第18讲 等腰三角形（讲义）（解析版）

第18 讲 等腰三角形 目 录 一、考情分析 二、知识建构 考点一 等腰三角形的性质与判定 题型01 等腰三角形的定义 题型02 根据等边对等角求角度 题型03 利用等边对等角证明 题型04 根据三线合一求解 题型05 根据三线合一证明 题型06 格点图中画等腰三角形 题型07 根据等角对等边证明等腰三角形 题型08 根据等角对等边证明边相等 题型09 根据等角对等边求边长 题型10 求与图形中任意两点构成等腰三角形的点 题型11 等腰三角形性质与判定综合 题型12 等腰三角形有关的折叠问题 题型13 等腰三角形有关的规律探究问题 题型14 等腰三角形有关的新定义问题 题型15 等腰三角形有关的动点问题 题型16 探究等腰三角形中线段间存在的关系 考点二 等边三角形的性质与判定 题型01 利用等边三角形的性质求线段长 题型02 手拉手模型 题型03 等边三角形的判定 题型04 等边三角形与折叠问题 题型05 等边三角形有关的规律探究问题 题型06 等边三角形有关的新定义问题 题型07 利用等边三角形的性质与判定解决多结论问题 考点三 线段垂直平分线的性质与判定定理 题型01 利用垂直平分线的性质求解 题型02 线段垂直平分线的判定 题型03 线段垂直平分线的实际应用 考点要求 新课标要求 命题预测 等腰三角形的性质 与判定  理解等腰三角形的概念  探索并证明等腰三角形的性质定理:等腰三角 形的两个底角相等;底边上的高线、中线及顶 角平分线重合  探索并掌握等腰三角形的判定定理:有两个角 相等的三角形是等腰三角形 该板块内容重在掌握基本知 识的基础上灵活运用，也是考查 重点，年年都会考查，最为经典 的“手拉手”模型就是以等腰三 角形为特征总结的而数学中考 中，等腰三角形单独出题的可能 性还是比较大的，多以选择填空 题型出现，但是因为等腰三角形 可以放在很多模型中，所以等腰 三角形结合其他考点出成压轴题 的几率特别大，所占分值也是比 较多，属于是中考必考的中等偏 上难度的考点 等边三角形的性质 与判定  探索等边三角形的性质定理:等边三角形的各 角都等于60°  探索等边三角形的判定定理:三个角都相等的 三角形(或有一个角是 60°的等腰三角形)是 等边三角形 线段垂直平分线的 性质与判定定理  理解线段垂直平分线的概念，  探索并证明线段垂直平分线的性质定理:线段 垂直平分线上的点到线段两端的距离相等;反 之，到线段两端距离相等的点在线段的垂直 平分线上 考点一 等腰三角形的性质与判定 等腰三角形的概念：有两边相等的三角形角等腰三角形． 等腰三角形性质： 1）等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”） 2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简称“三线合一”） 等腰三角形的判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等 边”） 1 等腰三角形的边有腰、底之分,角有顶角、底角之分,若题目中的边没有明确是底还是腰,角没有明是 顶角还是底角，需要分类讨论 2 顶角是直角的等腰三角形叫做等腰直角三角形，且它的两个底角都为45° 3 等腰三角形是轴对称图形，它有1 条或3 条对称轴． 4 等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）． 5 等腰三角形的三边关系：设腰长为，底边长为b，则b 2< 6 等腰三角形的三角关系：设顶角为顶角为∠，底角为∠B、∠，则∠=180°-2∠B，∠B=∠= 180 0−∠A 2 题型01 等腰三角形的定义 【例1】（2023·山东济南·统考三模）已知m，，5 分别是等腰三角形（非等边三角形）三边的长，且 m，分别是关于x 的一元二次方程x 2−6 x+k=0的两个根，则k 的值等于（ ） ．3 B．5 或9 ．5 D．9 【答】B 【分析】当m=5或n=5时，即x=5，代入方程即可得到结论，当m=n时，即Δ=0，解方程即可得到结 论． 【详解】解：∵m，，5 分别是等腰三角形（非等边三角形）三边的长 ∴当m=5或n=5时，即x=5 ∴方程为5 2−6×5+k=0 解得：k=5 此时该方程为x 2−6 x+5=0 解得：x1=5，x2=1 此时三角形的三边为5，5，1，符合题意； 当m=n时，即Δ=0 即6 2−4 k=0 解得：k=9 此时该方程为x 2−6 x+9=0 解得：x1=x2=3 此时三角形的三边为3，3，5，符合题意， 综上所述，k 的值等于5 或9 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式、一元二次方程的解、等腰三角形的定义、三角形的三边 关系，正确的理解题意是解本题的关键． 