63 反比例函数中的等腰三角形问题

反比例函数中的等腰三角形问题 1、如图所示，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b(k≠0)与反比例函数y= (m≠0)的图象交于第二、四 象限、B 两点，过点作D x ⊥轴于D，D=4，s D= ∠ ，且点B 的坐标为(,-2)． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）E 是y 轴上一点，且△E 是等腰三角形，请直接写出所有符合条件的E 点坐标． （1） ；（2）当点E(0,8)或(0,5)或(0,-5)或(0, )时，△E 是等腰三角形． 2、已知一次函数y=kx+b 的图象与反比例函数 的图象交于点，与x 轴交于点B(5,0)，若B=B，且 S△B= （1）求反比例函数与一次函数的解析式； （2）若点P 为x 轴上一点，且△BP 是等腰三角形，求点P 的坐标 【答】见解析 【解析】解：（1）如图，过点作D⊥x 轴于点D， ∵B(5,0)，B=B，且S△B= ， ∴ ,即D=3， 在Rt△BD 中，由勾股定理得：BD= , ∴点坐标为（9,3）， ∵反比例函数 的图象过点， ∴m=27， 将（9,3），（5,0）代入y=kx+b 得： ，解得： 即一次函数解析式为： ，反比例函数解析式为： ； （2）由题意知，B=5， ①当B=BP 时，BP=5， 即P 点坐标为（0,0）或（10,0）， ②当B=P 时，由D=3 知，BP=4， 即点P 与点B 关于点D 对称，即P 点坐标为（13,0）， ③当P=BP 时，即P 在线段B 的垂直平分线上， 设P(m，0)，则P2=（9－m）2+9，BP2=（5－m）2， ∴（9－m）2+9 =（5－m）2 解得：m= ， 即P 点坐标为（ ，0）， 综上所述，满足题意的P 点坐标为：（0,0），（10,0），（13,0），（ ，0） 3、如图1，在平面直角坐标系xy 中，函数y＝ （m 为常数，m＞1，x＞0）的图象经过点P（m，1）和Q （1，m），直线PQ 与x 轴，y 轴分别交于，D 两点． （1）求∠D 的度数； （2）如图2，连接Q、P，当∠DQ＝∠D﹣∠P 时，求此时m 的值； （3）如图3，点，点B 分别在x 轴和y 轴正半轴上的动点．再以、B 为邻边作矩形MB．若点M 恰好在 函数y＝ （m 为常数，m＞1，x＞0）的图象上，且四边形BPQ 为平行四边形，求此时、B 的长度． 解：（1）设直线PQ 的解析式为y＝kx+b，则有 ， 解得 ， ∴y＝﹣x+m+1， 令x＝0，得到y＝m+1， ∴D（0，m+1）， 令y＝0，得到x＝m+1， ∴（m+1，0）， ∴＝D， ∵∠D＝90°， ∴∠D＝45°． （2）如图2，过Q 作QM⊥y 轴于M，过P 作P⊥于，过作⊥D 于， ∵P（m，1）和Q（1，m）， ∴MQ＝P＝1，M＝＝m， ∵∠MQ＝∠P＝90°， ∴△MQ≌△P（SS）， ∴Q＝P，∠DQ＝∠P， ∵∠DQ＝∠D﹣∠P，∠D＝45°， ∴∠DQ＝∠P＝∠Q＝∠P＝225°， ∴MQ＝Q＝P＝P＝1， ∵∠D＝∠D＝45°， ∴△DMQ 和△P 都是等腰直角三角形， ∴DQ＝P＝ ， ∵＝D＝m+1， ∴D＝ ＝ ， ∵D＝DQ+PQ+P， ∴ ＝2 +2， ∴m＝ +1； （3）如图3， ∵四边形BPQ 为平行四边形， ∴B∥PQ，B＝PQ， ∴∠B＝45°， ∵∠B＝90°， ∴＝B， ∴矩形MB 是正方形， ∵点M 恰好在函数y＝ （m 为常数，m＞1，x＞0）的图象上， ∴M（ ， ），即＝B＝ ， ∵B＝PQ， ∴ ， 解得：m＝ 或 （舍）， ∴＝B＝ ＝ ＝ ＝ ． 4、如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y＝ 的图象过等边三角形B 的顶点B，＝2，点在反 比例函数图象上，连接、． （1）求反比例函数解析式； （2）若四边形B 的面积为3 ，求点的坐标． 