专题22.6 二次函数图象与系数的关系选填压轴专项训练（30道）（解析版）

专题226 二次函数图象与系数的关系选填压轴专项训练 （30 道） 【人版】 考卷信息： 本套训练卷共30 题，选择15 题，填空15 题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可强 化学生对二次函数图象与系数之间关系的理解！ 一．选择题（共15 小题） 1．（2022•葫芦岛一模）如图，抛物线y＝x2+bx+的对称轴为x＝﹣1，且过点（1 2，0）， 有下列结论： ①b＞0； ②﹣2b+4＞0；③25 10 ﹣ b+4＝0；④3b+2＞0； 其中所有正确的结论是（ ） ．①③ B．①③④ ．①②③ D．①②③④ 【分析】①根据抛物线的开口方向、对称轴、与y 轴的交点即可得结论； ②根据抛物线与x 轴的交点坐标即可得结论； ③根据对称轴和与x 轴的交点得另一个交点坐标，把另一个交点坐标代入抛物线解析式 即可得结论； ④根据点（1 2，0）和对称轴方程即可得结论． 【解答】解：①观察图象可知： ＜0，b＜0，＞0，∴b＞0， 所以①正确； ②当x¿ 1 2时，y＝0， 1 即1 4 +1 2 b+＝0， +2 ∴ b+4＝0， +4 ∴ ＝﹣2b， 2 ∴﹣b+4＝﹣4b＞0， 所以②正确； ③因为对称轴x＝﹣1，抛物线与x 轴的交点（1 2，0）， 所以与x 轴的另一个交点为（−5 2 ，0）， 当x¿−5 2时，25 4 −5 2 b+＝0， 25 10 ∴ ﹣ b+4＝0． 所以③正确； ④当x¿ 1 2时，+2b+4＝0， 又对称轴：−b 2a =−¿1， ∴b＝2，¿ 1 2b， 1 2b+2b+4＝0， ∴b¿−8 5． 3 ∴b+2¿−24 5 +2¿−14 5 ＜0， 3 ∴b+2＜0． 所以④错误． 或者∵当x＝1 时，+b+＜0， ∴＜﹣﹣b， 又∵b＝2， ∴¿ 1 2b， ∴＜−3 2b， 2 ∴＜﹣3b， 2+3 ∴ b＜0， 1 ∴结论④错误 故选：． 2．（2022•恩施市一模）二次函数y＝x2+bx+（≠0）的大致图象如图所示，顶点坐标为（﹣ 2，﹣9），下列结论：①b＜0；②4+2b+＞0；③5﹣b+＝0；④若方程（x+5）（x 1 ﹣） ＝﹣1 有两个根x1和x2，且x1＜x2，则﹣5＜x1＜x2＜1；⑤若方程|x2+bx+|＝1 有四个根， 则这四个根的和为﹣8，其中正确的结论有（ ） ．①②③④ B．①②③⑤ ．②③④⑤ D．①②④⑤ 【分析】①抛物线对称轴在y 轴左侧，则b 同号，而＜0，即可求解； ②x＝2 时，y＝4+2b+＞0，即可求解； 5 ③﹣b+＝5 4 5≠0 ﹣﹣ ，即可求解； ④y＝（x+5）（x 1 ﹣）+1，相当于由原抛物线y＝x2+bx+向上平移了1 个单位，即可求 解； ⑤若方程|x2+bx+|＝1，即：若方程x2+bx+＝±1，当x2+bx+ 1 ﹣＝0 时，由韦达定理得：其 两个根的和为﹣4，即可求解． 【解答】解：二次函数表达式为：y＝（x+2）2 9 ﹣＝x2+4x 5 ﹣＝（x+5）（x 1 ﹣）， ①抛物线对称轴在y 轴左侧，则b 同号，而＜0，则b＜0，故正确； ②函数在y 轴右侧的交点为x＝1，x＝2 时，y＝4+2b+＞0，故正确； 5 ③﹣b+＝5 4 5≠0 ﹣﹣ ，故错误； ④y＝（x+5）（x 1 ﹣）+1，相当于由原抛物线y＝x2+bx+向上平移了1 个单位，故有两 个根x1和x2，且x1＜x2，则﹣5＜x1＜x2＜1，正确； ⑤若方程|x2+bx+|＝1，即：若方程x2+bx+＝±1，当x2+bx+ 1 ﹣＝0 时，用韦达定理得：其 两个根的和为﹣4，同理当x2+bx++1＝0 时，其两个根的和也为﹣4，故正确． 