28 二次函数与等腰三角形存在性问题

等腰三角形的存在性问题 一、方法突破 【问题描述】 如图，点坐标为（1,1），点B 坐标为（4,3），在x 轴上取点使得△B 是等腰三角形． y x O A B 【几何法】“两圆一线”得坐标 （1）以点为圆心，B 为半径作圆，与x 轴的交点即为满足条件的点，有B=； （2）以点B 为圆心，B 为半径作圆，与x 轴的交点即为满足条件的点，有B=B； （3）作B 的垂直平分线，与x 轴的交点即为满足条件的点，有=B． C5 C4 C3 C2 C1 y x O A B 【注意】若有三点共线的情况，则需排除． 作图并不难，问题是还需要把各个点坐标算出来，可通过勾股或者三角函数来求． C2 1+2 3,0 ( ) C1 1-2 3,0 ( ) C1H=C2H= 13-1=2 3 作AHx轴于H点，AH=1 AC1=AB= 4-1 ( )2+ 3-1 ( )2= 13 H B A O x y C1 C2 同理可求，下求 ． B A O x y C5 显然垂直平分线这个条件并不太适合这个题目，如果、B 均往下移一个单位，当点坐标为 （1,0），点B 坐标为（4,2）时，可构造直角三角形勾股解： 故C5坐标为（ 19 6 ,0） 解得：x= 13 6 3-x ( )2+22=x2 设AC5=x，则BC5=x，C5H=3-x AH=3，BH=2 H B A O x y C5 而对于本题的 ，或许代数法更好用一些． 【代数法】表示线段构相等 B A O x y C5 （1）表示点：设点 坐标为（m，0），又点坐标（1,1）、B 点坐标（4,3）， （2）表示线段： ， （3）分类讨论：根据 ，可得： ， （4）求解得答：解得： ，故 坐标为 ． 【小结】 几何法：（1）“两圆一线”作出点； （2）利用勾股、相似、三角函数等求线段长，由线段长得点坐标． 代数法：（1）表示出三个点坐标、B、； （2）由点坐标表示出三条线段：B、、B； （3）根据题意要求取①B=、②B=B、③=B； （4）列出方程求解． 问题总结： （1）两定一动：动点可在直线上、抛物线上； （2）一定两动：两动点必有关联，可表示线段长度列方程求解； （3）三动点：分析可能存在的特殊边、角，以此为突破口． 二、典例精析 例一：如图，在平面直角坐标系中，二次函数 交 轴于点 、 ，交 轴于点 ，在 轴上有一点 ，连接 ． （1）求二次函数的表达式； （2）若点 为抛物线在 轴负半轴上方的一个动点，求 面积的最大值； （3）抛物线对称轴上是否存在点 ，使 为等腰三角形？若存在，请直接写出所有 点的坐标，若不存在请说明理由． E A B O C D x y 【分析】 （1） ； （2）可用铅垂法，当点D 坐标为 时，△DE 面积最大，最大值为14； （3）这个问题只涉及到、E 两点及直线x=-1（对称轴） ①当E=P 时，以为圆心，E 为半径画圆，与对称轴交点即为所求P 点． ∵E= ，∴ ，又=3，∴ ， 故 、 ． ②当E=EP 时，以E 点为圆心，E 为半径画圆，与对称轴交点即为所求P 点． 过点E 作EM 垂直对称轴于M 点，则EM=1， ， 故 、 ． ③当P=PE 时，作E 的垂直平分线，与对称轴交点即为所求P 点． 设 ， ， ∴ ，解得：m=1． 故 ． 综上所述，P 点坐标为 、 、 、 、 ． E A B O x y P5 M E A B O x y P3 P4 H E A B O x y P1 P2 【补充】“代数法”用点坐标表示出线段，列方程求解亦可以解决． 例二：如图，抛物线 交 轴于 ， 两点，与 轴交于点 ， 连接 ， ．点 是第一象限内抛物线上的一个动点，点 的横坐标为 ． （1）求此抛物线的表达式； （2）过点 作 轴，垂足为点 ， 交 于点 ．试探究点 在运动过程中， 是否存在这样的点 ，使得以 ， ， 为顶点的三角形是等腰三角形．若存在， 请求出此时点 的坐标，若不存在，请说明理由； Q M P A B O C x y 【分析】 （1） ； （2）①当=Q 时，∵=5，∴Q=5， 考虑到B 与y 轴夹角为45°，故过点Q 作y 轴的垂线，垂足记为， 则 ，故Q 点坐标为 ． ②当=Q 时，考虑直线B 解析式为y=-x+4，可设Q 点坐标为（m，-m+4）， ， 即 ，解得：m=1 或0（舍）， 故Q 点坐标为（1，3）． ③当Q=Q 时，作的垂直平分线，显然与线段B 无交点，故不存在． 综上所述，Q 点坐标为 或（1，3）． Q2 y x C O B A P M Q1 三、中考真题对决 1．（2021•宿迁）如图，抛物线 与 轴交于 ， ，与 轴交 于点 ．连接 ， ，点 在抛物线上运动． （1）求抛物线的表达式； （3）如图②，若点 在第一象限，直线 交 于点 ，过点 作 轴的垂线交 于 点 ，当 为等腰三角形时，求线段 的长． 