第18讲 等腰三角形（讲义）（原卷版）

第18 讲 等腰三角形 目 录 一、考情分析 二、知识建构 考点一 等腰三角形的性质与判定 题型01 等腰三角形的定义 题型02 根据等边对等角求角度 题型03 利用等边对等角证明 题型04 根据三线合一求解 题型05 根据三线合一证明 题型06 格点图中画等腰三角形 题型07 根据等角对等边证明等腰三角形 题型08 根据等角对等边证明边相等 题型09 根据等角对等边求边长 题型10 求与图形中任意两点构成等腰三角形的点 题型11 等腰三角形性质与判定综合 题型12 等腰三角形有关的折叠问题 题型13 等腰三角形有关的规律探究问题 题型14 等腰三角形有关的新定义问题 题型15 等腰三角形有关的动点问题 题型16 探究等腰三角形中线段间存在的关系 考点二 等边三角形的性质与判定 题型01 利用等边三角形的性质求线段长 题型02 手拉手模型 题型03 等边三角形的判定 题型04 等边三角形与折叠问题 题型05 等边三角形有关的规律探究问题 题型06 等边三角形有关的新定义问题 题型07 利用等边三角形的性质与判定解决多结论问题 考点三 线段垂直平分线的性质与判定定理 题型01 利用垂直平分线的性质求解 题型02 线段垂直平分线的判定 题型03 线段垂直平分线的实际应用 考点要求 新课标要求 命题预测 等腰三角形的性质 与判定  理解等腰三角形的概念  探索并证明等腰三角形的性质定理:等腰三角 形的两个底角相等;底边上的高线、中线及顶 角平分线重合  探索并掌握等腰三角形的判定定理:有两个角 相等的三角形是等腰三角形 该板块内容重在掌握基本知 识的基础上灵活运用，也是考查 重点，年年都会考查，最为经典 的“手拉手”模型就是以等腰三 角形为特征总结的而数学中考 中，等腰三角形单独出题的可能 性还是比较大的，多以选择填空 题型出现，但是因为等腰三角形 可以放在很多模型中，所以等腰 三角形结合其他考点出成压轴题 的几率特别大，所占分值也是比 较多，属于是中考必考的中等偏 上难度的考点 等边三角形的性质 与判定  探索等边三角形的性质定理:等边三角形的各 角都等于60°  探索等边三角形的判定定理:三个角都相等的 三角形(或有一个角是 60°的等腰三角形)是 等边三角形 线段垂直平分线的 性质与判定定理  理解线段垂直平分线的概念，  探索并证明线段垂直平分线的性质定理:线段 垂直平分线上的点到线段两端的距离相等;反 之，到线段两端距离相等的点在线段的垂直 平分线上 考点一 等腰三角形的性质与判定 等腰三角形的概念：有两边相等的三角形角等腰三角形． 等腰三角形性质： 1）等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”） 2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简称“三线合一”） 等腰三角形的判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等 边”） 1 等腰三角形的边有腰、底之分,角有顶角、底角之分,若题目中的边没有明确是底还是腰,角没有明是 顶角还是底角，需要分类讨论 2 顶角是直角的等腰三角形叫做等腰直角三角形，且它的两个底角都为45° 3 等腰三角形是轴对称图形，它有1 条或3 条对称轴． 4 等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）． 5 等腰三角形的三边关系：设腰长为，底边长为b，则b 2< 6 等腰三角形的三角关系：设顶角为顶角为∠，底角为∠B、∠，则∠=180°-2∠B，∠B=∠= 180 0−∠A 2 题型01 等腰三角形的定义 【例1】（2023·山东济南·统考三模）已知m，，5 分别是等腰三角形（非等边三角形）三边的长，且 m，分别是关于x 的一元二次方程x 2−6 x+k=0的两个根，则k 的值等于（ ） ．3 B．5 或9 ．5 D．9 【变式1-1】（2023·内蒙古鄂尔多斯·三模）腰长为5，一边上的高为4 的等腰三角形的底边长为（ ） ．6 或4❑ √5 B．6 或4❑ √5或2❑ √5 ．4❑ √5或2❑ √5 D．6 或2❑ √5 【变式1-2】（2023·湖南邵阳·统考二模）已知等腰三角形的三边x、y、z 满足 (x−4 ) 2+❑ √y−2+|z−a|=0，则的值是（ ） ．2 B．3 ．4 D．2 或4 【变式1-3】（2023·河南安阳·统考一模）已知等腰△ABC的边是方程x 2−7 x+10=0的根，则△ABC 的周长为（ ） ．9 B．9 或12 ．6 或15 D．6 或12 或15 【变式1-4】（2023·黑龙江佳木斯·统考三模）已知△ABC是以AB为一腰的等腰三角形，AB=5，AC 边上的高为4，则△ABC的底边长为 ． 