待定系数法 【规律总结】 待定系数法，一种求未知数的方法。将一个多项式表示成另一种含有待定系数的新的 形式，这样就得到一个恒等式。然后根据恒等式的性质得出系数应满足的方程或方程组， 其后通过解方程或方程组便可求出待定的系数，或找出某些系数所满足的关系式，这种解 决问题的方法叫做待定系数法。 【典例分析】 例1、一次函数y=kx+b(k ,b 为常数，且k ≠0)的图像如图所示，根据图像信息可求得 的方程kx+b=0的解为（ ） x=−1 B x=2 x=0 D x=3 【答】 【解析】 【分析】 此题主要考查了一次函数与一元一次方程的关系，关键是正确利用待定系数法求出一次函 数解析式． 首先利用待定系数法把(2,3)，(0,1)代入y=kx+b，可得关于k、b 的方程组，再解方程组 可得k、b 的值，求出一次函数解析式，再求出方程kx+b=0的解即可． 【解答】 解：∵一次函数y=kx+b经过点(2 要应用了配方法求二次函数的最值、 待定系数法求一次函数的解析式、函数与坐标轴的交点、相互垂直的两条直线的特点等知 识点，得到m 与的函数关系式是解题的关键． 先求得抛物线的顶点坐标和点的坐标，设点的坐标为(1,n)，0≤n≤4，依据待定系数法求 得的解析式(用含的式子表示)，然后根据相互垂直的两直线的一次项系数积为−1可得到直 线M 的一次项系数，然后由点的坐标可求得M 的解析式(用含的式子表示)，接下来，令

专题01 根与系数的四种考法 【知识点精讲】 根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程x2+bx+＝0（≠0）的两根时，x1+x2¿−b a，x1x2 ¿ c a． 类型一、整体代换求值 例1．若 是一元二次方程 的两个实数根，则 ． 【答】 / 【分析】由一元二次方程的根与系数的关系得， ， ，然后代入求解即可． 【详解】解：由一元二次方程的根与系数的关系得， ， 【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，代数式求值．解题的关键在于熟练 掌握：一元二次方程 的两个实数根 ， 满足 ， ． 例2．已知 ， 是方程 的两根，则 ． 【答】 【分析】利用根与系数的关系得到 ， ，再利用完全平方公式进行计算即 可． 【详解】解：根据题意得 ， ， ∴ = ． 故答为： ． 【点睛】本题考查了根与系数的关系：若 ， 是一元二次方程 的两个实数根，则 的值是 ． 【答】 【分析】利用根与系数的关系求出 ，把 代入方程得到关系式，变形后代入 计算即可． 【详解】解：∵ 是方程 的两个实数根， ∴ ， ∴把 代入方程 得： ， 可得 ， ∴ ， 故答为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，已知式子的值求代数式的值，掌握一 元二次方程根与系数的关系是解本题的关键． 例4．已知方程 的两根分别为

专题01 根与系数的四种考法 【知识点精讲】 根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程x2+bx+＝0（≠0）的两根时，x1+x2¿−b a，x1x2 ¿ c a． 类型一、整体代换求值 例1．若 是一元二次方程 的两个实数根，则 ． 例2．已知 ， 是方程 的两根，则 ． 例3．已知 是方程 的两个实数根，则 的值是 ． 例4．已知方程

专题07 根与系数求值的四种考法 类型一、整体代入求值 例．若一元二次方程 的两根分别为 ，则 ． 【答】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可得 ， ，代入代数式即可求解． 【详解】解：∵一元二次方程 的两根分别为 ， ∴ ， ∴ ． 故答为： ． 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系：若 是一元二次方程 的两根， ， ，掌握根与系数的关系是解题关键． 【分析】根据一元二次方程根与系数关系和方程解的意义，求出 , ，代入求值 即可． 【详解】解：∵ ， 是一元二次方程 的两个根， ∴ ， ，则 ， ∴ ， 故答为： ． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解和根与系数关系，解题关键是熟练掌握相关知识，整体代入求值． 【变式训练2】已知，b 是一元二次方程x2+x 1 ﹣＝0 的两根，则32﹣b 的值是 ． 【答】8． 【分析】由根与系数的关系 故答为：8． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系及根的定义，利用性质对式子进行降次变形是解题关 键 【变式训练2】若 ，边是一元二次方程 的两个实数根，则 的值为 ． 【答】2024 【分析】根据根与系数的关系以及等式的性质即可求出答． 【详解】解： 是一元二次方程 的两个实数根， 【点睛】题考查了一元二次方程的根与系数的关系，也考查了一元二次方程的解． 【变式训练3】已知实数

