57 固定边的等腰三角形与二次函数问题

固定边的等腰三角形与二次函数问题 1、如图1，已知抛物线y= x ﹣ 2 4x+5 ﹣ 交x 轴于点、B 两点（点在点B 的左侧），交y 轴于点，点D 为 抛物线的顶点，连接D． （1）求直线D 的解析式． （2）点E（m，0）、F（m+1，0）为x 轴上两点，其中（﹣5＜m＜﹣35）EE′、FF′分别平行于y 轴， 交抛物线于点E′和F′，交D 于点M、，当ME′+F′的值最大时，在y 轴上找一点R，使得|RE′ RF′| ﹣ 值 最大，请求出点R 的坐标及|RE′ RF′| ﹣ 的最大值． （3）如图2，在抛物线上是否存在点P，使得△P 是以为底边的等腰三角形，若存在，请出点P 的坐标及 △P 的面积，若不存在，请说明理由。 【答】（1）y=3x+15；（2）点R 的坐标是（0，17），最大值为❑ √10；（3）存在，P（ −3−❑ √29 2 , 3+❑ √29 2 ），P′（−3−❑ √29 2 , 3−❑ √29 2 ），面积为5 ❑ √29+10 2 【解析】（1）如图1，∵y= x ﹣ 2 4x+5= ﹣ ﹣（x+5）（x 1 ﹣）或y=﹣（x+2）2+9， ∴（﹣5，0），B（1，0），D（﹣2，9）． 设直线D 的解析式为：y=kx+b（k≠0），把、D 的坐标代入，得 ， 解得 ． 故直线D 的解析式为：y=3x+15； （2）如图1，∵EE′∥y 轴，FF′∥y 轴，E（m，0）、F（m+1，0）， E ∴（m，﹣m2 4m+5 ﹣ ）、F（m+1，﹣（m+1）2 4 ﹣（m+1）+5），M（m，3m+15）， （m+1，3（m+1）+15）， ME′= m ∴ ﹣ 2 4m+5 ﹣ ﹣（3m+15）= m ﹣ 2 7m 10 ﹣ ﹣ ，F′= m ﹣ 2 9m 18 ﹣ ﹣ ， ME′+F′= m ∴ ﹣ 2 7m 10 m ﹣ ﹣ ﹣ 2 9m 18=2m ﹣ ﹣ 2 16m 28 ﹣ ﹣ ． 2 ∵﹣＜0， m= ∴ ﹣ = 4 ﹣， ME′+F′ ∴ 有最大值，此时E′（﹣4，5），F′（﹣3，8）， 要使|RE′ RF′| ﹣ 值最大，则点E′、F′、R 三点在一条直线上， ∴设直线E′F′：y=kx+b（k≠0），则 ， 解得 ， ∴直线E′F′：y=3x+17（k≠0）． 当x=0 时，y=17，则点R 的坐标是（0，17）． 此时，|RE′ RF′| ﹣ 的最大值为 = ； （3）如图2，设点P（x，﹣x2 4x+5 ﹣ ）． 当P=P 时，点P 在线段的垂直平分线上， = ∵ ， ∴点在线段的垂直平分线上， ∴点P 在∠的角平分线上， x= x ∴﹣ ﹣ 2 4x+5 ﹣ ， 解得x1= ，x2= ， P ∴（ ， ），P′（ ， ）． P=P = ∴ ﹣ ，P′=P′+= ， S ∴ △P= •P= ×5 × = 或S△P= •P′= ×5 × = ． 2、已知一次函数 的图象与二次函数 的图象相交于 和 ，点 是线段 上的动点（不与 重合），过点 作 轴，与二次函数 的图象交于点 ． （1）求 的值； （2）求线段 长的最大值； （3）当 为 的等腰直角三角形时，求出此时点 的坐标． 【答】（1）1，3；（2）最大值为 ；（3） 【解析】 解：（1）∵ 在直线 上， ∴ ， ∴ ． 又∵ 在拋物线 上， ∴ ， 解得 ． （2）设 ，则 ， ∴ ， ∴当 时， 有最大值，最大值为 ． （3）如图，∵ 为 的等腰三角形且 轴， ∴连接 ， 轴， ∵ ， ∴ ， ． ∵ ， ∴ ， 化简，得 ， 解得 ， （不合题意，舍去）． 