解：（1） ， 是抛物线 与 轴的两个交点，且二次项系数 ， 根据抛物线的两点式知， ． （3）设 与 轴的交点为 ， ， 则 ， ， 若 ，则 ， ， ， 即 ， 解得 舍去），此时 ． 若 ，过点 作 轴于点 ， ， ， ， ， 又 ， ， ， 在 中， ， ， ， ， 将上式和抛物线解析式联立并解得 舍去）， 此时 ． 若 ，过点 作 交 于点 （见上图）， ， ， ， ， 即 平分 ， ， ， ， ， 联立抛物线解析式，解得 舍去）． 此时 ． 当 时， ； 当 时， ； 当 时， ； 2．（2021•绥化）如图，已知抛物线 与 轴交于点 ，点 （点 在点 的左边），与 轴交于点 ，点 为抛物线的顶点，连接 ．直线 经过点 ，且与 轴交于点 ． （1）求抛物线的解析式； （2）点 是抛物线上的一点，当 是以 为腰的等腰三角形时，求点 的坐标； 解：（1）将 ， 代入抛物线 得： ， 解得： ， 抛物线的解析式为： ； （2） ， ，点 是抛物线上的一点且 是以 为腰的等腰三角形， 此题有两种情形： ①当 时，根据抛物线的对称性得： 与 重合， ， ②方法一：当 时（如图 ， 在 的垂直平分线上， 的垂直平分线交 于 ，交 轴于点 ， 与 轴交点为 ， ， ， ， 在 中， ， ， 是 的中点， ， ， ， ， ， 设 ，代入得： ， 解得： ， ， 联立得： ， 解得： ， ， ， ， ， ， 方法二：如图2， 过点 作 交 于点 ， 设 ， ， ， ， ， ， ， 解得： ， 把 代入 ， ， ， ， ， 综上所述， ， ， ， ， ； 3．（2021•随州）在平面直角坐标系中，抛物线 2 y ax bx c    与x 轴交于点 ( 1,0) A  和点 B ，与y 轴交于点C ，顶点D 的坐标为(1, 4)  ． （1）直接写出抛物线的解析式； （3）如图2，M 是直线BC 上一个动点，过点M 作MN x  轴交抛物线于点N ，Q 是直线 AC 上一个动点，当 QMN  为等腰直角三角形时，直接写出此时点M 及其对应点Q 的坐 标． 解：（1）顶点D 的坐标为(1, 4)  ， 设抛物线的解析式为 2 ( 1) 4 y a x    ，将点 ( 1,0) A  代入， 得 2 0 ( 1 1) 4 a     ， 解得： 1 a ， 2 2 ( 1) 4 2 3 y x x x        ， 该抛物线的解析式为 2 2 3 y x x    ； （3）设直线AC 解析式为 1 1 y m x n   ，直线BC 解析式为 2 2 y m x n   ， ( 1,0) A   ， (0, 3) C  ，  1 1 1 0 3 m n n        ， 解得： 1 1 3 3 m n      ， 直线AC 解析式为 3 3 y x   ， (3,0) B  ， (0, 3) C  ，  2 2 2 3 0 3 m n n       ， 解得： 2 2 1 3 m n      ， 直线BC 解析式为 3 y x  ， 设 ( , 3) M t t  ，则 2 ( , 2 3) N t t t   ， 2 2 | 2 3 ( 3) | | 3 | MN t t t t t         ， ①当 QMN  是以NQ 为斜边的等腰直角三角形时，此时 90 NMQ   ，MN MQ  ，如图 2， / / MQ x  轴， 1 ( 3 Q t   ， 3) t  ， 2 1 | 3 | | ( ) | 3 t t t t    ， 2 4 3 3 t t t    ， 解得： 0 t （舍) 或 5 3 t 或 13 3 t  ， 1 5 (3 M  ， 4) 3  ， 1 5 ( 9 Q  ， 4) 3  ； 2 13 ( 3 M ，4) 3 ， 2 13 ( 9 Q  ，4) 3 ； ②当 QMN  是以MQ 为斜边的等腰直角三角形时，此时 90 MNQ   ，MN NQ  ，如图 3， / / NQ x  轴， 2 2 ( 3 t t Q    ， 2 2 3) t t   ， 2 2 2 1 | | | | 3 3 t t NQ t t t       ， 2 2 1 | 3 | | | 3 t t t t     ， 解得： 0 t （舍) 或 5 t 或 2 t ， 3(5,2) M  ， 3( 5,12) Q  ； 4(2, 1) M  ， 4(0, 3) Q  ； ③当QMN  是以MN 为斜边的等腰直角三角形时， 此时 90 MQN   ，MQ NQ  ，如图4， 过点Q 作QH MN  于H ，则MH HN  ， 2 6 ( , ) 2 t t H t    ， 2 ( 6 t t