专题07 根与系数求值的四种考法 类型一、整体代入求值 例．若一元二次方程 的两根分别为 ，则 ． 【变式训练1】已知 ， 是一元二次方程 的两个根，则 的值等于 ． 【变式训练2】已知，b 是一元二次方程x2+x 1 ﹣＝0 的两根，则32﹣b 的值是 ． 【变式训练3】若 ，边是一元二次方程 的两个实数根，则 的值为 ． 【变式训练4】已知实数 4．若p、q 是方程 的两个不相等的实数根，则代数式 的值为 ． 5．设 是方程 的两实数根，则 ． 6．阅读材料： 材料1：关于x 的一元二次方程 的两个实数根 和系数，b，有如下关系： ， ． 材料2：已知一元二次方程 的两个实数根分别为m，，求 的值． 解：∵m，是一元二次方程 的两个实数根， ∴ ． 则 ． 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：

17 （北京）股份有限公司 （北京）股份有限公司 专题03 二次函数图像与系数关系的三种考法 类型一、函数图像与，b，关系 例．如图，抛物线 与x 轴相交于点 ， ，与y 轴相交于点，小红同学得出了以 下结论：① ；② ；③当 时， ；④ ．其中正确的个数为 （ ） ．4 B．3 ．2 D．1 【答】B 【分析】根据二次函数与x 轴交点个数可判断①，根据二次函数的对称轴可判断②，直接观察图像可判断 ∴③正确； 由 得， 时， ， 由图知， 时， ， ∴ ， ∴④错误．综上，正确的有3 个， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图像与系数之间的关系，二次函数图像的性质等知识．掌握数形结合 思想，以及二次函数图像与系数的关系是解题的关键． 【变式训练1】已知二次函数 的图象如图所示，给出下列结论：① ；② ；③ （m 为任意实数）；④若点 和点 在该图象上，则 ． 其中正确的结论是（ 轴有两个交点， ∴ ，③正确； ∵抛物线开口向上，与y 轴的交点在x 轴下方， ∴ ， ∴ ，即④错误． 故选． 【点睛】本题主要考查图像与二次函数系数之间的关系、二次函数图像的性质等知识点，掌握数形结合思 想以及二次函数图像与系数的关系是解答本题的关键． 【变式训练4】如图，抛物线 的对称轴是直线 ，并与x 轴交于，B 两点，若 ，则下列结论：① ；② ；③ ；④若m 为任意实数，则

专题03 二次函数图像与系数关系的三种考法 类型一、函数图像与，b，关系 例．如图，抛物线 与x 轴相交于点 ， ，与y 轴相交于点，小红同学得出了以 下结论：① ；② ；③当 时， ；④ ．其中正确的个数为 （ ） ．4 B．3 ．2 D．1 【变式训练1】已知二次函数 的图象如图所示，给出下列结论：① ；② ；③ （m 为任意实数）；④若点 和点 在该图象上，则 ． 其中正确的结论是（

专题03 二次函数图像与系数之间关系 类型一、判断图像位置关系 例1 如图，一次函数 与二次函数 的图像相交于 、 两点，则函数 的图像可能是( ) ． B． ． D． 【变式训练1】二次函数 的图象如图所示，则一次函数 的图象大 致是( )． ． B． ． D． 【变式训练2】在同一平面直角坐标系中，函数 与 的图象可能 是( ) ． B． ．

专题03 二次函数图像与系数之间关系 类型一、判断图像位置关系 例1 如图，一次函数 与二次函数 的图像相交于 、 两点，则函数 的图像可能是( ) ． B． ． D． 【答】 【详解】解： 由 =x2+bx+图象可知，对称轴x= ＞0， ， ，抛物线 与y 轴的交点在x 轴下方，故选项B，错误， 抛物线 的对称轴为 ，∴ ， ∴抛物线y=x2+(b-1)x+的对称轴在y

专题226 二次函数图象与系数的关系选填压轴专项训练 （30 道） 【人版】 考卷信息： 本套训练卷共30 题，选择15 题，填空15 题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可强 化学生对二次函数图象与系数之间关系的理解！ 一．选择题（共15 小题） 1．（2022•葫芦岛一模）如图，抛物线y＝x2+bx+的对称轴为x＝﹣1，且过点（1 2，0）， 有下列结论： ①b＞0； 的两根为x1＝﹣3，x2＝ 1；⑤当x＝﹣1 时，函数y＝x2+（b﹣k）x 有最大值．其中正确的个数是（ ） ．2 B．3 ．4 D．5 【分析】利用图象的信息与已知条件求得，b 的关系式，利用待定系数法和二次函数的 性质对每个结论进行逐一判断即可得出结论． 【解答】解：∵抛物线的开口方向向下， ∴＜0． ∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1， ∴−b 2a =−¿1， ∴b＝2，b＜0． 得出结论可判定①②③的正确；分别过点P，Q 作坐标轴的平行线，则△PQ 为等腰直角 三角形，设点P，Q 的横坐标分别为m，，则m，是方程x2+（b 1 ﹣）x+＝0 的两根，利 用韦达定理和待定系数法可得到用的代数式表示PQ，利用PQ¿ ❑ √66，列出方程，解方 程即可求得值，即可判定④的结论不正确． 【解答】解：∵＜0， ∴抛物线y＝x2+bx+的开口方向向下． ∵抛物线y＝x2+