专题1.10 巧用运算规律简化有理数计算的七种方法【七大题型】（解析版）

专题110 巧用运算规律简化有理数计算的七种方法【七大 题型】 【人版】 【题型1 归类法】..................................................................................................................................................... 1 【题型2 凑整法】..................................................................................................................................................... 3 【题型3 逆向法】..................................................................................................................................................... 4 【题型4 拆项法】..................................................................................................................................................... 6 【题型5 组合法】..................................................................................................................................................... 7 【题型6 裂项相消法】............................................................................................................................................. 8 【题型7 倒数求值法】...........................................................................................................................................11 【知识点1 归类法】 运用加法交换律、结合律归类加减，将同类数(如正数或负数)归类计算，如整数与整数结 合、如分数与分数结合、同分母与同分母结合等 【题型1 归类法】 【例1】（2022 春•普陀区校级期中）计算：8+（﹣11 4 ）﹣5﹣（−3 4 ）． 【分析】根据加法交换律、加法结合律，求出算式的值即可． 【解答】解：8+（﹣11 4 ）﹣5﹣（−3 4 ） ＝（8 5 ﹣）+[（﹣11 4 ）﹣（−3 4 ）] ＝3+（−1 2 ） ＝21 2． 【变式1-1】（2022 春•徐汇区校级期中）计算：−2 2 3 +2 11 12 +6 1 4 −3 1 3． 【分析】利用有理数的加减混合运算，进行计算即可． 【解答】解：原式¿(−2 2 3−3 1 3 )+2 11 12 +6 1 4 1 ¿−6+6 1 4 +2 11 12 ¿ 1 4 +2 11 12 ¿3 1 6 ． 【变式1-2】（2022 秋•青浦区期中）计算：2 1 9 +0.3−1 2 9 + 7 10． 【分析】运用加法交换律和结合律计算． 【解答】解：原式＝21 9 + 3 10−¿12 9 + 7 10 ＝（21 9−¿12 9）+（3 10 + 7 10） ¿ 8 9 +¿1 ＝18 9． 【变式1-3】（2022 秋•和平区校级月考）计算： （1）−(−3 7 12 )+(−1 1 4 )+(−2 7 12 )+(+1.25)−4 1 8； （2）﹣55 6 +(−9 2 3 )+17 3 4 +(−3 1 2 )． 【分析】（1）根据有理数加减混合运算和加法结合律计算即可； （2）根据有理数加减混合运算和加法结合律计算即可． 