故选：D． 3．（2022 春•崇川区校级期末）二次函数y＝x2+bx+（，b，是常数，≠0）的自变量x 与函 数值y 的部分对应值如下表： x … 2 ﹣ 1 ﹣ 0 1 2 … y＝x2+bx+ … t m 2 ﹣ 2 ﹣ … 1 且当x¿−1 2时，与其对应的函数值y＞0，有下列结论：①函数图象的顶点在第四象限内； ②﹣2 和3 是关于x 的方程x2+bx+＝t 的两个根；③0＜m+＜20 3 ，其中，正确结论的是 （ ） ．①②③ B．①② ．①③ D．②③ 【分析】①根据表格中对应值可知对称轴的值和抛物线与y 轴的交点，即可判断； ②根据二次函数的对称性即可判断； ③根据抛物线的对称轴确定与b 的关系式，再根据已知条件求出的取值范围即可判断． 【解答】解：①根据图表可知： 二次函数y＝x2+bx+的图象过点（0，﹣2），（1，﹣2）， ∴对称轴为直线x¿ 0+1 2 =1 2，＝﹣2， ∵当x¿−1 2时，与其对应的函数值y＞0， ∴＞0，b＜0， ∴函数图象的顶点在第四象限内； ①正确； ②根据二次函数的对称性可知： （﹣2，t）关于对称轴x¿ 1 2的对称点为（3，t）， 即﹣2 和3 是关于x 的方程x2+bx+＝t 的两个根， ∴②正确； ③∵对称轴为直线x¿ 1 2，∴−b 2a =1 2，∴b＝﹣， ∵当x¿−1 2时，与其对应的函数值y＞0， ∴1 4 −1 2 b 2 ﹣＞0，即1 4 +1 2 ﹣2＞0，∴＞8 3 ． ∵对称轴为直线x¿ 1 2，二次函数y＝x2+bx+的图象过点（﹣1，m）（2，）， ∴m＝，当x＝﹣1 时，m＝﹣b+＝+ 2 ﹣＝2 2 ﹣， ∴m+＝4 4 ﹣，∵＞8 3 ． 4 4 ∴﹣＞20 3 ， ∴③错误． 1 故选：B． 4．（2022 春•东湖区校级期末）如图，已知二次函数y＝﹣x2+bx﹣，它与x 轴交于、B，且、 B 位于原点两侧，与y 的正半轴交于，顶点D 在y 轴右侧的直线l：y＝4 上，则下列说法： ①b＜0；②0＜b＜4；③B＝4；④S△BD＝8．其中正确的结论有（ ） ．①② B．②③ ．①②③ D．①②③④ 【分析】先由抛物线解析式得到＝﹣1＜0，利用抛物线的对称轴得到b＝﹣2＜0，易得 ＜0，于是可对①进行判断；由顶点D 在y 轴右侧的直线l：y＝4 上可得b 的范围，从而 可判断②是否正确；由＝﹣1 及顶点D 在y 轴右侧的直线l：y＝4 上，可得抛物线与x 轴 两交点之间的距离B 为定值，故可取b＝2 进行计算，即可求得B 的长度及S△BD的大小． 【解答】解：∵抛物线开口向下， ∴＝﹣1＜0， ∵抛物线的对称轴为直线x¿−b 2a ＞0， ∴b＞0， 而抛物线与y 轴的交点在x 轴上方， ∴﹣＞0，则＜0， ∴b＜0，故①正确； 由顶点D 在y 轴右侧的直线l：y＝4 上可得： 4×(−1)×(−c)−b 2 4×(−1) =¿4 ∴b2＝4+16 0 ∵＜﹣＜4 16 ∴﹣ ＜4＜0 0 ∴＜4+16＜16 0 ∴＜b2＜16 0 ∴＜b＜4 ∴②正确； ∵＝﹣1， ∴该抛物线的开口方向及大小是一定的 1 又∵顶点D 在y 轴右侧的直线l：y＝4 上 ∴该抛物线与x 轴两交点之间的距离B 是定值， 故可令b＝2 则＝﹣3 此时抛物线解析式为：y＝﹣x2+2x+3 由﹣x2+2x+3＝0 得x1＝﹣1，x2＝3 故B＝4 ∴③正确； S△BD＝4×4÷2＝8 故④正确； 综上，故选：D． 5．（2022•丹东）如图，抛物线y＝x2+bx+（≠0）与x 轴交于点（5，0），与y 轴交于点， 其对称轴为直线x＝2，结合图象分析如下结论：①b＞0；②b+3＜0；③当x＞0 时，y 随x 的增大而增大；④若一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点，则点E（k，b）在第 四象限；⑤点M 是抛物线的顶点，若M⊥M，则¿ ❑ √6 6 ．