【变式1-1】（2023·内蒙古鄂尔多斯·三模）腰长为5，一边上的高为4 的等腰三角形的底边长为（ ） ．6 或4❑ √5 B．6 或4❑ √5或2❑ √5 ．4❑ √5或2❑ √5 D．6 或2❑ √5 【答】B 【分析】根据不同边上的高为4 分类讨论，即可得到本题的答． 【详解】解：①如图1， 当AB=AC=5，底边上的高AD=4时， 则BD=CD=3， 故底边长为6； ②如图2，△ABC为锐角三角形， 当AB=AC=5，腰上的高CD=4时， 则AD=3， ∴BD=2， ∴BC= ❑ √2 2+4 2=2❑ √5， ∴此时底边长为2❑ √5； ③如图3，△ABC为钝角三角形， 当AB=AC=5，腰上的高CD=4时， 则AD=3， ∴BD=8， ∴BC ＝ ❑ √8 2+4 2=4 ❑ √5， ∴此时底边长为4 ❑ √5． 故底边长为6 或4 ❑ √5或2❑ √5． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质及勾股定理，解题的关键是分三种情况进行讨论． 【变式1-2】（2023·湖南邵阳·统考二模）已知等腰三角形的三边x、y、z 满足 (x−4 ) 2+❑ √y−2+|z−a|=0，则的值是（ ） ．2 B．3 ．4 D．2 或4 【答】 【分析】根据绝对值、二次根式、平方的非负性计算出x、y、z 的值，然后根据等腰三角形的定义计算即 可； 【详解】解：∵ (x−4 ) 2+❑ √y−2+|z−a|=0， 且(x−4 ) 2≥0，❑ √y−2≥0，|z−a|≥0， ∴ x−4=0，y−2=0，z−a=0， ∴ x=4，y=2，z=a， ∵三角形为等腰三角形， ∴ a=4或a=2， 当a=2时，2+2=4，不能构成三角形， ∴ a=4， 故选：． 【点睛】本题考查了等腰三角形的定义，以及绝对值、二次根式、平方的非负性、构成三角形的条件等 知识点，绝对值、二次根式、平方的非负性的准确应用是解题关键． 【变式1-3】（2023·河南安阳·统考一模）已知等腰△ABC的边是方程x 2−7 x+10=0的根，则△ABC 的周长为（ ） ．9 B．9 或12 ．6 或15 D．6 或12 或15 【答】D 【分析】利用因式分解法求方程的两个根分别是2 和5，结合三角形的三边关系和等腰三角形的性质进行 分类讨论即可． 【详解】解：∵x 2−7 x+10=0 ∴(x−2) (x−5)=0 解得：x1=2，x2=5， ∵等腰△ABC的边为：2 和5， ∴当腰长为2，底边为5 时，不符合三角形的三边关系定理， 当腰长为5，底边为2 时，△ABC的周长为：5+5+2=12， 当边长都为2 时，△ABC的周长为：2+2+2=6， 当边长都为5 时，△ABC的周长为：5+5+5=15， 故选：D． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质和三角形的三边关系及解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程 的方法和三角形的三边关系是解题的关键． 【变式1-4】（2023·黑龙江佳木斯·统考三模）已知△ABC是以AB为一腰的等腰三角形，AB=5，AC 边上的高为4，则△ABC的底边长为 ． 【答】2❑ √5或4 ❑ √5或6 【分析】分三种情况：AB=AC，且是锐角三角形；AB=AC，且是钝角三角形；AB=BC，利用等腰 三角形的性质及勾股定理即可求解． 【详解】解：①AB=AC，且是锐角三角形，如图； ∵BD⊥AC，且BD=4， ∴AD= ❑ √A B 2−B D 2=3， ∴CD=AC−AD=2， 在Rt △BDC中，由勾股定理得：BC= ❑ √B D 2+C D 2=2❑ √5； ②AB=AC，且是钝角三角形时，如图； 由勾股定理得AD= ❑ √A B 2−B D 2=3， ∴CD=AC+ AD=8， 在Rt △BDC中，由勾股定理得：BC= ❑ √B D 2+C D 2=4 ❑ √5； ③AB=BC时，如图， ∵BD⊥AC， ∴DC=1 2 AC， 在Rt △BDC中，由勾股定理得：DC= ❑ √BC 2−B D 2=3, ∴AC=2 DC=6； 综上，底边的长为2❑ √5或4 ❑ √5或6． 【点睛】本题考查了等腰三角形的定义及性质，勾股定理，解题的关键是，数形结合，注意分类讨论． 题型02 根据等边对等角求角度 【例2】（2023·湖北襄阳·统考模拟预测）等腰三角形腰长为8，面积为16，则底角的度数为 ． 【答】75°或15° 【分析】分锐角三角形和钝角三角形两种情况讨论即可． 