当 时， ， ∴此时点 的坐标为 ． 3、如图，在平面直角坐标系中．直线y= x+3 ﹣ 与x 轴交于点B，与y 轴交于点，抛物线y=x2+bx+经 过B，两点，与x 轴负半轴交于点，连结，(-1,0) （1）求抛物线的解析式； （2）点P（m，）是抛物线上在第一象限内的一点，求四边形PB 面积S 关于m 的函数表达式及S 的最 大值； （3）若M 为抛物线的顶点，点Q 在直线B 上，点在直线BM 上，Q，M，三点构成以M 为底边的等腰 直角三角形，求点的坐标． 【答】（1）y== x ﹣ 2+2x+3；（2）S=﹣ （m﹣ ）2+ ，当m= 时，S 有最大值是 ； （3）点的坐标为（2，2）或（﹣1，8） 【解析】 解：（1）∵直线y= x+3 ﹣ 与x 轴交于点B，与y 轴交于点， ∴当x=0 时，y=3， ∴（0，3）， =3 ∴ ， 当y=0 时，-x+3=0， x=3， B ∴（3，0）， 设抛物线的解析式为：y=（x+1）（x-3）， 把（0，3）代入得：3=（0+1）（0-3）， =-1， y=- ∴ （x+1）（x-3）=-x2+2x+3； （2）如图1，过P 作PE⊥x 轴于E， P ∵（m，）， E=m ∴ ，BE=3-m，PE=， S=S 梯形EP+S△PEB= E（PE+）+ BE•PE， = m（+3）+ （3-m）， = m+ ， =-m ∵ 2+2m+3， S= ∴ m+ （-m2+2m+3）=- m2+ m+ =- （m- ）2+ ， 当m= 时，S 有最大值是 ； （3）y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4， M ∴ （1，4）， 设直线BM 的解析式为：y=kx+b， 把B（3，0），M（1，4）代入得： ，解得： ， ∴直线BM 的解析式为：y=-2x+6， 设（，-2+6），Q（，-+3）， 分两种情况： ①当在射线MB 上时，如图2， 过Q 作EF∥y 轴，分别过M、作x 轴的平行线，交EF 于E、F， △EQ ∵ 是等腰直角三角形， MQ=Q ∴ ，∠MQ=90°， ∠EQM+∠FQ=90° ∴ ， ∠EQM+∠EMQ=90° ∵ ， ∠FQ=∠EMQ ∴ ， ∠QEM=∠QF=90° ∵ ， △EMQ △FQ ∴ ≌ ， EM=FQ ∴ ，EQ=F， ∴ ，解得： ， 当=2 时，y=-2+6=-2×2+6=2， ∴（2，2）， ②当在射线BM 上时，如图3， 同理作辅助线，得△EQ △FQM ≌ ， E=FQ ∴ ，EQ=FM， ∴ ，解得： ， ∴（-1，8）， 综上所述，点的坐标为（2，2）或（-1，8）． 4、抛物线y＝x2+bx 3 ﹣（≠0）与直线y＝kx+（k≠0）相交于（﹣1，0）、B（2，﹣3）两点，且抛 物线与y 轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）求出、D 两点的坐标 （3）在第四象限抛物线上有一点P，若△PD 是以D 为底边的等腰三角形，求出点P 的坐标． 【答】（1）y＝x2 2x 3; ﹣ ﹣ （2）（0，﹣3）,D（0，﹣1）;（3）P（1+ 2 ，﹣2） 【思路引导】 （1）把（﹣1，0）、B（2，﹣3）两点坐标代入y＝x2+bx 3 ﹣ 可得抛物线解析式． （2）当x＝0 时可求点坐标，求出直线B 解析式，当x＝0 可求D 点坐标． （3）由题意可知P 点纵坐标为﹣2，代入抛物线解析式可求P 点横坐标． 