专题13.4 等腰三角形【八大题型】（解析版）

专题134 等腰三角形【八大题型】 【人版】 【题型1 利用等腰三角形的性质求角度】............................................................................................................. 1 【题型2 利用等腰三角形的性质求线段长度】.....................................................................................................5 【题型3 等腰三角形中的多结论问题】................................................................................................................. 8 【题型4 利用等腰三角形的判定确定等腰三角形的个数】................................................................................15 【题型5 等腰三角形的证明】...............................................................................................................................18 【题型6 等腰三角形中的新定义问题】............................................................................................................... 24 【题型7 等腰三角形中的规律问题】...................................................................................................................27 【题型8 等腰三角形中的动点问题】...................................................................................................................29 【知识点1 等腰三角形】 （1）定义：有两边相等的三角形，叫做等腰三角形 （2）等腰三角形性质 ①等腰三角形的两个底角相等，即“等边对等角”；②等腰三角形顶角的平分线、底边上 的中线与底边上的高线互相重合（简称“三线合一”）特别地，等腰直角三角形的每个底 角都等于45° （3）等腰三角形的判定 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（即“等角对等边”） 【题型1 利用等腰三角形的性质求角度】 【例1】（2022•南关区校级开学）已知等腰三角形一腰上的高线与另一腰的夹角为60°， 那么这个等腰三角形的顶角等于（ ） ．15°或75° B．30° ．150° D．150°或30° 【分析】读到此题我们首先想到等腰三角形分为锐角、直角、钝角等腰三角形，当为等 腰直角三角形时不可能出现题中所说情况，所以舍去不计，我们可以通过画图来讨论剩 余两种情况． 