107 待定系数法

待定系数法 【规律总结】 待定系数法，一种求未知数的方法。将一个多项式表示成另一种含有待定系数的新的 形式，这样就得到一个恒等式。然后根据恒等式的性质得出系数应满足的方程或方程组， 其后通过解方程或方程组便可求出待定的系数，或找出某些系数所满足的关系式，这种解 决问题的方法叫做待定系数法。 【典例分析】 例1、一次函数y=kx+b(k ,b 为常数，且k ≠0)的图像如图所示，根据图像信息可求得 关于x 的方程kx+b=0的解为（ ） x=−1 B x=2 x=0 D x=3 【答】 【解析】 【分析】 此题主要考查了一次函数与一元一次方程的关系，关键是正确利用待定系数法求出一次函 数解析式． 首先利用待定系数法把(2,3)，(0,1)代入y=kx+b，可得关于k、b 的方程组，再解方程组 可得k、b 的值，求出一次函数解析式，再求出方程kx+b=0的解即可． 【解答】 解：∵一次函数y=kx+b经过点(2,3)，(0,1)， ∴{ b=1 3=2k+b , 解得：{ b=1 k=1 , ∴一次函数的解析式为y=x+1， 即x+1=0， 解得：x=−1， 故选． 例2、如图，抛物线y=−x 2+2 x+3经过点、B、，抛物线顶点为E，EF ⊥x轴于F 点， M (m,0)是x 轴上一动点，是线段EF 上一点，若∠MNC=90°，则实数m 的变化范围为 ______ ． 【答】−5 4 ≤m≤5 【解析】 【分析】 本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了配方法求二次函数的最值、 待定系数法求一次函数的解析式、函数与坐标轴的交点、相互垂直的两条直线的特点等知 识点，得到m 与的函数关系式是解题的关键． 先求得抛物线的顶点坐标和点的坐标，设点的坐标为(1,n)，0≤n≤4，依据待定系数法求 得的解析式(用含的式子表示)，然后根据相互垂直的两直线的一次项系数积为−1可得到直 线M 的一次项系数，然后由点的坐标可求得M 的解析式(用含的式子表示)，接下来，令 y=0可求得m 的值(用含的式子表示)，最后依据二次函数的性质求得m 的最大值和最小值 即可求得m 的取值范围． 【解答】 解：如图所示： ∵y=−x 2+2 x+3=−( x−1) 2+4， ∴抛物线的顶点坐标为(1,4)． ∵将x=0代入y=−x 2+2 x+3得：y=3， ∴C(0,3)． 设点的坐标为(1,n)，0≤n≤4． 设直线的解析式为y=kx+3． 将N (1,n)代入得：k+3=n，解得：k=n−3． ∵∠MNC=90°， ∴直线M 的一次项系数为1 3−n (0≤n≤4且n≠3)． 设直线M 的解析式为y= 1 3−n x+b． ∵将N (1,n)代入得：1 3−n +b=n，解得：b=n− 1 3−n， ∴直线M 的解析式为y= 1 3−n x+n− 1 3−n． ∵当y=0时，1 3−n x+n− 1 3−n=0， 解得：x=n 2−3n+1，即m=n 2−3n+1(0≤n≤4且n≠3)． 当n=3时，点M (1,0)与点F 重合， 即m=1，n=3符合m=n 2−3n+1， 故m=n 2−3n+1(0≤n≤4)． ∵m=n 2−3n+1=(n−3 2 ) 2−5 4 ， ∴当n=3 2时，m 有最小值−5 4 ． 当n=4时，m 有最大值，m 的最大值¿4 2−3×4+1=5． ∴m的取值范围是：−5 4 ≤m≤5． 故答为：−5 4 ≤m≤5． 例3、在平面直角坐标系xy 中，一次函数y=kx+b(k ≠0)的图象由函数y=x的图象平 移得到，且经过点(1,2)． (1)求这个一次函数的解析式； (2)当x>1时，对于x 的每一个值，函数y=mx(m≠0)的值大于一次函数y=kx+b的值， 直接写出m 的取值范围． 【答】解：(1)∵一次函数y=kx+b(k ≠0)的图象由直线y=x平移得到， ∴k=1， 将点(1,2)代入y=x+b， 得1+b=2，解得b=1， ∴一次函数的解析式为y=x+1； (2)把点(1,2)代入y=mx求得m=2， ∵当x>1时，对于x 的每一个值，函数y=mx(m≠0)的值大于一次函数y=x+1的值， ∴m≥2． 【解析】本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数与系数的关系，数形结合是解题 的关键． (1)先根据直线平移时k 的值不变得出k=1，再将点A(1,2)代入y=x+b，求出b 的值， 即可得到一次函数的解析式； (2)根据点(1,2)结合图象即可求得． 