专题03 二次函数图像与系数关系的三种考法（解析版）

17 （北京）股份有限公司 （北京）股份有限公司 专题03 二次函数图像与系数关系的三种考法 类型一、函数图像与，b，关系 例．如图，抛物线 与x 轴相交于点 ， ，与y 轴相交于点，小红同学得出了以 下结论：① ；② ；③当 时， ；④ ．其中正确的个数为 （ ） ．4 B．3 ．2 D．1 【答】B 【分析】根据二次函数与x 轴交点个数可判断①，根据二次函数的对称轴可判断②，直接观察图像可判断 ③，根据 时，y 的值的正负可判断④． 【详解】∵抛物线与x 轴有两个交点， ∴ ， ∴①正确； ∵抛物线 与x 轴相交于点 ， ， ∴抛物线的对称轴为 ， ， ， ∴②正确； 17 （北京）股份有限公司 （北京）股份有限公司 观察图像可知当 时， ， ∴③正确； 由 得， 时， ， 由图知， 时， ， ∴ ， ∴④错误．综上，正确的有3 个， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图像与系数之间的关系，二次函数图像的性质等知识．掌握数形结合 思想，以及二次函数图像与系数的关系是解题的关键． 【变式训练1】已知二次函数 的图象如图所示，给出下列结论：① ；② ；③ （m 为任意实数）；④若点 和点 在该图象上，则 ． 其中正确的结论是（ ） ．①② B．①④ ．②③ D．②④ 【答】D 【分析】由抛物线的开口向下，与y 轴交于正半轴，对称轴在y 轴的左边，可得 ， ， ，故① 不符合题意；当 与 时的函数值相等，可得 ，故②符合题意；当 时函数值 最大，可得 ，故③不符合题意；由点 和点 在该图象上，而 ，且离抛物线的对称轴越远的点的函数值越小，可得④符合题意． 【详解】解：∵抛物线的开口向下，与y 轴交于正半轴，对称轴在y 轴的左边， ∴ ， ， ， ∴ ， ∴ ，故①不符合题意； ∵对称轴为直线 ， ∴当 与 时的函数值相等， 17 （北京）股份有限公司 （北京）股份有限公司 ∴ ，故②符合题意； ∵当 时函数值最大， ∴ ， ∴ ；故③不符合题意； ∵点 和点 在该图象上， 而 ，且离抛物线的对称轴越远的点的函数值越小， ∴ ．故④符合题意；故选：D． 【点睛】本题考查的是二次函数的图象与性质，熟记二次函数的开口方向，与y 轴的交点坐标，对称轴方 程，增减性的判定，函数的最值这些知识点是解本题的关键． 【变式训练2】如图，已知抛物线 与直线 交于 和 两点，现有以下结论：① ；② ；③ ；④当 时， ；⑤当 时， ，其中正确的序号是（ ） ．①②⑤ B．①③④ ．②③④ D．②③⑤ 【答】 【分析】根据抛物线开口向上，与 轴交于正半轴，对称轴大于0，得出 ，即可判断①； 由抛物线 与 轴无交点，可得 ，判断②；当 时， ，即可判断 ③；当 时，二次函数值小于一次函数值，可得 来求解④；把 和 两点代入 求出抛物线解析式，进而求出抛物线与双曲线的交点坐标，分第一象限内和第三象限内来求 解⑤． 【详解】解：∵抛物线开口向上，与 轴交于正半轴，对称轴大于0，得出 ， ∴ ， 故①不正确； ∵抛物线 与x 轴无交点， ∴ ，故②正确； 17 （北京）股份有限公司 （北京）股份有限公司 当 时， ， 即 ，故③正确； ∵当 时，二次函数值小于一次函数值， ∴ ， ∴ ，故④正确； 把 和 两点代入 得： ， 解得： ， ∴抛物线的解析式为 ， 当 时， ， ， 抛物线和双曲线的交点坐标为 ， ∴当 时， 或 ，故⑤不正确． 综上所述，正确的有②③④． 故选：． 【点睛】本题考查了一次函数与二次函数的综合应用，二次函数与反比例函数图象综合，注意掌握数形结 合思想的应用，熟练掌握二次函数图象的性质是解题的关键． 