【解答】解：①当为锐角三角形时可以画图， 高与左边腰成60°夹角，由三角形内角和为180°可得，顶角为180° 90° 60° ﹣ ﹣ ＝30°， ②当为钝角三角形时可画图， 此时垂足落到三角形外面，因为三角形内角和为180°， 由图可以看出等腰三角形的顶角的补角为30°， 1 ∴三角形的顶角为180° 30° ﹣ ＝150°． 故选：D． 【变式1-1】（2022 秋•南昌期末）如图，在△B 中，B＝，∠BM＝∠B，M＝B，则∠MB 的度 数为（ ） ．45° B．50° ．55° D．60° 【分析】设∠BM＝∠B＝x，∠MB＝y，可得∠B＝2x+y，根据M＝B，有∠BM＝∠MB＝y， 故∠＝∠BM﹣∠BM＝y﹣x，又B＝，得∠＝∠B＝2x+y，根据∠+∠B+∠＝180°，得（y﹣ x）+（2x+y）+（2x+y）＝180°，即得x+y＝60°，故∠MB＝60°． 【解答】解：设∠BM＝∠B＝x，∠MB＝y， ∴∠B＝2x+y， ∵M＝B， ∴∠BM＝∠MB＝y， ∴∠＝∠BM﹣∠BM＝y﹣x， ∵B＝， ∴∠＝∠B＝2x+y， + ∵∠∠B+∠＝180°， ∴（y﹣x）+（2x+y）+（2x+y）＝180°， 3 ∴x+3y＝180°， ∴x+y＝60°， ∴∠B+∠MB＝60°， 即∠MB＝60°， 故选：D． 【变式1-2】（2022 春•柯桥区期末）在△B 中，已知D 为直线B 上一点，若∠B＝α，∠BD ＝β，且B＝＝D，则β 与α 之间不可能存在的关系式是（ ） 1 ．β＝90°−3 2 α B．β＝180°−3 2 α ．β¿ 3 2 α−90° D．β＝120°−3 2 α 【分析】分点D 在线段B 上，在B 延长线上，在B 延长线上讨论，根据外角和等于不相 邻的两个内角和及三角形内角和定理可求β 与α 的等量关系式． 【解答】解：当点D 在线段B 上， ∵∠B＝α，＝B， ∴∠＝∠B＝α， ∵D＝， ∴∠D＝∠D¿ 180°−∠C 2 =¿90°−1 2 α， ∵∠D＝∠B+∠BD， 90° ∴ −1 2 α＝α+β， 即β＝90°−3 2 α； 当点D 在线段B 的延长线上， 同理可得：β＝180°−3 2 α； 当点D 在线段B 的延长线上， 1 同理可得：β¿ 3 2α 90° ﹣ ． 故选：D． 【变式1-3】（2022 春•抚州期末）已知∠B＝30°，点P 是射线B 上一动点，把△BP 沿P 折 叠，B 点的对应点为点D，当△BP 是等腰三角形时，∠BD 的度数为 60° 或 30° 或 15° ． 【分析】如图1，当P＝PB 时，如图2，当B＝P 时，如图3，当B＝BP 时，根据三角形 的内角和定理，折叠的性质，以及等腰三角形的性质分类进行讨论即可求解． 【解答】解：如图1，当P＝PB 时， ∵∠B＝30°， ∴∠BP＝30°， ∵把△BP 沿P 折叠，B 点的对应点为点D， ∴B＝D，∠DP＝∠BP＝30°， ∴∠BD＝30°+30°＝60°， ∴∠BD＝60°； 如图2，当B＝P 时， ∵∠B＝30°， ∴∠PB＝30°， ∵把△BP 沿P 折叠，B 点的对应点为点D， ∴PB＝PD，∠DP＝∠BP＝30°， ∴∠BPD＝30°+30°＝60°， ∴∠PBD＝60°， ∴∠BD＝60° 30° ﹣ ＝30°； 如图3，当B＝BP 时， ∵∠B＝30°， ∴∠BP＝（180° 30° ﹣ ）÷2＝75°， ∵把△BP 沿P 折叠，B 点的对应点为点D， 1 ∴B＝D，∠PB＝∠PD＝75°， ∴∠BD＝75°+75°＝150°， ∴∠BD＝（180° 150° ﹣ ）÷2＝15°． 综上所述，当△BP 是等腰三角形时，∠BD 的度数为60°或30°或15°． 故答为：60°或30°或15°． 