其中正确的有（ ） ．1 个 B．2 个 ．3 个 D．4 个 【分析】①正确，根据抛物线的位置判断即可； ②正确，利用对称轴公式，可得b＝﹣4，可得结论； ③错误，应该是x＞2 时，y 随x 的增大而增大； ④正确，判断出k＞0，可得结论； ⑤正确，设抛物线的解析式为y＝（x+1）（x 5 ﹣）＝（x 2 ﹣）2 9 ﹣，可得M（2，﹣ 9），（0，﹣5），过点M 作M⊥y 轴于点，设对称轴交x 轴于点K．利用相似三角形的 性质，构建方程求出即可． 【解答】解：∵抛物线开口向上， ∴＞0， ∵对称轴是直线x＝2， 1 ∴−b 2a =¿2， ∴b＝﹣4＜0 ∵抛物线交y 轴的负半轴， ∴＜0， ∴b＞0，故①正确， ∵b＝﹣4，＞0， ∴b+3＝﹣＜0，故②正确， 观察图象可知，当0＜x≤2 时，y 随x 的增大而减小，故③错误， 一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点， ∵b＜0， ∴k＞0，此时E（k，b）在第四象限，故④正确． ∵抛物线经过（﹣1，0），（5，0）， ∴可以假设抛物线的解析式为y＝（x+1）（x 5 ﹣）＝（x 2 ﹣）2 9 ﹣， ∴M（2，﹣9），（0，﹣5）， 过点M 作M⊥y 轴于点，设对称轴交x 轴于点K． ∵M⊥M， ∴∠M＝∠KM＝90°， ∴∠M＝∠KM， ∵∠M＝∠MK＝90°， ∴△M∽△MK， ∴MH MK =CH AK ， ∴ 2 −9a=−4 a 3 ， ∴2¿ 1 6， ∵＞0， ∴¿ ❑ √6 6 ，故⑤正确， 故选：D． 1 6．（2022•鹤峰县二模）如图，二次函数y＝x2+bx+（≠0）的图象与x 轴交于，B 两点，点 B 位于（4，0）、（5，0）之间，与y 轴交于点，对称轴为直线x＝2，直线y＝﹣x+与 抛物线y＝x2+bx+交于，D 两点，D 点在x 轴上方且横坐标小于5，则下列结论： ①4+b+＞0；②﹣b+＜0；③m（m+b）＜4+2b（其中m 为任意实数）；④＜﹣1，其中 正确的是（ ） ．①②③④ B．①②③ ．①②④ D．①③④ 【分析】利用抛物线与y 轴的交点位置得到＞0，利用对称轴方程得到b＝﹣4，则 4+2b+＝＞0，于是可对①进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x 轴的另一个交 点在点（﹣1，0）右侧，则当x＝﹣1 时，y＜0，于是可对②进行判断；根据二次函数 的性质得到x＝2 时，二次函数有最大值，则m2+bm+≤4+2b+，即，m（m+b）≤4+2b， 于是可对③进行判断；由于直线y＝﹣x+与抛物线y＝x2+bx+交于、D 两点，D 点在x 轴 上方且横坐标小于5，利用函数图象得x＝5 时，一次函数值比二次函数值大，即 25+5b+＜﹣5+，然后把b＝﹣4 代入解的不等式，则可对④进行判断； 【解答】解：∵抛物线与y 轴的交点在x 轴上方， ∴＞0， ∵抛物线的对称轴为直线x＝2∴b＝﹣4， 4+ ∴ b+＝4 4+ ﹣ ＝＞0，所以①正确； ∵抛物线的对称轴为直线x＝2，与x 轴的一个交点B 位于（4，0）、（5，0）之间， ∴抛物线与x 轴的另一个交点位于（0，0）、（﹣1，0）之间， 即当x＝﹣1 时，y＜0，也就是﹣b+＜0，因此②正确； ∵对称轴为x＝2， ∴x＝2 时的函数值大于或等于x＝m 时函数值，即，当x＝2 时，函数值最大， 1 ∴m2+bm+≤4+2b+， 即，m（m+b）≤4+2b，因此③不正确； ∵直线y＝﹣x+与抛物线y＝x2+bx+交于、D 两点，D 点在x 轴上方且横坐标小于5， ∴x＝5 时，一次函数值比二次函数值大， 即25+5b+＜﹣5+， 而b＝﹣4， 25 20 ∴ ﹣ ＜﹣5，解得＜﹣1，因此④正确； 综上所述，正确的结论有①②④， 故选：． 