【解析】 解：（1）把（﹣1，0）、B（2，﹣3）两点坐标代入 y＝x2+bx 3 ﹣ 可得 3 0 4 2 3 3 a b a b          解得 1 2 a b     y ∴＝x2 2x 3 ﹣ ﹣ （2）把x＝0 代入y＝x2 2x 3 ﹣ ﹣ 中可得y＝﹣3∴（0，﹣3） 设y＝kx+b，把（﹣1，0）、B（2，﹣3）两点坐标代入 0 2 3 k b k b         解得 1 1 k b     y ∴＝﹣x 1 ﹣ D ∴ （0，﹣1） （3）由（0，﹣3），D（0，﹣1）可知D 的垂直平分线经过（0，﹣2） P ∴ 点纵坐标为﹣2， x ∴ 2 2x 3 ﹣ ﹣＝﹣2 解得：x＝1± 2 ，∵x＞0 x ∴＝1+ 2 ． P ∴（1+ 2 ，﹣2） 【方法总结】 本题是二次函数综合题，用待定系数法求二次函数的解析式，把x＝0 代入二次函数解析式和一次函数解 析式可求图象与y 轴交点坐标，知道点P 纵坐标带入抛物线解析式可求点P 的横坐标． 5、如图，在平面直角坐标系中，抛物线1：y＝x2+bx 1 ﹣ 经过点( 2 ﹣，1)和点B( 1 ﹣，﹣1)，抛物线2： y＝2x2+x+1，动直线x＝t 与抛物线1交于点，与抛物线2交于点M． （1）求抛物线1的表达式； （2）直接用含t 的代数式表达线段M 的长； （3）当△M 是以M 为直角边的等腰直角三角形时，求t 的值． 【答】（1）y＝x2+x 1 ﹣；（2）M＝t2+2；（3）t＝0 或1 【解析】 解：（1）将点、B 的坐标代入抛物线表达式得： ，解得： ， 故抛物线1的表达式为：y＝x2+x 1 ﹣； （2）点M、的坐标分别为：（t，2t2+t+1）、（t，t2+t 1 ﹣）， 则M＝（2t2+t+1）﹣（t2+t 1 ﹣）＝t2+2； （3）①当∠M＝90°时，＝M， ＝t﹣（﹣2）＝t+2，M＝t2+2， t＝t2+2，解得：t＝0 或1（舍去0），故t＝1； ②当∠M＝90°时，M＝M， M＝t+2＝M＝t2+2， 解得：t＝0 或1（舍去1），故t＝1； 综上，t＝0 或1． 6、如图1，抛物线y＝x2＋bx＋（、b、是常数，≠0）的对称轴为y 轴，且经过(0,0)和 两点，点 P 在该抛物线上运动，以点P 为圆心的⊙P 总经过定点(0, 2)． （1）求、b、的值； （2）求证：在点P 运动的过程中，⊙P 始终与x 轴相交； （3）设⊙P 与x 轴相交于M(x1, 0)、(x2, 0)两点，当△M 为等腰三角形时，求圆心P 的纵坐标． 图1 思路点拨 1．不算不知道，一算真奇妙，原来⊙P 在x 轴上截得的弦长M＝4 是定值． 2．等腰三角形M 存在三种情况，其中M＝M 和＝M 两种情况时，点P 的纵坐标是相等的． 满分解答 （1）已知抛物线的顶点为(0,0)，所以y＝x2．所以b＝0，＝0． 将 代入y＝x2，得 ．解得 （舍去了负值）． （2）抛物线的解析式为 ，设点P 的坐标为 ． 已知(0, 2)，所以 ＞ ． 而圆心P 到x 轴的距离为 ，所以半径P＞圆心P 到x 轴的距离． 所以在点P 运动的过程中，⊙P 始终与x 轴相交． （3）如图2，设M 的中点为，那么P 垂直平分M． 在Rt△PM 中， ， ，所以M2＝4． 所以M＝2．因此M＝4，为定值． 等腰△M 存在三种情况： ①如图3，当M＝时，点P 为原点重合，此时点P 的纵坐标为0． 图2 图3 ②如图4，当M＝M 时，在Rt△M 中，＝2，M＝4，所以M＝2 ． 此时x＝＝2 ．所以点P 的纵坐标为 ． ③如图5，当＝M 时，点P 的纵坐标为也为 ． 