【变式训练3】如图，二次函数 的图像关于直线 对称，与 轴交于 ， 两 点，若 ，则下列四个结论：① ，② ，③ ，④ ．正确结 论的个数为（ ） ．1 个 B．2 个 ．3 个 D．4 个 【答】 【分析】根据二次函数的对称性即可判断①；由开口方向和对称轴即可判断②；根据抛物线与x 轴的交点 17 （北京）股份有限公司 （北京）股份有限公司 有两个即可判断③；根据抛物线的开口方向、对称轴，与y 轴的交点即可判断④． 【详解】解：∵对称轴为直线 ， ， ∴ ，①正确， ∵ = 1， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ，②正确； ∵抛物线与x 轴有两个交点， ∴ ，③正确； ∵抛物线开口向上，与y 轴的交点在x 轴下方， ∴ ， ∴ ，即④错误． 故选． 【点睛】本题主要考查图像与二次函数系数之间的关系、二次函数图像的性质等知识点，掌握数形结合思 想以及二次函数图像与系数的关系是解答本题的关键． 【变式训练4】如图，抛物线 的对称轴是直线 ，并与x 轴交于，B 两点，若 ，则下列结论：① ；② ；③ ；④若m 为任意实数，则 ，其中正确的是（ ） ．①②③ B．②③④ ．①②④ D．①③④ 【答】B 【分析】根据抛物线的开口方向，判定 ；对称轴的位置，判定 ；抛物线与y 轴的交点，判定 ， 从而判定 ；根据对称轴是直线 ，确定 ；根据 ，得 ，求出点B 的坐标，从而得到 ，确定 ，可以判定②③；计算函数的最小值为： 17 （北京）股份有限公司 （北京）股份有限公司 ，从而得到 ，代入化简，判定④． 【详解】解：因为抛物线的开口方向， 所以 ； 因为对称轴是直线 ， 所以 ， ； 因为抛物线与y 轴的交点位于负半轴， 所以 ， 所以 ； 故①错误； 因为 ， 所以， ， 所以 ，即 ， 所以 ， 所以 ， 所以 ，即②正确； 所以 ，即③正确； 根据题意，得抛物线有最小值，且最小值为： ，所以 ， 所以 ， 所以 ， 所以 ，④正确． 故选B． 【点睛】本题考查了抛物线的图像及其性质、对称轴、最值、抛物线与x 轴的交点坐标等知识点，熟练掌 握抛物线的性质，特别是对称性和最值是解题的关键． 17 （北京）股份有限公司 （北京）股份有限公司 类型二、二次函数与一次函数关系 例．在同一平面直角坐标系中，函数 与 的图象可能是（ ） A． B． ． D． 【答】D 【分析】对比各个选项中二次函数和一次函数图象的规律，可分别得到各个函数系数的取值范围；通过函 数系数对比，即可得到答． 【详解】解：选项中， 开口朝上，与y 轴交点在原点下方，∴ ， ， 而 函数y 随x 增大而增大，与y 轴交点在原点下方，∴ ， ， ∴选项不符合题意； B 选项中， 开口朝上，与y 轴交点在原点上方，∴ ， ， 而 函数y 随x 增大而减少，与y 轴交点在原点上方，∴ ， ， ∴B 选项不符合题意； 选项中， 开口朝下，与y 轴交点在原点下方，∴ ， ， 而 函数y 随x 增大而减少，与y 轴交点在原点上方，∴ ， ， ∴选项不符合题意； D 选项中， 开口朝下，与y 轴交点在原点上方，∴ ， ， 而 函数y 随x 增大而增大，与y 轴交点在原点下方，∴ ， ， ∴D 选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数和一次函数的知识；求解的关键是熟练掌握二次函数、一次函数图象的性质， 从而完成求解． 【变式训练1】一次函数 与二次函数 在同一坐标系内的图象可能为（ ） 17 （北京）股份有限公司 （北京）股份有限公司 ． B． ． D． 【答】B 【分析】根据一次函数与二次函数的性质，分析解析式中的 的符合，即可求解． 