7．（2022 秋•朝阳期中）如图，抛物线y＝x2+bx+（≠0）与x 轴交于点（﹣3，0），其对 称轴为直线x¿−1 2，结合图象分析下列结论：①b＞0；②3+＞0；③当x＜0 时，y 随x 的增大而增大；④一元二次方程x2+bx+＝0 的两根分别为x1¿−1 3，x2¿ 1 2；⑤若m，（m ＜）为方程（x+3）（x 2 ﹣）+3＝0 的两个根，则m＜﹣3 且＞2，其中正确的结论有（ ）个． ．2 B．3 ．4 D．5 【分析】根据抛物线开口方向，对称轴位置，抛物线与y 轴交点位置判断①．由对称轴 为直线x¿−1 2可得＝b，根据抛物线经过点（﹣3，0）可得6+＝0，再由＜0 可判断②． 由图象对称轴及开口方向③．由抛物线经过（﹣3，0）可得抛物线经过（2，0），进而 可得−b− ❑ √b 2−4 ac 2a =−¿3 ，−b+ ❑ √b 2−4 ac 2a =¿2 ，因为x2+bx+ ＝0 的根为x ¿ −b+ ❑ √b 2−4 ac 2c 和x¿ −b− ❑ √b 2−4 ac 2c ，将与的关系代入求解可判断④．将（x+3） （x 2 ﹣）+3＝0 转化为抛物线与直线y＝﹣3 的交点可判断⑤． 【解答】解：∵抛物线开口向下， 1 ∴＜0， ∵抛物线对称轴为直线x¿−b 2a=−1 2 ， ∴b＝＜0， ∵抛物线与y 轴交点在x 轴上方， ∴＞0， ∴b＞0，①正确，符合题意． ∵抛物线经过点（﹣3，0）， 9 3 ∴﹣b+＝0， ∵＝b， 6+ ∴ ＝3+3+＝0， ∵＜0， 3+ ∴ ＞0，②正确，符合题意． 由图象可得x＜−1 2时，y 随x 增大而增大， ∴③错误，不符合题意． 由x2+bx+＝0 可得方程的解为x¿ −b+ ❑ √b 2−4 ac 2c 和x¿ −b− ❑ √b 2−4 ac 2c ， ∵抛物线y＝x2+bx+经过（﹣3，0），对称轴为直线x¿−1 2， ∴抛物线与x 轴另一个交点为（2，0）， ∴x＝﹣3 和x＝2 是方程x2+bx+＝0 的根， ∴−b− ❑ √b 2−4 ac 2a =−¿3，−b+ ❑ √b 2−4 ac 2a =¿2， 6+ ∵ ＝0， ∴＝﹣6， ∴−b+ ❑ √b 2−4 ac 2c =−1 3 ，−b− ❑ √b 2−4 ac 2c =1 2 ，④正确，符合题意． ∵抛物线经过（﹣3，0），（2，0）， ∴y＝（x+3）（x 2 ﹣）， 将（x+3）（x 2 ﹣）+3＝0 化为（x+3）（x 2 ﹣）＝﹣3， 由图象得抛物线与直线y＝﹣3 交点在x 轴下方， ∴m＜﹣3 且＞2，⑤正确，符合题意． 故选：． 8．（2022•河东区二模）已知抛物线y＝x2+bx+开口向下，与x 轴交于点（﹣1，0），顶点 1 坐标为（1，），与y 轴的交点在（0，2），（0，3）之间（包含端点），则下列结论： ①2+b＝0；②﹣1≤≤−2 3；③对于任意实数m，（m2 1 ﹣）+b（m 1 ﹣）≤0 总成立；④关 于x 的方程x2+bx+ +1 ﹣ ＝0 有两个不相等的实数根，其中结论正确的个数是（ ） ．1 个 B．2 个 ．3 个 D．4 个 【分析】由抛物线开口方向判断与0 的关系，由抛物线与x 轴交点坐标判断、b、的关系， 由顶点坐标及顶点坐标公式推断、b 的关系及与、b、的关系，由抛物线与y 轴的交点坐 标判断的取值范围，进而对所得结论进行推断． 