图4 图5 考点伸展 如果点P 在抛物线 上运动，以点P 为圆心的⊙P 总经过定点B(0, 1)，那么在点P 运动的过程 中，⊙P 始终与直线y＝－1 相切．这是因为： 设点P 的坐标为 ． 已知B(0, 1)，所以 ． 而圆心P 到直线y＝－1 的距离也为 ，所以半径PB＝圆心P 到直线y＝－1 的距离．所以在点 P 运动的过程中，⊙P 始终与直线y＝－1 相切． 7、如图1，在Rt△B 中，∠＝90°，B＝6，＝8，点D 为边B 的中点，DE⊥B 交边于点E，点P 为射线 B 上的一动点，点Q 为边上的一动点，且∠PDQ＝90°． （1）求ED、E 的长； （2）若BP＝2，求Q 的长； （3）记线段PQ 与线段DE 的交点为F，若△PDF 为等腰三角形，求BP 的长． 图1 备用图 思路点拨 1．第（2）题BP＝2 分两种情况． 2．解第（2）题时，画准确的示意图有利于理解题意，观察线段之间的和差关系． 3．第（3）题探求等腰三角形PDF 时，根据相似三角形的传递性，转化为探求等腰三角形DQ． 满分解答 （1）在Rt△B 中， B＝6，＝8，所以B＝10． 在Rt△DE 中，D＝5，所以 ， ． （2）如图2，过点D 作DM⊥B，D⊥，垂足分别为M、，那么DM、D 是 △B 的两条中位线，DM＝4，D＝3． 由∠PDQ＝90°，∠MD＝90°，可得∠PDM＝∠QD． 因此△PDM∽△QD． 所以 ．所以 ， ． 图2 图3 图4 ①如图3，当BP＝2，P 在BM 上时，PM＝1． 此时 ．所以 ． ②如图4，当BP＝2，P 在MB 的延长线上时，PM＝5． 此时 ．所以 ． （3）如图5，如图2，在Rt△PDQ 中， ． 在Rt△B 中， ．所以∠QPD＝∠． 由∠PDQ＝90°，∠DE＝90°，可得∠PDF＝∠DQ． 因此△PDF∽△DQ． 当△PDF 是等腰三角形时，△DQ 也是等腰三角形． ①如图5，当Q＝D＝5 时，Q＝Q－＝5－4＝1（如图3 所示）． 此时 ．所以 ． ②如图6，当Q＝QD 时，由 ，可得 ． 所以Q＝－Q＝ （如图2 所示）． 此时 ．所以 ． ③不存在DP＝DF 的情况．这是因为∠DFP≥∠DQP＞∠DPQ（如图5，图6 所示）． 图5 图6 考点伸展 如图6，当△DQ 是等腰三角形时，根据等角的余角相等，可以得到△BDP 也是等腰三角形，PB＝ PD．在△BDP 中可以直接求解 ． 9、如图1，抛物线y＝x2＋bx＋经过(－1,0)、B(3, 0)、(0 ,3)三点，直线l 是抛物线的对称轴． （1）求抛物线的函数关系式； （2）设点P 是直线l 上的一个动点，当△P 的周长最小时，求点P 的坐标； （3）在直线l 上是否存在点M，使△M 为等腰三角形，若存在，直接写出所有符合条件的点M 的坐 标；若不存在，请说明理由． 图1 思路点拨 1．第（2）题是典型的“牛喝水”问题，点P 在线段B 上时△P 的周长最小． 2．第（3）题分三种情况列方程讨论等腰三角形的存在性． 满分解答 （1）因为抛物线与x 轴交于(－1,0)、B(3, 0)两点，设y＝(x＋1)(x－3)， 代入点(0 ,3)，得－3＝3．解得＝－1． 所以抛物线的函数关系式是y＝－(x＋1)(x－3)＝－x2＋2x＋ 3． （2）如图2，抛物线的对称轴是直线x＝1． 当点P 落在线段B 上时，P＋P 最小，△P 的周长最小． 设抛物线的对称轴与x 轴的交点为． 由 ，B＝，得P＝B＝2． 所以点P 的坐标为(1, 2)． 图2 （3）点M 的坐标为(1, 1)、(1, )、(1, )或(1,0)． 考点伸展 第（3）题的解题过程是这样的： 设点M 的坐标为(1,m)． 