第18 讲 等腰三角形 目 录 一、考情分析 二、知识建构 考点一 等腰三角形的性质与判定 题型01 等腰三角形的定义 题型02 根据等边对等角求角度 题型03 利用等边对等角证明 题型04 根据三线合一求解 题型05 根据三线合一证明 题型06 格点图中画等腰三角形 题型07 根据等角对等边证明等腰三角形 题型08 根据等角对等边证明边相等 题型09 根据等角对等边求边长 根据等角对等边求边长 题型10 求与图形中任意两点构成等腰三角形的点 题型11 等腰三角形性质与判定综合 题型12 等腰三角形有关的折叠问题 题型13 等腰三角形有关的规律探究问题 题型14 等腰三角形有关的新定义问题 题型15 等腰三角形有关的动点问题 题型16 探究等腰三角形中线段间存在的关系 考点二 等边三角形的性质与判定 题型01 利用等边三角形的性质求线段长 题型02 手拉手模型 新课标要求 命题预测 等腰三角形的性质 与判定  理解等腰三角形的概念  探索并证明等腰三角形的性质定理:等腰三角 形的两个底角相等;底边上的高线、中线及顶 角平分线重合  探索并掌握等腰三角形的判定定理:有两个角 相等的三角形是等腰三角形 该板块内容重在掌握基本知 识的基础上灵活运用，也是考查 重点，年年都会考查，最为经典 的“手拉手”模型就是以等腰三 角形为特征总结的而数学中考

第18 讲 等腰三角形 目 录 题型01 等腰三角形的定义 题型02 根据等边对等角求角度 题型03 利用等边对等角证明 题型04 根据三线合一求解 题型05 根据三线合一证明 题型06 格点图中画等腰三角形 题型07 根据等角对等边证明等腰三角形 题型08 根据等角对等边证明边相等 题型09 根据等角对等边求边长 题型10 求与图形中任意两点构成等腰三角形的点 求与图形中任意两点构成等腰三角形的点 题型11 等腰三角形性质与判定综合 题型12 等腰三角形有关的折叠问题 题型13 等腰三角形有关的规律探究问题 题型14 等腰三角形有关的新定义问题 题型15 等腰三角形有关的动点问题 题型16 探究等腰三角形中线段间存在的关系 题型17 利用等边三角形的性质求线段长 题型18 手拉手模型 题型19 等边三角形的判定 题型20 等边三角形与折叠问题 题型21 线段垂直平分线的判定 题型01 等腰三角形的定义 1．（2021·四川内江·四川省内江市第六中学校考二模）已知x，y 满足 ，则以，的值为 两边长的等腰三角形的周长是（ ） ．20 或16 B．20 ．16 D．以上答均不对 【答】B 【分析】利用非负数的性质，求出 ， 的值，利用分类讨论的思想思考问题即可． 【详解】解： ， 又 ， ， ， ， 当等腰三角形的边长为4，4，8

第18 讲 等腰三角形 目 录 题型01 等腰三角形的定义 题型02 根据等边对等角求角度 题型03 利用等边对等角证明 题型04 根据三线合一求解 题型05 根据三线合一证明 题型06 格点图中画等腰三角形 题型07 根据等角对等边证明等腰三角形 题型08 根据等角对等边证明边相等 题型09 根据等角对等边求边长 题型10 求与图形中任意两点构成等腰三角形的点 求与图形中任意两点构成等腰三角形的点 题型11 等腰三角形性质与判定综合 题型12 等腰三角形有关的折叠问题 题型13 等腰三角形有关的规律探究问题 题型14 等腰三角形有关的新定义问题 题型15 等腰三角形有关的动点问题 题型16 探究等腰三角形中线段间存在的关系 题型17 利用等边三角形的性质求线段长 题型18 手拉手模型 题型19 等边三角形的判定 题型20 等边三角形与折叠问题 题型21 题型01 等腰三角形的定义 1．（2021·四川内江·四川省内江市第六中学校考二模）已知x，y 满足 ，则以，的值为 两边长的等腰三角形的周长是（ ） ．20 或16 B．20 ．16 D．以上答均不对 2．（2019·陕西西安·校联考一模）已知等腰三角形的一个外角等于 ，则它的顶角是（ ） ． B． ． 或 D． 或 3．（2023·四川广安·统考二模）已知等腰三角形的两边长满足