【解答】解：（1）−(−3 7 12 )+(−1 1 4 )+(−2 7 12 )+(+1.25)−4 1 8 ＝3 7 12−¿11 4 −¿2 7 12 +¿11 4 −¿41 8 ＝（3 7 12−¿2 7 12）+（﹣11 4 +¿11 4 ）﹣41 8 ＝1 4 ﹣1 8 ¿−25 8 ； （2）﹣55 6 +(−9 2 3 )+17 3 4 +(−3 1 2 ) ＝（﹣55 6−¿92 3）+（173 4 −¿31 2） 1 ＝﹣151 2 +¿141 4 ＝﹣11 4 ． 【知识点2 凑整法】 将相加可得整数的数凑整，将相加得零的数（如互为相反数）相消 【题型2 凑整法】 【例2】（2022 秋•普陀区期末）计算：343 2 ﹣2 5 +¿657 5 ﹣3 5． 【分析】先运用加法的交换结合律进行简便计算，再进行最后的减法运算． 【解答】解：343 2 ﹣2 5 +¿657 5 ﹣3 5 ＝（343+657）﹣（22 5 +¿53 5） ＝10 8 ﹣ ＝2． 【变式2-1】（2022 秋•济南期末）计算：（﹣32）+125+（﹣168）﹣（﹣25）． 【分析】根据有理数加减法放入法则进行计算即可． 【解答】解：原式＝（﹣32）+125+（﹣168）+25 ＝[（﹣32）+（﹣168）]+（125+25） ＝﹣20+15 ＝﹣5． 【变式2-2】（2022 秋•上蔡县月考）计算： （1）22 5 +¿21 7 +¿（﹣51 7 ）﹣（﹣53 5）． （2）375+（﹣518）﹣（﹣225）+518． 【分析】（1）先将加减统一为加法，再利用加法的交换律与结合律进行计算即可； （2）先将加减统一为加法，再利用加法的交换律与结合律进行计算即可． 【解答】解：（1）22 5 +¿21 7 +¿（﹣51 7 ）﹣（﹣53 5） ＝22 5 +¿21 7 −¿51 7 +¿53 5 ＝（22 5 +¿53 5）+（21 7 −¿51 7 ） ＝8 3 ﹣ 1 ＝5； （2）375+（﹣518）﹣（﹣225）+518 ＝375 518+225+518 ﹣ ＝（375+225）+（518 518 ﹣ ） ＝6． 【变式2-3】（2022 秋•石景山区校级期中）计算：（﹣127）﹣（﹣52 5）﹣873+33 5． 【分析】根据有理数的加减法法则进行计算即可得出结果． 【解答】解：(−12.7)−(−5 2 5 )−87.3+3 3 5 ¿−12.7+5 2 5−87.3+3 3 5 ＝（﹣127 873 ﹣ ）+（52 5 +¿33 5） ＝﹣100+9 ＝﹣91． 【知识点3 逆向法】 主要是将式子中的一些小数、带分数、分数互相转化，然后将乘法分配率逆向使用，从而 使得计算变得更加简单 【题型3 逆向法】 【例3】（2022 秋•红谷滩区校级期中）用简便方法计算 −2 9 ×(−92)+(−2 9 )×34 3 5 + 2 9 ×23 3 5． 【分析】先根据同号得正异号得负进行符号运算，然后逆运用乘法分配律，提取2 9，并 利用加法结合律计算，最后进行有理数的乘法运算即可得解． 【解答】解：−2 9 ×（﹣92）+（−2 9 ）×343 5 + 2 9 ×233 5， ¿ 2 9 ×92−2 9 ×343 5 + 2 9 ×233 5， ¿ 2 9 ×（92 34 ﹣ 3 5 +¿233 5）， ¿ 2 9 ×（92 11 ﹣ ）， ¿ 2 9 ×81， ＝18． 1 【变式3-1】（2022 秋•兰山区月考）25× 3 4 −¿25× 1 2 +¿25×（−1 4 ） 【分析】逆运用乘法分配律进行计算即可得解． 【解答】解：25× 3 4 −¿25× 1 2 +¿25×（−1 4 ） ＝25×（3 4 −1 2−1 4 ） ＝25×0 ＝0． 【变式3-2】（2022 秋•红谷滩区校级期中）用简便方法计算： （1）（﹣9）×31 8 29−¿（﹣8）×（﹣31 8 29）﹣（﹣16）×31 8 29； （2）9971 72 ×（﹣36）． 【分析】（1）原式逆用乘法分配律计算即可得到结果； （2）原式变形后，利用乘法分配律计算即可得到结果． 【解答】解：（1）原式＝31 8 29 ×（﹣9 8+16 ﹣ ） ＝31 8 29 ×（﹣1） ＝﹣31 8 29； （2）原式＝（100−1 72 ）×（﹣36） ＝100×（﹣36）−1 72 ×（﹣36） ＝﹣3600+1 2 ＝﹣35991 2． 