吉林省吉林市第一中学2021-2022学年高二下学期期中考试数学试题（平行班）（答案版）

吉林一中2021—2022 学年度下学期期中考试 高二数学（平行班）试卷 第Ⅰ卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分．在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的． 1. 已知集合 ， ，全集 ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】解出集合 、 ，利用补集和交集的定义可求得集合 . 【详解】因为 或 ， ， 所以， ，因此， . 故选：A. 2. 函数 的定义域是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由偶次根式的被开方式大于等于0，及分式的分母不等于0 即可求解. 【详解】解：由题意， ，即 ， 所以 ， 所以函数 的定义域为 ， 故选：A. 3. 已知f（x）是定义在R 上的奇函数，若x1，x2∈R，则“x1+x2＝0”是“f（x1）+f（x2 ）＝0”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数奇偶性的性质以及充分条件和必要条件的定义进行判断. 【详解】 函数 是奇函数, 若 ，则 ， 则 ， 即 成立,即充分性成立， 若 ，满足 是奇函数，当 时 满足 ，此时满足 ， 但 ，即必要性不成立， 故“ ”是“ ”的充分不必要条件， 所以A 选项正确. 【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断,根据函数奇偶性的性质是解决本题的关键. 4. 若随机变量 ，且 ，则 （ ） A. 0.6 B. 0.5 C. 0.4 D. 0.3 【答案】A 【解析】 【分析】根据正态分布的对称即可计算结果. 【详解】解：根据正态分布的对称性， . 故选：A. 5. 若随机变量 服从两点分布，其中 ， 分别为随机变量 的均值与方差， 则下列结论不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】由题知 ，进而得 ， ，再根据期望、方差的性质求解即可. 【详解】解：因为随机变量 服从两点分布，其中 ， 所以 ， 所以 ， ， ， . 故BD 错误，AC 正确. 故选：BD 6. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数” 为：设x∈R，用[x]表示不超过x 的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数.例如：[－0.5]＝－1，[1.5]＝1.已知函 数 ，则函数y＝[f(x)]的值域为（ ） A. B. {－1，0，1} C. {－1，0，1，2} D. {0，1，2} 【答案】B 【解析】 【分析】利用换元法求得 的值域，由高斯函数的定义求得正确答案. 【详解】 , 令 ，令 ， 二次函数开口向上，对称轴为 ， ， 所以 ，也即 . 所以 . 故选：B 7. 2020 年初，新型冠状肺炎在欧洲爆发后，我国第一时间内向相关国家捐助医疗物资，并派出由医疗专家 组成的医疗小组奔赴相关国家．现有四个医疗小组甲、乙、丙、丁，和有4 个需要援助的国家可供选择， 每个医疗小组只去一个国家，设事件A＝“4 个医疗小组去的国家各不相同”，事件B＝“小组甲独自去一 个国家”，则P（A|B）＝（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出“4 个医疗小组去的国家各不相同”且“小组甲独自去一个国家”的概率，再求“小组甲 独自去一个国家”的概率，代入条件概率公式计算即可． 【详解】事件A＝“4 个医疗小组去的国家各不相同”，事件B＝“小组甲独自去一个国家”， 则P（AB） ，P（B） ， P（A|B） ， 故选：A． 【点睛】本题考查了条件概率的计算，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算能力，属于中档题 8. 已知函数 ，则不等式 的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，得函数为偶函数，且当 时， 为单调递增函数，进而将问题转换为 ，再结合奇偶性，对数函数单调性解不等式即可. 【详解】解：由题知，函数的定义域为 ， ， 所以 为偶函数， 因为当 时， ， 所以，当 时， 为单调递增函数， 所以，当 时， 为单调递减函数， 因为 , 所以 即为 ， 所以 ，即 ，所以 . 故选：D 二、多项选择题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分．