第18讲 等腰三角形（练习）（原卷版）

第18 讲 等腰三角形 目 录 题型01 等腰三角形的定义 题型02 根据等边对等角求角度 题型03 利用等边对等角证明 题型04 根据三线合一求解 题型05 根据三线合一证明 题型06 格点图中画等腰三角形 题型07 根据等角对等边证明等腰三角形 题型08 根据等角对等边证明边相等 题型09 根据等角对等边求边长 题型10 求与图形中任意两点构成等腰三角形的点 题型11 等腰三角形性质与判定综合 题型12 等腰三角形有关的折叠问题 题型13 等腰三角形有关的规律探究问题 题型14 等腰三角形有关的新定义问题 题型15 等腰三角形有关的动点问题 题型16 探究等腰三角形中线段间存在的关系 题型17 利用等边三角形的性质求线段长 题型18 手拉手模型 题型19 等边三角形的判定 题型20 等边三角形与折叠问题 题型21 等边三角形有关的规律探究问题 题型22 利用等边三角形的性质与判定解决多结论问题 题型23 利用垂直平分线的性质求解 题型24 线段垂直平分线的判定 题型01 等腰三角形的定义 1．（2021·四川内江·四川省内江市第六中学校考二模）已知x，y 满足 ，则以，的值为 两边长的等腰三角形的周长是（ ） ．20 或16 B．20 ．16 D．以上答均不对 2．（2019·陕西西安·校联考一模）已知等腰三角形的一个外角等于 ，则它的顶角是（ ） ． B． ． 或 D． 或 3．（2023·四川广安·统考二模）已知等腰三角形的两边长满足 ，那么这个等腰三角 形的周长为 ． 题型02 根据等边对等角求角度 1．（2023·广东东莞·三模）如图，正方形 的两条对角线 ， 相交于点 ，点 在 上，且 ．则 的度数为 ． 2．（2021·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第六十九中学校校考二模） 中， ， 的平分线与 边所夹的锐角为 ，则 ． 3．（2022·广东佛山·校联考模拟预测）如图，在 中， 于点 ， 与 相交于点 ，且 ， ．若 ，则 的度数为 ． 题型03 利用等边对等角证明 1．（2023·广东深圳·统考三模）在 中， ， ，点 在 内部，若 的 面积为 ，且满足 ，则 ． 2．（2023·辽宁大连·统考一模）如图， 中， ， ， 于D，E 是 的 中点， 的延长线交 的延长线于F，若 ，则 ． 3．（2023·广东广州·统考一模）如图， 是 的弦， 交 于点P，过点B 的直线交 的延 长线于点，若 ， ， ，则 的长为 ． 4．（2023·天津西青·统考一模）如图，在每个小正方形的边长为1 的格中，点 ， ， 均落在格点上， 连接 ， ． （1）线段 的长等于 ． （2）以 为圆心， 为半径作圆，在 上找一点 ，满足 ．请用无刻度的直尺，在如 图所示的格中，画出点 ，作出 ，并简要说明点 的位置是如何找到的（不要求证明） ． 题型04 根据三线合一求解 1．（2022·黑龙江哈尔滨·校考模拟预测）如图， 中， ， 于 ，点 在线段 上， ，若 ， ，则 的长为 ． 2．（2023·湖南永州·统考二模）如图，已知在 中， ．以 为直径作半圆，交 于点D． 若 ，则 的度数是 度． 3．（2023·黑龙江哈尔滨·统考三模）在 中， ， 的面积为 ，则 的值为 ． 4．（2023·陕西西安·校考模拟预测）如图， 是等边三角形，点E 是 的中点，过点E 作 于点F，延长 交 的反向延长线于点D，若 ，则 的长为 ． 题型05 根据三线合一证明 1．