第18讲 等腰三角形（练习）（解析版）

第18 讲 等腰三角形 目 录 题型01 等腰三角形的定义 题型02 根据等边对等角求角度 题型03 利用等边对等角证明 题型04 根据三线合一求解 题型05 根据三线合一证明 题型06 格点图中画等腰三角形 题型07 根据等角对等边证明等腰三角形 题型08 根据等角对等边证明边相等 题型09 根据等角对等边求边长 题型10 求与图形中任意两点构成等腰三角形的点 题型11 等腰三角形性质与判定综合 题型12 等腰三角形有关的折叠问题 题型13 等腰三角形有关的规律探究问题 题型14 等腰三角形有关的新定义问题 题型15 等腰三角形有关的动点问题 题型16 探究等腰三角形中线段间存在的关系 题型17 利用等边三角形的性质求线段长 题型18 手拉手模型 题型19 等边三角形的判定 题型20 等边三角形与折叠问题 题型21 等边三角形有关的规律探究问题 题型22 利用等边三角形的性质与判定解决多结论问题 题型23 利用垂直平分线的性质求解 题型24 线段垂直平分线的判定 题型01 等腰三角形的定义 1．（2021·四川内江·四川省内江市第六中学校考二模）已知x，y 满足 ，则以，的值为 两边长的等腰三角形的周长是（ ） ．20 或16 B．20 ．16 D．以上答均不对 【答】B 【分析】利用非负数的性质，求出 ， 的值，利用分类讨论的思想思考问题即可． 【详解】解： ， 又 ， ， ， ， 当等腰三角形的边长为4，4，8 时，不符合三角形的三边关系； 当等腰三角形的三边为8，8，4 时，周长为20， 故选：B． 【点睛】本题考查等腰三角形的概念、非负数的性质、三角形的三边关系等知识，解题的关键是熟练掌握 基本知识，属于中考常考题型． 2．（2019·陕西西安·校联考一模）已知等腰三角形的一个外角等于 ，则它的顶角是（ ） ． B． ． 或 D． 或 【答】 【分析】已知条件中的外角可能是顶角的外角，也可能是底角的外角，需要分情况进行讨论，再结合三角 形的内角和为 ，即可求出顶角的度数． 【详解】解：①当顶角的外角等于 时，则该顶角为： ； ②当底角的外角等于 时，则该底角为 ，又由于是等腰三角形，故此时顶角为： ． 综上所述，这个等腰三角形的顶角为 或 ． 故选． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形内角和定理，难度不大，解题的关键是注意分类讨论思想 的应用，以免漏解． 3．（2023·四川广安·统考二模）已知等腰三角形的两边长满足 ，那么这个等腰三角 形的周长为 ． 【答】10 【分析】根据算术平方根和平方的非负性求得 ，分情况讨论，求解即可． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ， 解得 ， 当腰长为2，底边为4 时： ，不满足三角形三边条件，不符合题意； 当腰长为4，底边为2 时： ， ，满足三角形三边条件， 此时等腰三角形的周长为 ． 故答为：10． 【点睛】本题主要考查的是非负数的性质、等腰三角形的定义，三角形的三边关系，利用三角形的三边关 系进行验证是解题的关键． 题型02 根据等边对等角求角度 1．（2023·广东东莞·三模）如图，正方形 的两条对角线 ， 相交于点 ，点 在 上，且 ．则 的度数为 ． 【答】 【分析】本题主要考查正方形的性质，熟练掌握正方形的性质是解题的关键； 根据正方形的性质得到线段相等和 ，再根据三角形的内角和即可求解． 【详解】解： 四边形 是正方形． ， ， ， ， ， 故答为： 2．（2021·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第六十九中学校校考二模） 中， ， 的平分线与 边所夹的锐角为 ，则 ． 【答】 或 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质及三角形内角和定理，分两种情况分别求得等腰三角形的顶角是 解题的关键．根据等腰三角形的性质以及角平分线的定义得到 ，当 时，根据三角形外角的性质得到 ，即可求得 ；当 时，根据三角形内角和定理得到 ，即可求得 ． 【详解】解：设 的角平分线交 于点 ， 当 时，如图1， ， ， ， ， ， ； 当 时，如图2， ， ， ， ， ， ， 综上所述， 的度数为 或 ． 故答为： 或 ． 3．（2022·广东佛山·校联考模拟预测）如图，在 中， 于点 ， 与 相交于点 ，且 ， ．若 ，则 的度数为 ． 【答】 /35 度 【分析】首先根据 证明 ，再利用全等三角形的性质即可解决问题． 【详解】解： ， ， 在 和 中， ， ， ， ， ， ． 故答为： ． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，等边对等角，解题的关键是掌握全等三角形的判定方法以及 性质． 题型03 利用等边对等角证明 1．