【详解】解：当三角形为锐角三角形时，如图，过点作CD⊥AB交AB于点D， 则AB=AC=8，S△ABC=16， ∴1 2 AB×CD=16， 解得CD=4， sin A=CD AC = 4 8 =1 2， ∴∠A=30°， ∴∠B=∠ACB=180°−30° 2 =75°， 当三角形为钝角三角形时，如图，过点作CD⊥AB交AB的延长线于点D， 则AB=AC=8，S△ABC=16， ∴1 2 AB×CD=16， 解得CD=4， sin∠CAD=CD AC = 4 8 =1 2， ∴∠CAD=30°， ∴∠BAC=150° ∴∠B=∠ACB=180°−150° 2 =15°， 即底角的度数为75°或15°， 故答为：75°或15°． 【点睛】本题考查了等腰三角形的定义，解直角三角形，三角形内角和定理的应用，注意要分类讨论． 【变式2-1】（2023·安徽滁州·校考一模）如图，△ABC中，AB=AC ，CD⊥AB于点D，若 ∠A=40°，则有（ ） ．∠1=50° B．∠1=40° ．∠1=35° D．∠1=20° 【答】D 【分析】根据垂直的定义得到∠ADC=90°，根据∠A=40°和等腰三角形的性质即可得到结论． 【详解】∵CD⊥AB， ∴∠ADC=90°， ∵AB=AC，∠A=40°， ∴∠ABC=∠ACB=70°， ∴∠1=90°−∠ABC=90°−70°=20°． 故选：D 【点睛】此题考查了等腰三角形的性质．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用． 【变式2-2】．（2023·辽宁丹东·校考二模）如图，A，B两点分别在直线l1，l2上，且l1∥l2，BA=BC， BC ⊥l2，若∠1=116°，则∠CAB的度数等于（ ） ．20° B．22° ．24° D．26° 【答】D 【分析】先求解∠CAD=180°−∠1=64°，证明∠CEB=∠CAD=64°，求解 ∠BCA=90°−64°=26°，可得∠BAC=∠ACB=26°． 【详解】解：如图， ∵∠1=116°， ∴∠CAD=180°−∠1=64°， ∵l1∥l2， ∴∠CEB=∠CAD=64°， ∵BC ⊥l2， ∴∠BCA=90°−64°=26°， ∵AB=BC， ∴∠BAC=∠ACB=26°． 故选D 【点睛】本题考查的是邻补角的含义，平行线的性质，三角形的内角和定理的应用，等腰三角形的性质， 熟练的运用以上知识解题是关键． 【变式2-3】（2023·广东河源·统考一模）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，CE平分 △ABC的外角∠ACD，则∠1=¿ ． 【答】55°/55 度 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，角平分线定义； 根据等腰三角形的性质结合三角形内角和定理求出∠ACB，可得∠ACD的度数，然后根据角平分线定 义得出答． 【详解】解：∵AB=AC，∠A=40°， ∴∠B=∠ACB=1 2 × (180°−40° )=70°， ∴∠ACD=180°−∠ACB=110°， ∵CE平分△ABC的外角∠ACD， ∴∠1=1 2 ∠ACD=55°， 故答为：55°． 【变式2-4】（2023·江西吉安·校考模拟预测）如图，在△ABC中，AC=BC，AE⊥BC．垂足为E， 点D 在AE上，且CD平分∠ACB，若∠ABC=54°，则∠ADC的度数为 ． 【答】126°/126 度 【分析】根据等边对等角，结合三角形内角和定理，求得∠ACB=180°−∠B−∠BAC=72°，由角 平分线定义求得∠DCE=1 2 ∠ACE=36°，进一步根据外角性质求解∠ADC． 【详解】解：∵AC=BC． ∴∠B=∠BAC=54°， ∴∠ACB=180°−∠B−∠BAC=72°， ∵AE⊥BC， ∴∠AEC=90°， ∵CD平分∠ACB， ∴∠DCE=1 2 ∠ACE=36°， ∵∠ADC是△DEC的一个外角， ∴∠ADC=∠DEC+∠DCE=126°， 故答为：126°． 【点睛】本题考查三角形内角和定理，外角定义和性质；灵活运用三角形内角和定理，外角性质求解角 度是解题的关键． 【变式2-5】（2023·浙江金华·校考一模）等腰△ABC中，BD⊥AC，垂足为点D，且BD=1 2 AC，则 等腰△ABC底角的度数为 ． 【答】15°或45°或75° 【分析】分点B是顶角顶点、点B是底角顶点、BD在△ABC外部和BD在△ABC内部三种情况，根据等 腰三角形的性质、直角三角形的性质计算． 