【变式3-3】（2022 秋•红谷滩区校级期中）简便计算 （﹣48）×0125+48× 11 8 +(−48)× 5 4 【分析】利用乘法的分配律先提取48，再进行计算即可得出答； 【解答】解：（﹣48）×0125+48× 11 8 +(−48)× 5 4 ＝48×（−1 8 + 11 8 −10 8 ） 1 ＝0 【知识点4 拆项法】 将一个数拆分成两个或两个以上数和的形式，再利用加法交换律、结合率或者利用乘法分 配率从而使得计算变得简洁 【题型4 拆项法】 【例4】（2022 秋•安陆市期中）阅读下面的计算过程，体会“拆项法” 计算：﹣55 6 +(−9 2 3 )+17 3 4 +(−3 1 2 )． 解 ： 原 式 ¿[(−5)+(−9)+17+(−3)]+[(−5 6 )+(−2 3 )+ 3 4 +(−1 2 )]=¿0 +(−1 1 4 )=(−1 1 4 ) 启发应用 用上面的方法完成下列计算：(−3 3 10 )+(−1 1 2 )+2 3 5−(2 1 2 ) 【分析】将原式利用“拆项法”得出原式＝（﹣3 1+2 2 ﹣ ﹣）+（−3 10 −1 2 + 3 5−1 2），再 根据有理数的加减运算法则计算可得． 【解答】解：原式＝（﹣3 1+2 2 ﹣ ﹣）+（−3 10 −1 2 + 3 5−1 2） ＝﹣4+（−7 10 ） ＝﹣4 7 10． 【变式4-1】（2022 秋•铁西区期末）计算：15﹣（﹣41 4 ）+375﹣（+81 2）． 【分析】根据有理数的加减运算法则即可求出答． 【解答】解：原式＝1+1 2 +¿4+1 4 +¿3+3 4 −¿8−1 2 ＝﹣7+8 ＝1． 【变式4-2】（2022 秋•浦东新区期中）计算：5 1 3−2 1 6 + 1 4 ． 【分析】可按法则从左往右算求出结果；亦可把带分数写成整数与分数和的形式，再利 用加法的交换律和结合律，把整数与分数分别相加． 1 【解答】解：原式＝5+1 3 −¿2−1 6 + 1 4 （5 2 ﹣）+（1 3−1 6 + 1 4 ） ＝3+（4 12−2 12 + 3 12） ＝3+5 12 ＝3 5 12． 【变式4-3】（2022 秋•凉山州期末）：(−2021 2 7 )+(−2022 4 7 )+4044+(−1 7 )． 【分析】写成几个整数的和以及几个分数的和即可． 【解答】解：原式＝[（﹣2021）+（−2 7 ）]+[（﹣2022）+（−4 7 ）]+4044+（−1 7 ） ＝（﹣2021 2022+4044 ﹣ ）+（−2 7 −4 7 −1 7 ） ＝1+（﹣1） ＝0． 【知识点5 组合法】 找出规律，重新组合，然后通过约分或抵消简化题目 【题型5 组合法】 【例5】（2022 秋•南开区期中）计算：﹣1+2 3+4 5+6+… 97+98 99 ﹣ ﹣ ﹣ ﹣ ＝ ﹣ 50 ． 【分析】根据结合律，可得答． 【解答】解：原式＝[（﹣1+2）+（﹣3+4）+（﹣5+6）+…（﹣97+98）] 99 ﹣ ¿1+1+1+⋯+1 ¿ −¿99 ＝49 99 ﹣ ＝﹣50， 故答为：﹣50． 【变式5-1】（2022 秋•襄汾县期中）计算：1+2 3 4+5+6 7 8+……+2013+2014 ﹣﹣ ﹣﹣ ﹣ 2015 2016 ﹣ 【分析】根据每四项运算结果可知，每四项结果为﹣4，2016÷4＝504，正好为4 的倍数， 从而得出结论． 【解答】解：∵1+2 3 4 ﹣﹣＝﹣4，5+6 7 8 ﹣﹣＝﹣4，即每四项结果为﹣4，2016÷4＝ 504， 1+2 3 4+5+6 7 8+…+2013+2014 2015 2016 ∴ ﹣﹣ ﹣﹣ ﹣ ﹣ ＝﹣4×504＝﹣2016． 1 【变式5-2】（2022 秋•工业区月考）计算1+（﹣2）+3+（﹣4）+……+97+（﹣98）+99+ （﹣100）的值为（ ） ．50 B．﹣50 ．101 D．﹣101 【分析】原式两项两项合并正好得50 个（﹣1），最后计算结果即可． 【解答】解：原式＝（1 2 ﹣）+（3 4 ﹣）+（4 5 ﹣）+ + ⋯（99 100 ﹣ ） ¿−1−1−1⋯−1 ¿ ＝﹣50， 故选：B． 【变式5-3】（2022 秋•工业区月考）计算： （1）1 3+5 7+9 11+…+97 99 ﹣ ﹣ ﹣ ﹣ ； （2）| 1 102−1 101|+| 1 103−1 102| | ﹣1 103−1 101|． 