题型02 根据等边对等角求角度 【例2】（2023·湖北襄阳·统考模拟预测）等腰三角形腰长为8，面积为16，则底角的度数为 ． 【变式2-1】（2023·安徽滁州·校考一模）如图，△ABC中，AB=AC ，CD⊥AB于点D，若 ∠A=40°，则有（ ） ．∠1=50° B．∠1=40° ．∠1=35° D．∠1=20° 【变式2-2】．（2023·辽宁丹东·校考二模）如图，A，B两点分别在直线l1，l2上，且l1∥l2，BA=BC， BC ⊥l2，若∠1=116°，则∠CAB的度数等于（ ） ．20° B．22° ．24° D．26° 【变式2-3】（2023·广东河源·统考一模）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，CE平分 △ABC的外角∠ACD，则∠1=¿ ． 【变式2-4】（2023·江西吉安·校考模拟预测）如图，在△ABC中，AC=BC，AE⊥BC．垂足为E， 点D 在AE上，且CD平分∠ACB，若∠ABC=54°，则∠ADC的度数为 ． 【变式2-5】（2023·浙江金华·校考一模）等腰△ABC中，BD⊥AC，垂足为点D，且BD=1 2 AC，则 等腰△ABC底角的度数为 ． 题型03 利用等边对等角证明 【例3】（2023·浙江温州·统考二模）如图，在△ABC中，AB=AC，P 为BC的中点，D，E 分别为AB， AC上的点，且∠BDP=∠CEP． (1)求证：△BDP≌△CEP． (2)若PD⊥AB，∠A=110°，求∠EPC的度数． 【变式3-1】（2023·陕西西安·陕西师大附中校考模拟预测）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC， ∠ABC=∠BCD，连接AC，点M 为线段AC上一点，连接BM，若AC=BC，AB=BM．求证： △ADC ≌△CMB． 【变式3-2】（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第十七中学校校考模拟预测）已知：▱ABCD中， DE=BC，BE=EF． (1)求证：AF=DC； (2)连接AE，当AE=AF时，在不添加任何辅助线和字母的情况下，请直接写出图中与∠B互补的角． 【变式3-3】（2023·江苏无锡·校考二模）如图，△ABC中，AB=AC，点D、E分别在AB、AC边上， ∠EBC=∠DCB． (1)求证：BE=CD； (2)若AB=8，BC=5，当CD⊥AB时，求CE的长． 题型04 根据三线合一求解 【例4】（2023·辽宁·模拟预测）如图，线段AB=8，点P 在线段AB上，且AP=5，分别以点和点B 为 圆心，AP的长为半径作孤，两弧相交于点和点D，连接AC，BC，AD，BD，则点到边AD的距离是 （ ） ．24 5 B．48 5 ．4 D．3 【变式4-1】（2023·陕西西安·校考模拟预测）图1 为红斑钟螺，壳型为圆锥形．多分布在菲律宾、以及 我国台湾垦丁等区域．现有一个“钟螺”小摆件，可近似看成圆锥形，图2 为其主视图，其中 AB=13cm，摆件的高度为12cm．现要在AB上选取一个位置P 安装挂钩，在该点与之间布设导线，线 路上安装微型小彩灯，若挂钩以及导线连接处等长度损耗忽略不计，则最短线路，即CP的最小值为 （ ） ．10cm B．120 13 cm ．60 13 cm D．6 ❑ √3cm 【变式4-2】（2023·吉林松原·校联考二模）如图，在△ABC中，AB=AC，边B 在x 轴上，且点 B (−1,0)，点A (2,4 )，则△AOC的面积为（ ） ．5 B．8 ．10 D．20 【变式4-3】（2023·陕西西安·校考二模）如图，等腰△AOB在平面直角坐标系中，点B 的坐标为 (6，0)，OA=AB=5，点在反比例函数y= k x （k ≠0，x>0）的图象上，则k 的值为 ． 【变式4-4】（2023·河北·统考模拟预测）如图，点D ,C , E在直线l上，点A ,B在l的同侧，AC ⊥BC， 若AD=AC=BC=BE=5,CD=6，则CE的长为 ． 题型05 根据三线合一证明 【例5】（2023·陕西榆林·校考模拟预测）如图，在△ABC中，AB=AC，D是边BC的中点，一个圆过 点A，交边AB于点E，且与BC相切于点D，则该圆的圆心是（ ） ．线段AE的垂直平分线与线段AC的垂直平分线的交点 B．线段AB的垂直平分线与线段AC的垂直平分线的交点 ．线段AE的垂直平分线与线段BC的垂直平分线的交点 D．