【详解】解： 一次函数 中 ，二次函数 中， ，矛盾，不 合题意； B 一次函数 中 ，二次函数 中， ，符合题意； 一次函数 中 ，二次函数 中， ，矛盾，不合题意； D 一次函数 中 ，二次函数 中， ，矛盾，不合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了一次函数与二次函数的性质，熟练掌握一次函数与二次函数的性质是解题的关键． 【变式训练2】函数 与 的图象可能是（ ） ． B． ． D． 【答】B 【分析】根据一次函数图象与系数的关系，二次函数图象和系数的关系进行判断； 【详解】解：当 时， ，二次函数开口向上，当 时一次函数过一，二，四象限，当 时 一次函数过二，三，四象限； 17 （北京）股份有限公司 （北京）股份有限公司 当 时， ，二次函数开口向下，当 时一次函数过一，二，三象限，当 时一次函数过一， 三，四象限． 所以B 正确． 故选：B． 【点睛】本题考查了一次函数图象，二次函数的图象，熟练掌握函数的性质是解题的关键 【变式训练3】在同一坐标系中，一次函数 与二次函数， 的图象可能是( ) ． B． ． D． 【答】D 【分析】根据一次函数的 和二次函数的 即可判断出二次函数的开口方向和一次函数经过 轴正半 轴，从而排除和，分情况探讨 的情况，即可求出答 【详解】解： 二次函数为 ， ， 二次函数的开口方向向上， 排除选项 一次函数 ， ， 一次函数经过 轴正半轴， 排除选项 当 时，则 ， 一次函数经过一、二、四象限，二次函数 经过 轴正半轴， 排除B 选项 当 时，则 ，一次函数经过一、二、三象限， 二次函数 经过 轴负半轴， D 选项符合题意故选：D 【点睛】本题考查了一次函数和二次函数的图像性质，解题的关键在于熟练掌握图像性质中系数大小与图 像的关系 【变式训练4】函数 与 在同一直角坐标系中的大致图象可能是（ ） 17 （北京）股份有限公司 （北京）股份有限公司 ． B． ． D． 【答】 【分析】根据一次函数与二次函数的性质判断即可． 【详解】解：∵ ，∴ 经过一、三象限； 当 时，二次函数 开口向上，与y 轴的交点在负半轴上， 当 时，二次函数 开口向下，与y 轴的交点在正半轴上， ∴只有选项符合题意；故选：． 【点睛】题目主要考查一次函数与二次函数图象的判断，熟练掌握一次函数与二次函数的性质是解题关键． 类型三、二次函数与反比例函数 例．已知二次函数 的图像如图，则一次函数 与反比例函数 在 同一平面直角坐标系中的图像大致是（ ） ． B． ． D． 【答】D 【分析】根据二次函数图像与系数的关系，确定二次函数 中系数的符号，由此即可求解． 【详解】解：根据题意得，二次函数 中， ，对称轴 ， 17 （北京）股份有限公司 （北京）股份有限公司 ∴ ， ∴ ， ∵二次函数 与 轴有交点， ∴ ， 从图像可知 时，二次函数 ， ∴一次函数 的图像经过第一、二、四象限，反比例函数 的图像经过第二、四 象限， ∴ 选项，一次函数图像经过第一、三、四象限，反比例函数经过第一、三象限，不符合题意； 选项，一次函数图像经过第一、二、三象限，反比例函数经过第一、三象限，不符合题意； 选项，一次函数图像经过第一、二、四象限，反比例函数经过第一、三象限，不符合题意； 选项，一次函数图像经过第一、二、四象限，反比例函数经过第二、四象限，符合题意； 故选： ． 【点睛】本题主要考查二次函数，一次函数，反比例函数图像的综合，掌握二次函数图像、一次函数图像、 反比例函数图像与系数的关系是解题的关键． 【变式训练1】若二次函数 的图象如图所示，则一次函数 与反比例函数 在同 一坐标系内的大致图象为（ ） ． B． ． D． 