（2023·广东深圳·统考三模）在 中， ， ，点 在 内部，若 的 面积为 ，且满足 ，则 ． 【答】 【分析】过点 作 直线 于 ，设 ， ，证明 ， 得出 ，证明 ，得出 ，证明 ，根据 的面积为 ，得出 ，求出结果即可． 【详解】解：如图，过点 作 直线 于 ， 设 ， ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ， ， ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 在 和 中， ， ， ∴ ， 的面积为 ， ∴ ， 即 ， ∴ ，负值舍去． 故答为： ． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理的应用，三角 形面积的计算，解题的关键是作出辅助线，证明 ． 2．（2023·辽宁大连·统考一模）如图， 中， ， ， 于D，E 是 的 中点， 的延长线交 的延长线于F，若 ，则 ． 【答】12 【分析】由直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可得 ，即 ，则 ， ，证明 ，则 ，由 ，可得 ， 解得 ， ，设 ，则 ， ， ， ， 则 ，即 ，计算求解 的值，进而可求 的值． 【详解】解：由题意知 ， ， ∴ ， ∵ ， 是 的中点， ∴ ，即 ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ，解得 ， ， 设 ，则 ， ， ， ， ∴ ，即 ，解得 ， ∴ ， 故答为：12． 【点睛】本题考查正切，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，等边对等角，相似三角形的判定和性质， 灵活应用以上知识点是解题的关键． 3．（2023·广东广州·统考一模）如图， 是 的弦， 交 于点P，过点B 的直线交 的延 长线于点，若 ， ， ，则 的长为 ． 【答】4 【分析】由垂直定义得 ，根据等腰三角形的性质由 得 ，根据对顶角 相等得 ，所以 ，而 ，所以 ，设 ，则 ，在 中，根据勾股定理得到 ，然后解方程即可． 【详解】解：连接 ，如图所示： ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 而 ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ 为直角三角形， 设 ，则 ， 在 中， ， ， ∵ ， ∴ ， 解得： ， 即 的长为4． 故答为：4． 【点睛】本题考查了圆的基本知识，等腰三角形的性质以及勾股定理，垂线定义理解，正确应用勾股定理 求出 的长是解题关键． 4．（2023·天津西青·统考一模）如图，在每个小正方形的边长为1 的格中，点 ， ， 均落在格点上， 连接 ， ． （1）线段 的长等于 ． （2）以 为圆心， 为半径作圆，在 上找一点 ，满足 ．请用无刻度的直尺，在如 图所示的格中，画出点 ，作出 ，并简要说明点 的位置是如何找到的（不要求证明） ． 【答】 图见解析，利用垂径定理找到点 【分析】（1）利用勾股定理求出 的长即可； （2）延长 交 于点 ，取格点 ，连接 并延长交 于点 ，点 即为所求． 【详解】解：（1）由勾股定理，得： ； 故答为： ； （2）延长 交 于点 ，取格点 ，连接 并延长交 于点 ，点 即为所求．如图所示： 由图可知： ， ， ， ∴ ， ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴点 即为所求． M 点是根据垂径定理找到的； 故答为：利用垂径定理找到点M 【点睛】本题考查勾股定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，垂径定理．掌握并运 用相关知识点，是解题的关键． 题型04 根据三线合一求解 1．（2022·黑龙江哈尔滨·校考模拟预测）如图， 中， ， 于 ，点 在线段 上， ，若 ， ，则 的长为 ． 【答】 【分析】设 ，根据题意及各角之间的关系得出 ，再由等腰三角形的性质 得出 ，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，设 ， ∵ ， ∴ ． 中， ， ∴ ． 中， ． ∴ ． ∴ ． ∴ ． ∵ ， ∴ ． ∴ ． 中， ． 中， ． 故答为： ． 【点睛】本题考查直角三角形两税角互余、等角对等边、勾股定理、等腰三角形三线合一；灵活运用勾股 定理求解线段长度是解题的关键． 2．（2023·湖南永州·统考二模）如图，已知在 中， ．以 为直径作半圆，交 于点D． 若 ，则 的度数是 度． 【答】 【分析】如图所示，连接 ，利用圆周角定理得到 ，则由三线合一定理可得 ． 