专题07 根与系数求值的四种考法（解析版）

专题07 根与系数求值的四种考法 类型一、整体代入求值 例．若一元二次方程 的两根分别为 ，则 ． 【答】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可得 ， ，代入代数式即可求解． 【详解】解：∵一元二次方程 的两根分别为 ， ∴ ， ∴ ． 故答为： ． 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系：若 是一元二次方程 的两根， ， ，掌握根与系数的关系是解题关键． 【变式训练1】已知 ， 是一元二次方程 的两个根，则 的值等于 ． 【答】 【分析】根据一元二次方程根与系数关系和方程解的意义，求出 , ，代入求值 即可． 【详解】解：∵ ， 是一元二次方程 的两个根， ∴ ， ，则 ， ∴ ， 故答为： ． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解和根与系数关系，解题关键是熟练掌握相关知识，整体代入求值． 【变式训练2】已知，b 是一元二次方程x2+x 1 ﹣＝0 的两根，则32﹣b 的值是 ． 【答】8． 【分析】由根与系数的关系及根的定义可知+b＝﹣1，b＝﹣1，2+＝1，据此对32 b ﹣ 进行变形计算可 得结果 【详解】解：由题意可知：+b＝﹣1，b＝﹣1，2+＝1， ∴原式＝3（1﹣）﹣b+ ＝3 3 b+ ﹣﹣ ＝3 2 ﹣﹣（+b）+ ＝3 2+1+ ﹣ ＝4 2+ ﹣ ＝4+ ＝4+ ＝4+4＝8， 故答为：8． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系及根的定义，利用性质对式子进行降次变形是解题关 键 【变式训练2】若 ，边是一元二次方程 的两个实数根，则 的值为 ． 【答】2024 【分析】根据根与系数的关系以及等式的性质即可求出答． 【详解】解： 是一元二次方程 的两个实数根， 【点睛】题考查了一元二次方程的根与系数的关系，也考查了一元二次方程的解． 【变式训练3】已知实数 ， 满足等式 ， ，则 的值是 ． 【答】 【分析】根据已知判断出m，是方程 的两实数根，然后利用根与系数关系即可求解． 【详解】解：∵实数 ， 满足等式 ， ， ∴m，是方程 的两实数根，∴ ， ， ∴ ， 故答为： 【点睛】本题考查了方程的解以及一元二次方程的根与系数关系，能熟练利用方程解的定义得到m，是方 程 的两实数根是解题的关键． 类型二、降幂思想求值 例．设 ， 是一元二次方程 的两根，则 的值为 【答】11 【详解】∵ ， 是一元二次方程 的两根，∴ ， ， ， ∴ 【变式训练1】若 是方程 的两个实数根，求 的值． 【答】3 【分析】根据 是方程 的实数根，表示出 ，代入原式，整理化简，再把 ， ，代入即可求出． 【详解】解：∵ 是方程 的实数根， ∴ ， ∴ ， ， 两边同时乘以 ， ∴ ， 把 代入 可得 原式 把 代入 可得 原式 ， ∵ 、 是方程 的两个实数根， ∴ ， ， ∴原式 ． 【点睛】本题考查了方程的解、根与系数的关系：若 是一元二次方 的两根时， 则 ， ． 【变式训练2】若 ，那么代数式 的值是 【答】- 6 【详解】试题分析：由已知条件得到x2+x=1；再将所求的代数式变形为：x（x2+x）+x2-7，然后将其整体代 入求值即可． 解：∵ ， ∴x2+x=1， ∴x3+2x2−7=x3+x2+x2−7=x(x2+x)+x2−7=x+x2−7=1-7=−6 故答为−6 【变式训练3】已知 ， 是方程 的两个根，那么 ______． 【答】5 【解析】∵ ， 是方程 的两个根，∴ ， ， ∴ ，∴ ， ∴ ， ∴ ． 故答为：5． 类型三、构造方程思想求值 例．