手把手教学答题模板之5 类数列求和 （分组求和、裂项相消、错位相减（万能公式）、 奇偶并项、周期与类周期综合） 技法01 分组求和的应用及解题技巧 例1．（2023·四川南充·统考三模）已知数列 的前 项和为 . (1)求 的通项公式； (2)设数列 满足： ，记 的前 项和为 ，求 . （1） 技法01 分组求和的应用及解题技巧 技法02 裂项相消的应用及解题技巧 技法03 错位相减（万能公式）的应用及解题技巧 和法即可求解. 【详解】（1）由题意得 ． 又因为 ，所以 ． 所以 是以 为首项， 为公比的等比数列. （2）由（1）得 ． 所以 ． 所以 . 技法02 裂项相消的应用及解题技巧 知识迁移 常见的裂项技巧： 裂项相消求和是把数列拆分，然后抵消后即可求和，此类题型较简单，也是高考中的常考考点，需强加练 习 验证 时满足，故 （2） ， 故 . 3．（2023·广东韶关·统考一模）已知数列 (2) 【分析】（1）将 替换 得到新等式，然后分析原式与新等式作差的结果，结合等差数列的定义进行证 明即可； （2）先根据条件求解出 的通项公式，然后代入 的通项，通过裂项先化简 ，然后用裂项相消法 进行求和. 【详解】（1）由题可知 ， 因为 ， 所以 时， ， 两式相减得 ， 化简可得 ，且 满足条件， 综上可得， 是公差为 的等差数列； （2）因为 ，故 ，解得 ， 所以

手把手教学答题模板之5 类数列求和 （分组求和、裂项相消、错位相减（万能公式）、 奇偶并项、周期与类周期综合） 技法01 分组求和的应用及解题技巧 例1．（2023·四川南充·统考三模）已知数列 的前 项和为 . (1)求 的通项公式； (2)设数列 满足： ，记 的前 项和为 ，求 . （1） （2） . 技法01 分组求和的应用及解题技巧 技法02 裂项相消的应用及解题技巧 技法03 错位相减（万能公式）的应用及解题技巧 (1)证明 是等比数列；(2)若 ，求 的前 项和 ． 技法02 裂项相消的应用及解题技巧 知识迁移 常见的裂项技巧： 指数型 对数型 例2．（2022·全国·统考高考真题）记 为数列 的前n 项和，已知 是公差为 的等差数列． (1)求 的通项公式； (2)证明： ． （1） 的通项公式 ； 裂项相消求和是把数列拆分，然后抵消后即可求和，此类题型较简单，也是高考中的常考考点，需强加练

的等比中项. (1)求数列 的通项公式； (2)设 为数列 的前 项和，证明： . 【答案】(1) ， (2)证明见解析 【分析】（1）借助 与 的关系与等比中项的性质计算即可得； （2）借助裂项相消法可求得 ，结合函数的单调性即可得证. 【详解】（1）因为 ，所以 ，① 当 时， ，② ①－②得 ，化简可得 ， ， 且当 时， 满足上式， 所以数列 是公差为2 的等差数列， 由题可得 项和为 ，证明： ． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据已知等比中项列等式，结合 与 的关系可得 的递推公式，然后利用构造法求 ， 再根据 与 的关系求通项； （2）根据裂项相消法求 ，然后可证明. 【详解】（1）由 成等比数列， 得 ， 所以 ． 整理，得 ，则 ． 又 ， 所以 是以2 为首项，3 为公差的等差数列， 所以 ，即 ． 当 时， ， 所以 为“进可攻，退可守”，可依照所证不等 式不等号的方向进行选择。 注：对于 ，可联想到平方差公式，从而在分母添加一个常数，即可放缩为符合裂项相消特征的数列， 例如： ，这种放缩的尺度要小于（1）中的式子。此外还 可以构造放缩程度更小的，如： 放缩的基本思路是将通项适当放大或缩小，向便于相消或便于求和的方向转化.放缩的策略是通过多角度观 察通项的结构，深入剖析其特征，思前想后，找准突破口，怡当放缩，难度中等偏上、需强加练习

........................................................................................ 3 【题型6 裂项相消法】................................................................................................. )+(+1.25)−4 1 8； （2）﹣55 6 +(−9 2 3 )+17 3 4 +(−3 1 2 )． 【知识点2 凑整法】 将相加可得整数的数凑整，将相加得零的数（如互为相反数）相消 【题型2 凑整法】 【例2】（2022 秋•普陀区期末）计算：343 2 ﹣2 5 +¿657 5 ﹣3 5． 【变式2-1】（2022 秋•济南期末）计算：（﹣32）+125+（﹣168）﹣（﹣25）． （2）| 1 102−1 101|+| 1 103−1 102| | ﹣1 103−1 101|． 【知识点6 裂项相消法】 将一个数拆分成两个或两个以上数和的形式，再利用加法交换律、结合率或者利用乘法分 配率从而使得计算变得简洁 【题型6 裂项相消法】 【例6 】（2022 秋• 嘉定区期末）【阅读材料】问题：如何计算 1 1×2 + 1 2×3 + 1 3×4 +⋯+