Q    ， 2 6) 2 t t   ， 2 2 1 | | | 5 | 6 6 t t QH t t t       ， MQ NQ   ， 2 MN QH   ， 2 2 1 | 3 | 2 | 5 | 6 t t t t     ， 解得： 7 t 或1， 5(7,4) M  ， 5( 7,18) Q  ； 6(1, 2) M  ， 6(0, 3) Q  ； 综上所述，点M 及其对应点Q 的坐标为： 1 13 ( 3 M ，4) 3 ， 1 13 ( 9 Q  ，4) 3 ； 2 5 (3 M ， 4) 3  ， 2 5 ( 9 Q  ， 4) 3  ； 3(5,2) M ， 3( 5,12) Q  ； 4(2, 1) M  ， 4(0, 3) Q  ； 5(7,4) M ， 5( 7,18) Q  ； 6(1, 2) M  ， 6(0, 3) Q  ． 4．（2021•怀化）如图所示，抛物线与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，且 2 OA ， 4 OB ， 8 OC ，抛物线的对称轴与直线BC 交于点M ，与x 轴交于点N ． （1）求抛物线的解析式； （4）点Q 是抛物线上位于x 轴上方的一点，点R 在x 轴上，是否存在以点Q 为直角顶点的 等腰Rt CQR  ？若存在，求出点Q 的坐标，若不存在，请说明理由． 解：（1）由题意得，点A 、B 、C 的坐标分别为( 2,0)  、(4,0) 、(0,8) ， 设抛物线的表达式为 2 y ax bx c    ，则 4 2 0 16 4 0 8 a b c a b c c            ，解得 1 2 8 a b c       ， 故抛物线的表达式为 2 2 8 y x x    ； （4）存在，理由： ①当点Q 在y 轴的右侧时， 设点Q 的坐标为 2 ( , 2 8) x x x    ， 故点Q 作y 轴的平行线交x 轴于点N ，交过点C 与x 轴的平行线于点M ， 90 MQC RQN      ， 90 RQN QRN    ， MQC QRE   ， 90 ANQ QMC      ，QR QC  ， ( ) ANQ QMC AAS   ， QN CM   ， 即 2 2 8 x x x    ，解得 1 33 2 x   （不合题意的值已舍去）， 故点Q 的坐标为1 33 ( 2  ，1 33) 2  ； ②当点Q 在y 轴的左侧时， 同理可得，点Q 的坐标为3 41 ( 2  ， 41 3) 2  ． 综上，点Q 的坐标为3 41 ( 2  ， 41 3) 2  或1 33 ( 2  ，1 33) 2  ． 5．（2021•广安）如图，在平面直角坐标系中，二次函数 2 y x bx c    的图象与坐标轴 相交于A 、B 、C 三点，其中A 点坐标为(3,0) ，B 点坐标为( 1,0)  ，连接AC 、BC ．动 点P 从点A 出发，在线段AC 上以每秒 2 个单位长度向点C 做匀速运动；同时，动点Q 从点B 出发，在线段BA 上以每秒1 个单位长度向点A 做匀速运动，当其中一点到达终点 时，另一点随之停止运动，连接PQ ，设运动时间为t 秒． （1）求b 、c 的值． （3）在线段AC 上方的抛物线上是否存在点M ，使 MPQ  是以点P 为直角顶点的等腰直 角三角形？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由． 解：（1）二次函数 2 y x bx c    经过点 (3,0) A ， ( 1,0) B  ， 则 0 9 3 0 1 b c b c         ， 解得： 2 3 b c     ； （3）存在．假设点M 是线段AC 上方的抛物线上的点， 如图，过点P 作x 轴的垂线，交x 轴于E ，过M 作y 轴的垂线，与EP 交于F ，连接MQ ， MP ． PMQ   是等腰直角三角形，PM PQ  ， 90 MPQ   ， 90 MPF QPE    ，又 90 MPF PMF    ， PMF QPE   ， 在PFM  和QEP  中， F QEP PMF QPE PM PQ          ， ( ) PFM QEP AAS   ， MF PE t   ， 4 2 PF QE t   ， 4 2 4 EF t t t    ， 又 3 OE t  ， 点M 的坐标为(3 2 ,4 ) t t   ， 点M 在抛物线 2 2 3 y x x    上， 2 4 (3 2 ) 2(3 2 ) 3 t t t      ， 解得： 9 17 8 t   或9 17 8  （舍) ， M  点的坐标为3 17 ( 4  ，23 17 ) 8  ．