在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求．全部选对的得5 分，部分选对的得2 分，有选错的得0 分． 9. 甲、乙两人练习射击，命中目标的概率分别为 和 ，甲、乙两人各射击一次，下列说法正确的是（ ） A. 目标未被命中的概率为 B. 目标恰好被命中一次的概率为 C. 目标恰好被命中两次的概率为 D. 目标被命中的概率为 【答案】CD 【解析】 【分析】根据题意，结合概率的计算，逐项分析即可得解. 【详解】对A，目标未被命中，则两次都不中，概率为 ，故A 错误； 对B，目标恰好被命中一次，则甲中乙不中，或乙中甲不中， 概率为 ，故B 错误； 对C，目标恰好被命中两次，则两次都中，概率为 ，故C 正确； 对D，目标被命中，从反面考虑可得概率为 ，故D 正确； 故选：CD 10. 已知 （ ），则下列结论正确的是（ ） A. B. 当 时，n=5 C. 若 （ ）的展开式中第7 项的二项式系数最大，则n 等于12 或13 D. 当n=4 时， 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，由二项式展开式的系数的性质判断即可，对于B，由题意可得 ，从而可求出 的值，对于C，利用二项式展开式的系数的性质判断即可，对于D，当 时，将 代入结合 可求得 的值 【详解】 ，A 正确； 的系数 ，则 ，所以 ，B 正确； 若 的展开式中第7 项的二项式系数最大，当n 为偶数，则n 等于12，当n 为奇数，则n 等 于11 或13，C 错误； 当 时， ， 令 ，则 ，又 ， 所以 ，D 正确. 故选：ABD 11. 袋中有大小完全相同的2 个黑球和3 个白球，从中不放回地每次任取一个小球，直到取到白球后停止取 球，则下列结论正确的是（ ） A. 抽取 次后停止取球的概率为 B. 停止取球时，取出的白球个数不少于黑球的概率为 C. 取球次数 的期望为 D. 取球次数 的方差为 【答案】BD 【解析】 【分析】设取球次数为 ，可知随机变量 的可能取值有、 、 ，计算出随机变量 在不同取值下 的概率，可判断出A 选项的正误，计算出取出的白球个数不少于黑球的概率为 ，可 判断出B 选项的正误，利用数学期望公式和方差公式计算出随机变量 的期望和方差，可判断C、D 选项 的正误，综合可得出结论. 【详解】设取球次数为 ，可知随机变量 的可能取值有、 、 ， 则 ， ， . 对于A 选项，抽取 次后停止取球的概率为 ，A 选项错误； 对于B 选项，停止取球时，取出的白球个数不少于黑球的概率为 ，B 选项正确； 对于C 选项，取球次数 的期望为 ，C 选项错误； 对于D 选项，取球次数 的方差为 ，D 选项 正确. 故选：BD. 12. 已知函数 ，则（ ） A. 在 单调递增 B. 的值域为 C. 的图象关于直线 对称 D. 的图象关于点 对称 【答案】AD 【解析】 【分析】根据函数的性质分别判断每个选项即可. 【详解】对于A，因为 在 单调递增， 在 单调递增，所以 在 单调递增，故A 正确； 对于B， ，故B 错误； 对于C， ， ， ，所以 的图象不关于直线 对称，故 C 错误； 对于D， ， ， ，则 的图象 关于点 对称，故D 正确. 故选：AD. 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本大题共6 小题，每小题5 分，共30 分． 13. 函数 的单调递增区间是__________. 【答案】（2，+∞） 【解析】 【分析】 根据复合函数“同增异减”的方法求函数的单调递增区间，注意函数的定义域. 【详解】 是复合函数，可以写成 ， ，根据复合函数单调性“同增异 减”的判断方法可知外层函数 是增函数，所以只需求 在定义域内的单调递增区间， ，解得： 或 ，函数在 单调递增，在 单调递减， 所以函数的单调递增区间是 . 故答案为： 14. 幂函数 在 上单调递增，则m 的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用幂函数定义求出m 值，再借助幂函数单调性即可判断作答. 【详解】解：因为函数 是幂函数， 则有 ，解得 或 ， 当 时，函数 在 上单调递增，符合题意， 当 时，函数 在 上单调递减，不符合题意. 所以 的值为 故答案为： 15. 设 ，若 是 的最小值，则 的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用定义可知 在 上递减，在 上递增，所以当 时， 取得最小值为 ，再根据 是 的最小值，可知 且 ， 解得结果即可得解. 