在△M 中，2＝10，M2＝1＋(m－3)2，M2＝4＋m2． ①如图3，当M＝M 时，M2＝M2．解方程4＋m2＝1＋(m－3)2，得m＝1． 此时点M 的坐标为(1, 1)． ②如图4，当M＝时，M2＝2．解方程4＋m2＝10，得 ． 此时点M 的坐标为(1, )或(1, )． ③如图5，当M＝时，M2＝2．解方程1＋(m－3)2＝10，得m＝0 或6． 当M(1, 6)时，M、、三点共线，所以此时符合条件的点M 的坐标为(1,0)． 图3 图4 图5 9、如图1，点在x 轴上，＝4，将线段绕点顺时针旋转120°至B 的位置． （1）求点B 的坐标； （2）求经过、、B 的抛物线的解析式； （3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P、、B 为顶点的三角形是等腰三角形？若存 在，求点P 的坐标；若不存在，请说明理由． 图1 思路点拨 1．用代数法探求等腰三角形分三步：先分类，按腰相等分三种情况；再根据两点间的距离公式列方 程；然后解方程并检验． 2．本题中等腰三角形的角度特殊，三种情况的点P 重合在一起． 满分解答 （1）如图2，过点B 作B⊥y 轴，垂足为． 在Rt△B 中，∠B＝30°，B＝4，所以B＝2， ． 所以点B 的坐标为 ． （2）因为抛物线与x 轴交于、(4, 0)，设抛物线的解析式为y＝x(x－4)， 代入点B ， ．解得 ． 所以抛物线的解析式为 ． （3）抛物线的对称轴是直线x＝2，设点P 的坐标为(2, y)． ①当P＝B＝4 时，P2＝16．所以4+y2＝16．解得 ． 当P 在 时，B、、P 三点共线（如图2）． ②当BP＝B＝4 时，BP2＝16．所以 ．解得 ． ③当PB＝P 时，PB2＝P2．所以 ．解得 ． 综合①、②、③，点P 的坐标为 ，如图2 所示． 图2 图3 考点伸展 如图3，在本题中，设抛物线的顶点为D，那么△D 与△B 是两个相似的等腰三角形． 由 ，得抛物线的顶点为 ． 因此 ．所以∠D＝30°，∠D＝120°． 10、如图1，已知一次函数y＝－x＋7 与正比例函数 的图象交于点，且与x 轴交于点B． （1）求点和点B 的坐标； （2）过点作⊥y 轴于点，过点B 作直线l//y 轴．动点P 从点出发， 以每秒1 个单位长的速度，沿——的路线向点运动；同时直线l 从点B 出发，以相同速度向左平移，在平移过程中，直线l 交x 轴于点R，交 线段B 或线段于点Q．当点P 到达点时，点P 和直线l 都停止运动． 在运动过程中，设动点P 运动的时间为t 秒． ①当t 为何值时，以、P、R 为顶点的三角形的面积为8？ ②是否存在以、P、Q 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求t 的值；若不存在，请说明理由． 图1 思路点拨 1．把图1 复制若干个，在每一个图形中解决一个问题． 2．求△PR 的面积等于8，按照点P 的位置分两种情况讨论．事实上，P 在上运动时，高是定值4， 最大面积为6，因此不存在面积为8 的可能． 3．讨论等腰三角形PQ，按照点P 的位置分两种情况讨论，点P 的每一种位置又要讨论三种情况． 满分解答 （1）解方程组 得 所以点的坐标是(3，4)． 令 ，得 ．所以点B 的坐标是(7，0)． （2）①如图2，当P 在上运动时，0≤t＜4．由 ，得 ．整理，得 ．解得t＝2 或t＝6（舍去）．如图 3，当P 在上运动时，△PR 的最大面积为6． 因此，当t＝2 时，以、P、R 为顶点的三角形的面积为8． 图2