【好题演练】 一、选择题 1. 关于x 的一次二项式ax+b的值随x 的变化而变化，分析下表列举的数据，若 ax+b=11，则x 的值是（ ） x −1 0 1 1.5 ax+b −3 −1 1 2 3 B −5 6 D 不存在 【答】 【解析】 【分析】 此题考查了解二元一次方程组，解一元一次方程，以及代数式求值，熟练掌握待定系数法 是解本题的关键． 设y=ax+b，把(0,−1)和(1,1)代入求出与b 的值，即可求出所求． 【解答】 解：设y=ax+b， 把(0,−1)和(1,1)代入得{ a+b=1 b=−1 , 解得{ a=2 b=−1 , ∴2 x−1=11， 解得：x=6． 故选． 2. 分解因式：6 x 2−13 xy+6 y 2+5 x−10 y−4的结果为（ ） (2 x−3 y+1)(3 x−2 y−4) B (2 x−3 y−1)(3 x−2 y+4) (2 x−3 y−2)(3 x−2 y+2) D (2 x−3 y+2)(3 x−2 y−2) 【答】B 【解析】 【分析】 本题主要考查了多项式的因式分解，解答此题可采用待定系数法，解答此题可设 6 x 2−13 xy+6 y 2+5 x−10 y−4=(2 x−3 y+a)(3 x−2 y+b)，然后展开比较可得关于， b 的方程组，从而可得，b 的值，即可分解多项式，从而可得结论． 【解答】 解∵6 x 2−13 xy+6 y 2=(2 x−3 y)(3 x−2 y)， ∴可设6 x 2−13 xy+6 y 2+5 x−10 y−4=(2 x−3 y+a)(3 x−2 y+b)， 即6 x 2−13 xy+6 y 2+5 x−10 y−4=6 x 2−13 xy+6 y 2+(3a+2b)x+(−2a−3b) y+ab ，、b 为待定系数， ∴{ 3a+2b=5, −2a−3b=−10 ab=−4 , , 解得a=−1，b=4， ∴原式¿(2 x−3 y−1)(3 x−2 y+4)． 故选B． 3. 已知一次函数y=3 2 x+m和 的图象都经过点A (−2,0)，且与y 轴分别交 于B，两点，那么▵ABC的面积是（ ） 2 B 3 4 D 6 【答】 【解析】 【分析】 本题考查依次函数的应用，属于中档题． 首先把(−2,0)分别代入一次函数y=3 2 x+m和y=−1 2 x+n，求出m，的值，则求出两个 函数的解析式；然后求出B、两点的坐标；最后根据三角形的面积公式求出△ABC的面积． 【解答】 解：y=3 2 x+m与y=−1 2 x+n的图象都过点A(−2,0)， ∴可得0=3 2 ×(−2)+m，0=−1 2 ×(−2)+n， ∴m=3，n=−1， ∴两函数表达式分别为y=3 2 x+3，y=−1 2 x−1， 直线y=3 2 x+3与y=−1 2 x−1与y 轴的交点分别为B(0,3)，C(0,−1)， S△ABC=1 2 BC ⋅AO=1 2 ×4×2=4． 故选． 4. 已知y 与x 的函数关系式是由两部分的和组成，一部分与x 2成正比，另一部分是常数， 且y 与x 的对应关系如表，则y 与x 的函数关系式为（ ） x 2 −1 y 3 −3 y=2 x 2−5 B y=2 x−1 y=−2 5 x 2+ 3 5 D y=2 x+1 【答】 【解析】 【分析】 本题考查了待定系数法求函数的解析式.解题的关键是根据题意设函数解析式，然后将x、y 的值代入所设解析式即可求出待定的系数即可作出判断． 【解答】 解：由题意设y 与x 的解析式为y=a x 2+b， 把x=2，y=3和x=−1，y=−3代入得 { 4 a+b=3 a+b=−3，解得{ a=2 b=−5， ∴y与x 的函数关系式为y=2 x 2−5． 故选． 5. 正比例函数y=kx，当x 每增加3 时，y 就减小4，则k=（ ） 3 4 B −3 4 4 3 D −4 3 【答】D 【解析】 【分析】 本题考查了待定系数法求正比例函数的解析式：设正比例函数解析式为y=kx，然后把一 个点的坐标代入求出k 即可得到正比例函数解析式． 由于自变量增加3，函数值相应地减少4，则y−4=k( x+3)，然后展开整理即可得到k 的 值． 【解答】 解：根据题意得y−4=k( x+3)， y−4=kx+3k， 而y=kx， 所以3k=−4， 解得k=−4 3 ． 故选D． 6. 