线段AB的垂直平分线与线段BC的垂直平分线的交点 【变式5-1】（2023·山东青岛·统考一模）如图，在▱ABCD中，AC ，BD交于点，点E，F 分别是 AO，CO的中点． (1)求证：DE=BF； (2)请从以下三个条件：①AC=2BD；②∠BAC=∠DAC；③AB=AD中，选择一个合适的作为已知 条件，使四边形DEBF为菱形． 你选择添加的条件是：______（填写序号）；添加条件后，请证明四边形DEBF为菱形． 【变式5-2】（2023·广西河池·校考一模）如图，在△ABC中，AB=AC，点D是边BC的中点．以BD 为直径作圆O，交边AB于点P，连接PC，交AD于点E． (1)求证：AD是圆O的切线． (2)若PC是圆O的切线，BC=4，求PE的长． 【变式5-3】（2023·贵州黔东南·统考三模）（1）如图，直线AB经过⊙O上一点，连接OA ,OB，从以 下三个信息中选择两个作为条件，剩余的一个作为结论组成一个真命题，并写出你的证明过程．① OA=OB；②CA=CB；③AB是⊙O的切线．你选择的条件是____________，结论是______（填序 号）； （2）在（1）的条件下，若∠AOB=90°，OA=4 ❑ √2，求图中阴影部分的面积． 题型06 格点图中画等腰三角形 【例6】（2023·江苏扬州·统考一模）如图，在6×6 的正方形格图形ABCD中，每个小正方形的边长为 1，M、分别是AB 、BC上的格点．若点P 是这个格图形中的格点，连接PM 、PN，则满足 ∠MPN=45°的点P 有（ ）个 ．3 B．4 ．5 D．6 【变式6-1】（2023·广西玉林·统考一模）如图，在由边长相同的7 个正六边形组成的格中，点，B 在格 点上．再选择一个格点，使△B 是以B 为腰的等腰三角形，符合点条件的格点个数是( ) ．1 B．2 ．3 D．4 【变式6-2】（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨德强学校校考模拟预测）图1、图2 是两张形状、大小完全相 同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为1 (1)在图1 中画一个腰长为5，面积为10 的等腰三角形ABC，（点、B、在小正方形的顶点上）． (2)在图2 中画出一个腰长为10 的等腰三角形¿（点D、E、F 在小正方形的顶点上），并直接写出等腰三 角形¿的底角的正切值为__________． 【变式6-3】（2023·浙江丽水·统考二模）如图，是由边长为1 的小等边三角形构成的格，每个小等边三 角形的顶点叫作格点．线段B 的端点均在格上，分别按要求作图，每小题各画出一个即可． (1)在图1 中画出以B 为边的平行四边形ABCD，且点，D 在格点上； (2)在图2 中画出等腰三角形BE，且点E 在格点上； (3)在图3 中画出直角三角形BF，且点F 在格点上． 题型07 根据等角对等边证明等腰三角形 【例7】（2023·湖北武汉·校联考模拟预测）如图，D，E 是△ABC边上的点，ED∥BC，BE 平分 ∠ABC． (1)求证：BD=DE； (2)若BD:BC=2:3．直接写出S△ADE:S△EDC的值． 【变式7-1】（2023·江苏常州·统考二模）如图，已知△ABC． (1)在图中用直尺和圆规作△ABC的角平分线BD，作∠ADE，使得∠ADE=∠C，射线DE交AB于 点E（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，判断△BDE的形状，并证明你的结论． 【变式7-2】（2023·山东潍坊·统考模拟预测）如图，B 是⊙O的直径，D 是B 上的一点，是⊙O上的一 点，过点D 作B 的垂线，与过点的切线相交于点P，PD 与相交于点E． （1）求证：△PCE是等腰三角形； （2）连接B，若AD=OD，AE=25 8 ，BC=6，求PC的长． 题型08 根据等角对等边证明边相等 【例8】（2023·陕西西安·交大附中分校校考模拟预测）如图，在平行四边形ABCD中，AB=6， AD=9，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F则F 的长为（ ） ．2 B．3 ．35 D．4 【变式8-1】（2023·江苏苏州·统考二模）如图锐角△ABC中，AB=4，BC =6，∠A =2∠C，则的 值为 ． 【变式8-2】（2023·浙江·统考二模）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，DE∥BC， EB平分∠DEC． (1)求证：BC=CE； (2)若CE=AB，EA=EB，求∠C的度数． 【变式8-3】（2023·湖北武汉·统考二模）如图，AB∥CD，AD∥BC，∠ABC的平分线交AD于点 E，交CD的延长线于点F． (1)求证：DE=DF； (2)若∠C=120°，直接写出∠1的度数． 