【题型2 利用等腰三角形的性质求线段长度】 【例2】（2022 春•源城区期末）已知等腰三角形一腰上的中线将这个等腰三角形的周长分 为9m 和15m 两部分，则这个等腰三角形的腰长为（ ） ．6m B．10m ．6m 或10m D．11m 【分析】已知给出的9m 和15m 两部分，没有明确哪一部分含有底边，要分类讨论，设 三角形的腰为xm，分两种情况讨论：x+1 2 x＝9 或x+1 2 x＝15． 【解答】解：设三角形的腰为xm，如图： △B 是等腰三角形，B＝，BD 是边上的中线， 则有B+D＝9m 或B+D＝15m，分下面两种情况： 1 （1）x+1 2 x＝9， 解得x＝6， ∵三角形的周长为9+15＝24（m）， ∴三边长分别为6m，6m，12m， 6+6 ∵ ＝12，不符合三角形的三边关系， ∴舍去； （2）x+1 2 x＝15， 解得x＝10， ∵三角形的周长为24m， ∴三边长分别为10m，10m，4m． 综上可知：这个等腰三角形的腰长为10m． 故选：B． 【变式2-1】（2022 秋•蚌埠期末）已知等腰三角形的周长是20，其中一边长为6，则其它 两边的长度分别是（ ） ．6 和8 B．7 和7 ．6 和8 或7 和7 D．3 和11 【分析】由于长为6 的边可能为腰，也可能为底边，故应分两种情况讨论． 【解答】解：当腰为6 时，另一腰也为6，则底为20 2×6 ﹣ ＝8， 6+6 ∵ ＝12＞8， ∴三边能构成三角形． 当底为6 时，腰为（20 6 ﹣）÷2＝7， 7+7 ∵ ＞6， ∴三边能构成三角形． 故选：． 【变式2-2】（2022 春•温江区期末）如图，在△B 中，B＝，B 的垂直平分线DE 交B 的延 长线于E，交于F，连接BF，已知∠＝48°，B+B＝15m，求△BF 的周长和∠BFE 度数． 1 【分析】由在△B 中，B＝，∠＝48°，根据等腰三角形的性质，可求得∠B＝∠B＝66°，又 由B 的垂直平分线DE 交B 的延长线于E，交于F，可求得∠BF 的度数，继而求得∠BFE 的度数，易得△BF 的周长＝B+＝B+B． 【解答】解：∵在△B 中，B＝，∠＝48°， ∴∠B＝∠B＝66°， ∵DE 是B 的垂直平分线， ∴F＝BF，∠BDE＝90°，∠BF＝∠＝48°， ∴∠BFD＝90°﹣∠BF＝42°， ∴∠BFE＝138°； ∵B+B＝15m， ∴△BF 的周长为：B+F+BF＝B+F+F＝B+＝B+B＝15m． 【变式2-3】（2022 秋•仓山区校级期中）如图，在△B 中，B＝，点E 在延长线上，EP⊥B 于点P，交B 于点F，若F＝2，E＝7，求BF 的长度． 【分析】根据等边对等角得出∠B＝∠，再根据EP⊥B，得出∠+∠E＝90°，∠B+∠BFP＝ 90°，从而得出∠E＝∠BFP，再根据对顶角相等得出∠E＝∠FE，最后根据等角对等边即 可得出答． 【解答】解：在△B 中，B＝， ∴∠B＝∠， ∵EP⊥B， + ∴∠∠E＝90°，∠B+∠BFP＝90°， ∴∠E＝∠BFP， 1 又∵∠BFP＝∠FE， ∴∠E＝∠FE， ∴E＝F＝2， ∴△EF 是等腰三角形． 又∵E＝7， ∴B＝＝E﹣E＝7 2 ﹣＝5， ∴BF＝B﹣F＝5 2 ﹣＝3． 【题型3 等腰三角形中的多结论问题】 【例3】（2022 秋•定陶区期末）如图，△B 中，B＝，∠B＝40°，D 为线段B 上一动点（不 与点B，重合），连接D，作∠DE＝40°，DE 交线段于E，以下四个结论：①∠DE＝ ∠BD；②当D 为B 中点时，DE⊥；③当△DE 为等腰三角形时，∠BD＝20°；④当∠BD＝ 30°时，BD＝E．其中正确的结论的个数是（ ） ．1 B．2 ．3 D．