专题10 三角形中的重要模型之特殊三角形中的分类讨论模型解读与提分精练（全国通用）（原卷版）

专题10 三角形中的重要模型之特殊三角形中的分类讨论模型 特殊三角形（等腰三角形和直角三角形）的分类讨论模型，是初中各类考试中几何压轴题的常客，并 且形式多样，内容新颖，能较好地考查同学们的应用意识和思维能力。在历年中考当中，很多考生因为在 处理等腰三角形和直角三角形有关的多解问题时，常常考虑不全面，导致漏解丢分。在学习等腰或直角三 角形的性质和判定时，分类讨论的思想尤为重要，希望大家要认真对待。本专题将把特殊三角形分类讨论 情形作系统的归纳与介绍，方便大家对它有个全面的了解与掌握。 .................................................................................................................................................2 模型1 等腰三角形中的分类讨论模型-对角（边）与高的分类讨论模型..................................................2 模型2 等腰三角形中的分类讨论模型-对边的分类讨论模型......................................................................5 模型3 直角三角形中的分类讨论模型-斜边（或直角）不确定的直角三角形模型................................13 模型4 直角三角形中的分类讨论模型-直角三角形存在性模型................................................................15 ...............................................................................................................................................26 模型1 等腰三角形中的分类讨论模型-对角（边）与高的分类讨论模型 1）若等腰三角形没有明确角的种类，要分类讨论；从锐角等腰三角形和钝角等腰三角形的角度入手分顶 角与底角两种情况进行分类讨论。当然有时候已知条件是以边的形式给出，我们讨论顶角和底角与讨论底 和腰的原理相同。 2）若等腰三角形没有明确高的位置，要分类讨论；从锐角等腰三角形和钝角等腰三角形的角度入手分腰 上高与底边高、界内高与界外高两种情况进行分类讨论。 例1．（24-25 九年级上·山东·期末）若等腰 内接于 ， ， ，则 底角 的度数为（ ） ． B． ． 或 D． 或 例2．（2023·四川广元·八年级校联考期中）已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为 ，那么这个 等腰三角形的顶角等于（ ） ． B． 或 ． 或 D． 例3．（2023 春·山东枣庄·八年级校考期中）已知x，y 满足 ，则以，的值为两边长的 等腰三角形的周长是（ ） ．20 或16 B．20 ．16 D．以上答均不对 例4．（2024 八年级上·湖北·专题练习）等腰三角形三边长分别为 ， ， ，则等腰三角形的周 长为（ ） ．10 B．7 或10 ．7 或4 D．10 或7 或4 例5．（24-25 八年级上·浙江嘉兴·阶段练习）等腰三角形一腰上的中线将这个等腰三角形的周长分为 和 两部分，那么这个等腰三角形的底边长是 ． 模型2 等腰三角形中的分类讨论模型-对边的分类讨论模型 1）等腰三角形没有明确边的种类，要分类讨论；结合三角形三边关系分腰与底边两种情况进行分类讨论。 2）坐标系中的等腰三角形的分类讨论。 等腰三角形的两种分类讨论方法 方法1 “两圆一线”；（一般符合“两个定点一个动点”的等腰三角形）。 如图：已知A ，O 两点是定点，在坐标轴上找一点P 构成等腰△OAP 。 ①以已知线段OA 为底作它的垂直平分线，与坐标轴的交点即为点P（有2 个）； ②以已知线段OA 为腰：用线段的两个端点为圆心，线段长为半径，分别作圆。