专题01 根与系数的四种考法（解析版）

专题01 根与系数的四种考法 【知识点精讲】 根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程x2+bx+＝0（≠0）的两根时，x1+x2¿−b a，x1x2 ¿ c a． 类型一、整体代换求值 例1．若 是一元二次方程 的两个实数根，则 ． 【答】 / 【分析】由一元二次方程的根与系数的关系得， ， ，然后代入求解即可． 【详解】解：由一元二次方程的根与系数的关系得， ， ， ∴ ， 故答为： ． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，代数式求值．解题的关键在于熟练 掌握：一元二次方程 的两个实数根 ， 满足 ， ． 例2．已知 ， 是方程 的两根，则 ． 【答】 【分析】利用根与系数的关系得到 ， ，再利用完全平方公式进行计算即 可． 【详解】解：根据题意得 ， ， ∴ = ． 故答为： ． 【点睛】本题考查了根与系数的关系：若 ， 是一元二次方程 的 两根，则有 ， ． 例3．已知 是方程 的两个实数根，则 的值是 ． 【答】 【分析】利用根与系数的关系求出 ，把 代入方程得到关系式，变形后代入 计算即可． 【详解】解：∵ 是方程 的两个实数根， ∴ ， ∴把 代入方程 得： ， 可得 ， ∴ ， 故答为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，已知式子的值求代数式的值，掌握一 元二次方程根与系数的关系是解本题的关键． 例4．已知方程 的两根分别为 ， ，则 的值为 ． 【答】-1 【分析】首先得到代数式 x1x2=1， x1 2−2021x1=-1，然后整体代入求值． 【详解】解：∵ x2−2021x+1=0 的两根分别为 x1，x2， ∴有 x1x2=1， x1 2−2021x1=-1， ∴原式= ， 故答为-1． 【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系以及方程解得定义，整体思想的应用是解 决问题的关键． 【变式训练1】已知关于x 的方程 有两个不相等的实数根． (1)求m 的取值范围． (2)若两个实数根分别是 ， ，且 ，求m 的值． 【答】(1) (2) 【分析】（1）根据题意可得 ，继而求得实数 的取值范围； （2）由方程的两个实数根为 、 ，且 ，可得方程 ，解 关于 的方程求得答． 【详解】（1）解： 关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根． ， 即 ； （2）解：由根与系数的关系可知： ， ， ， ， 解得 或 ， 而 ， 的值为 ． 【点睛】此题考查了根的判别式以及根与系数的关系．注意 方程有两个不相等的 实数根，若二次项系数为1，常用以下关系： ， 是方程 的两根时， ， ． 【变式训练2】已知 ， 是方程 的两个根，则代数 的值为 ． 【答】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系以及解的定义，得 ，再代入降次求值即可． 【详解】解：由题意，得 ， ， ， 原式 ， ， ， = ． 故答为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，整式的化简求值，本题的关键是熟练 掌握一元二次方程根与系数的关系． 类型二、降幂思想求值 例．若 ， 是方程 的两根，则 ． 【答】 【分析】根据一元二次方程根的定义，以及一元二次方程根与系数关系可得 ， ，则 ， ，代入代数式即可求解． 【详解】解：∵ ， 是方程 的两根， ∴ ， ， ∴ ， ， 即 ， ∴ ， 故答为： ． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的定义，一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握以 上知识是解题的关键． 【变式训练1】设方程 的两个根是 ，则 的取值是 【答】-42 【分析】根据一元二次方程根的定义，以及根与系数的关系得到x1 2=1-x1， x2 2=1-x2， x1+x2=-1，再化简求得x1 5=5x1-3，x2 3=2x2-1，再整体代入即可求解． 【详解】解：∵方程x2=-x+1 的两个根是x1，x2， ∴x1 2=1-x1， x2 2=1-x2，x1+x2=-1， ∴x1 5=(x1 2)2・x1=(1-x1) 2・x1 =(1-2x1+ x1 2)・x1=(1-2x1+1-x1)・x1=(2-3x1)・x1=2x1-3x1 2=2x1-3(1-x1)=5x1-3， x2 3= x2 2・x2=(1-x2)・ x2=x2- x2 2=x2-(1-x2)=2x2-1， ∴原式=4(5x1-3)+10(2x2-1)=20(x1+ x2)-22=20 (-1)-22=-42． 故答为：-42． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解以及根与系数的关系，若x1，x2是一元二次方程 x2+bx+=0（≠0）的两根时， ， ． 