4 【分析】根据等腰三角形的性质得到∠B＝∠＝40°，根据三角形的内角和和平角的定义 即可得到∠BD＝∠DE；根据等腰三角形的性质得到D⊥B，根据三角形的内角和即可得 到DE⊥；根据三角形外角的性质得到∠ED＞40°，求得∠DE≠∠ED，根据等腰三角形的 性质和三角形的内角和得到∠BD＝60°，根据全等三角形的性质得到BD＝E． 【解答】解：①∵B＝， ∴∠B＝∠＝40°， ∴∠BD＝180° 40° ﹣ ﹣∠DB，∠DE＝180° 40° ﹣ ﹣∠DB， ∴∠BD＝∠DE；故①正确； ②∵D 为B 中点，B＝， ∴D⊥B， ∴∠D＝90°， ∴∠DE＝50°， ∵∠＝40°， ∴∠DE＝90°， ∴DE⊥，故②正确； ∠＝40°， 1 ∴∠ED＞40°， ∴∠DE≠∠ED， ∵△DE 为等腰三角形， ∴E＝DE， ∴∠DE＝∠DE＝40°， ∵∠B＝180° 40° 40° ﹣ ﹣ ＝100°， ∴∠BD＝60°， 或∵△DE 为等腰三角形， ∴D＝DE， ∴∠DE＝∠ED＝70°， ∵∠B＝180° 40° 40° ﹣ ﹣ ＝100°， ∴∠BD＝30°， 故③错误， ④∵∠BD＝30°， ∴∠DE＝30°， ∴∠D＝70°， ∴∠D＝180° 70° 40° ﹣ ﹣ ＝70°， ∴∠D＝∠D， ∴D＝， ∵B＝， ∴D＝B， ∴△BD≌△DE（S）， ∴BD＝E；故④正确； 故选：． 【变式3-1】（2022 秋•密山市期末）如图，△B 中，∠B 与∠B 的平分线交于点F，过点F 作 DE∥B 交B 于点D，交于点E，那么下列结论： ①△BDF 和△EF 都是等腰三角形； ②DE＝BD+E； ③△DE 的周长等于B 与的和； 1 ④BF＝F． 其中正确的有（ ） ．①②③ B．①②③④ ．①② D．① 【分析】由平行线得到角相等，由角平分线得角相等，根据平行线的性质及等腰三角形 的判定和性质． 【解答】解：∵DE∥B， ∴∠DFB＝∠FB，∠EF＝∠FB， ∵BF 是∠B 的平分线，F 是∠B 的平分线， ∴∠FB＝∠DFB，∠FE＝∠FB， ∵∠DBF＝∠DFB，∠EF＝∠EF， ∴△DFB，△FE 都是等腰三角形． ∴DF＝DB，FE＝E，即有DE＝DF+FE＝DB+E， ∴△DE 的周长D+E+DE＝D+E+DB+E＝B+． 故选：． 【变式3-2】（2022 秋•覃塘区期末）如图，在△B 中，B＝，点E、F 分别在B、B 的延长线 上，∠E、∠B、∠F 的平分线相交于点D．对于以下结论：①D∥B；②D＝；③∠D＝ ∠B；④∠DB 与∠D 互余．其中正确结论的个数为（ ） ．4 B．3 ．2 D．1 【分析】①由∠E 是△B 的外角得到∠E＝∠B+∠B，由B＝得到∠B＝∠B，进而得到∠E＝ 2∠B，然后由D 平分∠E 得到∠E＝2∠ED，从而得到∠ED＝∠B，最后得到D∥B； ②由D∥B 得到∠D＝∠DF，再由D 平分∠F 得到∠D＝∠DF，进而得到∠D＝∠D，即得＝ D； ③由∠D＝∠D＝∠DF 得到∠D¿ 1 2∠F，再由∠F＝180°﹣∠B 得到∠D 与∠B 的数量关系； 1 ④由D∥B 得到∠DB＝∠DB，再由BD 平分∠B 得到∠DB¿ 1 2∠B，结合∠D¿ 1 2∠F 得到 ∠DB+∠D¿ 1 2∠B+1 2 ∠F，再由∠B＝∠B，∠B+∠F＝180°得到∠DB+∠D＝90°，即可得到 ∠DB 与∠D 互余． 