（2023·湖北武汉·校考模拟预测）如图， 中， ， 是 的外接圆， 的延长线 交边 于点D． (1)求证： ； (2)若 ， 时，求 的半径． 2．（2023·湖北襄阳·统考模拟预测）如图，已知在 中， ， ，点D 是 外 一点， ． (1)尺规作图：请利用直尺和圆规作出 的高 （保留作图痕迹，不写作法）． (2)连接 ，若 ，判断四边形 的形状并说明理由． 3．（2023·广东江门·统考一模）如图，在 中， ， ，以 为直径作 分别交 、 于点 、 ，过点 作 的切线交 于点 ． (1)求证： ； (2)若 ， ，求 的长． 题型06 格点图中画等腰三角形 1．（2021·广东广州·执信中学校考三模）如图，在 的正方形格中有两个格点、B，连接 ，在格中 再找一个格点，使得 是等腰直角三角形，满足条件的格点的个数是（ ） ．2 B．3 ．4 D．5 2．（2022·贵州贵阳·校考一模）如图，、B 是边长为1 的小正方形组成的格上的两个格点，其余的格点中 任意放置点（不包含点、点B 所在的格点），恰好能使△B 构成等腰三角形的概率是（ ） ． B． ． D． 3．（2018·河北石家庄·统考一模）如图，格中的每个小正方形的边长为1，、B 是格点，以、B、为等腰三 角形顶点的所有格点的个数为（ ） ．7 个 B．8 个 ．9 个 D．10 个 题型07 根据等角对等边证明等腰三角形 1．（2018·河北·模拟预测）如图，D 平分∠B，D⊥BD，垂足为点D，DE∥．求证：△BDE 是等腰三角形． 2．（2021·陕西西安·校考模拟预测）在▱ABCD中，对角线 平分 交 于点 ，交 于点 ． （1）求证： ； （2）若 ，求 的长． 3．（2022·江苏泰州·统考二模）如图，矩形 ，将 沿对角线 翻折得到 （如图1）， 交边 于点 ，再将 沿 翻折得到 （如图2），延长 交边 于点 ．设 、 ． (1)求证： 为等腰三角形； (2)当 ，四边形 为正方形时，求 的值； (3)当四边形 为菱形时，求 与 的数量关系． 4．（2022·广东珠海·珠海市文中学校考三模）如图，在矩形 中， ，点E 是 边上一点， ，延长 至点F，使 ， 交 于点G，连接 ，交 于点．’ (1)求证： 是等腰三角形； (2)若点E 为 的中点， ，求 的值． 题型08 根据等角对等边证明边相等 1．（2023·广东东莞·模拟预测）如图， 为 的中位线，且 平分 交 于点F．若 ， ，则 ． 2．（2021·湖北咸宁·统考模拟预测）在 中， ， ，以顶点为圆心，适当长为半 径画弧，分别交 ， 于点E，F；再分别以点E，F 为圈心，大于 的长为半径画弧，两弧交于点 P，作射线 交 于点D．则 与 的数量关系是 ． 3．（2022·江苏南京·南师附中树人学校校考二模）如图，在平行四边形 中， ， 的平 分线分别交D 于点E，F．若 ， ，则BE 的长为 ．（用含，b 的代数式表示）． 4．（2022·山东德州·统考二模）我们把宽与长的比为黄金比（ ）的矩形称为黄金矩形，如图，在黄 金矩形BD 中， ，B＝4， 的平分线交D 边于点E，则E 的长为 ． 5．（2023·浙江宁波·校考一模）如图，直线 与双曲线 交于 、 两点，直线 经过点 ，与 双曲线 交于另一点 ， ，连接 ，若 的面积是50，则 ． 题型09 根据等角对等边求边长 1．（2020·河北·模拟预测）把两个同样大小含 角的三角尺按如图所示的方式放置，其中一个三角尺的 锐角顶点与另一个三角尺的直角顶点重合于点 ，且另外三个锐角顶点 在同一直线上．若 ， 则 ． 2．