第18 讲 等腰三角形 目 录 一、考情分析 二、知识建构 考点一 等腰三角形的性质与判定 题型01 等腰三角形的定义 题型02 根据等边对等角求角度 题型03 利用等边对等角证明 题型04 根据三线合一求解 题型05 根据三线合一证明 题型06 格点图中画等腰三角形 题型07 根据等角对等边证明等腰三角形 题型08 根据等角对等边证明边相等 题型09 根据等角对等边求边长 根据等角对等边求边长 题型10 求与图形中任意两点构成等腰三角形的点 题型11 等腰三角形性质与判定综合 题型12 等腰三角形有关的折叠问题 题型13 等腰三角形有关的规律探究问题 题型14 等腰三角形有关的新定义问题 题型15 等腰三角形有关的动点问题 题型16 探究等腰三角形中线段间存在的关系 考点二 等边三角形的性质与判定 题型01 利用等边三角形的性质求线段长 题型02 手拉手模型 新课标要求 命题预测 等腰三角形的性质 与判定  理解等腰三角形的概念  探索并证明等腰三角形的性质定理:等腰三角 形的两个底角相等;底边上的高线、中线及顶 角平分线重合  探索并掌握等腰三角形的判定定理:有两个角 相等的三角形是等腰三角形 该板块内容重在掌握基本知 识的基础上灵活运用，也是考查 重点，年年都会考查，最为经典 的“手拉手”模型就是以等腰三 角形为特征总结的而数学中考

因动点产生的等腰三角形问题 下面的题目收录在2024 版《挑战中考数学压轴题》精讲解读篇（蓝皮书）中 例 2023 年广州市中考第25 题 如图1，在正方形BD 中，E 是边D 上一动点（不与点、D 重合），边B 关于BE 对称 的线段为BF，连结F． （1）若∠BE＝15°，求证：△BF 是等边三角形； （2）延长F，交射线BE 于点G． ①△BGF 能否成为等腰三角形？如果能，求 于点G． （1）如图1，如果G＝DG，求证：四边形EGD 是平行四边形； （2）如图2，联结E，如果∠B＝90°，∠FE＝∠DE，＝4，求边B 的长； （3）联结BG，如果△BG 是以B 为腰的等腰三角形，且＝F，求 的值． 图1 图2 下面的题目收录在2024 版《挑战中考数学压轴题》强化训练篇（黄皮书）中 （23 成都25）如图，在平面直角坐标系xy 成都25）如图，在平面直角坐标系xy 中，已知抛物线y＝x2＋经过点P(4,－3)， 与y 轴交于点(0, 1)，直线y＝kx（k≠0）与抛物线交于B、两点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）若△BP 是以B 为腰的等腰三角形，求点B 的坐标； （3）过点M(0, m)作y 轴的垂线，交直线B 于点D，交直线于点E．是探究：是否存在 常数m，使得D⊥E 始终成立？若存在，求出m 的值；如不存在，请说明理由． （23

反比例函数中的等腰三角形问题 1、如图所示，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b(k≠0)与反比例函数y= (m≠0)的图象交于第二、四 象限、B 两点，过点作D x ⊥轴于D，D=4，s D= ∠ ，且点B 的坐标为(,-2)． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）E 是y 轴上一点，且△E 是等腰三角形，请直接写出所有符合条件的E 点坐标． （1） ；（2）当点E(0,8)或(0 8)或(0,5)或(0,-5)或(0, )时，△E 是等腰三角形． 2、已知一次函数y=kx+b 的图象与反比例函数 的图象交于点，与x 轴交于点B(5,0)，若B=B，且 S△B= （1）求反比例函数与一次函数的解析式； （2）若点P 为x 轴上一点，且△BP 是等腰三角形，求点P 的坐标 【答】见解析 【解析】解：（1）如图，过点作D⊥x 轴于点D， ∵B(5,0)，B=B，且S△B= ∴△MQ≌△P（SS）， ∴Q＝P，∠DQ＝∠P， ∵∠DQ＝∠D﹣∠P，∠D＝45°， ∴∠DQ＝∠P＝∠Q＝∠P＝225°， ∴MQ＝Q＝P＝P＝1， ∵∠D＝∠D＝45°， ∴△DMQ 和△P 都是等腰直角三角形， ∴DQ＝P＝ ， ∵＝D＝m+1， ∴D＝ ＝ ， ∵D＝DQ+PQ+P， ∴ ＝2 +2， ∴m＝ +1； （3）如图3， ∵四边形BPQ 为平行四边形， ∴B∥PQ，B＝PQ，