【答】D 【分析】由抛物线开口方向，对称轴位置及抛物线与y 轴交点位置判断，b，的符号，从而可得直线与反比 例函数图象的大致图象． 【详解】解：∵抛物线开口向上， ∴ ， ∵抛物线对称轴在y 轴左侧， ∴ ， 17 （北京）股份有限公司 （北京）股份有限公司 ∴ ∵抛物线与y 轴交点在x 轴下方， ∴ ， ∴直线 经过第一，三，四象限，反比例函数 图象分布在第二、四象限， 故选：D． 【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握函数图象与系数的关系． 【变式训练2】在同一平面直角坐标系中，一次函数 和反比例函数 的图象如右图所示，则 二次函数 的图象可能是（ ） ． B． ． D． 【答】 【分析】根据一次函数图象可得 ，根据反比例函数可得 ，据此即可求解． 【详解】解：∵一次函数 的图象经过一、三、四象限， ∴ ， ∵反比例函数 的图象在第二、四象限， ∴ ， ∴抛物线的开口向上，对称轴在 轴的右侧，与 轴交于负半轴， 故选：． 【点睛】本题考查了一次函数、反比例函数、二次函数图象综合判断，熟练掌握以上函数图象的性质是解 题的关键． 【变式训练3】如图，二次函数 与反比例函数 在同一平面直角坐标系内的图象可能是（ ） 17 （北京）股份有限公司 （北京）股份有限公司 ． B． ． D． 【答】D 【分析】根据 可知，二次函数图象与y 轴交点为 时，即二次函数图象过原点．再分两种情 况即 ， 时结合二次函数 中，b 同号对称轴在y 轴左侧，，b 异号对称轴在y 轴右侧 来判断出二次函数与反比例函数图象所在象限，找到符合题意的即为正确答． 【详解】解：①当 时，二次函数 开口向上，过原点，对称轴在y 轴左侧，故二次函数在一、 二、三象限，反比例函数在一、三象限； ②当 时，二次函数 开口向下，过原点，对称轴在y 轴左侧，故二次函数在二、三、四象 限，反比例函数在二、四象限， 观察图象可知只有D 符合， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了二次函数图象以及反比例函数图象的性质，解题的关键是根据二次函数中的取值 确定二次函数以及反比例函数的图象． 【变式训练4】如图，一次函数 和反比例函数 图像，则二次函数 的图像可能 是( ) ． B． ． D． 【答】B 【分析】根据一次函数与反比例函数的图象位置，确定出 的正负，进而利用二次函数图象与性质 判断即可． 【详解】解：观察图象可得： ， 17 （北京）股份有限公司 （北京）股份有限公司 二次函数图象开口向上，对称轴在 轴右侧，与 轴交点在负半轴， 则二次函数 的图象可能是 ， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象，一次函数图象，以及二次函数的图象，熟练掌握各自图象的 性质是解本题的关键． 课后训练 1．已知抛物线 经过点 和 ，下列结论：① ；② ；③当 时，抛物线与x 轴必有一个交点在点 的右侧；④抛物线的对称轴为 ．其中结论正确的个 数有（ ） ．1 个 B．2 个 ．3 个 D．4 个 【答】 【分析】把点 代入抛物线的解析式即可确定①，根据 的值的情况即可确定②，根据抛物线 的对称轴和 即可确定③，根据抛物线的对称轴的公式即可确定④．从而可得答 【详解】解：把点 代入 中， 得： ， 故①正确， 由 ， 得 ， 即＝ ， 17 （北京）股份有限公司 （北京）股份有限公司 ②错误， 当 时，抛物线开口向下，而 ， ∴抛物线的对称轴 ， 又∵抛物线经过 ， ∴另一个交点到y 轴的距离大于1， ∴抛物线与x 轴必有一个交点在 的右侧， ∴③正确，④正确， 正确的为①③④，共个 故选． 