如果x、y 是两个实数（ ）且 ， ，则 的值等于 （ ） ． B． ． D．2023 【答】 【分析】由 ，可得 ，可得 ，可得 ， 是方程 的两个根， ， ，从而可得答． 【详解】解：∵ ，∴ ， ∴ ，而 ， ， ∴ ， 是方程 的两个根， ∴ ， ，∴ ；故选 【点睛】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，熟练的构建一元二次方程的解本题的关键． 【变式训练1】若≠b，且 则 的值为（ ） ． B．1 ．4 D．3 【答】B 【详解】解：由 得： ∴ 又由 可以将，b 看做是方程 的两个根 ∴+b=4，b=1 ∴ 故答为B 【点睛】本题看似考查代数式求值，但解题的关键是构造一元二次方程并运用根于系数的关系求解． 【变式训练2】已知、b、均为实数，且 ， ，则 ． 【答】4 【分析】先变形得到+b=4，b=22-4 +10，再根据根与系数的关系，、b 可看作是方程x2-4x+22-4 +10=0 的两实数解，配方后可得（x-2）2+2（- ）2=0，得到x=2，= ，然后计算b 的值即可； 【详解】∵+b=4，b=22-4 +10 ∴、b 可看作方程x2-4x+22-4 +10=0 的两实数解，∴（x-2）2+2（- ）2=0 ∴x-2=0 或- =0，解得x=2，= ∴b=2×3-4 × +10=4，∴b=4× =4 故答为：4 ． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系．学会观察算式形式，正确写出一元二次 方程是解决本题的关键． 【变式训练3】已知实数、b 满足 ，求 的值． 【答】 【分析】由 的特征可以联想到、b 是方程 的两个实数根，再利用根与系 数的关系求解． 【详解】已知实数、b 满足 ， 则、b 是方程 的两个实数根． 整理方程为一般式得： ． 根据根与系数的关系得： ． ∴ ． 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是善于利用“转化”的思想． 类型四、根的大小问题 例m 为何值时，关于x 的方程3（m 1 ﹣）x2 4 ﹣mx+（m 3 ﹣）＝0 (1)两个正根；(2)一正一负两根；(3)两根都大于1． 【答】(1)m＞3 或m＜0；(2)1＜m＜3；(3) 6+3 ﹣ ≤m≤1 【解析】(1)解：（1）由题意可得， ，解得，m＞3 或m＜0， 即当m＞3 或m＜0 时，方程3（m 1 ﹣）x2 4mx+ ﹣ （m 3 ﹣）＝0 有两个正根． (2)由题意可得， ，解得：1＜m＜3； 即当1＜m＜3 时，方程3（m 1 ﹣）x2 4mx+ ﹣ （m 3 ﹣）＝0 有一正一负两根． (3)根据题意，得： ，即 ， 解得：﹣6+3 ≤m≤1， 即当﹣6+3 ≤m≤1 时，方程3（m 1 ﹣）x2 4mx+ ﹣ （m 3 ﹣）＝0 有两根都大于1． 【变式训练】已知关于x 的一元二次方程：x2-2x-=0，有下列结论： ①当＞-1 时，方程有两个不相等的实根； ②当＞0 时，方程不可能有两个异号的实根； ③当＞-1 时，方程的两个实根不可能都小于1； ④当＞3 时，方程的两个实根一个大于3，另一个小于3 以上4 个结论中，正确的为（ ） ．①②③④ B．①②③ ．①③④ D．②③④ 【答】 【详解】解：∵ ，∴ ， ∴当＞-1 时，方程有两个不相等的实根，故①正确； 当＞0 时，两根之积 ，故方程的两根异号，故②说法错误； 由一元二次方程的求根公式得 ， ∵＞-1，∴方程的两个实根不可能都小于1，故③正确； 由③知，当＞3 时，方程的两个实根一个大于3，另一个小于3，故④正确， ∴正确的结论有：①③④ 故选： 课后作业 1．已知 ， 是方程 的两根，则代数式 的值是（ ） ． B． ． D． 