【详解】解：如图所示，连接 ， ∵ 为直径， ∴ ，即 ， ∵ ， ∴ ， 故答为： ． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理，三线合一定理，熟知直径所对的圆周角是直角是解题的关键． 3．（2023·黑龙江哈尔滨·统考三模）在 中， ， 的面积为 ，则 的值为 ． 【答】 或 【分析】过点 作 ，如图，根据等腰三角形的性质得 ，设 ， ，利 用三角形面积公式和勾股定理得到 ， 再利用代数式变形得到 ， ， 则解得 ， 或 ， ，然后根据正切的定义求解即可． 【详解】解：如图，过点 作 ， ， ， 设 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 或 ， ， 在 中， ， 当 ， 时， ， 当 ， 时， ， 故答为： 或 ． 【点睛】本题考查了解直角三角形，在直角三角形中根据三角形面积和勾股定理求出 和 的长是解答 本题的关键． 4．（2023·陕西西安·校考模拟预测）如图， 是等边三角形，点E 是 的中点，过点E 作 于点F，延长 交 的反向延长线于点D，若 ，则 的长为 ． 【答】3 【分析】由 是等边三角形，点E 是 的中点，得 ， ，根据 ，得 ，得到 ，在 中，求得 ，即可得答． 【详解】解：连接 ， ∵ 是等边三角形，点E 是 的中点， ∴ ， ， ∵ ， ∴ ，即 ， ∴ ， 在 中， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 故答为：3． 【点睛】本题考查等边三角形的性质及应用，解题的关键是灵活运用含30 度角的直角三角形的性质解决问 题． 题型05 根据三线合一证明 1．（2023·湖北武汉·校考模拟预测）如图， 中， ， 是 的外接圆， 的延长线 交边 于点D． (1)求证： ； (2)若 ， 时，求 的半径． 【答】(1)见解析 (2)4 【分析】（1）连接 ，得到 ，进而得到 ，利用外接圆的圆心是三边中垂线的交 点，以及等腰三角形三线合一，即可得证； （2）延长 交 于点 ，过点 作 ，交 的延长线于点 ，得到 ， ，推出 ，在 中，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】（1）连接 ， ∵ ， ∴ ， 又∵为 的外心， ∴ 垂直平分 ， 又∵ ， ∴ ， ∴ ； （2）解：延长 交 于点 ，则： ，过点 作 ，交 的延长线 于点 ， ∵ ， ∴ ， ， ∴ ， ， ∴ ， 设 ， 在 中： ，即： ， 解得： （负值已舍掉）； ∴ ， 即： 的半径为4． 【点睛】本题考查三角形的外接圆，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质．熟练掌握三角形的外 接圆的圆心是三边中垂线的交点，构造相似三角形，是解题的关键． 2．（2023·湖北襄阳·统考模拟预测）如图，已知在 中， ， ，点D 是 外 一点， ． (1)尺规作图：请利用直尺和圆规作出 的高 （保留作图痕迹，不写作法）． (2)连接 ，若 ，判断四边形 的形状并说明理由． 【答】(1)见解析； (2)四边形BED 是平行四边形；理由见解析． 【分析】（1）根据过直线外一点作已知直线的垂线的基本作法画图即可； （2）根据等腰三角形三线合一的性质和三角形内角和定理，得到 ，再根据30 度角所 对的直角边等于斜边一半，得到 ，推出 ，证明四边形 是矩形，进而即可证明 四边形 是平行四边形． 【详解】（1）解：如图：E 即为所求； （2）解：四边形 是平行四边形，理由如下： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形 是矩形， ， ， 四边形 是平行四边形． 【点睛】本题考查了基本作图，等腰三角形的性质，矩形的判定和性质，平行四边形的判定，熟练掌握特 殊平行四边形的判定和性质是解题关键． 3．（2023·广东江门·统考一模）如图，在 中， ， ，以 为直径作 分别交 、 于点 、 ，过点 作 的切线交 于点 ． (1)求证： ； (2)若 ， ，求 的长． 【答】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接 ，根据直径所对的圆周角是90°得到 ，再由三线合一得到 ，进而得到结论； （2）连接 ，根据切线的性质得到 ，根据勾股定理求出 ，再根据 的面积求 出 的长即可． 【详解】（1）证明：连接 ， ∵ 为 的直径， ∴ ， 又∵ ∴ ， ∴ ； （2）连接 ， 是作 的切线，则 ， ∵ ， ， ∴ ， ∴ ∴ 是 的中位线， ∴ ∴ ， 又∵ ， ∴ 【点睛】本题考查直径所对的圆周角是直角，等腰三角形的性质，勾股股定理，切线的性质，三角形的中 位线，掌握切线的性质是解题的关键． 题型06 格点图中画等腰三角形 1．