【详解】解：①如图1，当点B是顶角顶点时， ∵AB=BC，BD⊥AC， ∴AD=CD， ∵BD=1 2 AC， ∴BD=AD=CD， 在Rt △ABD中，∠A=∠ABD=1 2 ×(180°−90°)=45°； ②如图2，当点B是底角顶点，且BD在△ABC外部时， ∵BD=1 2 AC，AC=BC， ∴BD=1 2 BC， ∴∠BCD=30°， ∴∠ABC=∠BAC=1 2 ×30°=15°； ③如图3，当点B是底角顶点，且BD在△ABC内部时， ∵BD=1 2 AC，AC=BC， ∴BD=1 2 BC， ∴∠C=30°， ∴∠ABC=∠BAC=1 2 (180°−30°)=75°； 故答为：15°或45°或75°． 【点睛】本题考查的是直角三角形的性质、等腰三角形的性质，掌握在直角三角形中，30°角所对的直 角边等于斜边的一半是解题的关键． 题型03 利用等边对等角证明 【例3】（2023·浙江温州·统考二模）如图，在△ABC中，AB=AC，P 为BC的中点，D，E 分别为AB， AC上的点，且∠BDP=∠CEP． (1)求证：△BDP≌△CEP． (2)若PD⊥AB，∠A=110°，求∠EPC的度数． 【答】(1)见解析 (2)70° 【分析】（1）根据AB=AC，P 为BC的中点，得出∠B=∠C ,BP=CP，即可求证 △BDP≌△CEP (AAS)； （2）根据等边对等角得出∠B=∠C=35°，则∠DPB=55°，结合全等的性质得出 ∠DPB=∠EPC=55°，即可求解． 【详解】（1）证明：∵AB=AC，P 为BC的中点， ∴∠B=∠C ,BP=CP， 在△BDP和△CEP中， ¿， ∴△BDP≌△CEP (AAS)； （2）解：∵∠A=110°，AB=AC， ∴∠B=∠C=1 2 (180°−110° )=35°， ∵PD⊥AB， ∴∠DPB=90°−35°=55°， ∵△BDP≌△CEP， ∴∠DPB=∠EPC=55°， ∴∠EPD=180°−55°×2=70°． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握等腰三角形 等边对等角，直角三角形两直角边互余，全等三角形对应角相等． 【变式3-1】（2023·陕西西安·陕西师大附中校考模拟预测）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC， ∠ABC=∠BCD，连接AC，点M 为线段AC上一点，连接BM，若AC=BC，AB=BM．求证： △ADC ≌△CMB． 【答】证明见解析 【分析】根据等边对等角的性质，得出∠ABC=∠BMA，进而得到∠BCD=∠BMA，再利用平行线 的性质，得到∠DAC=∠ACB，∠D+∠BCD=180°，从而得到∠D=∠BMC，然后利用“AAS ”即可证明△ADC ≌△CMB． 【详解】证明：∵AC=BC， ∴∠ABC=∠BAC， ∵AB=BM， ∴∠BAM=∠BMA， ∴∠ABC=∠BMA， ∵∠ABC=∠BCD， ∴∠BCD=∠BMA， ∵AD∥BC， ∴∠DAC=∠ACB，∠D+∠BCD=180°， ∵∠BMA+∠BMC=180°， ∴∠D=∠BMC， 在△ADC和△CMB中， ¿， ∴△ADC ≌△CMB ( AAS )． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判 定方法是解题关键． 【变式3-2】（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第十七中学校校考模拟预测）已知：▱ABCD中， DE=BC，BE=EF． (1)求证：AF=DC； (2)连接AE，当AE=AF时，在不添加任何辅助线和字母的情况下，请直接写出图中与∠B互补的角． 【答】(1)见解析； (2)∠ECD，∠DFA，∠BAD，∠AEC． 【分析】（1）由平行四边形的性质证明AD=BC , AD∥BC，进而得到DE=AD，∠ADF=∠DEC， 可证明△ADF ≌△DEC，则问题可证明； （2）根据平行四边形性质和等腰三角形的性质，分别证明∠B+∠ECD=180°， ∠B+∠BAD=180°，∠B+∠AEC=180°，∠DFA与∠B互补，则问题可解； 【详解】（1）（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AD=BC , AD∥BC， ∵DE=BC， ∴DE=AD， ∵BE=EF， ∴DF=CE， ∵AD∥BC， ∴∠ADF=∠DEC， ∴△ADF ≌△DEC， ∴AF=DC； （2）∠ECD，∠DFA，∠BAD，∠AEC 理由：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AB∥CD , AD∥BC， ∴∠B+∠ECD=180°，∠B+∠BAD=180° 由（1）可知，△ADF ≌△DEC， ∴∠DFA=∠ECD，AF=DC， ∴∠DFA与∠B互补， ∵AE=AF， ∴AE=AB， ∴