九下专题03 二次函数的图像与系数a，b，c之间的关系（教师版）

专题03 二次函数图像与系数之间关系 类型一、判断图像位置关系 例1 如图，一次函数 与二次函数 的图像相交于 、 两点，则函数 的图像可能是( ) ． B． ． D． 【答】 【详解】解： 由 =x2+bx+图象可知，对称轴x= ＞0， ， ，抛物线 与y 轴的交点在x 轴下方，故选项B，错误， 抛物线 的对称轴为 ，∴ ， ∴抛物线y=x2+(b-1)x+的对称轴在y 轴的右侧，故选项D 错误， 故选：． 【变式训练1】二次函数 的图象如图所示，则一次函数 的图象大 致是( )． ． B． ． D． 【答】 【详解】解：观察二次函数 的图象得： ， ∴ ， ， ∴一次函数 的图象经过第一、三、四象限． 故选： 【变式训练2】在同一平面直角坐标系中，函数 与 的图象可能 是( ) ． B． ． D． 【答】 【详解】解：函数 经过原点(0，0)，则B 错误； 当<0 时， 经过二、四象限，则D 错误； 当 时，b>0， 经过一、二、四象限，则错误； 当>0， 时，b<0， 经过一、三、四象限，则符合题意． 故选：． 【变式训练3】在同一平面直角坐标系中，函数 与y＝x＋b 的图象不可能是 ( ) ． B． ． D． 【答】D 【详解】解：当>0，b>0 时，y=x2+bx 的开口上，与x 轴的一个交点在x 轴的负半轴，y=x+b 经过第一、二、三象限，且两函数图象交于x 的负半轴，无选项符合； 当>0，b<0 时， y=x2+bx 的开口向上，与x 轴的一个交点在x 轴的正半轴，y=x+b 经过第一、三、四象限， 且两函数图象交于x 的正半轴，故选项正确，不符合题意题意； 当<0，b>0 时，y=x2+bx 的 开口向下，与x 轴的一个交点在x 轴的正半轴，y=x+b 经过第一、二、四象限，且两函数图 象交于x 的正半轴，选项正确，不符合题意； 当<0，b<0 时，y=x2+bx 的开口向下，与x 轴 的一个交点在x 轴的负半轴，y=x+b 经过第二、三、四象限，B 选项正确，不符合题意； 只有选项D 的两图象的交点不经过x 轴， 故选D 【变式训练4】如图，一次函数 与二次函数 的图像相交于 ， 两点， 则函数 的图像可能是( ) ． B． ． D． 【答】D 【详解】∵一次函数 与二次函数 的图像相交于 ， 两点， ∴一元二次方程 有两个不相等的实数根， ∴函数 与 轴有两个交点， 由题意可知： ， ，∴ ， ∴函数 的对称轴 ，∴选项D 符合条件． 故选D． 类型二、根据图像判断，b，之间关系 例1．二次函数 的图象如图所示，下列选项错误的是( ) ． B． 时，y 随x 的增大而增大 ． D．方程 的根是 ， 【答】 【详解】由二次函数的图象开口向上可得>0，由抛物线与y 轴交于x 轴下方可得<0，所以 <0，正确； B 由>0，对称轴为x=1，可知x>1 时，y 随x 的增大而增大，正确； 把x=1 代入 得，y=+b+，由函数图象可以看出x=1 时二次函数的值为负， 错误； D 由二次函数的图象与x 轴交点的横坐标是-1 或3，可知方程 的根是 ，正确． 故选：． 例2．如图，已知抛物线 ( ， ，为常数， )经过点 ，且对称轴 为直线 ，有下列结论：① ；② ；③ ；④无论 ， ， 取何值，抛物线一定经过 ；⑤ ；⑥一元二次方程 有两个不相等的实数根，其中正确结论有( ) ．2 个 B．3 个 ．4 个 D．5 个 【答】D 【详解】解：①∵抛物线图象开口朝上， ， ∵抛物线对称轴为直线 ，∴ ， ∴ ，即 ，故②错误； ∵抛物线图象与y 轴交点位于x 轴下方，∴<0， ，故①正确； ③ 经过 ， 又由①得<0， ， ，故③正确； ④根据抛物线的对称性，得到 与 时的函数值相等， 当 时 ，即 ， 即 ， 经过 ，即经过 ，故④正 确； ⑤当 时， ，当 时， ， ， 函数有最小值 ， ， ∴ ， ∴ ，故⑤正确； ⑥方程 的解即为抛物线 与直线 的交点的横坐标，结合函 数图象可知，抛物线 与直线 有两个不同的交点，即方程 有两个不相等的实数根，故⑥正确； 综上所述：①③④⑤⑥正确．故选D． 【变式训练1】如图，二次函数 图象的一部分与x 轴的一个交点坐 标为 ，对称轴为 ，结合图象给出下列结论： ① ； ② ； ③关于x 的一元二次方程 的两根分别为-3 和1； ④若点 ， ， 均在二次函数图象上，则 ； ⑤ (m 为任意实数)． 其中正确的结论有( ) ．1 个 B．2 个 ．3 个 D．4 个 【答】 【解析】∵二次函数 图象的一部分与x 轴的一个交点坐标为 ， ∴当x=1 时， ，故结论①正确；根据函数图像可知， 当 ，即 ，对称轴为 ，即 ， 根据抛物线开口向上，得 ，∴ ，∴ ，即 ，故 结论②正确； 根据抛物线与x 轴的一个交点为 ，对称轴为 可知：抛物线与x 轴的另一个交点 为(-3，0)， ∴关于x 的一元二次方程 的两根分别为-3 和1，故结论③正确； 根据函数图像可知： ，故结论④错误；当 时， ， ∴当 时， ，即 ，故结论⑤错误， 综上：①②③正确，故选：． 