（以O 为圆心的有4 个， 以A 为圆心的有2 个）。具体题目要通过计算这些点的坐标来考虑是否出现重叠现象。 方法2 “三边两两相等分三种情况”讨论，先列出三种情况，再首先选最简单的那种情况先解答。 若是“两个动点一个定点”，多采用第二种方法分类讨论。但就算是用第二种方法分类讨论，也可以先用 “两圆一线”确定符合等腰三角形的点可能有几个及这些点的大致位置。 例1．（2024·山东·统考二模）在平面直角坐标系中， 为坐标原点，点 的坐标为 ，若 为 轴 上一点，且使得 为等腰三角形，则满足条件的点 有（ ） ．2 个 B．3 个 ．4 个 D．5 个 例2．（2023·福建南平·八年级校考期中）已知△B 中，如果过顶点B 的一条直线把这个三角形分割成两个 三角形，其中一个为等腰三角形，另一个为直角三角形，则称这条直线为△B 的关于点B 的二分割线．如图 1，Rt△B 中，显然直线BD 是△B 的关于点B 的二分割线．在图2 的△B 中，∠B＝110°，若直线BD 是△B 的 关于点B 的二分割线，则∠DB 的度数是 ． 例3．（2023·江苏泰州·统考中考真题）如图， 中， ， ，射线 从射线 开始 绕点逆时针旋转 角 ，与射线 相交于点D，将 沿射线 翻折至 处，射线 与射线 相交于点E．若 是等腰三角形，则 的度数为 ． 例4．（2023 春·四川达州·八年级校考期中）在直角坐标系中， 为坐标原点，已知点 （1，2），点 P 是 y 轴正半轴上的一点，且△P 为等腰三角形，则点 P 的坐标为 ． 例5．（2024·江苏泰州·八年级校联考阶段练习）如图1， 中， 于D，且 ， (1)试说明 是等腰三角形；(2)已知 ，如图2，动点M 从点B 出发以每秒 的速度沿线 段 向点运动，同时动点从点出发以相同速度沿线段 向点运动，当其中一点到达终点时整个运动都停 止．设点M 运动的时间为t（秒），①若 的边与 平行，求t 的值；②若点E 是边 的中点，问 在点M 运动的过程中， 能否成为等腰三角形？若能，求出t 的值；若不能，请说明理由． 例6．（2024·四川成都·八年级校考期中）如图，在平面直角坐标系内，点为坐标原点，经过 的直 线交x 轴正半轴于点B，交y 轴于点 ，直线 交x 轴负半轴于点D，若 的面积为 (1)求直线 的表达式和点D 的坐标；(2)横坐标为m 的点P 在线段 上（不与点 重合），过点P 作 x 轴的平行线交 于点E，设 的长为 ，求y 与m 之间的函数关系式并直接写出相应的m 取值 范围；(3)在（2）的条件下，在x 轴上是否存在点F，使 为等腰直角三角形？若存在求出点F 的坐标； 若不存在，请说明理由． 模型3 直角三角形中的分类讨论模型-斜边（或直角）不确定的直角三角形模型 若直角三角形没有明确谁直角（斜边），要分类讨论；从直角（斜边）入手分三种情况进行讨论。 例1．（2024·浙江嘉兴·三模）已知直角三角形两边长为3，4，则该直角三角形斜边上的中线长为（ ） ．2 或25 B．5 或 ．25 或 D．25 或 例2．（2023 春·河南郑州·八年级校考期中）如图， 是 的角平分线， 是 的高， ， ，点F 为边 上一点，当 为直角三角形时，则 的度数为 ． 例3．（2023·辽宁葫芦岛·二模）如图，在 中， ， ， ，点D 是 的中 点，点E 是斜边 上一动点，沿 所在直线把 翻折到 的位置， 交 于点F，若 为直角三角形，则 的长为 ． 模型4 直角三角形中的分类讨论模型-直角三角形存在性模型 直角三角形存在性的问题，首先需要观察图形，判断直角顶点是否确定。若不确定，则需要进行分类讨论， 如下面模型构建。直角三角形存在性的问题常考背景有翻折（折叠）、动点、旋转等。 “两定一动”直角三角形存在性问题：（常见与坐标系综合、或结合翻折（折叠）、动点、旋转等）。 问题：已知点，B 和直线l，在l 上求点P，使△PB 为直角三角形． 分三种情况，如图： ①以为直角顶点，即∠BP＝90°：过点作B 的垂线，与已知直线l 的交点P1即为所求； ②以B 为直角顶点，即∠BP＝90°：过点B 作B 的垂线，与已知直线l 的交点P2即为所求； ③以P 为直角顶点，即∠PB＝90°：以B 的中点Q 为圆心，Q 的长为半径画圆，与已知直线l 的交点P3，P4 即为所求． 