等腰三角形的存在性问题 一、方法突破 【问题描述】 如图，点坐标为（1,1），点B 坐标为（4,3），在x 轴上取点使得△B 是等腰三角形． y x O A B 【几何法】“两圆一线”得坐标 （1）以点为圆心，B 为半径作圆，与x 轴的交点即为满足条件的点，有B=； （2）以点B 为圆心，B 为半径作圆，与x 轴的交点即为满足条件的点，有B=B； （3）作B 的垂直平分线，与x 轴于点 、 ，交 轴于点 ，在 轴上有一点 ，连接 ． （1）求二次函数的表达式； （2）若点 为抛物线在 轴负半轴上方的一个动点，求 面积的最大值； （3）抛物线对称轴上是否存在点 ，使 为等腰三角形？若存在，请直接写出所有 点的坐标，若不存在请说明理由． E A B O C D x y 【分析】 （1） ； （2）可用铅垂法，当点D 坐标为 时，△DE 面积最大，最大值为14； 是第一象限内抛物线上的一个动点，点 的横坐标为 ． （1）求此抛物线的表达式； （2）过点 作 轴，垂足为点 ， 交 于点 ．试探究点 在运动过程中， 是否存在这样的点 ，使得以 ， ， 为顶点的三角形是等腰三角形．若存在， 请求出此时点 的坐标，若不存在，请说明理由； Q M P A B O C x y 【分析】 （1） ； （2）①当=Q 时，∵=5，∴Q=5， 考虑到B 与y

动点引起的等腰直角三角形存在性问题 BP △ 为等腰直角三角形，黑色部分为P 点位置 【一题多解 · 典例剖析】 例题1．（2021·湖南衡阳市中考）在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标相 等，则称该点为“雁点”．例如 ……都是“雁点”． （1）求函数 图象上的“雁点”坐标； （2）若抛物线 上有且只有一个“雁点”E，该抛物线与x 轴交于M、两点 （点M 在点的左侧）．当 时． 时． ①求的取值范围；②求 的度数； （3）如图，抛物线 与x 轴交于、B 两点（点在点B 的左侧），P 是抛物线 上一点，连接 ，以点P 为直角顶点，构造等腰 ，是否存在点 P，使点恰好为“雁点”？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由． 【答】（1）（2,2）、（－2，－2）；（2）①0<<4；②45°；（3）存在，P 点坐标为 或 或 【解析】解：（1）联立 ， 解得： ，0），点坐标为（－ ，0） 过E 点向x 轴作垂线，垂足为点， E= ，M= E=M ∴ 即△EM 为等腰直角三角形，∠EM=45° （3）存在，理由如下： ①如图所示：过P 作直线l 垂直于x 轴于点k，过作⊥PK 于点 方法一 设（m，m），P（x，y） ∵ △PB 为等腰三角形， ∴P=PB，∠PB=90°， ∴∠KPB+∠P=90°， ∵∠P+∠P=90°， ∴∠KPB=∠P，

专题134 等腰三角形【八大题型】 【人版】 【题型1 利用等腰三角形的性质求角度】............................................................................................................. 1 【题型2 利用等腰三角形的性质求线段长度】.................... .................5 【题型3 等腰三角形中的多结论问题】................................................................................................................. 8 【题型4 利用等腰三角形的判定确定等腰三角形的个数】................... .................15 【题型5 等腰三角形的证明】...............................................................................................................................18 【题型6 等腰三角形中的新定义问题】................

固定边的等腰三角形与二次函数问题 1、如图1，已知抛物线y= x ﹣ 2 4x+5 ﹣ 交x 轴于点、B 两点（点在点B 的左侧），交y 轴于点，点D 为 抛物线的顶点，连接D． （1）求直线D 的解析式． （2）点E（m，0）、F（m+1，0）为x 轴上两点，其中（﹣5＜m＜﹣35）EE′、FF′分别平行于y 轴， 交抛物线于点E′和F′，交D 于点M、，当ME′+F′的值最大时，在y 轴上找一点R，使得|RE′ RF′| ﹣ 值 最大，请求出点R 的坐标及|RE′ RF′| ﹣ 的最大值． （3）如图2，在抛物线上是否存在点P，使得△P 是以为底边的等腰三角形，若存在，请出点P 的坐标及 △P 的面积，若不存在，请说明理由。 【答】（1）y=3x+15；（2）点R 的坐标是（0，17），最大值为❑ √10；（3）存在，P（ −3−❑ √29 2 , 3+❑ √29 的值； （2）求线段 长的最大值； （3）当 为 的等腰直角三角形时，求出此时点 的坐标． 【答】（1）1，3；（2）最大值为 ；（3） 【解析】 解：（1）∵ 在直线 上， ∴ ， ∴ ． 又∵ 在拋物线 上， ∴ ， 解得 ． （2）设 ，则 ， ∴ ， ∴当 时， 有最大值，最大值为 ． （3）如图，∵ 为 的等腰三角形且 轴， ∴连接 ， 轴， ∵ ， ∴ ，