【变式训练2】二次函数 的部分图象如图所示，有以下结论：①3－b＝0； ② ；③ ；④ ，其中正确结论的个数是( ) ．1 B．2 ．3 D．4 【答】 【详解】解：由图象可知＜0，＞0，对称轴为 ，∴ ，∴ ，①正 确； ∵函数图象与x 轴有两个不同的交点，∴ ，②正确； 当 时， ， 当 时， ， ∴ ，∴ ，③正确； 由对称性可知 时对应的y 值与 时对应的y 值相等，∴当 时， ， ∵ ，∴ ，∴ ，④错误； 故选：． 【变式训练3】抛物线 ( )如图所示，下列结论中：① ；② ；③当 时， ；④ ．正确的个数是( ) ．1 个 B．2 个 ．3 个 D．4 个 【答】 【详解】解：从图象上可以看出二次函数的对称轴是直线x=1．∴ ． ∴ ．∴ ．故①符合题意． 从图象上可以看出当x=-1 时，二次函数的图象在x 轴下方． ∴当x=-1 时，y<0 即 ．故②不符合题意． 从图象上可以看出当x=1 时，二次函数取得最大值． ∴当 时， ． ∴ ．故③符合题意． 从图象上可以看出二次函数图象与x 轴有两个交点． ∴ ．∴ ． 故④符合题意．故①③④共3 个符合题意． 故选：． 【变式训练4】已知二次函数y=x2−4x−5+1(>0)下列结论正确的是( ) ①已知点M(4，y1)，点(−2，y2)在二次函数的图象上，则y1>y2； ②该图象一定过定点(5，1)和(－1，1)； ③直线y=x−1 与抛物线y=x2−4x−5+1 一定存在两个交点； ④当−3≤x≤1 时，y 的最小值是，则= ．①④ B．②③ ．②④ D．①②③④ 【答】B 【详解】解：二次函数y=x2−4x−5+1(>0)，开口向上，且对称轴为x=- =2， ①点(−2，y2)关于对称轴对称的点为(6，y2) ， >0 ∵ ，∴y 随x 的增加而增加，∵4<6，∴y1<y2；故①错误； ②当y=1 时，x2−4x−5+1=1，即x2−4x−5=0，解得：x=5 或x=-1， 该图象一定过定点(5，1)和(-1，1)；故②正确； ③由题意得方程：x2−4x−5+1= x−1，整理得：x2−(4+1)x−5+2=0， 162+8+1+202-8=362+1>0， 直线y=x−1 与抛物线y=x2−4x−5+1 一定存在两个交点；故③正确； ④当−3≤x≤1 时，y 随x 的增加而减少，∴当x=1 时，y 有最小值为，即−4−5+1=， 解得：= ，故④错误；综上，正确的有②③，故选：B． 【变式训练5】抛物线 的对称轴是直线 ．抛物线与x 轴的一个交点在 点 和点 之间，其部分图象如图所示，下列结论：① ；② ；③ 关于x 的方程 有两个不相等实数根；④若 ， 是抛物线上的两点， 则 ；⑤ ．正确的个数有( ) ．1 个 B．2 个 ．3 个 D．4 个 【答】 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线x=- =-2， 4- ∴ b=0，所以①正确； ∵与x 轴的一个交点在(-3，0)和(-4，0)之间， ∴由抛物线的对称性知，另一个交点在(-1，0)和(0，0)之间， ∴x=-1 时，y＞0，且b=4，即-b+=-4+=-3+＞0，∴＞3，所以②错误； ∵抛物线与x 轴有两个交点，且顶点为(-2，3)，∴抛物线与直线y=2 有两个交点， ∴关于x 的方程x2+bx+=2 有两个不相等实数根，所以③正确； ∵抛物线的对称轴为直线x=- =-2，∴ ， ∵＜0，∴ 所以④错误； ∵抛物线的顶点坐标为(-2，3)，∴ ，∴b2+12=4， 4- ∵ b=0，∴b=4，∴b2+3b=4， ∵＜0，∴b=4＜0， ∴b2+2b＞4，所以⑤正确； ∴正确的为①③⑤． 故选： 【变式训练6】如图，抛物线 的对称轴为直线 ，与x 轴的一个交点 坐标为 ，其部分图象如图所示，下列结论：① ，② ，③方程 的两个根是 ， ，④当 时，x 的取值范围是 ，其中 正确的有( ) ．①② B．①②③ ．①③④ D．①②④ 【答】 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线 ，，与x 轴的一个交点坐标为 ， ∴抛物线与x 轴的另一个交点坐标为 ， ， ∴ ， ，即 ，故①正确； ∵抛物线开口向下，与y 轴交于y 轴正半轴， ∴ ， ∴ ， ∴ ，故②错误； ∵抛物线与x 轴的交点坐标为(-1，0)，(3，0)， ∴方程 的两个根是 ， ，故③正确； 由函数图象可知当 时，x 的取值范围是 ，故④正确；故选．