（2023·四川成都·统考一模）如图，四边形 是平行四边形，以点B 为圆心， 的长为半径作弧 交 于E，分别以点，E 为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线 交 的延长线 于点F， ，则 ． 3．（2023·浙江杭州·校考二模）已知如图，在矩形 中，点E 是 的中点，连接 ，将 沿着 翻折得到 ， 交 于点，延长 ， 相交于点G，若 ， ，则 ． 4．（2021·重庆九龙坡·重庆实验外国语学校校考三模）如图，在矩形 中，点 是线段 上的一点， ， ，将 沿 翻折，得到 ，连接 ，若 ， ，则线段 的 长度为 ． 5．（2023·上海徐汇·上海市第四中学校考一模）在 中， ，M 为 的中点，将 绕点M 旋转，使点与点B 重合得到 ，设边 交边 于点．若 ，则 ． 题型10 求与图形中任意两点构成等腰三角形的点 1．（2020·福建厦门·校考模拟预测）在平面直角坐标系中，是坐标原点，点（3，2），点P（m，0）（m ＜6），若△P 是等腰三角形，则m 可取的值最多有（ ） ．2 个 B．3 个 ．4 个 D．5 个 2．（2018·湖北武汉·统考一模）已知矩形BD,D＞B,以矩形BD 的一边为边画等腰三角形,使得它的第三个 顶点在矩形BD 的其他边上,则可以画出的不同的等腰三角形的个数为 3．（2018·内蒙古赤峰·校联考一模）如图，在矩形BD 中，D=4，点P 是直线D 上一动点，若满足△PB 是 等腰三角形的点P 有且只有3 个，则B 的长为 ． 题型11 等腰三角形性质与判定综合 1．（2022·福建·统考模拟预测）已知 ，B＝，B＞B． (1)如图1，B 平分∠D，求证：四边形BD 是菱形； (2)如图2，将（1）中的△DE 绕点逆时针旋转（旋转角小于∠B），B，DE 的延长线相交于点F，用等式表 示∠E 与∠EF 之间的数量关系，并证明； (3)如图3，将（1）中的△DE 绕点顺时针旋转（旋转角小于∠B），若 ，求∠DB 的度数． 2．（2023·广西·模拟预测）已知 是等边三角形，点B，D 关于直线对称，连接D，D． (1)求证：四边形BD 是菱形； (2)在线段上任取一点Р（端点除外），连接PD．将线段PD 绕点Р 逆时针旋转，使点D 落在B 延长线上的 点Q 处．请探究：当点Р 在线段上的位置发生变化时， 的大小是否发生变化？说明理由． (3)在满足（2）的条件下，探究线段Q 与P 之间的数量关系，并加以证明． 3．（2023·广西·模拟预测）如图，以 为直径的 经过 的顶点 ， ， 分别平分 和 ， 的延长线交 于点 ，连接 ． (1)判断 的形状，并证明你的结论； (2)若 ， ，求 的长． 4．（2022·北京西城·统考一模）已知正方形BD，将线段B 绕点B 旋转 （ ），得到线段BE， 连接E，E． (1)如图1，当点E 在正方形BD 的内部时，若BE 平分∠B，B=4，则∠E=______°，四边形BE 的面积为____ __； (2)当点E 在正方形BD 的外部时， ①在图2 中依题意补全图形，并求∠E 的度数； ②作∠EB 的平分线BF 交E 于点G，交E 的延长线于点F，连接F．用等式表示线段E，FB，F 之间的数量 关系，并证明． 5．（2023·广西·模拟预测）如图，在 中， ， ， 是 边上的一点，以 为直角边作等腰 ，其中 ，连接 ． (1)求证： ； (2)若 时，求 的长． 题型12 等腰三角形有关的折叠问题 1．（2023·安徽芜湖·统考二模）在 中， 是边 的中点， 是 边上一动点，连接 ，将 沿直线 折叠得 ． （1）如图（1），若 为边长为4 的等边三角形，当点D 恰好落在线段 上时，则 ＝ ； （2）如图（2），若 为直角三角形． ， ．