代数法计算：分别表示出点，B，P 的坐标，再分别表示出B，P 和BP 的长，由①BP2＝B2＋P2；②P2＝B2 ＋BP2；③B2＝P2＋BP2分别列方程求解．若方程有解，则此情况存在；若方程无解，则此情况不存在。 几何法计算：找相似，利用相似三角形求解，如果图中没有相似三角形，可通过添加辅助线构造相似三角 形。特殊地，若有30°，45°或60°角可考虑用勾股定理或锐角三角函数求解． 例1．（2023 九年级·广东·专题练习）如图，已知 ，为坐标轴上一点，且 是直角三 角形，则满足条件的点有( )个． ．6 B．7 ．8 D．9 例2．（2023·江苏·九年级假期作业）如图，在平面直角坐标系中，已知 ，以 为一边在 外部作等腰直角 ．则点 的坐标为 ． 例3．（22-23 八年级下·安徽阜阳·期末）如图所示，在 中， ，点 是射线 上的一个动点．（1）当 为直角三角形时， 的长为 ． （2）若点 在边 的下方，当 为直角三角形时， 的长为 ． 例4．（23-24 九年级上·江西景德镇·期末）如图，等边 的边长为 ，点Q 是 的中点，若动点 P 以 的速度从点出发沿 方向运动，设运动时间为t 秒，连接 ，当 是直角三角形 时，则t 的值为 秒． 例5．（23-24 九年级上·湖北武汉·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知点的坐标为(0，2)，△B 为等边三 角形，P 是x 轴上的一个动点（不与点重合），将线段P 绕点按逆时针旋转60°，P 点的对应点为点Q，连 接Q，BQ。(1)点B 的坐标为 ；(2)①如图①，当点P 在x 轴负半轴运动时，求证：∠BQ=90°； ②当点P 在x 轴正半轴运动时，①中的结论是否仍然成立？请补全图②，并作出判断（不需要说明理由）； (3)在点P 运动的过程中，若△BQ 是直角三角形，直接写出点P 的坐标 例6．（2023 秋·辽宁锦州·八年级统考期末）【模型构建】 如图，将含有 的三角板的直角顶点放在直线l 上，过两个锐角顶点分别向直线l 作垂线，这样就得到了 两个全等的直角三角形．由于三个直角的顶点都在同一条直线上，因此我们将其称为“一线三直角”，这 模型在数学解题中被广泛使用． 【模型应用】(1)如图1，在平面直角坐标系中，直线 与x 轴，y 轴分别交于，B 两点，①则 _________；②，D 是正比例函数 图像上的两个动点，连接D，B，若 ， 则D 的最小值是_______；(2)如图2，一次函数 的图像与y 轴，x 轴分别交于，B 两点．将直线 绕点逆时针旋转 得到直线l，求直线l 对应的函数表达式； 【模型拓展】(3)如图3，点在x 轴负半轴上， ，过点作 轴交直线 于点B，P 是直 线 上的动点，Q 是y 轴上的动点，若 是以其中一个动点为直角顶点的等腰直角三角形， 请直接写出所有符合条件的点P 的坐标． 1．（2023 秋·广东八年级课时练习）若 是等腰三角形， ，则 的度数是（ ） ． 或 B． 或 ． 或 D． 或 或 2．（2024·安徽亳州·九年级校联考阶段练习）在平面直角坐标系 中，已知点 关于 轴的对称 点 ，点 是 轴上的一个动点，当 是等腰三角形时，值个数是( ) ．1 个 B．2 个 ．3 个 D．4 个 3．（23-24 九年级上·广东深圳·阶段练习）在平面直角坐标系 中，过原点 及点 、 作长 方形 ， 的平分线交 于点 点 从点 出发，以每秒 个单位长度的速度沿射线 方向 移动；同时点 从点 出发，以每秒2 个单位长度的速度沿x轴正方向移动设移动时间为秒，当 为 直角三角形时为（ ） ．2 或 B．2 或 ． 或 D．2 或 或 4．（23-24 八年级下·江西九江·期末）如图，在 中， ，将一块足够大的直角三角尺 （ ， ）按如图放置，顶点P 在边上滑动，三角尺的直角边 始终经过点B，斜边 交 于点D，若点P 在滑动中恰能使 与 均为等腰三角形，则∠的度数为 ． 5．