【详解】解：当 时， ， 任设 ，则 ， 当 时， ， ， 所以 ，所以 ， 当 时， ， ， 所以 ，所以 ， 所以 在 上递减，在 上递增， 所以当 时， 取得最小值为 ， 又因为 是 的最小值，所以 且 ，解得 . 故答案为： . 16. 某同学高考后参加国内3 所名牌大学 ， ， 的“强基计划”招生考试，已知该同学能通过这3 所大 学 ， ， 招生考试的概率分别为 ， ， ，该同学能否通过这3 所大学的招生考试相互独立，且 该同学恰好能通过其中2 所大学招生考试的概率为 ，则该同学至少通过1 所大学招生考试的概率为____ _______；该同学恰好通过 ， 两所大学招生考试的概率最大值为___________. 【答案】 ①. . ② 【解析】 【分析】利用独立事件的概率乘法公式可求出该同学恰好能通过其中2 所大学招生考试的概率 ，从而求出该同学至少通过1 所大学招生考试的概率，再结合基本不等式即可得 的最小值，进而求出该同学恰好通过 ， 两所大学招生考试的概率最大值． 【详解】 该同学能否通过这3 所大学的招生考试相互独立， 该同学恰好能通过其中2 所大学招生考试的概率 ， 该同学至少通过1 所大学招生考试的概率为 ， 由 得， ， ，即 ， 解得 或 ， 又 ， ， ， ， 该同学恰好通过 ， 两所大学招生考试的概率为 ，最大值为 ． 故答案为： ， ． 四、解答题：本大题共6 个大题，共70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 已知数列 为等差数列，公差 ，前n 项和为 ， ，且 ， ， 成等比数列． （1）求数列 的通项公式； （2）设 ，记数列 的前n 项和为 ，求证： ． 【答案】（1） ；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）根据 ，且 ， ， 成等比数列．列出方程，即可解出 ，即可得出答案. （2）由（1）知 ，代入 ，再利用裂项相消求出 ，即可说明 . 【详解】（1）由题意得： ， ， 整理得 ，因为 ，所以 ， 所以 ， ． （2） ， ， ， 即 ． 【点睛】本题考查等差数列的通项公式，前 项和公式，裂项相消法求数列的前 项和.属于基础题.常见的 裂项相消: . 18. 根据党的“扶贫同扶志、扶智相结合”精准扶贫、精准脱贫政策，中国儿童少年基金会为了丰富留守儿童 的课余文化生活，培养良好的阅读习惯，在农村留守儿童聚居地区捐建“小候鸟爱心图书角”.2016 年某村在 寒假和暑假组织开展“小候鸟爱心图书角读书活动”，号召全村少年儿童积极读书，养成良好的阅读习惯， 下表是对2016 年以来近5 年该村庄100 位少年儿童的假期周人均读书时间的统计： 年份 2016 2017 2018 2019 2020 年份代码 1 2 3 4 5 每周人均读书时间 （小时） 1.3 2.8 5.7 8.9 13.8 现要建立 关于 的回归方程，有两个不同回归模型可以选择，模型一 ；模型二 ， 即使画出 关于 的散点图，也无法确定哪个模型拟合效果更好，现用最小二乘法原理，已经求得模型一 的方程为 . （1）请你用最小二乘法原理，结合下面的参考数据及参考公式求出模型二的方程（计算结果保留到小数 点后一位）； （2）用计算残差平方和的方法比较哪个模型拟合效果更好，已经计算出模型一的残差平方和为 . 附：参考数据： ，其中 ， . 参考公式：对于一组数据 ， ，…， ，其回归直线 的斜率和截距的最小二 乘法估计公式分别为 ， . 【答案】（1） ；（2）模型二的拟合效果更好. 【解析】 【分析】（1）首先换元令 ，先求得 和 ，再根据数据和参考公式求得模型二的方程；（2）利用 残差公式，求模型二的残差，比较大小，即可判断. 【详解】（1）令 ，则模型二可化为 关于的线性回归问题，则 ， ， 则由参考数据可得 ， ， 则模型二的方程为 ； （2）由模型二的回归方程可得， ， ， ， ， ， ∴ ， 故模型二的拟合效果更好. 19. 某中学为了解中学生的课外阅读时间，决定在该中学的1200 名男生和800 名女生中按分层抽样的方法 抽取20 名学生，对他们的课外阅读时间进行问卷调查．现在按课外阅读时间的情况将学生分成三类：A 类 （不参加课外阅读），B 类（参加课外阅读，但平均每周参加课外阅读的时间不超过3 小时），C 类（参加课外阅读，且平均每周参加课外阅读的时间超过3 小时）．调查结果如下表： A 类 B 类 C 类 男生 x 5 3 女生 y 3 3 （1）求出表中x，y 的值； （2）根据表中的统计数据，完成下面的列联表，并判断是否有90%的把握认为“参加阅读与否”与性别有 关； 男生 女生 总计 不参加课外阅读 参加课外阅读 总计 （3）从抽出的女生中再随机抽取3 人进一步了解情况，记X 为抽取的这3 名女生中A 类人数和C 类人数差 的绝对值，求X 的分布列与均值． 附： ， ． 