已知y 与x 成正比，当x=2时，y=8，那么当y=16时，x 等于（ ） 4 B −4 3 D −3 【答】 【解析】 【分析】 设出函数解析式，将x=2, y=8代入函数解析式即可求出k 的值，进而可得解析式，再把 y=16代入可得答． 【解答】 解：设y=kx， 把x=2, y=8代入上式得： 则8=2k， 解得，k=4． ∴函数解析式为y=4 x， 把y=16代入可得：16=4 x， 解得：x=4， 故选． 二、填空题 7. 已知y−2与x 成正比例，且x=2时，y=4，则y 与x 的函数关系式是_________；当 y=3时，x=¿__________． 【答】y=x+2 1 【解析】 【分析】 本题主要考查的知识点是待定系数法求一次函数解析式.解题关键是熟练掌握待定系数法求 一次函数解析式的具体步骤.先根据题意把 y−2看成一个整体，因为 y−2与 x 成正比例， 设 y−2=¿ kx，将 x=2， y=4代入，求出 k 即可得函数关系式为 y=¿ x+2.把y=3代入 函数关系式，可得 x 的值为1． 【解答】 解：设y 与x 的函数关系式为y−2=kx， ∴2k=4−2， 解得k=1， ∴y−2=x， ∴y=x+2． ∴y与x 的函数关系式为y=x+2． 把y=3代入函数关系式，可得 x=1， 故答为y=x+2，1． 8. 已知y−2与2 x+1成正比例，且当x=2时，y=−7，则y 与x 的函数解析式是 ． 【答】y=−18 5 x+ 1 5 【解析】 【分析】 此题考查了正比例函数的定义，待定系数法求一次函数解析式，根据y−2与2 x+1成正比 例，设y−2=k(2 x+1)，根据当x=2时，y=−7，得到k 的值，即可得到y 与x 的函数解 析式． 【解答】 解：∵y−2与2 x+1成正比例， ∴设y−2=k(2 x+1)， ∵当x=2时， y=−7， ∴−7−2=5k， 即k=−9 5 ， ∴y−2=−9 5 (2 x+1)， ∴y=−18 5 x+ 1 5， 故答为y=−18 5 x+ 1 5． 9. 已知y−3与x−2成正比，且当x=−2时, y=−1，则y 与x 的函数解析式为_______ _． 【答】y=x+1 【解析】 【分析】 此题考查了正比例函数的定义，待定系数法求一次函数解析式，根据y−3与x−2成正比例， 设y−3=k( x−2)，根据当x=−2时，y=−1，得到k=1，即可得到y 与x 的函数解析式． 【解答】 解：∵y−3与x−2成正比例， ∴设y−3=k( x−2)， ∵当x=−2时， y=−1， ∴−4=−4 k， 即k=1， ∴y−3=x−2， ∴y=x+1， 故答为y=x+1． 10. 某地长途汽车客运公司规定旅客可随身携带一定质量的 行李，如果超过规定，则需要购买行李票，行李票费用 y(元)是行李质量x(kg)的一次函数，其图象如图所示， 则旅客可免费携带的行李的质量是_______kg． 【答】30 【解析】 【分析】 本题主要考查了函数的图象和用待定系数法求一次函数关系式，并会用一次函数研究实际 问题，具备在直角坐标系中的读图能力．注意自变量的取值范围不能遗漏． 由图已知直线上两坐标，可根据待定系数法列方程，求函数关系式，旅客可免费携带行李 即y=0，代入所求得的函数关系式，即可知质量为多少． 【解答】 解：设一次函数y=kx+b， ∵当x=60时，y=6，当x=80时，y=10， ∴{ 60k+b=6 80k+b=10 ∴{ k=1 5 b=−6 , ∴所求函数表达式为y=1 5 x−6， 当y=0时，1 5 x−6=0， ∴x=30， 故旅客可免费携带的行李的质量是30kg． 故答为30． 11. 已知一次函数y=kx+b的图像经过点A(1,−5)，且与直线y=−3 x+2平行，那么该 一次函数的解析式为_________． 【答】y=−3 x−2 【解析】 【分析】 此题主要考查了两条直线平行问题，关键是掌握若两条直线是平行的关系，那么他们的自 变量系数相同，即k 值相同． 根据两条直线平行，则k 值相等，再根据一次函数的图象经过点(1,−5)，求得b 的值，就 得到函数解析式． 【解答】 解：∵y=kx+b与直线y=−3 x+2平行， ∴k=−3， ∴y=−3 x+b， ∵一次函数的图象经过点(1,−5)， ∴b=−2. ∴这个一次函数的解析式是y=−3 x−2. 故答为y=−3 x−2． 12. 若y−2与x−3成正比例，且x=4时，y=3，则y 与x 的函数解析式为________． 