分别连接 、 、 ，若 ，且 ，则 ＝ ． 2．（2023·安徽蚌埠·一模）如图， 中， ， ，点 是 上一点，沿 折叠得 ，点 落在 的平分线上， 垂直平分 ， 为垂足，则 的度数是 ． 3．（2023·吉林长春·一模）实践与探究 (1)操作一：如图①，已知三角形纸片 ， ， ，将三角形纸片沿过点的直线折叠，折 痕为 ，点B 的对应点为点E， 与 交于点F，且 ，则 ______度； (2)操作二：如图②，将 沿 继续折叠，点E 的对应点为点G． 与 交于点M， 与 交 于点，则图②中度数为 的角共有______个． (3)根据以上操作所得结论，解答下列问题： ①求证： ； ②若 ，则线段 的长为______． 4．（2023·湖北恩施·统考一模）如图， 中， ，点D 是 的中点，将 折叠，使点与 点D 重合，折痕为 ，连接 ．求证：四边形 是菱形． 题型13 等腰三角形有关的规律探究问题 1．（2021·四川乐山·统考一模）如图， 为等腰直角三角形， ，以斜边 为直角边作等腰 直角三角形 ，再以 为直角边作等腰直角三角形 ，…，按此规律作下去，则 的长度为（ ） ． B． ． D． 2．（2021·河南三门峡·统考二模）如图，在单位为1 的方格纸上， ， ， ，…，是 斜边在 轴上，斜边长分别为2，4，6，…，的等腰直角三角形，若 的顶点坐标分别为 ， ， ，则依图中所示规律， 的坐标为（ ） ． B． ． D． 3．（2023·山东菏泽·统考三模）如图，在平面直角坐标系 中，有一个等腰直角三角形 ， ，直角边 在 轴上，且 ．将 绕原点 顺时针旋转 得到等腰直角三角形 ，且 ,再将 绕原点 顺时针旋转 得到等腰直角三角形 ，且 ……， 依此规律，得到等腰直角三角形 ，则点 的坐标为 ． 4．（2021·黑龙江·校联考三模）如图，在等腰直角三角形 中， ， ，分别连接 ， ， 的中点，得到第1 个等腰直角三角形 ；分别连接 ， ， 的中点，得到第2 个等 腰直角三角形 ……以此规律作下去，得到等腰直角三角形 ，则 的长为 ． 5．（2021·山东聊城·统考一模）如图，在平面直角坐标系中， ，…都是等腰直角三 角形，其直角顶点 ， ，…均在直线 上．设 ．．的面积分别 为 ，…，依据图形所反映的规律， ． 题型14 等腰三角形有关的新定义问题 1．（2023·浙江湖州·统考二模）定义：如果四边形的一条对角线把该四边形分割成两个等腰三角形，且这 条对角线是这两个等腰三角形的腰，那么我们称这个四边形为双等腰四边形． (1)如图1，在四边形 中， ，连结 ，点 是 的中点，连结 ， ． ①试判断四边形 是否是双等腰四边形，并说明理由； ②若 ，求 的度数； (2)如图2，点 是矩形 内一点，点 是边 上一点，四边形 是双等腰四边形，且 ． 延长 交 于点 ，连结 ．若 ， ， ，求 的长． 2．（2023·贵州铜仁·校考一模）定义：在一个等腰三角形底边的高线上所有点中，到三角形三个顶点距离 之和最小的点叫做这个等腰三角形的“近点”，“近点”到三个顶点距离之和叫做这个等腰三角形的“最 近值”． 【基础巩固】（1）如图1，在等腰 中， ， 为 边上的高，已知 上一点E 满 足 ， ，求 ； 【尝试应用】（2）如图2，等边 边长为 ，E 为高线 上的点，将 绕点逆时针旋转 得到 ，连接 ，请你在此基础上继续探究出等边 的“最近值”； 【拓展提高】（3）如图3，在菱形 中，过 的中点E 作 垂线交 的延长线于点F，连接 ，已知 ， ，求 “最近值”的平方． 题型15 等腰三角形有关的动点问题 1．