【变式训练2】已知 ， 是方程 的两个实数根，则 【答】 【分析】 ， 是方程 的两个实数根，可得 再把 降次化为 ，从而 可得答 【详解】解： ， 是方程 的两个实数根， 故答为： 【点睛】本题考查的是一元二次方程的根与系数的关系，一元二次方程解的含义，掌握 “利用一元二次方程的解把代数式进行降次”是解题的关键 【变式训练3】设、b 是方程 的两实数根，则 ． 【答】2022 【分析】先根据一元二次方程的根的定义可得 ，从而可得 ， ，再根据一元二次方程的根与系数的关系可得 ，从而可得 ， 然后代入计算即可得． 【详解】解： 是 的两实数根， ， ， ， ， ， 则 ， 故答为：2022． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根、一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握一元 二次方程的根与系数的关系是解题关键． 类型三、构造方程化简求值 例．已知实数 、 满足 ， ，则 ． 【答】 或 【分析】实数 、 满足等式 ， ，①当 时， ， 可能是方 程 的同一个根，两数相等；②当≠b 时，由根与系数的关系，得 ， ，把代数式变形成与两根之和和两根之积有关的式子，代入两根之和与两根之积， 即可求得代数式的值． 【详解】解：①当 时，原式 ． ②当 时，可以把 ， 看作是方程 的两个根． 由根与系数的关系，得 ， ． ∴ ．故本题答为： 或 ． 【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的应用以及分类讨论思想的运用．此题综合性较 强，特别注意不要漏掉“ ”的情况． 【变式训练1】非零实数m， 满足 ， ，则 ． 【答】 / 【分析】根据已知判断出m，是方程 的两实数根，然后利用根与系数关系即可 求解． 【详解】解：∵实数 ， 满足等式 ， ， ∴m，是方程 的两实数根， ∴ ， ， ∴ ， 故答为： ． 【点睛】本题考查了方程的解以及一元二次方程的根与系数关系，能熟练利用方程解的定 义得到m，是方程 的两实数根是解题的关键． 【变式训练2】若实数、b 满足 ， ，则 的值是 ． 【答】 【分析】由题意可知 ， 分别是方程 的两个实数根，可得 ． ， 据此即可求解． 【详解】解： ， ， ， ， ， 分别是方程 的两个实数根， ， ， ， 故答为： ． 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，代数式求值问题，熟练掌握和运用一 元二次方程根与系数的关系是解决本题的关键． 类型四、求参数值（易错点） 例．已知关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，且 ，则实数 ． 【答】3 【分析】利用一元二次方程 有两个不相等的实数根求出m 的取值 范围，由根与系数关系得到 ，代入 ，解得 的值，根据求得的m 的取值范围，确定m 的值即可． 【详解】解：∵关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根， ∴ ， 解得 ， ∵ ， ， ∴ ， 解得 （不合题意，舍去）， ∴ 故答为：3 【点睛】此题考查一元二次方程根的判别式和一元二次方程根与系数关系，熟练掌握根的 判别式和根与系数关系的内容是解题的关键． 【变式训练1】已知关于x 的一元二次方程 的实数根 ，满足 ，则m 的取值范围是 ． 【答】 【分析】根据根的判别式Δ≥0、根与系数的关系列出关于m 的不等式组，通过解该不等式 组，求得m 的取值范围． 【详解】解：由题意得： ， 所以 ， 依题意得： ， 解得4＜m≤5． 故答是：4＜m≤5． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式的应用，解此题的关键是得出关于m 的不 等式，注意：一元二次方程x2+bx+=0（、b、为常数，≠0）①当b2-4＞0 时，一元二次方程 有两个不相等的实数根，②当b2-4=0 时，一元二次方程有两个相等的实数根，③当b2-4＜0 时，一元二次方程没有实数根． 【变式训练2】若 ， 是方程 的两个根，且 ，则 m 的值为 ． 【答】3 【分析】根据根与系数的关系结合 ，可得出关于m 的一元二次方程，解 之即可得出m 的值，再根据方程有实数根即可得出关于m 的一元一次不等式，解之即可得 出m 的取值范围，从而即可确定m 的值，此题得解． 【详解】解：∵ ， 是方程 的两个根， ∴ ， ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ， ∵方程 有两个实数根， ∴ ， 解得： ， ∴ ， 故答为：3． 【点睛】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，根据根与系数的关系结合 ，列出关于m 的一元二次方程是解题的关键． 【变式训练3】关于 的一元二次方程 的两个实数根是 ， ，满足 ，则 的取值范围是 ． 