 至 ，已知 、 的角平分线与 的角平分线及其反向延长线交于 、 ，求 的度数； 【变式拓展】（3）如图3，四边形 的内角 与外角 的平分线形成如图所示形状． ①已知 ， ，求 的度数；②直接写出 与 的关系． 18．（2023 春·江苏南京·七年级期中）（1）问题发现： 如图1，在 中， ， 和 的平分线交于 ，则 的度数是______ （2）类比探究： 如图2，在 中， 的平分线和 的外角 的角平分线交于 ，则 与 的关系 是______，并说明理由． （3）类比延伸： 如图3，在 中， 外角 的角平分线和 的外角 的角平分线交于 ，请直接写 出 与 的关系是______． 19．（2023 春·河南周口·七年级统考期末）【基本模型】（1）如图1，在 中， 平分 ， 平分外角 ，试说明 ． 【变式应用】（2）如图2， ，，B 分别是射线 上的两个动点， 与 的平 分线的交点为P，则点，B 的运动的过程中， 的大小是否会发生变化？若不发生变化，请求出其值； 若发生变化，请说明理由． 【拓展应用】（3）如图3， ，作 的平分线 ，是射线 上的一定点，B 是直线 上的任意一点（不与点重合），连接 ，设 的平分线与 的邻补角的平分线的交点为 P，请直接写出 的度数． 20．（2023 春·江苏淮安·七年级统考期末）【定义】在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的3 倍， 我们称这两个角互为“和谐角”，这个三角形叫做“和谐三角形”．例如：在 中， ， ，则 与 互为“和谐角”， 为“和谐三角形”． 【理解】(1)若 为和谐三角形， ，则这个三角形中最小的内角为______°； (2)若 为和谐三角形， ，则这个三角形中最小的内角为______°； (3)已知 是和谐 中最小的内角，并且是其中的一个和谐角，试确定 的取值范围，并说明理由； (4)【应用】如图， 中， ， ， 交 于点F，点D 是 延长线上一点， ，若 是和谐 中的一个和谐角，设 ，则 ______．