（2021·广东广州·执信中学校考三模）如图，在 的正方形格中有两个格点、B，连接 ，在格中 再找一个格点，使得 是等腰直角三角形，满足条件的格点的个数是（ ） ．2 B．3 ．4 D．5 【答】B 【分析】根据题意，结合图形，分两种情况讨论：①B 为等腰直角△B 底边；②B 为等腰直角△B 其中的一 条腰． 【详解】解：如图：分情况讨论： ①B 为等腰直角△B 底边时，符合条件的点有0 个； ②B 为等腰直角△B 其中的一条腰时，符合条件的点有3 个． 故共有3 个点， 故选：B． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定；解答本题关键是根据题意，画出符合实际条件的图形，数形结合 的思想是数学解题中很重要的解题思想． 2．（2022·贵州贵阳·校考一模）如图，、B 是边长为1 的小正方形组成的格上的两个格点，其余的格点中 任意放置点（不包含点、点B 所在的格点），恰好能使△B 构成等腰三角形的概率是（ ） ． B． ． D． 【答】 【分析】除了点、点B 以外，共有23 个点，再在其中找出顶点使其能构成等腰三角形，由概率的定义可求 出答． 【详解】解：如图所示，一共有23 个符合条件的点，其中能与点，点B 构成等腰三角形的顶点有9 个， 所以恰好能使△B 构成等腰三角形的概率为 ， 故选． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定，概率的计算，理解概率的定义是正确解答的前提，掌握等腰三角形 的判定是得出正确答的关键． 3．（2018·河北石家庄·统考一模）如图，格中的每个小正方形的边长为1，、B 是格点，以、B、为等腰三 角形顶点的所有格点的个数为（ ） ．7 个 B．8 个 ．9 个 D．10 个 【答】B 【详解】解：如图所示，以为圆心，B 长为半径画弧，则圆弧经过的格点3、8、7即为点的位置；以B 为圆 心，B 长为半径画弧，则圆弧经过的格点1、2、6、4、5即为点的位置；作线段B 的垂直平分线，垂直平分 线没有经过格点． 故以、B、为等腰三角形顶点的所有格点的个数为8 个． 故选B． 点睛：本题主要考查了等腰三角形的判断，解题时需要通过尺规作图，找出点的位置．掌握等腰三角形的 判定，分情况讨论是解决问题的关键． 题型07 根据等角对等边证明等腰三角形 1．（2018·河北·模拟预测）如图，D 平分∠B，D⊥BD，垂足为点D，DE∥．求证：△BDE 是等腰三角形． 【答】证明见解析． 【分析】直接利用平行线的性质得出 ，进而利用角平分线的定义结合互余的性质得出 ， 即可得出答． 【详解】∵DE∥， 1 ∴∠＝∠3， ∵D 平分∠B， 1 ∴∠＝∠2， 2 ∴∠＝∠3， ∵D⊥BD， 2 ∴∠＋∠B＝90°，∠3＋∠BDE＝90°， ∴∠B＝∠BDE， ∴△BDE 是等腰三角形． 【点睛】此题主要考查了平行线的性质以及角平分线的定义，正确得出 是解题关键． 2．（2021·陕西西安·校考模拟预测）在 中，对角线 平分 交 于点 ，交 于点 ． （1）求证： ； （2）若 ，求 的长． 【答】（1）见解析；（2） ． 【分析】（1）根据平行四边形的性质可得 再由平行线的性质可得 ，由角平分线的 定义可得 ，即可得 ，由此可得 ； （2）由勾股定理求得 ，过点F 作 于点，根据角平分线的性质定理可得F=F，再由 ，即可得 ，由此即可求得 ． 【详解】（1）∵四边形BD 为平行四边形， ∴ ， ∴ ∵ 平分 ， ∴ ， ∴ ， ∴ ； （2）∵ ， ， ∴ ， 过点F 作 于点， ∵ 平分 ， ， ∴F=F， ∵ ， ∴ ， 即 ， ∴ ． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定、角平分线的性质定理，熟练运用相关性质及 定理是解决问题的关键． 3．（2022·江苏泰州·统考二模）如图，矩形 ，将 沿对角线 翻折得到 （如图1）， 交边 于点 ，再将 沿 翻折得到 （如图2），延长 交边 于点 ．设 、 ． (1)求证： 为等腰三角形； (2)当 ，四边形 为正方形时，求 的值； (3)当四边形 为菱形时，求 与 的数量关系． 【答】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）由矩形性质及翻折的性质，证得 ，从而证得 为等腰三角形． （2）由四边形 为正方形及翻折性质，证得 与 是等腰直角三角形，再由 求得F 与 BF 的长，进而求得的值． （3）由四边形 为菱形及矩形 ，翻折性质，证得BD 与F 的交点即为G 点，再由 ，求得 ，从而求得 与 的数量关系． 【详解】（1）证明：∵矩形 ，将 沿对角线 翻折得到 ， ∴ ， ， ∵ ， ∴在 与 中， ， ∴ ， ∴ ，即 为等腰三角形． （2）解：∵将 沿对角线 翻折得到 ，将 沿 翻折得到 ， ∴ ， ∵四边形 为正方形， ∴ ． ∵矩形 ， ，