解：（1）作BD⊥于D，如图， ∵△B 为等边三角形， ∴D＝D＝ ＝1， ∴BD＝ D＝ ， ∴B（﹣1，﹣ ）， 把B（﹣1，﹣ ）代入y＝ 得k＝﹣1×（﹣ ）＝ ， ∴反比例函数解析式为y＝ ； （2）设（t， ）， ∵四边形B 的面积为3 ， ∴ ×2× + ×2× ＝3 ，解得t＝ ， ∴点坐标为（ ，2 ）． 5、如图，点是双曲线y＝﹣ 在第二象限分支上的一个动点，连接并延长交另一分支于点B，以B 为底作 等腰△B，且∠B＝120°，点在第一象限，随着点的运动点的位置也不断变化，但点始终在双曲线y＝ 上 运动，则k 的值为 ． 解：作D⊥x 轴于D，E⊥x 轴于E，连接，如图， ∵B 过原点， ∴点与点B 关于原点对称， ∴＝B， ∵△B 为等腰三角形， ∴⊥B， ∴∠B＝120°， ∴∠B＝30°， ∴＝ ， ∵∠D+∠E＝90°，∠D+∠D＝90°， ∴∠D＝∠E， Rt ∴ △D Rt ∽ △E， ∴ ＝（ ）2＝（ ）2＝3， 而S△D＝ ×| 6| ﹣＝3， ∴S△E＝1， 即 |k|＝1， 而k＞0， ∴k＝2． 6、如图，已知直线y＝﹣x+2 分别与x 轴，y 轴交于，B 两点，与双曲线y＝ 交于E，F 两点，若B＝ 2EF，则k 的值是 ． 解：作F⊥x 轴，E⊥y 轴，F 与E 交于D，如图， 由直线y＝﹣x+2 可知点坐标为（2，0），B 点坐标为（0，2），＝B＝2， ∴△B 为等腰直角三角形， ∴B＝2 ， ∴EF＝ B＝ ， ∴△DEF 为等腰直角三角形， ∴FD＝DE＝ EF＝1， 设F 点横坐标为t，代入y＝﹣x+2，则纵坐标是﹣t+2，则F 的坐标是：（t，﹣t+2），E 点坐标为 （t+1，﹣t+1）， ∴t（﹣t+2）＝（t+1）•（﹣t+1），解得t＝ ， ∴E 点坐标为（ ， ）， ∴k＝ × ＝ ． 故答为 ． 7、如图，△BD 都是等腰直角三角形，过点B 作B⊥B 交反比例函数y＝ （x＞0）于点，过点作⊥BD 于点， 若S△BD﹣S△B＝3，则k 的值为 ． 解：设点坐标为（，b）， ∵△B 和△BD 都是等腰直角三角形， ∴B＝，D＝BD ∵S△BD﹣S△B＝3， D2﹣ 2＝3，D2﹣2＝6， ∴（D+）（D﹣）＝6， • ∴b＝6， ∴k＝6． 故答为6． 8、如图（1），正方形BD 顶点、B 在函数y＝ （k＞0）的图象上，点、D 分别在x 轴、y 轴的正半轴上， 当k 的值改变时，正方形BD 的大小也随之改变． （1）若点的横坐标为5，求点D 的纵坐标； （2）如图（2），当k＝8 时，分别求出正方形′B′′D′的顶点′、B′两点的坐标； （3）当变化的正方形BD 与（2）中的正方形′B′′D′有重叠部分时，求k 的取值范围． 解：（1）如图，过点作E⊥y 轴于点E，则∠ED＝90°． ∵四边形BD 为正方形， ∴D＝D，∠D＝90°， ∴∠D+∠ED＝90°． ∵∠D+∠D＝90°， ∴∠ED＝∠D， 在△ED 和△D 中 ， ∴△ED≌△D（S）， ∴D＝E＝5， ∴点D 的纵坐标为5； （2）作′M⊥y 轴于M，B′⊥x 轴于点， 设D′＝，′＝b， 同理可得△B′′ ′ ≌△D′ ′ ≌△D′E， ′ ∴＝D′＝′M＝，B′＝′＝D′M＝b， ′ ∴（，+b），B′（+b，b）， ∵点′、B′在反比例函数y＝ 的图象上， ∴（+b）＝8，b（+b）＝8， ∴解得＝b＝2 或＝b＝﹣2（舍去）， ′ ∴、B′两点的坐标分别为（2，4），（4，2）； （3）设直线′B′的解析式为y＝mx+， 把′（2，4），B′（4，2）代入得 ， 解得 ， ∴直线′B′解析式为y＝﹣x+6， 同样可求得直线′D′解析式为y＝﹣x+2， 由（2）可知△D 是等腰直角三角形， 设点的坐标为（m，2m），点D 坐标为（0，m）， 当点在直线′D′上时，则2m＝﹣m+2，解得m＝ ， 此时点的坐标为（ ， ）， ∴k＝ × ＝ ； 当点D 在直线′B′上时，有m＝6，此时点的坐标为（6，12）， ∴k＝6×12＝72； 综上可知：当变化的正方形BD 与（2）中的正方形′B′′D′有重叠部分时，k 的取值范围为 ≤x≤72． 