31 动点引起的等腰直角三角形存在性问题

动点引起的等腰直角三角形存在性问题 BP △ 为等腰直角三角形，黑色部分为P 点位置 【一题多解 · 典例剖析】 例题1．（2021·湖南衡阳市中考）在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标相 等，则称该点为“雁点”．例如 ……都是“雁点”． （1）求函数 图象上的“雁点”坐标； （2）若抛物线 上有且只有一个“雁点”E，该抛物线与x 轴交于M、两点 （点M 在点的左侧）．当 时． ①求的取值范围；②求 的度数； （3）如图，抛物线 与x 轴交于、B 两点（点在点B 的左侧），P 是抛物线 上一点，连接 ，以点P 为直角顶点，构造等腰 ，是否存在点 P，使点恰好为“雁点”？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由． 【答】（1）（2,2）、（－2，－2）；（2）①0<<4；②45°；（3）存在，P 点坐标为 或 或 【解析】解：（1）联立 ， 解得： 或 即：函数 上的雁点坐标为（2,2）、（－2，－2）． （2）① 联立 得x2+4x+=0 ∵ 这样的雁点E 只有一个，即该一元二次方程有两个相等的实根， ∴△=16－4=0， 即=4 ∵>1 ∴= >1， 即 －1>0， >0， 解得：0<<4 ② 由①知，E 点坐标为：x= ， 即 E 在y=x2+5x+ 中，当y=0 时， 得：x=－ ，x=－ 即M 点坐标为（－ ，0），点坐标为（－ ，0） 过E 点向x 轴作垂线，垂足为点， E= ，M= E=M ∴ 即△EM 为等腰直角三角形，∠EM=45° （3）存在，理由如下： ①如图所示：过P 作直线l 垂直于x 轴于点k，过作⊥PK 于点 方法一 设（m，m），P（x，y） ∵ △PB 为等腰三角形， ∴P=PB，∠PB=90°， ∴∠KPB+∠P=90°， ∵∠P+∠P=90°， ∴∠KPB=∠P， = ∵∠∠PKB=90°， ∴△P≌△PKB， = ∴PK，P=KB， 即 ∴ 即P（ ， ） 方法二 设P（m，－m2+2m+3）， 同理， =PK，P=KB， 则（m－m2+2m+3，－m2+2m+3+3－m） ∵为雁点 m ∴－m2+2m+3=－m2+2m+3+3－m， 解得：m= ，即P（ ， ） ②如图所示，同理可得：△KP≌△PB ∴ KP=B，K=P 方法一 设P（x，y），（m，m） ∴KP=x－m，K=y－m，B=y，P=3－x， 即 解得 则P 或 方法二 设P（m，－m2+2m+3）， 则（m－（－m2+2m+3），－m2+2m+3－（3－m）） m ∴－（－m2+2m+3）=－m2+2m+3－（3－m）， 解得：m= ③如图所示， 此时P 与第②种情况重合 综上所述，符合题意P 的坐标为（ ， ）或 或 【一题多解 · 对标练习】 练习1．（2021·湖南省怀化市中考）如图所示，抛物线与x 轴交于、B 两点，与y 轴交于点， 且 ， ， ． （1）求抛物线的解析式； （2）点Q 是抛物线上位于x 轴上方的一点，点R 在x 轴上，是否存在以点Q 为直角顶点的 等腰 ？若存在，求出点Q 的坐标，若不存在，请说明理由． 【答】（1）y=－x2+2x+8；（2）存在， 或 ． 【解析】解：（1）∵=2，B=4，=8， ∴（－2，0），B（4,0），（0,8）， 设二次函数的解析式为y=(x+2)(x－4)， 将（0,8）代入得：=－1 即抛物线的解析式为：y=－x2+2x+8； （2）存在以点Q 为直角顶点的等腰直角△QR，理由如下： ①当点Q 在第二象限时，如图所示 过点Q 作QL⊥x 轴于点L，过点作K⊥QL，交其延长线于点K， ∴KQ= QLR= L=90° ∠ ∠ ∠ ， ∴四边形LK 是矩形， ∴K=L， ∵QR 为等腰直角三角形， ∴Q=QR，∠QR=90°， ∴KQ= LQR ∠ ∠ KQ LQR ∴△ ≌△ RL=QK ∴ ，QL=K， 设R（m，0），Q（x，y） 则m－x=8－y －x=y 即－x=－x2+2x+8，解得：x= 或x= （舍） 则Q（ ， ） ②当点Q 在第一象限时，如图所示 同理可得：x=－x2+2x+8， 解得：x= 或x= （舍）， ∴Q 综上所述，满足题意的Q 点坐标为 或 ． 【多题一解 · 典例剖析】 例题2．