【答】 【分析】根据题意可得出 ， ，整体代入 ， 即可求出 ．再根据一元二次方程有两个实数根时，其根的判别式 ，可求出 ， 最后取其公共解即可． 【详解】解：∵关于 的一元二次方程 的两个实数根是 ， ， ∴ ， ， ∴ ， ∴ ． ∵ ，∴ ，解得： ． ∵该方程有两个实数根， ∴ ，解得： ，∴ ．故答为： ． 【点睛】本题考查一元二次方程的解的定义，一元二次方程根与系数的关系，根据一元二 次方程的解的情况求参数．掌握一元二次方程 的根的判别式为 ，且当 时，该方程有两个不相等的实数根；当 时，该方程有两个相 等的实数根；当 时，该方程没有实数根．熟记一元二次方程根与系数的关系： 和 是解题关键． 课后训练 1．关于x 的一元二次方程 两个实数根的倒数和为1，则 （ ） ． 或0 B．2 或0 ．2 D．0 【答】 【分析】先利用根与系数的关系得到 ，再建立关于m 的方程， 解方程后代入 检验即可． 【详解】解：设该方程的两个实数根分别为和b， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 检验： 均为该方程的解； ∵ ， ∴ 不成立， ∴ ， 故选：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根，涉及到了根与系数的关系和解分式方程，解题关 键是要记得检验． 2．若 ， 是一元二次方程 的两个根，则 ． 【答】 【分析】利用根与系数的关系可求得 和 的值，代入求值即可． 【详解】解：∵ ， 是一元二次方程 的两个根， ∴ ， ， ∴ ， 故答为： ． 【点睛】本题主要考查根与系数的关系，一元二次方程 的根与系数的 关系为： ， ． 3．已知，b 是方程 的两个根，则 的值 ． 【答】 【分析】由根与系数关系知 ， ，即知＜0，b＜0，化简原式 ，所以原式 故答为：﹣14． 【详解】解：∵，b 是方程 的两个根， ∴ ， ， ∴＜0，b＜0， ∴ ∴原式 故答为：﹣14． 【点睛】本题主要考查根与系数关系、完全平方公式变形及二次根式的运算及化简；能够 根据,b 的关系式确定其取值范围，进而准确处理二次根式的运算及化简是解题的关键． 4．已知方程 的两根分别为 ，则 的值为 ． 【答】 【分析】根据一元二次方程的根的定义可得 ，进而可得 ， 根据一元二次方程根与系数的关系可得 ，再将原式变形为 ，即可求解． 【详解】解： 方程 的两根分别为 ， ， ， ， ， 故答为： ． 【点睛】本题考查一元二次方程的根的定义以及根与系数的关系，解题的关键是掌握一元 二次方程根与系数的关系，若一元二次方程 的两根分别为 ，那么 ， ． 5．已知方程 的两根是 ，则 = 【答】 【分析】先利用根根与系数的关系得 ， ，再通分得到 ，然 后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：根据根与系数的关系得 ， ， 所以 ． 故答为： ． 【点睛】本题考查了根与系数的关系：若 是一元二次方程 的两 根时， ． 6．已知关于 的二次方程 的两个实根为 和 ，且 ，则 的 值为 ． 【答】 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系得 ， ，再利用完全平方公 式可得 ，结合 ，即可求解． 【详解】解：∵关于 的二次方程 的两个实根为 和 ， ∴ ， ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 故答为： ． 【点睛】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系、完全平方公式，解题的关键是牢记 当一元二次方程 有两个实数根时， ， ． 7．已知 是方程 的两根，则 = ． 【答】 【分析】先由根与系数的关系结合方程的解可得 可得 再整体代入求值即可． 【详解】解：∵ 是方程 的两根， ∴ ∴ ∴ ∴ ， 故答为： 【点睛】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的解的含义，掌握 “利用解的含义与根与系数的关系构建整体代入”是解本题的关键． 8．如果一元二次方程 的两个根为 ， ，则 ． 【答】 【分析】将 代入方程可得 ，利用一元二次方程根与系数的关系求得 和 的值；再将所求代数式提取公因式后代入求值即可； 【详解】解：∵ 是方程 的根， ∴ ， ∴ ， 由一元二次方程根与系数的关系可得： ， ， ∵ ， ∴ ， 故答为： ． 【点睛】本题考查了方程的根的意义，因式分解；掌握一元二次方程 的 两根 ， 满足 ， 是解题关键． 9．已知、b 为非零常数， ，满足 ，则 ． 【答】3 【分析】由题意易得 ，则有 是方程 的两个根，进而根据 一元二次方程根与系数的关系可进行求解． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ 是方程 的两个根， ∴ ， ∴ ； 故答为3． 【点睛】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的 关系是解题的关键．