附表： a 0.10 0.005 0.01 2.706 3.841 6.635 【答案】（1） ， （2）见解析 （3） ，分布列见解析 【解析】 【分析】（1）设被抽取的20 人中，男、女生人数分别为 ；根据分层抽样的原理，求得 ，进而 求得x，y 的值； （2）根据题意填写列联表，计算K2，对照临界值得出结论 （3）X 可能的取值为0，1，2，3，根据组合数公式和古典概型概率公式计算概率，再得出X 的数学期望. 【小问1 详解】 设抽取的20 人中，男、女生人数分别为 ，则 , 所以 ， ． 【小问2 详解】 列联表如下： 男生 女生 总计 不参加课外阅读 4 2 6 参加课外阅读 8 6 14 总计 12 8 20 的观测值 ， 所以没有90%的把握认为“参加阅读与否”与性别有关． 【小问3 详解】 的可能取值为0，1，2，3， 则 ， ， ， ， 所以 ． 其分布列如下表： 20. 已知函数 . （1）若 时，存在 ，使得不等式 成立，求 的最小值； （2）若 在 上是单调函数，求 的取值范围.（参考数据 ） 【答案】（1） ；（2） . 【解析】 【 分析】 (1)由存在 使不等式 成立，只需 ，利用导数即可得 的最小值； (2)分类讨论a 保证 在 上是单调函数，从而确定a 的范围 【详解】（1）存在 ，使得不等式 成立，则只需 ， ∵ ， ∴当 时， ，函数 单调递减；当 时， ，函数 单调递增； 当 时， ，函数 单调递减， ∴ 在 处取得极小值，即 ，又 ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 故 ； （2） ， 当 时， ，则 在 上单调递增； 当 时，∵ ，∴ ， ∴ ，则 在 上单调递增； 当 时，设 ，函数开口向下，其对称轴 ， 故只需 ，即 ，此时 在 上单调递减， 综上可得， . 【点睛】本题考查了利用导数解决不等式能成立问题，及利用导数研究函数的单调性求参数范围，考查了 分类讨论的思想，考查了学生的逻辑推理与运算求解能力. 21. 设抛物线 的焦点为 ，点 到抛物线准线的距离为 ，若椭圆 的右焦点也为 ，离心率为 . （1）求抛物线方程和椭圆方程； （2）若不经过 的直线与抛物线交于 两点，且 （ 为坐标原点），直线与椭圆交 于 两点，求 面积的最大值. 【答案】（1）抛物线方程为 ，椭圆方程为 ；（2） . 【解析】 【分析】（1）由点 到抛物线准线的距离为 可得 ，进而求出 ，再根据离心率求出 ，即可求 出抛物线方程和椭圆方程； （2）设直线方程为： ，联立抛物线方程，利用 可求出 ，再联立直线与椭圆， 即可求出弦长表示出 面积，即可求出最值. 【详解】（1）由已知得， ， ， 所以抛物线方程为 ，椭圆方程为 . （2）设直线方程为： ， 由 消去 得， ， 设 ，则 因为 所以 或 （舍去），所以直线方程为： . 由 消去 得， . 设 ，则 所以 . 令 ，则 ， 所以 ， 当且仅当 时，即 时，取最大值 . 【点睛】本题考查抛物线方程和椭圆方程的求法，考查三角形面积的最值问题，属于较难题. 22. 吉林化工集团是是集炼油、烯烃、合成树脂橡胶、合成氨于一体的特大型综合性石油化工生产企业， 其子公司-星云化工厂即将交付客户一批产品“星云军防冻液”，每箱200 件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这 箱产品中任取20 件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品为不合格品的 概率都为 ，且各件产品是否为不合格品相互独立． （1）记20 件产品中恰有2 件不合格品的概率为 ，求 的最大值点 ． （2）已知每件产品检验的成本为10 元，若有不合格品进入用户手中，则工厂需要对每件不合格品赔付 110 元，现对一箱产品检验了20 件，结果恰有2 件不合格品， （ⅰ）若余下的产品不再作检验，以（1）中 作为 的值，这一箱产品的检验费用与赔偿费 用的和记为 ，试求 ． （ⅱ）以（ⅰ）检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？ 【答案】（1） ， （2）（ⅰ） ；（ⅱ）应该作检验. 【解析】 【分析】（1）由二项分布的概率公式求解即可，再根据导数研究单调性即可得 ； （2）（ⅰ）令 表示余下的180 件产品中不合格的件数，则 ， ，进而根 据期望的性质求解即可； （ⅱ）计算全部作检验的费用，作比较即可得答案. 【小问1 详解】 解：根据题意， ， 所以， ， 令 得 ， 所以，当 时， ， 单调递增，当 时， ， 单调递减； 所以，当 时， 取得最大值，即 . 【小问2 详解】 解：（ⅰ）由（1）知每件产品合格的概率为 ， 所以，令 表示余下的180 件产品中不合格的件数，则 ， 则 ，即 ， 所以， . （ⅱ）若对余下的产品作检测，则这一箱产品所需的检