【解答】解：①∵∠E 是△B 的外角， ∴∠E＝∠B+∠B， ∵B＝， ∴∠B＝∠B， ∴∠E＝2∠B， ∵D 平分∠E， ∴∠E＝2∠ED， ∴∠ED＝∠B， ∴D∥B，故①正确，符合题意； ②∵D∥B， ∴∠D＝∠DF， ∵D 平分∠F， ∴∠D＝∠DF， ∴∠D＝∠D， ∴＝D，故②正确，符合题意； ③∵∠D＝∠D＝∠DF， ∴∠D¿ 1 2∠F， ∵∠F＝180°﹣∠B， ∴∠D¿ 1 2（180°﹣∠B）＝90°−1 2 ∠B，故③错误，不符合题意； ④∵D∥B， ∴∠DB＝∠DB， ∵BD 平分∠B， ∴∠DB¿ 1 2∠B， ∵∠D¿ 1 2∠F， ∴∠DB+∠D¿ 1 2∠B+1 2 ∠F， ∵∠B＝∠B，∠B+∠F＝180°， 1 ∴∠DB+∠D＝90°， ∴∠DB 与∠D 互余，故④正确，符合题意， ∴正确的结论个数有3 个， 故选：B． 【变式3-3】（2022 秋•北安市校级期末）已知如图等腰△B，B＝，∠B＝120°，D⊥B 于点 D，点P 是B 延长线上一点，点是线段D 上一点，P＝，下面的结论：①∠P+∠D＝ 30°；②∠P＝∠D；③△P 是等边三角形；④B＝+P．其中正确的是（ ） ．①③④ B．①②③ ．①③ D．①②③④ 【分析】①利用等边对等角，即可证得：∠P＝∠B，∠D＝∠DB，则∠P+∠D＝∠B+∠DB ＝∠BD，据此即可求解； ②因为点是线段D 上一点，所以B 不一定是∠BD 的角平分线，可作判断； ③证明∠P＝60°且P＝，即可证得△P 是等边三角形； ④首先证明△P≌△PE，则＝E，B＝＝E+E＝+P． 【解答】解：①如图1，连接B， ∵B＝，D⊥B， ∴BD＝D，∠BD¿ 1 2∠B¿ 1 2 ×120°＝60°， ∴B＝，∠B＝90°﹣∠BD＝30° ∵P＝， ∴B＝＝P， ∴∠P＝∠B，∠D＝∠DB， ∴∠P+∠D＝∠B+∠DB＝∠BD＝30°； 故①正确； ②由①知：∠P＝∠B，∠D＝∠DB， ∵点是线段D 上一点， ∴∠B 与∠DB 不一定相等，则∠P 与∠D 不一定相等， 故②不正确； ③∵∠P+∠DP+∠PB＝180°， ∴∠P+∠DP＝150°， ∵∠P+∠D＝30°， 1 ∴∠P+∠P＝120°， ∴∠P＝180°﹣（∠P+∠P）＝60°， ∵P＝， ∴△P 是等边三角形； 故③正确； ④如图2，在上截取E＝P，连接PE， ∵∠PE＝180°﹣∠B＝60°， ∴△PE 是等边三角形， ∴∠PE＝∠PE＝60°，PE＝P， ∴∠P+∠PE＝60°， ∵∠PE+∠PE＝∠P＝60°， ∴∠P＝∠PE， ∵P＝P， 在△P 和△PE 中， { PA=PE ∠APO=∠CPE OP=CP ， ∴△P≌△PE（SS）， ∴＝E， ∴B＝＝E+E＝+P； 故④正确； 本题正确的结论有：①③④ 故选：． 【题型4 利用等腰三角形的判定确定等腰三角形的个数】 【例4】（2022 秋•顺义区期末）如图，△B 中，直线l 是边B 的垂直平分线，若直线l 上存 在点P，使得△P，△PB 均为等腰三角形，则满足条件的点P 的个数共有（ ） 1 ．1 B．3 ．5 D．7 【分析】分三种情况，P＝，＝P，P＝P． 【解答】解：分三种情况：如图： 当P＝时，以为圆心，长为半径画圆，交直线l 于点P1，P2， 当＝P 时，以为圆心，长为半径画圆，交直线l 于点P3，P4， 当P＝P 时，作的垂直平分线，交直线l 于点P5， ∵直线l 是边B 的垂直平分线， ∴直线l 上任意一点（与B 的交点除外）与B 构成的三角形均为等腰三角形， ∴满足条件的点P 的个数共有5 个， 故选：． 【变式4-1】（2022 秋•钟楼区期中）如图，在边长为1 的小正方形格中，、B、、D、Q 均 为格点，点P 是线段D 上的一个动点，在点P 运动过程中存在 3 个位置使得△BPQ 是腰长为5 的等腰三角形． 1 【分析】根据等腰三角形的定义，画出图形判定即可． 【解答】解：如图，满足条件的等腰三角形有3 个． 故答为：3． 【变式4-2】（2022 秋