较高，难度较难.涉及到 和双曲线某一支的交点个数问题，注意借助双曲线的渐近线进行分析.解题的关键在于将问 题转化为渐近线 与直线 的距离大于等于圆的半径 . 8．D 利用累加法可得 ，再裂项相消求和即可 由题意得，对 ，故 ， ， ，…， ， 累加可得 ， 满足， 所以 ，则 ， 故选：D． 9．ABD 由题意，列方程组求出等差数列 的首项 和公差 即可求解 与 ，选项A、B 可判 ，进而可得 是公比 的等比数列， 再由等比数列的通项公式即可得解； （2）由题意 ，再由裂项相消法即可得解. （1）由 可得当 时， ， ∴ ，即 ， 又 ，∴ 是公比 的等比数列， ∴ ； （2）由（1）知， ， ∴ ， ∴ . 本题考查了数列 与 关系的应用及等比数列通项公式的求解，考查了裂项相消法求数列 前 项和的应用，属于中档题. 19．（I）1，2，4；（II）数列A：2，2，2，2，…；（III）819 （1）知 ，从而可得 ，利用裂项 相消法求解即可. 试题解析：（I）设数列 的公差为 ，则 即 ， 解得 ， 所以 . （也可利用等差数列的性质解答） (II)由（I）知 ， ， 【方法点晴】本题主要考查等差数列的通项与求和公式，以及裂项相消法求数列的和，属 于中档题. 裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突

的前 项和为 ， 且 . (1)求数列 的通项公式; (2)若 ，求数列 的前 项和 . 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用 与 的关系得到 为等比数列求解即可; （2）利用裂项相消法求和即可. 【详解】（1）因为 ， 当 时， ， 当 时， ， 所以 ， 即 ， 又因为 ，满足上式， 所以 是以 为首项， 为公比的等比数列， 则 . （2）因为 ， 所以 ，求数列 的前 项和 ． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据 与 的关系分析可得数列 是3 为首项，2 为公差的等差数列，结合等差数列通 项公式运算求解； （2）由（1）可得： ，利用裂项相消法运算求解. 【详解】（1）因为 ，可得 ， 两式相减得 ， 整理得 ，可知数列 是3 为首项，2 为公差的等差数列， 所以 ． （2）由（1）可得： ， 则 ， 所以 ． 3．（2023·广东·统考二模）记数列 知识迁移 形如an+1=an+f (n),a1=A ，若{ f (n)为常数，构造成等差数列 f (n)为一次函数，构造等差求和 f (n)为指数函数，构造等比求和 f (n)为分式函数，构造裂项相消求和 例2．（2023·全国·高三专题练习）在数列{ }中， ， ，求通项公式 ． 原递推式可化为 ，则 ， ，…， ，逐项相加，得 ，故 ． 1．（2023 上·江苏·高三专题练习）已知数列

为“进可攻，退可守”，可依照所证不等 式不等号的方向进行选择。 注：对于 ，可联想到平方差公式，从而在分母添加一个常数，即可放缩为符合裂项相消特征的数列， 例如： ，这种放缩的尺度要小于（1）中的式子。此外还 可以构造放缩程度更小的，如： 放缩的基本思路是将通项适当放大或缩小，向便于相消或便于求和的方向转化.放缩的策略是通过多角度观 察通项的结构，深入剖析其特征，思前想后，找准突破口，怡当放缩，难度中等偏上、需强加练习 C 选项，设 ， ， 则 在 上恒成立， 故 在 上单调递减， 所以 ，故 在 上恒成立， ，C 正确； D 选项， ， ， 故 ，D 正确. 故选：ACD 【点睛】常见的裂项相消法求和类型： 分式型： ， ， 等； 指数型： ， 等， 根式型： 等， 对数型： ， 且 ； 1．（2024·重庆·统考一模）已知首项为正数的等差数列 的公差为2，前 项和为 ，满足 ．

........................................................................................ 7 【题型6 裂项相消法】................................................................................................. 6−¿92 3）+（173 4 −¿31 2） 1 ＝﹣151 2 +¿141 4 ＝﹣11 4 ． 【知识点2 凑整法】 将相加可得整数的数凑整，将相加得零的数（如互为相反数）相消 【题型2 凑整法】 【例2】（2022 秋•普陀区期末）计算：343 2 ﹣2 5 +¿657 5 ﹣3 5． 【分析】先运用加法的交换结合律进行简便计算，再进行最后的减法运算． 【解答】解：343 ¿ 1 101−1 102 + 1 102−1 103 + 1 103−1 101 ＝0． 【知识点6 裂项相消法】 将一个数拆分成两个或两个以上数和的形式，再利用加法交换律、结合率或者利用乘法分 配率从而使得计算变得简洁 【题型6 裂项相消法】 【例6 】（2022 秋• 嘉定区期末）【阅读材料】问题：如何计算 1 1×2 + 1 2×3 + 1 3×4 +⋯+

对 恒成立， ，则实数的最大值为 . 故选：C. 【点睛】 关键点点睛：本题考查函数与导数、数列的综合应用问题，解题关键是能够采用构造法、 累加法求得数列的通项公式，进而确定求和方法为裂项相消法，从而求得 的形式. 13． 【分析】 由三角形面积公式求A，再由余弦定理求BC. 【详解】 ∵ ， ∴ ，又 ， ， ∴ ，又A 为锐角， ∴ ， 由余弦定理可得 ， 1) n T n    【解析】 试题分析： （Ⅰ）由 求通项公式 主要利用 求解；（Ⅱ）整理数列       1 1 n na a 的通项公式，结合其特点采用裂项相消法求和 试题解析：（1）当 1 n 时， 1 1 1 1 1 3 a S  ； 当 2 n 时， 2 1 n S n n    ① 2 1 ( 1) ( 1) 1 n S

成等比数列．列出方程，即可解出 ，即可得出答案. （2）由（1）知 ，代入 ，再利用裂项相消求出 ，即可说明 . 【详解】（1）由题意得： ， ， 整理得 ，因为 ，所以 ， 所以 ， ． （2） ， ， ， 即 ． 【点睛】本题考查等差数列的通项公式，前 项和公式，裂项相消法求数列的前 项和.属于基础题.常见的 裂项相消: . 18. 根据党的“扶贫同扶志、扶智相结合”精准扶贫、精准脱贫政策，中国儿童少年基金会为了丰富留守儿童