（2021·四川省广安市中考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 的图象与坐标轴相交于 、 、 三点，其中 点坐标为 ， 点坐标为 ，连接 、 ．动点 从点 出发，在线段 上以每秒 个单位长度向点 做匀速运动； 同时，动点 从点 出发，在线段 上以每秒1 个单位长度向点 做匀速运动，当其中一 点到达终点时，另一点随之停止运动，连接 ，设运动时间为秒． （1）求 、的值； （2）在 、 运动的过程中，当为何值时，四边形 的面积最小，最小值为多少？ （3）在线段 上方的抛物线上是否存在点 ，使 是以点 为直角顶点的等腰直 角三角形？若存在，请求出点 的坐标；若不存在，请说明理由． 【答】（1）b=2，=3；（2）t=2，最小值为4；（3）（ ， ） 【解析】解：（1）∵抛物线y=－x2+bx+经过点（3，0），B（－1，0）， 则 ， 解得： ； （2）由（1）得：抛物线表达式为y=－x2+2x+3，（0，3），（3，0）， ∴△是等腰直角三角形，由点P 的运动可知：P= ， 过点P 作PE⊥x 轴，垂足为E， ∴E=PE= =t，即E（3－t，0）， 又Q（－1+t，0）， ∴S 四边形BPQ=S△B－S△PQ = = ∴当t=2 时，四边形BPQ 的面积最小，最小值为4 （3）如图，过点P 作x 轴的垂线，交x 轴于E，过M 作y 轴的垂线，与EP 交于F， ∵△PMQ 是等腰直角三角形，PM=PQ，∠MPQ=90°， ∴∠MPF+∠QPE=90°，又∠MPF+∠PMF=90°， ∴∠PMF=∠QPE， 在△PFM 和△QEP 中， ， ∴△PFM≌△QEP， ∴MF=PE=t，PF=QE=4－2t， ∴EF=4－2t+t=4－t，又E=3－t， ∴点M 的坐标为（3－2t，4－t）， ∴4－t=－（3－2t）2+2（3－2t）+3， 解得：t= 或 （舍）， ∴M 点的坐标为（ ， ）． 【多题一解 · 对标练习】 练习2．（2021·山东枣庄中考）如图，在平面直角坐标系中，直线 与 轴交于 点 ，与 轴交于点 ，抛物线 经过坐标原点和点 ，顶点为点 ． （1）求抛物线的关系式及点 的坐标； （2）将直线 向下平移，得到过点 的直线 ，且与 轴负半轴交于点 ，取 点 ，连接 ，求证： ． 【答】（1）y= x2－2x，M（3，－3）；（2）见解析． 【解析】解：（1）∵直线B：y=－ x+3 交坐标轴与、B ∴（6,0），B（0,3） 将（6,0），（0，0）代入y= x2+bx+x 得： ， 解得： ， ∴抛物线的关系式为y= x2－2x， 顶点M 的坐标为（3，－3）； （2）由题意得：m= ， 将点(3,－3)代入y= x+得：= ， 则直线M 的解析式为y= x ， 如图，过点D 作D M ⊥ 于， 设直线DM 的解析式为y=2x+k， 将点（2,0）代入得：4+k=0，解得k=－4， 则直线D 的解析式为：y=2x－4， 联立 ， 解得 ，即（1，－2）， D= ∴ ，M= ， 即D=M， 又D M ⊥ ， 即三角形DM 是等腰直角三角形，∠DM=45°， DM= M+45° ∴∠ ∠ 即∠DM－∠M=45°． 练习3．（2021·湖北黄石中考）抛物线 （ ）与 轴相交于点 ， 且抛物线的对称轴为 ， 为对称轴与 轴的交点． （1）求抛物线的解析式； （2）在 轴上方且平行于 轴的直线与抛物线从左到右依次交于 、 两点，若 是 等腰直角三角形，求 的面积． 【答】（1）y=－x2+6x－3；（2）4 【解析】解：（1）由抛物线与y 轴相交于点(0,－3)，得b=－3， ∵抛物线的对称轴为x=3，即 ，解得：=－1 ∴抛物线的解析式为y=－x2+6x－3 （2）过点E 作EM B ⊥ 于点M，过点F 作F B ⊥ 于， DEF ∵△ 是等腰直角三角形 DE=DF ∴ ，∠FED= EFD=45° ∠ EF x ∵ ∥轴 EDM=45° ∴∠ EMD ∴△ 为等腰直角三角形 EM=DM ∴ 设E（m，－m2+6m－3），则M(m，0)，DM=3－m，EM=－m2+6m－3， 3 ∴－m=－m2+6m－3 解得：m=1 或m=6 当m=1 时，E（1,2），符合题意，DM=EM=2，M=4，△DEF 的面积为4 当m=6 时，E（6，－3），舍去， 综上所述：△DEF 的面积为4．