【解答】解：∵抛物线y＝x2+bx+的顶点坐标为（1，） ∴−b 2a =1，4 ac−b 2 4 a =n 2+ ∴ b＝0 故①正确． ∵抛物线与x 轴交于点（﹣1，0） ∴﹣b+＝0 ∴＝b﹣ 由①知：2+b＝0，即b＝﹣2 ∴＝﹣2﹣＝﹣3 又∵抛物线与y 轴的交点（0，）在（0，2），（0，3）之间（含端点） 2≤≤3 ∴ 2≤ 3≤3 ∴ ﹣ ∴−1≤a≤−2 3 故②正确． ∵抛物线y＝x2+bx+开口向下 ∴＜0 又∵（m2 1 ﹣）+b（m 1 ﹣）＝m2+bm﹣﹣b（≠0） 令g＝m2+bm﹣﹣b ∴关于m 的二次函数g＝m2+bm﹣﹣b 开口向下 若对于任意实数m，（m2 1 ﹣）+b（m 1 ﹣）≤0 总成立 故需判断Δ＝b2 4 ﹣（﹣﹣b）与0 的数量关系 由以上分析知：b＝﹣2 Δ ∴＝（﹣2）2 4 ﹣（﹣+2）＝0 故③正确． 1 由以上分析知：a＜0，b=−2a，c=−3a，n= 4 ac−b 2 4 a ∴n= 4 a⋅(−3a)−(−2a) 2 4 a =−4 a Δ ∴＝b2 4 ﹣（﹣+1）＝（﹣2）2 4 ﹣（﹣3+4+1）＝﹣4＞0 ∴关于x 的方程x2+bx+ +1 ﹣ ＝0 有两个不相等的实数根 故④正确 故选：D． 9．（2022•辽宁）抛物线y＝x2+bx+的部分图象如图所示，对称轴为直线x＝﹣1，直线y＝ kx+与抛物线都经过点（﹣3，0）．下列说法：①b＞0；②4+＞0；③若（﹣2，y1）与 （1 2，y2）是抛物线上的两个点，则y1＜y2；④方程x2+bx+＝0 的两根为x1＝﹣3，x2＝ 1；⑤当x＝﹣1 时，函数y＝x2+（b﹣k）x 有最大值．其中正确的个数是（ ） ．2 B．3 ．4 D．5 【分析】利用图象的信息与已知条件求得，b 的关系式，利用待定系数法和二次函数的 性质对每个结论进行逐一判断即可得出结论． 【解答】解：∵抛物线的开口方向向下， ∴＜0． ∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1， ∴−b 2a =−¿1， ∴b＝2，b＜0． ∵＜0，b＜0， ∴b＞0， ∴①的结论正确； ∵抛物线y＝x2+bx+经过点（﹣3，0）， 9 3 ∴﹣b+＝0， 1 9 3×2+ ∴﹣ ＝0， 3+ ∴ ＝0． 4+ ∴ ＝＜0， ∴②的结论不正确； ∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1， ∴点（﹣2，y1）关于直线x＝﹣1 对称的对称点为（0，y1）， ∵＜0， ∴当x＞﹣1 时，y 随x 的增大而减小． ∵1 2 ＞0＞﹣1， ∴y1＞y2． ∴③的结论不正确； ∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，抛物线经过点（﹣3，0）， ∴抛物线一定经过点（1，0）， ∴抛物线y＝x2+bx+与x 轴的交点的横坐标为﹣3，1， ∴方程x2+bx+＝0 的两根为x1＝﹣3，x2＝1， ∴④的结论正确； ∵直线y＝kx+经过点（﹣3，0）， 3 ∴﹣k+＝0， ∴＝3k． 3+ ∵ ＝0， ∴＝﹣3， 3 ∴k＝﹣3， ∴k＝﹣． ∴函数y＝x2+（b﹣k）x ＝x2+（2+）x ＝x2+3x ＝( x+ 3 2 ) 2−9 4 ， ∵＜0， ∴当x¿−3 2时，函数y＝x2+（b﹣k）x 有最大值， ∴⑤的结论不正确． 综上，结论正确的有：①④， 1 故选：． 10．（2022•济南二模）已知抛物线y＝x2+bx+（、b、是常数，＜0）经过点（﹣2，0）， 其对称轴为直线x＝1，有下列结论： ①＞0； 9+3 ② b+＞0； ③若方程x2+bx++1＝0 有解x1、x2，满足x1＜x2，则x1＜﹣2，x2＞4； ④抛物线与直线y＝x 交于P、Q 两点，若PQ¿ ❑ √66，则＝﹣1； 其