9、如图，在平面直角坐标系中，将一块等腰直角三角板B 放在第二象限，斜靠在两坐标轴上∠B＝90°，点 坐标为（﹣1，0），点的坐标为（0，2），一次函数y＝kx+b 的图象经过点B，，反比例函数y＝ 的 图象也经过点B． （1）求反比例函数和一次函数的关系式； （2）观察图象直接写出图象在第二象限时，kx+b﹣ ＜0 的解集． 解：（1）过B 作BD⊥x 轴，垂足为D，如图， ∵△B 为等腰直角三角形， ∴B＝，∠B＝90°， ∵∠DB+∠＝90°，∠+∠＝90°， ∴∠DB＝∠， 在△BD 和△中 ∴△BD≌△（S）， ∴D＝＝2，BD＝＝1， ∴点B 的坐标是（﹣3，1）， 将点B（﹣3，1）代入y＝ 得m＝﹣3×1＝﹣3， ∴反比例函数的表达式是y＝﹣ ； 将B（﹣3，1）和点（﹣1，0）代入y＝kx+b 得 ，解得 ∴一次函数的表达式为y＝﹣ x﹣ ； （2）在第二象限内，kx+b﹣ ＜0 的解集为﹣3＜x＜﹣1． 10、如图，直线l1：y＝kx+b 与双曲线y＝ （x＞0）交于，B 两点，与x 轴交于点，与y 轴交于点E，已知 点（1，3），点（4，0）． （1）求直线l1和双曲线的解析式； （2）将△E 沿直线l1翻折，点落在第一象限内的点处，求点的坐标； （3）如图，过点E 作直线l2：y＝3x+4 交x 轴的负半轴于点F，在直线l2上是否存在点P，使得S△PB＝ S△B？若存在，请直接写出所有符合条件的点P 的坐标；如果不存在，请说明理由． 解：（1）将（1，3），（4，0）代入y＝kx+b，得 ，解得： ， ∴直线l1的解析式为y＝﹣x+4． 将（1，3）代入y＝ （x＞0），得m＝3， ∴双曲线的解析式为y＝ （x＞0）； （2）将x＝0 代入y＝﹣x+4，得y＝4， ∴E（0，4）． ∴△E 是等腰直角三角形． ∴∠E＝∠E＝45°，＝E＝4． 由翻折得△E≌△E， ∴∠E＝∠E＝∠＝90°． ∴四边形E 是正方形． ∴（4，4）； （3）存在，理由： 如图，过点作直线m∥B 交直线l2于点P′， 在x 轴取点，使＝（即等间隔），过点作直线∥B 交直线l2于点P， S△PB＝S△B，根据同底等高的两个三角形面积相等，则点P（P′）为所求点． 直线B 表达式中的k 值为﹣1，则直线m、表达式中的k 值也为﹣1， 故直线m 的表达式为：y＝﹣x①， 直线l2的表达式为：y＝3x+4②， 联立①②并解得：x＝﹣1，y＝1，故点P′（﹣1，1）； 设直线的表达式为：y＝﹣x+s，而点（8，0）， 将点的坐标代入上式并解得：s＝8， 故直线的表达式为：y＝﹣x+8③， 联立②③并解得：x＝1，y＝7， 故点P 的坐标为（1，7）； 综上，点P 的坐标为（﹣1，1）或（1，7）． 11、如图，已知一次函数y＝mx+的图象与x 轴交于点B，与反比例函数y＝ （k＞0）的图象交于点，过 点作⊥x 轴，点D 是反比例函数图象上的一点，直线D 与x 轴交于点，若∠B＝∠，且B＝10，B＝16． （1）若＝11，求k 的值； （2）沿着x 轴向右平移直线B，若直线经过点时恰好又经过点D，求一次函数y＝mx+的表达式． 解：（1）∵⊥B， ∴∠B＝∠＝90°， ∵∠B＝∠，＝， ∴△△ ≌B（S）， ∴＝B＝10，即△B 为等腰三角形，则B＝＝ B＝8， 在Rt△B 中，B＝10，B＝6，故＝8， 则＝﹣＝11 8 ﹣＝3，故点（3，0），则点（3，6）， 将点的坐标代入反比例函数表达式得：6＝ ，解得：k＝18； （2）由（1）知，点是B 的中点，而D∥B，故D 是△B 的中位线，则点D 是的中点， 设＝m，则点（m，0），点（m 8 ﹣），点（m 8 ﹣，6），点B（m 16 ﹣ ，0）， 由中点公式得，点D（m 4 ﹣，3）， 将点、D 的坐标代入反比例函数表达式得：k＝（m 8 ﹣）×6＝3×（m 4 ﹣），解得：m＝12， 故点B、的坐标为（﹣4，0）、（4，6）； 将点B、的坐标代入一次函数表达式得： ，解得： ， 故一次函数y＝mx+的表达式为：y＝ x+3．