（2023·河北邢台·模拟预测）如图，在直角坐标系中，已知点 ，点 为 轴正半轴上一动点，连 接 ，以 为一边向下作等边三角形 ，连接 ，则 的最小值为（ ） ． B． ． D． 2．（2023·河南安阳·统考模拟预测）如图1，点P 是等腰直角 的斜边 上一动点（不与点，重 合），点D 在边 上，且 ，设 ， 的面积为y，y 与x 的函数关系图象如图2 所示， 则腰 的长为（ ） ．1 B． ．2 D． 3．（2023·上海虹口·统考一模）如图，在 中， ， ，点M 在边 上， ， 点 是射线 上一动点，连接 ，将 沿直线 翻折，点 落在点 处，联结 ，如果 ，那么 的长是 ． 4．（2022·黑龙江大庆·统考模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线 分别交 轴、 轴于点 ， 过点 的直线与 轴交于点 ，线段 的长是一元二次方程 的两个实数 根．动点 以每秒1 个单位长度的速度从点 出发沿着折线 向终点 运动，过点 作 轴的垂 线，交 轴于点 ． (1)求直线 的解析式； (2)连接 ，设 的面积为 ，点 的运动时间为秒，求与的函数关系式，并写出自变量 的取值范围； (3)在直线 上是否存在点 ，使 为等腰三角形？若存在，直接写出点 的坐标；若不存在，说明 理由． 题型16 探究等腰三角形中线段间存在的关系 1．（2022·湖北武汉·校考模拟预测）如图1，分别以 的 边为斜边向外作等腰直角三角形 和等腰直角三角形 ，点G 是 的中点，连接 ． (1)求证： ； (2)如图2，若 ， =2 ， =3 ，求 的正切值； (3)如图3，以 的 边为斜边向外作等腰直角三角形 ，连接 ，试探究线段 的关系， 并加以证明． 2．（2023·江苏盐城·校考二模）如图，四边形 是矩形，点E 在边 的延长线上，点F 在边 上， 且 ， ，延长 交 于点G． (1)求证： 是直角三角形； (2)求 的值； (3)探究三条线段 之间的等量关系，并说明理由． 3．（2023·湖北十堰·统考一模）在 中， 为 边上一点（不与点 重合），将线 段 绕点 逆时针旋转 得到 ． (1)如图1，连接 ，则线段 与 的数量关系是_________，位置关系是________； (2)如图2，当点 在 的延长线上时，连接 ，写出此时线段 之间的等量关系，并加以证明； (3)如图3，在四边形 中， ．若 ，请直接写出 的长． 4．（2023·山东东营·统考一模）（1）问题：如图①，在 中， ，D 为 边上一点（不 与点B，重合），将线段 绕点逆时针旋转 得到 ，连接 ，则线段 和线段 的数量关系是_ _____，位置关系是______； （2）探索：如图②，在 与 中， ， ，将 绕点旋转，使点D 落 在 边上，试探索线段 ， ， 之间满足的等量关系，并证明结论； （3）应用：如图3，在四边形 中， ．若 ， ，求 的 长． 题型17 利用等边三角形的性质求线段长 1．（2022·广东梅州·统考二模）如图，在边长为6 的等边△B 中，D、E 分别为边B、上的点，D 与BE 相交 于点P，若BD=E=2，则△BP 的周长为 ． 2．（2021·江西·统考二模）如图，在等边三角形 中，D 是 的中点，P 是边 上的一个动点，过 点P 作 ，交 于点E，连接 ．若 是等腰三角形，则 的长是 ． 3．（2023·江苏南通·统考一模）如图，等边三角形 中，P，Q 两点分别在边 上， ， D 是 的中点．若 ，则 的最小值是 ． 题型18 手拉手模型 1．（2022·辽宁丹东·校考一模）如图，等腰 中， ，点D 在线段 上运 动（不与、B