【答】D 【分析】由根与系数的关系可得：+b=1，再由与b 是方程的两根可得2=+1，b2=b+1，把3与b3采用降次的 方法即可求得结果的值． 【详解】∵与b 是方程 的两根 ∴+b=1，2--1=0，b2-b-1=0 ∴2=+1，b2=b+1 ∵ ，同理： ∴ 故选：D． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解的概论、一元二次方程根与系数的关系，求代数式的值，灵活进行 整式的运算是解题的关键． 2．已知x2+x-1=0，则3x2+3x-5= ． 【答】-2 【分析】用整体代入的方法解题 【详解】由x2+x-1=0 得，x2+x=1，所以3(x2+x)=3，即3x2+3x=3 所以3x2+3x-5=3-5=-2 故答为-2 3．若 ， 是方程 的两根，则 ． 【答】 【分析】根据一元二次方程根的定义，以及一元二次方程根与系数关系可得 ， ， 则 ， ，代入代数式即可求解． 【详解】解：∵ ， 是方程 的两根， ∴ ， ， ∴ ， ， 即 ， ∴ ， 故答为： ． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的定义，一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握以上知识是解题的 关键． 4．若p、q 是方程 的两个不相等的实数根，则代数式 的值为 ． 【答】 【分析】根据一元二次方程的解的定义得到 ，再根据根与系数的关系得到 ，然后利 用整体思想计算即可． 【详解】∵若p、q 是方程 的两个不相等的实数根， ∴ ， ，∴ ， ∴ ， 故答为： ． 【点睛】本题考查了一元二次方程 的根与系数的关系，一元二次方程的解，利用整体思想降 次消元是解题的关键． 5．设 是方程 的两实数根，则 ． 【答】 【分析】先将 代入方程得到 ，推出 ，将其代入所求代数式中得 ，根据根与系数关系式求得 ，即可得到答 【详解】∵ 是方程 的两实数根， ∴ ,∴ , ∴ , ∴ , ∵ 是方程 的两实数根，∴ , ∴ 2016， 故答为：2016 【点睛】此题考查等式的性质，方程的解，一元二次方程根与系数的关系式，根据原方程求出 是解此题的关键，将高次项降次也是此题解题入手之处 6．阅读材料： 材料1：关于x 的一元二次方程 的两个实数根 和系数，b，有如下关系： ， ． 材料2：已知一元二次方程 的两个实数根分别为m，，求 的值． 解：∵m，是一元二次方程 的两个实数根， ∴ ． 则 ． 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： (1)应用：一元二次方程 的两个实数根为 ，则 ___________， __________ _； (2)类比：已知一元二次方程 的两个实数根为m，，求 的值； (3)提升：已知实数s，t 满足 且 ，求 的值． 【答】(1) ， (2) (3) 的值为 或 ． 【分析】（1）直接利用一元二次方程根与系数的关系求解即可； （2）利用一元二次方程根与系数的关系可求出 ， ，再根据 ， 最后代入求值即可； （3）由题意可将s、t 可以看作方程 的两个根，即得出 ， ，从而由 ，求得 或 ，最后分类讨论分别代入求值即可． 【详解】（1）解：∵一元二次方程 的两个根为 ， ， ∴ ， ． 故答为： ， ； （2）解：∵一元二次方程 的两根分别为m、， ∴ ， ， ∴ ； （3）解：∵实数s、t 满足 ， ∴s、t 可以看作方程 的两个根， ∴ ， ， ∵ ， ∴ 或 ， 当 时， ， 当 时， ， 综上分析可知， 的值为 或 ． 【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的变形计算，分式的混合运算．理解题意， 掌握一元二次方程 根与系数的关系： 和 是解题关键．