【答】y=x−1 【解析】 【分析】 此题考查了正比例函数的定义，待定系数法求一次函数解析式，根据y−2与x−3成正比例， 设y−2=k( x−3)，根据当x=4时，y=3，得到k=1，即可得到y 与x 的函数解析式． 【解答】 解：∵y−2与x−3成正比例， ∴设y−2=k( x−3)， ∵当x=4时，y=3， ∴3−2=k， 即k=1， ∴y−2=x−3， ∴y=x−1， 故答为y=x−1． 三、解答题 13. 为了美化环境，建设宜居成都，我市准备在一个广场上种植甲、乙两种花卉，经市场 调查，甲种花卉的种植费用y(元)与种植面积x(m 2)之间的函数关系如图所示，乙种花 卉的种植费用为每平方米100 元． (1)直接写出当0≤x ≤300和x>300时，y 与x 的函数关系式； (2)广场上甲、乙两种花卉的种植面积共1200m 2，若甲种花卉的种植面积不少于 200m 2，且不超过乙种花卉种植面积的2 倍，那么应该怎样分配甲、乙两种花卉的种 植面积才能使种植总费用最少？最少总费用为多少元？ 【答】解：(1) y={ 130 x (0≤x ≤300) 80 x+15000 ( x>300) (2)设甲种花卉种植为am 2，则乙种花卉种植(1200−a)m 2． ∴{ a≥200 a≤2(1200−a)， ∴200≤a≤800 当200≤a≤300时，W 1=130a+100(1200−a)=30a+120000． 当a=200 时．W min=126000元 当300<a≤800时，W 2=80a+15000+100(1200−a)=135000−20a． 当a=800时，W min=119000元 ∵119000<126000 ∴当a=800时，总费用最少，最少总费用为119000 元． 此时乙种花卉种植面积为1200−800=400m 2． 答：应该分配甲、乙两种花卉的种植面积分别是800m 2和400m 2，才能使种植总费用最少， 最少总费用为119000 元． 【解析】本题是看图写函数解析式并利用解析式的题目，考查分段函数的表达式和分类讨 论的数学思想． (1)由图可知y 与x 的函数关系式是分段函数，待定系数法求解析式即可． (2)设甲种花卉种植为am 2，则乙种花卉种植(1200−a)m 2，根据实际意义可以确定的范 围，结合种植费用y(元)与种植面积x(m 2)之间的函数关系可以分类讨论最少费用为多少． 14. 如图，直线y=−1 2 x−3与x 轴，y 轴分别交于点，，经过点，的抛物线 y=a x 2+bx−3与x 轴的另一个交点为点B(2,0)，点D 是抛物线上一点，过点D 作 DE⊥x轴于点E，连接D，DC .设点D 的横坐标为m． (1)求抛物线的解析式； (2)当点D 在第三象限，设△DAC的面积为 S，求S 与m 的函数关系式，并求出S 的最大 值及此时点D 的坐标； (3)连接B，若∠EAD=∠OBC，请直接写 出此时点D 的坐标． 【答】解：(1)在y=−1 2 x−3中，当y=0时，x=−6， 即点的坐标为：(−6,0)， 将A(−6,0)，B(2,0)代入y=a x 2+bx−3得： { 36a−6b−3=0 4 a+2b−3=0 ， 解得：{ a= 1 4 b=1 ， ∴抛物线的解析式为：y= 1 4 x 2+x−3； (2)如图，设DE 交于点F， 设点D 的坐标为：(m, 1 4 m 2+m−3)，则点F 的坐标为：(m,−1 2 m−3)， ∴DF=−1 2 m−3−( 1 4 m 2+m−3)=−1 4 m 2−3 2 m， ∴S△ADC=S△ADF+S△DFC ¿ 1 2 DF ⋅AE+ 1 2 ⋅DF ⋅OE ¿ 1 2 DF ⋅OA ¿ 1 2 ×(−1 4 m 2−3 2 m)×6 ¿−3 4 m 2−9 2 m ¿−3 4 (m+3) 2+ 27 4 ， ∵a=−3 4 <0， ∴抛物线开口向下， ∴当m=−3时，S△ADC存在最大值27 4 ， 又∵当m=−3时，1 4 m 2+m−3=−15 4 ， ∴存在点D(−3,−15 4 )，使得△ADC的面积最大，最大值为27 4 ； (3)①当点D 与点关于对称轴对称时，D(−4 ,−3)，根据对称性此时∠EAD=∠ABC． ②作点D(−4 ,−3)关于x 轴的对称点D'(−4,3)， 设直线AD'的解析式为y=kx+n，则 { 0=−6 k+n 3=−4 k+n , 解得：{ k=3 2 n=9 , ∴直线AD'的解析式为y=3 2 x+9， 联立{ y=3 2 x+9 y= 1 4 x 2+x−3 ，解得{