题型09 根据等角对等边求边长 【例9】（2023·福建福州·福建省福州第十九中学校考模拟预测）如图，正方形ABCD的边长为2，点F 为对角线AC上一点，当∠CBF=22.5°时，则AF的长是（ ） ．2❑ √2−2 B．11 6 ．2 D．❑ √5 【变式9-1】（2023·陕西西安·校考模拟预测）如图，在△ABC中，∠B=45°，AD是△ABC的角平 分线，DE⊥AC，垂足为点E 若DE=2，则BD 的长为（ ） ．4 B．2❑ √3 ．2 D．2❑ √2 【变式9-2】（2023·河北石家庄·石家庄市第四十中学校考二模）如图，在▱ABCD中， AB=6，BC=8，以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交BC ，CD于M，两点，分别以M，为圆心， 以大于1 2 MN的长为半径作弧，两弧在∠BCD的内部交于点P，射线CP交AD于点E，交BA的延长线 于点F，则AF的长是（ ） ．1 B．2 ．3 D．4 题型10 求与图形中任意两点构成等腰三角形的点 【例10】（2020·安徽淮北·统考一模）如图，在矩形ABCD中， AB=4 ,BC=6,点E是AD的中点，点 F在DC上，且CF=1,若在此矩形上存在一点P，使得△PEF是等腰三角形，则点P的个数是（ ） ．3 B．4 ．5 D．6 【变式10-1】（2018·江苏常州·统考一模）已知直线y=−❑ √3 x+3与坐标轴分别交于点A，B，点P在抛 物线y=−(x−❑ √3) 2+4上，能使△ABP为等腰三角形的点P的个数有( ) ．8 个 B．4 个 ．5 个 D．6 个 【变式10-2】．（2023·广东河源·统考一模）如图，在3×3的格中，每个格线的交点称为格点．已知图 中A，B两个格点，请在图中再寻找另一个格点C，使△ABC成为等腰三角形，则满足条件的点C有 （ ）个． ．6 B．8 ．10 D．12 题型11 等腰三角形性质与判定综合 【例11】（2023·北京顺义·统考二模）如图，在△ABC中，AD，BD分别是∠BAC，∠ABC的平分 线，过点D 作EF ∥AB，分别交AC，BC于点E，F．若AE=4，BF=6，则EF的长为 ． 【变式11-1】（2020·江苏泰州·统考一模）已知点(2，m)，点P 在y 轴上，且△P 为等腰三角形，若符合 条件的点P 恰好有2 个，则m= ． 【变式11-2】（2023·湖南邵阳·统考一模）如图，已知AB=6 ❑ √3，点C在线段AB上，△ACD是底边长 为6 的等腰三角形且∠ADC=120°，以CD为边在CD的右侧作矩形CDEF，连接DF，点M是DF的中 点，连接MB，则线段MB的最小值为 ． 【变式11-3】（2023·湖南娄底·统考一模）如图，函数y= k x (x>0)的图象过点A (n,2)和B( 8 5 ,2n−3)两 点． (1)求n和k的值； (2)点C是双曲线上介于点A和点B之间的一个动点，若S△AOC=6，求C点的坐标； (3)过C点作DE∥OA，交x轴于点D，交y轴于点E，第二象限内是否存在点F，使得△≝¿是以DE为腰 的等腰直角三角形?若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 题型12 等腰三角形有关的折叠问题 【例12】（2023·辽宁·模拟预测）【问题初探】 （1）在数学活动课上，李老师给出如下问题：如图1，在△ACD中，∠D=2∠C ，AB⊥CD，垂足 为B，且BC> AB．求证：BC=AD+BD． ①如图2，小鹏同学从结论的角度出发给出如下解题思路：在BC上截取BE=BD，连接AE，将线段BC 与AD，BD之间的数量关系转化为AD与CE之间的数量关系． ②如图3，小亮同学从∠D=2∠C这个条件出发给出另一种解题思路：作AC的垂直平分线，分别与 AC，CD交于F，E 两点，连接AE，将∠D=2∠C转化为∠D与∠BEA之间的数量关系． 请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程． 【类此分析】 （2）李老师发现之前两名同学都运用了转化思想，将证明三条线段的关系转化为证明两条线段的关系； 为了帮助学生更好地感悟转化思想，李老师将图1 进行变换并提出了下面问题，请你解答． 如图4，在Rt △ABC中，∠ABC=90°，过点作AD∥BC（点D 与点在AB同侧），若 ∠ADB=2∠C．求证：BC=AD+BD． 【学以致用】 （3）如图5，在四边形ABCD中， AD=100 3 ,CD=121 3 ,sin D=3 5 ,∠BCD=∠BAD ,∠ABC=3∠ADC，求四边形ABCD的面积． 【变式12-1】（2023·福建南平·统考二模）在等腰三角