（2023 春·湖北襄阳·九年级校考期中）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为 ，则等腰三角形的 底角的度数是 ． 6．（23-24 九年级上·江苏常州·阶段练习）如图，在 中， ，点 分 别是 的中点，在射线 上有一动点 ，若 是直角三角形，则 的长为 ． 7．（2024·河南郑州·三模）在矩形 中， ， 为CD的中点，取 的中点 ，连接 ， 当 为直角三角形时， 的长为 ． 8．（2024·浙江杭州·模拟预测）如图，在 中， ， ， ，点 是 的中 点，点 是边 上一动点，沿 所在直线把 翻折到 的位置， 交 于点 ，若 为直角三角形，则 的长为 ． 9（2024·江西南昌·模拟预测）在 中， ， ， ，点 为平行四边形 边上 的动点，且满足 是直角三角形，则 的长度是 ． 10．（2024·江西南昌·模拟预测）在平面直角坐标系中， 的顶点 ， 的坐标分别为 ， ，点 绕点 顺时针旋转 到点 ，连接 ， ，若 为直角三角形，则点 到 轴的距离为 ． 11．（24-25 九年级上·贵州贵阳·期中）如图，已知在矩形纸片 中， ， ，点 是 的中点，点 是 边上的一个动点，将 沿 所在直线翻折，得到 ，连接 ， ，则 当 是等腰三角形时， 的长是 ． 12．（2023 春·河南开封·八年级校考期中）有一面积为 的等腰三角形，它的一个内角是 ，则以它 的腰长为边的正方形的面积为 ． 13．（2023·安徽·九年级专题练习）在矩形 中， ， ，点 ， 分别为 ， 上的两 个动点，将 沿 折叠，点 的对应点为 ，若点 落在射线 上，且 恰为直角三角形， 则线段 的长为 ． 14．（2023 春·浙江绍兴·八年级校联考期中）如图， ，点 在边 上， ，点 为边 上一动点，连接 ， 与 关于 所在的直线对称，点 ， 分别为 ， 的中点， 连接 并延长交 所在直线于点 ，连接 ，当 为直角三角形时， 的长为 15．（23-24 八年级上·江苏南京·阶段练习）定义：如果1 条线段将一个三角形分割成2 个等腰三角形，我 们把这条线段叫做这个三角形的“双等腰线”．如果2 条线段将一个三角形分成3 个等腰三角形，我们把 这2 条线段叫做这个三角形的“三等腰线”．如图1， 是 的“双等腰线”， 、 是 的“三等腰线”． (1)请在图2 三个图中，分别画出 的“双等腰线”，并做必要的标注或说明． ① ；② ， ；③ ， (2)如果一个等腰三角形有“双等腰线”，那么它的底角度数是________． (3)如图3， 中， ， ．画出 所有可能的“三等腰线”，使得对 取值范 围内的任意值都成立，并做必要的标注或说明．（每种可能用一个图单独表示，如果图不够用可以自己补 充） 16．（2024·宁夏银川·校考二模）如图，在平面直角坐标系中有矩形 ， ， ，连接 ， 点 从顶点 出发以15 个单位/秒的速度在线段 上向 点运动，同时点 从顶点 出发以1 个单位/秒 的速度在线段 上向 点运动，只要有一个点先到达终点，两个点就停止运动．过点 作 ，交 于点 ，连接 ，设运动时间为秒．（1）当 时， ______． （2）设 的面积为，写出关于的函数表达式，并写出 的面积最大时点 的坐标； （3）直接写出运动过程中， 为等腰三角形时的值． 17．（2023 春·重庆渝中·八年级校考期末）如图， 中，以 ， 为边，分别在各自的上方作等边 三角形 ，等腰三角形 ， ， ，连接 ， ； (1)如图1，若 ， ，求 的面积 (2)如图2，点 为 中点，求证： (3)如图3， ， ，点 为直线 上的动点，连接 ，作 关于 所在直线 的对称图形，记作 ，连接 ， ，当 直角三角形时，请直接写出 的度数． 18．（2023·八年级重庆校考期中）如图，在平面直角坐标系中，直线 与 轴交于点 ，与 轴 交于点 点 的坐标为 ，点 在 轴上， （1）点 在 上，其横坐标为 ，点 、 分别是 轴、 轴上的动点，连接 ，将 沿 翻折得 ，点 是直线 上的一个动点，当 最大时，求 的最小值； （2）将 绕点 逆时针旋转90°得直线 ，点 、 分别是直线 与直线 上的动点，当 是以 为直角边的等腰直角三角形时，直接写出点 的坐标