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数决定抛物线的开口方向和大小，当 时， 抛物线向上开口；当 时，抛物线向下开口；一次项系数b 和二次项系数共同决定对称轴的位置：当与 同号时，对称轴在y 轴左；当与b 异号时，对称轴在y 轴右．常数项决定抛物线与y 轴交点：抛物线与y 轴 交于 ． 2．某二次函数 的部分图象如图所示，下列结论中一定成立的有（ ） ① ；② ；③ ； ④ ． ．个 B． 个 ．个 D． 个 【答】B 【分析】由抛物线的开口方向判断 与0 的关系，由抛物线与 轴的交点判断 与0 的关系，然后根据对 称轴及抛物线与 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】解：①函数的对称轴在 轴右侧，则 ，抛物线与 轴交于负半轴，则 ，则 ，故 ①正确； ②函数的对称轴为 ，函数和 轴的一个交点是 ，则另外一个交点为 ，当 时， ，故②错误； 17 （北京）股份有限公司 （北京）股份有限公司 ③函数的对称轴为 ，即 ，故③错误； ④由②③得， ， ，故 ，而抛物线开口向上，则 ，即 ，故 ， 故④正确； 故选：B． 【点睛】主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求 与 的关系，以及二次函数 与方程之间的转换是解题的关键． 3．某足球队在某次训练中，一队员在距离球门 处挑射，正好射中了 高的球门横梁．若足球运动 的路线是抛物线 ，如图所示，则下列结论：① ；② ；③ ；④ ．其中正确的是（ ） ．①③ B．②③ ．①④ D．②④ 【答】 【分析】根据二次函数的性质得出，b 的符号，再利用图上点的坐标得出，b 关系，进一步即可作出判断． 【详解】解：∵抛物线 开口向下，对称轴 在y 轴右侧，即 ， ∴ ， ， 由抛物线 过点 ， ，代入得： ， ，得 ，而 ， 解得： ，故此选项①正确，②错误； ， ∵ ，∴ ， ∴无法判断 与0 的大小关系，故③错误； 由图象可知，抛物线的对称轴的横坐标小于6 即 ， 17 （北京）股份有限公司 （北京）股份有限公司 ∵ ，∴ ，∴ ，故此选项④正确； 综上可知，①④正确，故选：． 【点睛】此题主要考查了二次函数的图象和性质，根据题意得出图象上的点进而得出，b 的关系是解决问 题的关键． 4．如图是一次函数 的图象，则二次函数 的图象可能为（ ） ． B． ． D． 【答】 【分析】先根据一次函数图象确定 ，进而确定二次函数开口向上，对称轴在y 轴左侧，由此即 可得到答． 【详解】解：∵一次函数 的图象经过第一、二、三象限且与y 轴交于y 轴的正半轴， ∴ ， ∴二次函数 的图象的开口向上， ∵二次函数的对称轴为直线 ， ∴二次函数的对称轴在y 轴左侧， ∴四个选项中只有选项中的函数图象符合题意， 故选． 【点睛】本题主要考查了一次函数图象与二次函数图象综合判断，正确求出 是解题的关键． 5．二次函数 （ ）的图象如图所示，则一次函数 （ ）与反比例函数 （ ）在同一平面直角坐标系中的图象大致是（ ） 17 （北京）股份有限公司 （北京）股份有限公司 ． B． ． D． 【答】 【分析】由二次函数的图象可得： ， ， ，可得一次函数 的图象经过一，三，四象限， 的图象在二，四象限，从而可得答． 【详解】解：由二次函数的图象可得： ， ， ， ∴一次函数 的图象经过一，三，四象限， 的图象在二，四象限， ∴B，，D 不符合题意，符合题意； 故选 【点睛】本题考查的是由二次函数的图象判断各项系数的符号，一次函数与反比