【分析】（1）两个一组计算，再相加即可求解； （2）先计算绝对值，再抵消计算即可求解． 【解答】解：（1）1 3+5 7+9 11+…+97 99 ﹣ ﹣ ﹣ ﹣ ＝（﹣2）+（﹣2）+…+（﹣2） ＝﹣2×25 ＝﹣50； （2）| 1 102−1 101|+| 1 103−1 102| | ﹣1 103−1 101| ¿ 1 101−1 102 + 1 102−1 103 + 1 103−1 101 ＝0． 【知识点6 裂项相消法】 将一个数拆分成两个或两个以上数和的形式，再利用加法交换律、结合率或者利用乘法分 配率从而使得计算变得简洁 【题型6 裂项相消法】 【例6 】（2022 秋• 嘉定区期末）【阅读材料】问题：如何计算 1 1×2 + 1 2×3 + 1 3×4 +⋯+ 1 19×20呢？小红带领的数学兴趣小组通过探索完成了这题的 计算．他们的解法如下： 解： 1 原式=(1−1 2 )+( 1 2−1 3 )+( 1 3−1 4 )+⋯+( 1 19−1 20 ) ¿1−1 20 ¿ 19 20 根据阅读材料，请你完成下列问题： （1）计算：2 1×3 + 2 3×5 + 2 5×7 +⋯+ 2 21×23； （2）直接写出结果：1 3 + 1 15 + 1 35 + 1 63 + 1 99=¿ 5 11 ；（不需要计算过程） （3）计算：1 1×5 + 1 5×9 + 1 9×13 +⋯+ 1 2017×2021． 【分析】（1）将原式裂项，再两两抵消计算可得； （2）原式利用 1 (2n−1)(2n+1)=1 2（ 1 2n−1− 1 2n+1）裂项求和即可得； （3）利用相同的方法裂项计算可得． 【解答】解：（1）原式¿(1−1 3 )+( 1 3−1 5 )+( 1 5−1 7 )+⋯+( 1 21−1 23 )=1−1 23=22 23； （2）原式¿ 1 2 ×[（1−1 3 ）+（1 3−1 5）+（1 5−1 7）+（1 7 −1 9）+（1 9−1 11）] ¿ 1 2 ×（1−1 11 ） ¿ 5 11， 故答为：5 11； （ 3 ） 原 式 ¿ 1 4 ×[(1−1 5 )+( 1 5−1 9 )+( 1 9−1 13 )+⋯+( 1 2017 − 1 2021 )]= 1 4 ×(1− 1 2021 )= 505 2021 【变式6-1】（2022 秋•遂宁期末）请先阅读下列一组内容，然后解答问题： 先观察下列等式：1 1×2=1−1 2， 1 2×3=1 2−1 3， 1 3×4 =1 3−1 4 ⋯ 1 9×10=1 9−1 10 将 以 上 等 式 两 边 分 别 相 加 得 ： 1 1×2 + 1 2×3 + 1 3×4 +⋯+ 1 9×10=+( 1 2−1 3 )+( 1 3−1 4 )+⋯+( 1 9−1 10 )=1 2−1 3 + 1 3−1 4 +⋯+ 1 9−1 10=1−1 10 然后用你发现的规律解答下列问题： （1）猜想并写出： 1 n(n−1)=¿ 1 n−1−1 n ； 1 （2）直接写出下列各式的计算结果： ①1 1×2 + 1 2×3 + 1 3×4 +⋯+ 1 2010×2011=¿ 2010 2011 ； ②1 1×2 + 1 2×3 + 1 3×4 +⋯+ 1 n(n+1)=¿ n n+1 ； （3）探究并计算： 1 2×4 + 1 4×6 + 1 6×8 +⋯+ 1 2012×2014 ． 【分析】（1）观察上述式子，发现拆项规律，写出即可； （2）利用得出的规律化简所求式子，计算即可得到结果； （3）根据得出的规律将原式变形，计算即可得到结果． 【解答】解：（1）根据题意得： 1 n(n−1)= 1 n−1−1 n； （2）①原式＝1−1 2 + 1 2−1 3 +⋯+ 1 2010− 1 2011=¿1 −1 2011=2010 2011； ②原式＝1−1 2 + 1 2−1 3 +⋯+ 1 n−1 n+1=¿1 −1 n+1= n n+1； （3）原式¿ 1 2 ×（1 2−1 4 + 1 4 −1 6 +⋯+ 1 2012− 1 2014 ）¿ 1 2 ×（1 2− 1 2014 ）¿ 503 2014 ． 故答为：（1） 1 n(n−1)= 1 n−1−1 n；（2）①2010 2011；②n n+1 【变式6-2】（2022 秋•虹口区期末）先阅读，再答题 2 3=3−1 1×3=¿1−1 3 ，2 15=5−3 3×5=1 3−1 5，2 35=7−5 5×7 =1